Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Кореляционно-регресионный анализ в Excel и Mathcad. Лабораторный практикум
.pdf
Выберем опцию Добавить линию тренда.
В панели Линии тренда во вкладке тип выбираем Тип функции (в нашем случае выбираем Линейная) (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Формат линии тренда
Во вкладке Параметры введем название тренда (теоретическая
кривая) и установим флажки показывать на диаграмме и поместить на
диаграмму величину достоверность аппроксимации (R^2), т. е. коэффициент детерминации, как это показано на рис. 1.11.
Рис. 1.11. График фактических данных и построенной регрессии
с выведенными на диаграмму параметрами уравнения
и коэффициентом детерминации
11
В результате на диаграмме появится вид теоретической кривой –
тренда, ее параметры и коэффициент детерминации (рис. 1.11).
1.2. УСТАНОВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ
И ОБЩЕГО КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
РЕГРЕССИИ В EXCEL
Рассчитаем сначала коэффициент детерминации и рассмотрим
его понятие. Для этого в столбце F рассчитаем вариацию (Yi – Yср)^2
– в ячейку F2 впишем формулу =(B2-$D$3)^2 и скопируем формулу в
ячейки F3:F10. В ячейке F11 просуммируем ячейки F2:F10. В ячейке
F11 просуммируем ячейки F2:F10 (рис. 1.12). В столбце G посчитаем
вариацию остатков (Yi – a – bx)^2, в ячейке G11 его сумму, а в столбце H – вариацию регрессии (a + bx – Yср)^2, в ячейке H11 – его сумму
(рис. 1.12).
Рис. 1.12. Определение коэффициента детерминации
Вариация Yi представляется так:
Var(Y) = Σ(Y
Обозначим Σ(Y
персия; Σ(Y
12
– abxi)2 – как ESS (erroe sum of squares) – необъясненная
i
– Yср)
i
– Yср)2 черезTSS (total sum of squares) – вся дис-
i
2
= Σ(Y
– a – bxi)
i
2
+ Σ(a + bx
– Yср)2.
i
дисперсия; Σ(a + bx
– Yср)2 – как RSS (regression sum of squares) – объ-
i
ясненная часть всей дисперсии.
Тогда можно записать:
Var(Y) = TSS = ESS + RSS.
Коэффициент детерминации будет равен:
R2 = 1 – ESS/TSS = RSS/TSS
и представляет собой долю объясненной дисперсии.
Он по данной форме рассчитан в ячейке F16.А в ячейке F17 коэффициент детерминации определен с использованием функции КВ
ПИРСОН (рис. 1.13).
Представим графически это понятие. Рассчитаем нарастающим
итогом вариации остатков, регрессии и общую (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Расчет кумулятивных
кривых вариации
Построим графики кумулятивных кривых вариаций (рис. 1.14).
Последние значения этих графиков и представляют собой TSS,
RSS и ESS – общую дисперсию, объясненную и необъясненную дисперсию. Отношение величины RSS/TSS есть доля необъясненной
дисперсии, т. е. коэффициент детерминации.
13
Перейдем к расчету показателей статистической значимости.
Проведем предварительные вычисления, показанные на рис. 1.15, которые потребуются для дальнейших вычислений.
Рис. 1.14. Кумулятивные кривые динамики вариаций:
ESS – остатков; RSS – регрессии; TSS – общей
J K L M
1 a + bX Y – a – bX(X – X
2 6,030746 –1,03075 361 1
3 6,904702 0,095298 289 9
4 8,215637 2,784363 196 36
5 9,96355 –3,96355 100 100
6 12,14844 4,851558 25 225
7 16,51822 –6,51822 25 625
8 18,70312 5,296884 100 900
9 23,0729 –3,0729 400 1600
10 27,44268 1,557318 900 2500
Рис. 1.15. Предварительные вычисления
)^2 X^2
ср
14
На рис. 1.16, представлены результаты расчета показателей ста-
и
x
тистической значимости. Стандартное отклонение остатков регрессии
определено с помощью функции СТАНДОТКЛОН к ряду остатков
регрессии, рассчитанной в ячейках K2:K10.
12 Формула=
13 Станд.отк.остатковрегресси
14 Станд.отк.ошибокрегрессии 4,317468 (1/(9‐2)*G11)^0,5
15
16 Дисперсияпараметраb 0,00778 G11/L11/( 9‐2)
17 Стандарноеотклонениеb 0,088203 M16^0,5
18 t‐статистикапараметраb 4,954207 C11/M17
19 Дисперсияпараметраa 5,183112 G11*M11/(9‐2)/L11
20 Стандартноеотклонениеa 2,276645 M19^0,5
21 t‐статистикапараметраa 2,457022 D11/M20
22 Критическоезначение
23 t‐статистики ‐1,89458 СТЬЮДРАСПРОБР(0,05;7)
24
3,807649 СТАНДОТКЛОН(К2:К10)
25 Вероятностьb 0,999176 СТЬЮДРАСП(М18;7;2)
26 0,000824 1‐СТЬЮДРАСП(М18;7;2)
27 Вероятностьa 0,978172 СТЬЮДРАСП(М21;7;2)
28 0,021828 1‐СТЬЮДРАСП(М27;7;2)
29 F‐статистика 24,54416 (9‐2)*F16/(1‐F16)
30 Критическоезначение
31 F‐статистики 5,591448 FОБР( 0,05;1;7)
32 ЗначимостьF 0,000188 FРАСП(М29;1;7;ЛОЖЬ)
33 ВероятностьF 0,999812 1‐M32
Рис. 1.16. Фрагмент таблицы
«Расчет показателей статистической Значимости»
Стандартное отклонение ошибок определяется по формуле:
S = (1/(т – 2) ⋅ Σ(Y
– a – bxi)2)
i
0,5
.
Для этого в ячейке М14 введена формула = (1/(9 – 2)*G11)^0,5.
Для расчета стандартного отклонения ошибок регрессии применима
также функция СТОШYX (рис. 1.17).
Дисперсия (σ) параметра b равна:
2
2
σ=
15
S
. (1.4)
2
–
()
ibi
xΣ
Для расчета дисперсии параметра b в ячейке М16 введена формула G11/L11(9-2), можно также – (M14^2)/L11.
В ячейке М17 рассчитано стандартное отклонение параметра b
как корень квадратный из дисперсии.
Рис. 1.17. Панель функции обратного распределения Стьюдента
В ячейке М17 рассчитана t – статистика параметра b как отношение величины параметра к его стандартному отклонению:
= C11/M17.
В ячейке М19 рассчитана дисперсия параметра по формуле
22
Sx
2
σ=
b
nxx
∑
i
(1.5)
2
−
()
∑
i
i
В ячейках М20 и М21 аналогично рассчитано стандартное отклонение и t – статистика параметра a.
Критическое значение t – статистики рассчитано в ячейке М23
с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР, в панели которой (рис. 1.17)
вводятся значения пороговой значимости (вероятность) 0,05 и степени свободы (n – m – 1), где m – количество независимых переменных.
Вероятность распределения t – статистики за пределами пороговой значимости – можно установить с помощью функции СТЬЮДРАСП, на панели которой в качестве X необходимо установить адрес
ячейки с расчетом величины t – статистики, степени свободы (n – m – 1)
и учет порогов (хвостов) распределения двух сторон – 2.
16
Тогда вероятность распределения t – статистики в пределах ука-
−
−
занной вероятности (0б95) устанавливается как 1 – СТЬЮДРАСП, что
сделано для параметра b в ячейке М26, а для параметра a – в ячейке
М28.
Необходимо отметить, что проверка значимости коэффициентов
парной линейной регрессии (параметра b) эквивалентна проверке значимости коэффициента корреляции.
Показатель F – статистики рассчитывается по формуле
2
F
Rnm
=⋅
2
1
Rm
1
−
,
(1.6)
где R2 – детерминации.
Для расчета F – статистики в ячейке М29 введена формула
= (9 – 2)F16/(1 – F16).
Критическое значение F – статистики с помощью функции
FРАСПОБР, в панели которой устанавливается пороговая значимость –
0,05, степени свободы – (n – m – 1), в нашем примере она равна 7,
и m равен 1. Вероятность F – статистики можно установить с помощью функции FРАСПОБР.
Контрольные вопросы и задания
1. Как рассчитываются параметры линейной парной регрессии?
2. Что означает угловой коэффициент связи?
3. Поясните, что означает функция отрезок.
4. Как выбрать вид диаграммы для полученной зависимости?
5. Как добавить линию тренда на графике?
6. Как выбрать параметры линии тренда?
7. Что такое коэффициент детерминации?
8. Как определяется коэффициент детерминации?
9. Объясните понятие TSS.
10. Объясните понятия RSS и ESS.
17
Лабораторная работа 1
УСТАНОВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ
И ОБЩЕГО КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
(4 часа)
Цель работы: установление статистической значимости и общего качества уравнения линейной регрессии, использование статистических функций в Excel.
Задачи работы:
1. Овладеть навыками установления статистической значимости
уравнения линейной регрессии.
2. Овладеть навыками определения качественных характеристик
линейной регрессии.
3. Освоить принципы использования статистических функций
в Excel.
Обеспечивающие средства: ПВЭМ; программный продукт
Excel.
Задание: установить параметры линейной связи в Excel.
Построить график фактических данных и полученной регрессии,
привести на диаграмме параметры уравнения и коэффициент детерминации. Построить графики кумулятивных кривых вариаций. Произвести расчет показателей статистической значимости.
В качестве исходных данных взять сгенерированные данные
(генерация случайных чисел) рядов X и Y. Для X: число переменных – 1; число случайных чисел – 25; распределение – нормальное;
среднее – 16N,(N – одна цифра номера зачетной книжки, последняя);
стандартное отклонение – 1,N (N – одна цифра номера зачетной
книжки, последняя).
Краткие теоретические сведения
Вариация Yi представляется так:
– a – bxi)
i
2
+ Σ(a + bx
– Yср)2.
i
Var(Y) = Σ(Y
Обозначим Σ(Y
персия; Σ(Y
– abxi)2 – как ESS (error sum of squares) – необъясненная
i
дисперсия; Σ(a + bx
– Yср)
i
– Yср)2 через TSS (total sum of squares) – вся дис-
i
– Yср)2 – как RSS (regression sum of squares) – объ-
i
2
= Σ(Y
ясненная часть всей дисперсии.
Тогда можно записать:
Var(Y) = TSS = ESS + RSS.
18
Коэффициент детерминации будет равен:
R2 = 1 – ESS/TSS = RSS/TSS
и представляет собой долю объясненной дисперсии.
Он по данной форме рассчитан в ячейке F16.А в ячейке F17 коэффициент детерминации определен с использованием функции КВ
ПИРСОН.
Представим графически это понятие. Рассчитаем нарастающим
итогом вариации остатков, регрессии и общую вариацию.
Порядок выполнения работы
Рассчитаем сначала коэффициент детерминации и рассмотрим
его понятие. Для этого в столбце F рассчитаем вариацию (Y
– Yср)^2 –
i
в ячейку F2 впишем формулу =(B2-$D$3)^2 и скопируем формулу
в ячейки F3:F10. В ячейке F11 просуммируем ячейки F2:F10. В ячейке
F11 просуммируем ячейки F2:F10 (рисунок 3.1). В столбце G посчитаем вариацию остатков (Yi – a – bx)^2, в ячейке G11 – его сумму,
а в столбце H – вариацию регрессии (a + bx – Yср)^2, в ячейке H11 –
его сумму (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Определение коэффициента детерминации
X Y среднее значение (Y – Yср)^2 (Y – a –
1 5 X Y 87,11111 0,817167 71,05412
4 7 21 14,33333 53,77778 0,028351 51,3366
8 11 Стандартное отклонение 11,11111 4,604248 30,02037
11 6 X Y 69,44444 16,9633 17,76353
14 17 17,79747 8,573214 7,111111 31,55005 8,70413
26 10 Коэффициент корреляции 18,77778 41,48228 4,440883
31 24 0,87494204 93,44444 29,72415 17,76353
42 20 Y = a + bx 32,11111 10,13889 78,33717
52 29
0,421468 5,482505 588 137,8721 450,1279
наклон отрезок Общая Диспер-
0,436978 5,593767 дисперсия остатков регрес-
Коэффициент детерминации – доля объясненной
дисперсии 0,765524 (1-$G$11/$F$11)
0,765524 КВПИРСОН
b a
– bx)^2
215,1111 2,563706 170,7075
сия
(a + bx –
)^2
– Y
ср
Диспер-
сия
сии
19
В ячейке F11 просуммируем ячейки F2; F10 (рис. 1.18).
Рис. 1.18. Определение коэффициента детерминации
Вариация Yi представляется так:
Var(Y) = Σ(Y
Обозначим Σ(Y
дисперсия; Σ(Y
ненная дисперсия;
– Y
i
– abxi) 2 – как ESS (error sum of squares) – необъяс-
i
Σ(a + bx
)2 = Σ(Y
ср
– Yср) 2 через TSS (total sum of squares) – вся
i
– Yср) 2 – как RSS (regression sum of
i
– a – bx
i
)2 + Σ(a + bx
i
squares) – объясненная часть всей дисперсии.
Тогда можно записать:
Var(Y) = TSS = ESS + RSS.
Коэффициент детерминации будет равен:
R2 = 1 – ESS/TSS = RSS/TSS
и представляет собой долю объясненной дисперсии.
– Yср)2.
i
Построим графики кумулятивных кривых вариаций (рис. 1.2)
последние значения этих графиков и представляют собой TSS, RSS
и ESS – общую дисперсию, объясненную и необъясненную дисперсию. Отношение величины RSS/TSS есть доля необъясненной дисперсии, т. е. коэффициент
20
детерминации.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]