Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Кореляционно-регресионный анализ в Excel и Mathcad. Лабораторный практикум
.pdf
На рис. 3.5, показан расчет числовых характеристик случайного
=
вектора.
0.5
0.4
f
dnorm int 0, 1, ()
0.3
0.2
0.1
0
2− 1− 0 1 2 3
Рис. 3.4. Графическое представление
гистограммы
x rnorm 100 1, 5, ():=
N length x():=
mean x( ) 0.248
median x( ) 0.65=
var x( ) 23.871=
stdev x( ) 4.886=
Рис. 3.5. Пример расчета числовых
характеристик
Для самостоятельной работы
int
Пример 1. Генерация двух векторов с нормальным законом рас-
пределения. (Моделирование: Вес ковра – x1, кг и диаметр сырья –
x2, мм). Для x1: x1: σ = 1, М = 25. Для x2: σ = 1, М = 18. Привести
график.
Рассчитать числовые характеристики, ковариацию и корреляцию.
Построить гистограмму для распределения вес ковра.
Рассчитать ковариацию и корреляцию для примера (рис. 3.6).
71
σ
μ
4
5
μ
, σ
,
μ
μ
,
−
=
−
=
x1
=
1:=
σ
M 25:=
x1 rnorm M
0
26.262
0
24.294
1
25.002
2
26.108
3
25.893
4
22.099
5
22.843
6
7
...
25:=
σ, ():=
=
x2
corr x1 x2, ( ) 0.301
cvar x1 x2, ( ) 0.268
M2
x2 rnorm M
0
0
2.675
1
3.483
2
4.062
3
3.404
4
3.669
5
4.539
6
4.219
7
Рис. 3.6. Пример расчета ковариации и корреляции
для примера
Контрольные вопросы и задания
к защите лабораторной работы
1. Перечислите встроенные функции Mathcad для описания
нормального распределения вероятности.
2. Какое имеют обозначение данные характеристики?
3. Как получить вектор с нормальным законом?
4. Каким образом получить графическое изображение данных
векторов?
5. Какие статистические характеристики можно получить
в Mathcad?
6. Что такое гистограмма?
7. Какие встроенные функции имеются в Mathcad для построе-
ния гистограммы?
8. Порядок выполнения операций для получения гистограммы.
9. Каким образом получить графическое изображение гисто-
граммы?
10. Каким образом можно получить числовые статистические
характеристики числового ряда?
11. Каким образом можно получить значение ковариации и кор-
реляции?
0.1:=
:=
:=
():=
...
72
Лабораторная работа 4
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА II. (НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:
ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММ, СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
И ДИСПЕРСИЯ, КОРРЕЛЯЦИЯ И КОВАРИАЦИЯ)
(2 часа)
Цель работы:
использование математических статистик
в Mathcad: нормальное (гауссово) распределение; статистические характеристики – построение гистограмм, среднее значение и дисперсия, корреляция и ковариация.
Задачи работы:
1. Овладеть навыками использования математических статистик
для описания данных.
2. Овладеть навыками графического оформления результатов.
3. Освоить принципы использования математических статистик
при обработке данных.
Обеспечивающие средства: ПВЭМ; программный продукт
Mathcad 15.
Задание: Генерация двух векторов с нормальным законом
распределения. (Моделирование размеров стружки, длина – x1 и ширина – x2, мм; Количество чисел – 25). Для x1: σ = 1, μ = 25; Для x2:
σ = 0,1, μ = 4; М = 25. На рис. 3.8 показан результат моделирования,
на рис. 3.9 – графическое изображение результата.
Краткие теоретические сведения
Нормальное (гауссово) распределение.
Перечислим встроенные функции Mathcad для описания нор-
мального распределения вероятностей:
– dnorm (x, μ, σ) – плотность вероятности нормального распре-
деления;
– pnorm (x, μ, σ) – функция нормального распределения;
– cnorm (x) – функция нормального распределения для μ = 0,
σ = 1;
– qnorm (p,
μ, σ) – обратная функция нормального распределе-
ния;
– rnorm (M,
μ, σ) – вектор М независимых случайных чисел,
каждое из которых имеет нормальное распределение,
73
где:
– x – значение случайной величины;
– р – значение вероятности;
– μ – математическое ожидание;
– σ – среднеквадратичное отклонение.
Построение гистограмм
Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а, b) разбивается на
некоторое количество bin сегментов, а затем подсчитывается процент
попадания в каждый сегмент.
Для построения гистограммы в Mathcad имеется несколько
встроенных функций.
Рассмотрим самую сложную по применению, чтобы хорошо разобраться в возможностях каждой функции.
hist(intvls,x) – вектор частоты попадания в интервалы гистограммы, где:
intvls – вектор, элементы которого задают сегменты построения
гистограммы в порядке возрастания a≤intvlsi<b;
Если вектор intvls имеет bin элементов, то и результат hist имеет
столько же элементов. Построение гистограммы иллюстрируется
примером на рис. 3.8.
Для анализа взято N = 25 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка
листинга). Далее определяются границы интервала (upper, lower),
содержащего внутри себя все случайные значения, и осуществляется
его разбиение на количество (bin) одинаковых
сегментов, начальные
точки которых записываются в вектор int (предпоследняя строка листинга).
Внимание! В векторе int можно задать произвольные границы
сегментов разбиения так, чтобы они имели разную ширину.
Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы с тем, чтобы она правильно
аппроксимировала плотность вероятности, также показанную на графике
.
Очень важно переопределение вектора int в самом верху, которое необходимо для перехода от левой границы каждого элементарного сегмента к его центру.
74
Если нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной
ширины, то удобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции hist или функцией histogram:
hist(bin,x) – вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы;
histogram (bin,x) – матрица гистограммы размером bin×2, состоящая из столбца сегмента разбиения и столбца частоты попадания
в них данных, где:
bin – количество сегментов построения гистограммы;
x – вектор случайных данных.
Среднее значение и дисперсия
Для расчета числовых статистических характеристик рядов случайных чисел в Mathcad имеется ряд встроенных функций:
– mean(x) – выборочное среднее значение;
– median(x) –выборочная медиана (median) – значение аргумен-
та, которое делит гистограмму плотности вероятностей на две равные
части;
– var(x) – выборочная дисперсия (variance);
– stdev(x) – среднеквадратичное (или «стандартное») отклоне-
ние (standarddeviation);
– max(x), min(x) – максимальное и минимальное значение выборки;
– mode(x) – наиболее часто встречающееся значение выборки;
– var(x), stdev(x) – выборочная дисперсия и среднеквадратичное
отклонение в другой нормировке, где x – вектор (или матрица)_ с выборкой случайных данных.
Корреляция и ковариация
Функции, устанавливающие связь между парами двух случайных векторов, называются ковариацией и корреляцией (или коэффициентом корреляции). Эти два понятия различаются нормировкой.
– corr(x) – коэффициент корреляции двух выборок;
– cvar(x) – ковариация двух выборок, где x1, x2 – векторы (или
матрицы) одинакового размера с выборками случайных данных.
Порядок выполнения работы
На рис. 3.7 представлены результаты генерации.
На рис. 3.8. выполнен пример построения гистограммы,
на рис. 3.9. графическое представление гистолгаммы.
75
На рис. 3.10 приведен расчет числовых характеристик случайно-
σ
μ
4
5
μ
, σ
,
μ
μ
,
го вектора.
На рис. 3.11 дан расчёт ковариации и корреляции для примера.
σ
M 25:=
x1 rnorm M
0
1
2
=
x1
3
4
5
6
7
N 25:=
bin5:=
x rnorm N 0, 1, ():=
1:=
0
24.024
24.716
24.644
23.856
24.905
24.733
23.464
...
25:=
x2
17
18
19
=
20
21
22
23
24
σ, ():=
0.1:=
M2
:=
x2 rnorm M
0
3.822
4.642
3.793
2.425
3.977
4.367
4.781
...
:=
():=
Рис. 3.7. Пример генерации x1,x2
(длины и ширины стружек)
lower floor min x()():=
upper ceil max x()():=
h
:=
upper lower−
bin
intjlower h j⋅+:=
j0bin..:=
f
Nh⋅
1
hist int x, ()⋅:=
Рис. 3.8. Выполнение примера построение гистограммы
76
0.5
=
σ
μ
4
5
μ
, σ
,
μ
μ
,
−
=
−
=
0.4
f
dnorm int 0, 1, ()
0.3
0.2
0.1
0
2− 1− 0 1 2 3
int
Рис. 3.9. Графическое представление гистограммы
x rnorm 100 1, 5, ():=
N length x():=
mean x( ) 0.248=
median x( ) 0.65
var x( ) 23.871=
stdev x( ) 4.886=
Рис. 3.10. Пример расчета числовых характеристик
x1
=
σ
1:=
M 25:=
x1 rnorm M
0
0
26.262
1
24.294
2
25.002
3
26.108
4
25.893
5
22.099
6
22.843
7
...
25:=
σ, ():=
x2
0
1
2
=
3
4
5
6
7
corr x1 x2, ( ) 0.301
cvar x1 x2, ( ) 0.268
0.1:=
:=
M2
x2 rnorm M
0
2.675
3.483
4.062
3.404
3.669
4.539
4.219
...
Рис. 3.11. Пример расчета ковариации и корреляции для примера
:=
():=
77
Для самостоятельной работы
Пример 2. Генерация двух векторов с нормальным законом рас-
пределения. (Моделирование:Вес ковра – x1, кг и диаметр сырья – x2,
мм). Для x1: σ = 2, М = 60. Для x2: σ = 1, М = 18. Привести график.
Рассчитать числовые характеристики, ковариацию и корреляцию. Построить гистограмму для распределения вес ковра.
Контрольные вопросы и задания
к защите лабораторной работы
1. Перечислите встроенные функции Mathcad для описания нор-
мального распределения вероятности.
2. Какое имеют обозначение данные характеристики?
3. Как получить вектор с нормальным законом?
4. Каким образом получить графическое изображение данных
векторов?
5. Какие статистические характеристики можно получить
в Mathcad?
6. Что такое гистограмма?
7. Какие встроенные функции имеются в Mathcad для построе-
ния гистограммы?
8. Порядок выполнения операций для получения гистограммы.
9. Каким образом получить графическое изображение гисто-
граммы?
10. Каким образом можно получить числовые статистические
характеристики числового ряда?
11. Каким образом можно получить значение ковариации и кор-
реляции?
78
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем практикуме рассматриваются две самые массовые
информационные системы – Excel и Mathcad, а также их применение
в математическом моделировании при решении технических и технологических задач. Excel является самой простой в использовании
и широко распространенной системой. Mathcad по праву может называться современной, универсальной и массовой математической
системой. Она позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет удобный математикоориентированный интерфейс. Исключительно велика роль этих
систем в образовании. Они не только облегчают решение сложных
математических задач и снимают психологический барьер в изучении
математических методов, но и позволяют перейти к реальному моделированию технических систем, а также решать проблемы математического описания встречающихся инженерных задач.
В лабораторном практикуме изложены основные методы корреляционно-регрессионного анализа при обработке данных. Приведена
общая методология использования рассматриваемого инструментария
в прикладных исследованиях при решении инженерных и научных
задач, а также конкретно изложены основные понятия корреляционно-регрессионного анализа. Отличительной особенностью лабораторного практикума является соединения изучения статистических методов и использования для их применения электронных таблиц Excel
и математической системы Mathcad – систем, наиболее подходящих
для статистической обработки данных и взаимно дополняющих друг
друга.
79
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Салманов, О. Н. Математическая экономика с применением
Mathcad и Excel [Текст] / О. Н. Салманов. – СПб. : БХВ-Петербург,
2003. – 464 с.
2. Бурнаева, Э. Г. Обработка и представление данных в MS
Excel [Текст] / Э. Г. Бурнаева, С. Н. Леора. – СПб. : Лань, 2016. –
160 с.
3. Мидлтон, М. З. Анализ статистических данных с использова-
нием Microsoft
®Excel для Office XP [Текст] / М. Р. Мидлтон. – М. :
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 296 с.
4. Макаров, Е. Г. Mathcad : учебный курс [Текст] / Е. Г. Мака-
ров. – СПб. : Питер. 2009. – 384 с.
5. Кирьянов, Д. В. Самоучитель Mathcad13 [Текст] / Д. В. Кирь-
янов. – СПб. : БХВ-Петербург, 2006. – 528 с.
6. Васильев, А. Н. Mathcad 13 на примерах [Текст] / А. Н. Ва-
сильев. – СПб. :
БХВ-Петербург, 2006. – 528 с.
7. Макаров, Е. Г. Инженерные расчеты в Mathcad14 [Текст] /
Е. Г. Макаров. – СПб. : Питер, 2007. – 592 с.
8. Математика, статистика, экономика на компьютере [Текст] /
А. В. Каплан [и др.]. – М. : ДМК Пресс, 2006. – 600 с.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]