Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Кореляционно-регресионный анализ в Excel и Mathcad. Лабораторный практикум
.pdf
Для ввода знака <:=> надо нажать клавишу <:> (двоеточие),
а для ввода знака <..> (две точки подряд) – клавишу <;> (точка
с запятой).
Если задать ряд чисел с шагом d, то ранжированная переменная
записывается следующим образом:
Здесь X
X :=X
– начальное значение переменной, X
start
start
, X
start+d
.. X
end
.
– конечное значе-
end
ние переменной.
Индексы могут начинаться с 0 или 1. Эти значения задает специальная система переменных ORIGIN, имеющая по умолчанию нулевое значение. Таблица значений ранжированной переменной дается
под оператором ее ввода.
Помимо панелей, арифметические операторы можно набирать с
клавиатуры, в табл. 2.12 представлен клавиатурный ввод арифметических операторов.
Таблица 2.12
Арифметические операторы
Оператор Клавиши Скаляр, Вектор, Матрица
:= «:» Присваивание
≡
= «=» Численный ввод
→
+ «+» Сложение
- «-» Вычитание
⋅
×
/ либо + «/»
! «!» Факториал
- «"» Комплексное сопряжение
√
n√
()
Т
| |
Σ
-1
n
<>
«~» Глобальное присваивание
«Ctrl» + «=» Символьный ввод
«*» Умножение (Матричное умноже-
«Ctrl» + «8» Скалярное произведение
либо «Ctrl» + «/»
«\» Квадратный корень
«Ctrl» + «\» Корень n степени
«’» Скобки (изменение приоритета)
«[» Нижний индекс
«Ctrl» + «1» Транспонирование
«Shift» + «\» Модуль, Модуль вектора, Опреде-
«Ctrl» + «4» Сумма элементов
Обратная величина
«^» + n Возведение в степень n
«Ctrl» + «6» Выделение столбца
ние, умножение на скаляр)
Деление
литель
51
Порядок выполнения работы
Задать значения x, y. Задать требуемые зависимости и сделать
вычисления по ним (табл. 2.13).
Таблица 2.13
Описание клавиатурного ввода
№ п/п Нажимаемая
клавиша
1 i
2 =
3 1
4 ;
5 10
6 мышь курсор
7 i
8 = Числовой ряд
9 мышь курсор
10 q
11 [
12 i
13
→
14 :
15 i
16 Shift + 6
17 2
18 мышь курсор
19 q
20 [
21 i
22
→
23 = Числовой ряд
24 мышь курсор
25 q
26 = Табл.Числ. ряд
27 Y
28 =
29 0
30 ,
31 3
32 ;
33 20
34 мышь курсор
35 Y
36 = Числовой ряд
Изображение
в окне
Комментарий
52
Окончание табл. 2.13
№ п/п Нажимаемая клавиша Изображение в окне Комментарий
37 мышь курсор
38 S
39 [
40 Y
41
→
42 :
43 Y
44 Shift + 6
45 0
46 .
47 5
48 мышь курсор
49 S
50 [
51 y
52
→
53 = Числовой ряд
54 s
55 = Табл.Числ. ряд
56 x
57 =
58 1
59 ,
60 3
61 ;
62 19
63 мышь курсор
64 x
65 = Числовой ряд
66 c
67 [
68 x
69
→
70 :
71 Панель арифм.
72 Ln()
73 x
75 мышь курсор
75 c
76 [
77 x
78
→
79 = Числовой ряд
80 мышь курсор
53
Пример выполнения, две части 1 и 2.
5
На рис. 2.6 и 2.7 представлены результаты вычислений.
i110..:=
i
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
q
i
100
=
qii2:=
1
4
9
16
25
36
49
64
81
q
0
0
1
2
3
4
=
5
6
7
8
9
10
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Рис. 2.6. Пример выполнения (часть 1)
y02, 20..:=
y
=
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
syy
:=
s
=
y
1.414
2.449
2.828
3.162
3.464
3.742
4.243
4.472
0.
0
2
4
x13, 19..:=
cxln x():=
=
x
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
c
=
x
1.099
1.609
1.946
2.197
2.398
2.565
2.708
2.833
2.944
0
0
1
0
2
3
4
5
6
=
s
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.414
2.449
2.828
3.162
3.464
3.742
...
0
0
0
2
0
0
0
0
0
Рис. 2.7. Пример выполнения (часть 2)
54
Отображение результатов моделирования в графической форме.
В результате вычислений задаваемых значений, получены результаты (рис. 2.6 и 2.7), которые можно представить в графической
форме.
Порядок действий для графического представления результатов:
1. Insert → Graph → X-YPlot. Появится макет графика там,
где находился красный крестик.
2. Показать слева c
, для перехода на строку, нажмите клавишу
x
<,>. Показать внизу x,y. Отвести курсор в сторону. Появится график cx.
3. Выделить график, вызвать контекстное меню, Format→ по-
ставить метку EnablesecondaryYaxis (сделать вторую ось).
4. Показать справа s
. Отвести курсор. Появится второй график.
y
5. Пользуясь контекстным меню, сделать оформление графика
(ввести соответствующие обозначения) (рис. 2.8).
Рис. 2.3. Динамика нарастания прочности
Для самостоятельной работы:
Задание 1. Смоделировать результаты испытания нарастания
прочности на сжатие в процессе твердения арболита из цементов рассматриваемых заводов.
Принять зависимость нарастания прочности для арболита из цемента Красноярского цементного завода вида
S
= 0,1 ⋅ y
y
55
0,5
.
Для Томского цементного завода вида:
С
= 0,2 ⋅ ln(x).
x
Отобразить результат в графической форме.
Задание 2. Смоделировать результаты определения водопоглощенияарболита из цементов рассматриваемых заводов при вымачивании в воде в течение суток (0–24 ч).
Принять зависимость для арболита из цемента Красноярского
цементного завода вида:
= y.
S
y
Для Томского цементного завода вида:
Сx = 1,1x.
Водопоглощенире нарастает от 0 до 60 %.
x:=(0..60),
y:=(0..24).
Отобразить результат в графической форме.
Контрольные вопросы и задания
к защите лабораторной работы
1. Что такое ранжированные переменные?
2. Как вводить ранжированные переменные?
3. Как можно ввести арифметические операторы?
4. Назовите арифметические операторы.
5. Какое правило следует соблюдать при вводе значений?
6. Как сделать график?
7. Как ввести все обозначения на графике?
8. Что обозначает красный цвет, появляющийся в формулах?
56
3. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
(
)
=
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Закономерности в технических науках выражаются в виде связей и свойств изучаемых показателей, а также в виде математических
моделей их поведения. Такие зависимости и модели могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных с учетом внутренних механизмов связи и случайных факторов (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Модель описания свойств
Математическая статистика (т. е. теория обработки и анализа
данных) и ее применение в технических науках позволяет строить математические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы
о свойствах изучаемых показателей и формах их связи. В основе
методов, с помощью которых решаются данные задачи, лежит корреляционно-регрессионный анализ.
Все факторы,
неучтенные явно в математической модели, оказывают на объект некоторое результирующее воздействие, величина
которого неизвестна заранее и может быть описана как случайная
функция. Для ее описания в модель добавляют случайный параметр е,
интегрирующий в себе влияние всех неучтенных факторов, например:
,.zfxy
+ε
(3.1)
57
Введение случайного компонента в математическую модель
приводит к тому, что взаимосвязь остальных ее переменных перестает
быть строго детерминированной и становится стохастической, что
и наблюдается в реальной действительности.
Работа с математическими моделями требует использования инструментария оценивания и статистической проверки модели, а также
решения проблем выбора типа модели, набора объясняющих переменных и вида связей между ними.
3.2. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВЕННЫМИ
ПРИЗНАКАМИ
В математической статистике взаимосвязь явлений и их признаков изучают с помощью метода корреляции (correlation(англ.) – соотношение, соответствие, сопоставление).
При обработке и использовании статистических данных с целью
получения как научных, так и практических выводов важно проследить, как изменяется один признак при изменении другого, т. е. найти
уравнение связи и значения коэффициента и индекса корреляции
и детерминации, определяющие степень влияния одного признака
на другой.
Связи между явлениями или их признаками, проявляющиеся
в изменении статистических характеристик распределения одного
признака с изменением значений другого, называются статистическими.
Результативный признак в этих связях не полностью определяется влиянием факториального признака. Это влияние проявляется
лишь в среднем, при этом отдельные результаты могут противоречить
установленной связи.
В функциональных связях факториальный признак полностью
определяет величину результативного признака.
3.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Числовыми характеристиками случайной величины X являются
центральные моменты различных порядков. Важнейшие из них: математическое ожидание Х
и дисперсия σ
0
2
.
x
Особую роль играет второй смешанный центральный момент
(т. е. математическое ожидание произведения центрированных вели-
58
чин), называемый корреляционным моментом или моментом связи
y
y
x
x
τ=σ
x
τ=σ
случайных величин X, Y:
τ = М[(х – Х
)(у – Y0)].
0
Для дискретных величин момент связи определяют по формуле
τ = ∑∑(х – X
)(у – Y0)Рiu,
0
где Piu = Р(хi – Х)(уu – Y) – вероятность того, что система X, Y примет
значения xi, уu, а суммирование распространяют по всем возможным
значениям случайных величин X, Y.
Для непрерывных величин момент связи определяют по формуле
+∞
l
τ= ∫ − −
xX eYfx
()()
∫
−∞
00
,,
()
dxd
где f (х, у) – плотность распределения случайных величин х, у.
Для независимых случайных величин плотность распределения
системы равна произведению плотностей распределения отдельных
величин, входящих в систему
f(x, у) = f1(x) f2(y).
Подставив значение f(x,y) в предыдущую формулу, получим:
τl= ∫(x – X
(x)dx⋅∫(y – Y
0)f1
0)f2
(y)dy.
Корреляционный момент характеризует не только рассеивание
величин X и Y, но и связь между ними.
Каждый из интегралов последней формулы в отдельности есть
первый центральный момент случайных величин X и Y. Следовательно, каждый интеграл равен нулю. Таким образом, для независимых
случайных величин τ
l
= 0. Если значение корреляционного момента
двух случайных величин не равно нулю, то между ними имеется зависимость.
Для характеристики связи между величинами X, Y пользуются
безразмерной характеристикой, называемой корреляционным отношением или индексом корреляции:
ly
σ
y
r
xly
аналогично
r
ylx
59
ylx
(3.2)
σ
y
Очевидно, для независимых случайных величин r = 0.
При прямолинейной зависимости корреляционное отношение
называют коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции изменяется в пределах l < r < 1.
Если r
< 0, то корреляция отрицательная, если r
х/у
> 0, то кор-
x/y/
реляция положительная. Величина коэффициента корреляции определяет тесноту связи между случайными величинами; чем ближе значение r
к единице, тем теснее статистическая связь.
х/у
Близкое к нулю значение коэффициента корреляции свидетельствует об отсутствии прямолинейной статистической связи.
Положительная корреляция между случайными величинами характеризует такую зависимость между ними, когда при возрастании
одной из них другая также в среднем возрастает.
Отрицательная корреляция характеризует такую зависимость,
когда при возрастании одной случайной величины другая в среднем
убывает.
Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера,
при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.
В статистике принято различать следующие варианты зависимостей.
1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (резуль-
тативным и факторным или двумя факторными).
2. Частная корреляция – зависимость между результативным
и одним факторным признаками при фиксированном значении других
факторных признаков.
3. Множественная корреляция – зависимость результативного
и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное
определение тесноты связи между двумя признаками (при парной
связи) и между результативным и множеством факторных признаков
(при многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают
возможность определять «полезность» факторных признаков при
построении уравнений множественной регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения
регрессии выявленным причинно-следственным связям.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]