Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода
.pdf
2.3. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ 61
Следовательно,
m
2
2
2
K =
{˙r
2
+ r
˙
+ r2sin2θ˙ψ2}.
θ
Таким образом, обобщ¨енные импульсы при пространственном рассмотрении эллиптических орбит имеют вид:
pr=
∂K
∂ ˙r
= m˙r,
pθ=
∂K
∂˙θ
= mr
2
˙
θ,
pψ=
∂K
= mr
2
sin2θ˙ψ.
∂˙ψ
Соответственно наличию тр¨ех степеней свободы имеем согласно Зоммерфельду три следующих независимых условия квантования:
T
pψdψ = hnψ,
0
где интеграл
T
символически обозначает соответствующие интегралы, бе-
0
T
pθdθ = h nθ,
0
T
prdr = h nr,
0
рущиеся по всей эллиптической орбите, пробегаемой электроном за период T ,числа
nψ, nθ, nr— независимые квантовые числа квантования про-
странственных эллиптических орбит, h — постоянная Планка.
Для плоских эллиптических орбит
m
2
{˙r
2
+ r2˙ϕ2}
K =
и
∂K
=
p
r
= m˙r, p
∂ ˙r
∂K
=
ϕ
∂ ˙ϕ
= mr
2
˙ϕ.
По Зоммерфельду, соответственно наличию двух степеней свободы r, ϕ
имеем два независимых условия квантования:
T
pϕdϕ = hnϕ,
0
T
prdr = hnr,
0
где интегрирования ведутся по одному периоду движения электрона по эллиптической орбите, n
, nr— независимые квантовые числа, h —постоян-
ϕ
ная Планка.
62 ГЛАВА 2
Покажем, как связаны квантовые числа nψ, nθ, nrквантования пространственных эллиптических орбит с квантовыми числами n
, nrкванто-
ϕ
вания плоских эллиптических орбит.
Интеграл
T
prdr = m
0
T
˙rdr =
0
T
prdr
0
одинаков при пространственном и плоском квантовании, поэтому имеем
совпадение радиальных пространственного и плоского квантовых чисел:
= nr.
n
r
Теперь учт¨ем, что кинетическая энергия электрона при плоском и пространственном движении его по эллиптической орбите одинакова:
K = K,
апотому
следовательно,
m
{˙r
2
2
+ r2˙ϕ2} =
m
2
+ r
{˙r
2
2
˙ϕ
=˙θ2+sin2θ˙ψ2,
2
2
˙
+ r2sin2θ˙ψ2};
θ
имеем соотношение, связывающее углы ψ, θ и ϕ.
Теперь, так как
pθdθ = p
θ
˙
θdt,
pψdψ = p
ψ
˙
ψdt,
то
2
p
θ +
θ
= mr
˙
˙
ψ = mr
p
ψ
2
{˙θ2+sin2θ˙ψ2} = mr2˙ϕ2.
2
˙
θ
+ mr2sin2θ˙ψ2=
Таким образом,
T
pψdψ +
0
T
=
0
{mr
2
2
˙
+ mr2sin2θ˙ψ2}dt =
θ
=
T
0
T
0
pθdθ =
T
0
mr2˙ϕ2dt =
T
p
ψ
˙
ψdt+
T
˙
p
θdt =
θ
0
{mr2{˙θ2+sin2θ˙ψ2}dt =
0
T
pϕdϕ.
0
2.3. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ 63
Следовательно,
nθ+ nψ= nϕ.
Получили соотношение между пространственными квантовыми чис-
nθи nψи плоскостным квантовым числом nϕ.
лами
Выясним физический смысл обобщ¨енного импульса
pψ,длячеговы-
числим проекцию вектора момента импульса электрона L на ось Oz.Так
как
= m(x ˙y −y ˙x),
L
z
то
L
= mrsinθ cos ψ (˙r sin θ sin ψ + r cos θ sin ψ˙θ + r sin θ cos ψ˙ψ)−
z
−mrsin θ sin ψ (˙r sin θ cos ψ + r cos θ cos ψ˙θ − r sin θ sin ψ˙ψ)=
2
= m{˙rr sin
2
+˙θr
(sin θ cos θ cos ψ sin ψ −sin θ cos θ cos ψ sin ψ)+
2
+˙ψr
(sin2θ cos2ψ +sin2θ sin2ψ)} = mr2sin2θ˙ψ = pψ.
θ cos ψ sin ψ − ˙rr sin2θ cos ψ sin ψ)+
Таким образом, обобщ¨енный импульс
pψявляется проекцией момента
импульса электрона L на ось Oz.
При плоскостном рассмотрении эллиптической орбиты мы установили, что физический смысл обобщ¨енного импульса p
состоит в том, что он
ϕ
является модулем L вектора момента импульса электрона L.
Так как
L
= L cosα,
z
то
pψ= pϕcos α;
а следовательно,
T
pψdψ =
0
T
pϕcos αdϕ,
0
то есть
= hnϕcos α.
hn
ψ
Видим, что квантовые числа n
n
и nϕсвязаны соотношением
ψ
= nϕcos α
ψ
64 ГЛАВА 2
и, следовательно,
n
ψ
,
n
ϕ
где n
cos α =
и nϕ— целые числа, прич¨ем |nψ| nϕ,таккакcos α принимает
ψ
только значения, заключ¨енные от −1 до +1.
Таким образом, приходим к выводу, что при фиксированном квантовом
числе n
квантовое число nψпринимает 2 nϕ+1значение:
ϕ
n
= −nϕ, −nϕ+1,..., nϕ− 1,nϕ.
ψ
Положения в пространстве эллиптических орбит не произвольные.
Они квантуются.
На рисунке изображена эллиптическая орбита в тр¨ехмерном пространстве с декартовыми осями Oxyz. В начале координат O, в фокусе эллипса,
находится атомное ядро. Рассматриваемая система координат Oxyz — произвольная, ось Oz направлена произвольно.
Согласно теории Зоммерфельда, квантовая орбита может занимать такие положения в пространстве, для которых проекция L
вектора момента
z
импульса L электрона может принимать только следующие дискретные
значения:
=¯hml,
L
z
где m
екции момента импульса.Приэтом|L
— целое (положительное или отрицательное) квантовое число про-
l
| L.
z
Рис. 2.11
Так как L =¯hnϕ, то отсюда заключаем, что |ml| nϕ,тоесть
= −nϕ, −nϕ+1,...,nϕ− 1,nϕ.
m
l
65
При заданном квантовом числе nϕквантовое число mlпринимает
+1значение.
2 n
ϕ
Рассмотрим важные случаи, отвечающие значениям n
=0, 1, 2.На
ϕ
тр¨ех привед¨енных рисунках показаны пространственные ориентации векторов момента импульса, соответствующие различным значениям орбитального квантового числа n
.
ϕ
Как видим, не все направления этих векторов в пространстве возможны. Имеем так называемое «пространственное квантование».
Дополнение к гл. 2
Классическая атомная задача Кеплера
Это задача классической механики для планетарной модели Резерфорда атома водорода. Задача эта математически эквивалентна известной задаче Кеплера о движении точечной планеты массы m вокруг покоящегося
точечного Солнца массы M m под действием гравитационных сил с потенциалом V (r)=−γm M/r,гдеγ — гравитационная постоянная. Для
планетарной модели атома водорода следует рассмотреть задачу о произвольном движении точечного электрона массы m,заряда−e вполеточеч-
ного покоящегося ядра заряда e под действием кулоновских сил с потенциалом V (r)=−e
Как и в классической задаче Кеплера, произвольное движение связанного электрона в «электронной атомной задаче Кеплера» происходит по
эллиптической орбите.
Атомную задачу Кеплера о движении электрона вокруг ядра нужно решать в предположении, что
электрон и ядро являются материальными точками
с массами m
Рассмотрим инерциальную систему отсч¨ета,
связанную с центром масс ядра и электрона. Пусть
в этой системе положения электрона характеризуются радиус-вектором r
центра масс ц.м.
Уравнения второго закона Ньютона для движений электрона и ядра
имеют вид:
2
/4πε0r.
= m и m2= M соответственно.
1
и ядра — радиус-вектором r2, отсчитанными от
1
d2r
1
m
= F12,m
1
2
dt
2
d2r
dt
2
2
Рис. 2.12
= F21,
66 ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.2
где F12— сила кулоновского притяжения, действующая на электрон со стороны ядра, F
со стороны электрона. Согласно третьему закону Ньютона, F
— сила кулоновского притяжения, действующая на ядро
21
= −F12,
21
а согласно закону Кулона,
2
r
− r
1
F
= −
12
e
4πε0r
·
2
12
2
,
r
12
где r
= |r12| — расстояние от электрона до ядра.
12
Сложим оба привед¨енных уравнения движения, учитывая, что, согласно третьему закону Ньютона, F
+ F12=0. Получим тогда простое урав-
21
нение
2
d
(m1r1+ m2r2)=0,
2
dt
в которое входит радиус-вектор центра масс нашей системы из ядра и электрона:
m
+ m2r
=
1r1
m1+ m
r
C
Как видим, скорость центра масс dr
2
.
2
/dt является некоторым посто-
C
янным вектором, т. е. центр масс нашей системы из ядра и электрона либо
покоится, либо движется прямолинейно и равномерно; будем считать, что
он покоится.
Разделим теперь первое уравнение движения на m
, а второе — на m
1
и вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим уравнение
2
d
(r1− r2)=
2
dt
m
1
1
F12−
m
1
2
F21=
1
m
1
в которое входит только относительный радиус-вектор r
1
+
m
2
1−r2
,
F
12
, характеризующий положение электрона относительно ядра. Таким образом, для этого
относительного радиус-вектора r = r
2
d
r
μ
2
dt
− r2получаем уравнение движения
1
2
= −
e
4πε0r
r
,
·
r
2
2
где μ — «привед¨енная масса электрона», определяемая из соотношения
1
1
=
μ
m
1
+
.
m
1
2
КЛАССИЧЕСКАЯ АТОМНАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА 67
Выведенное уравнение описывает движение материальной точки мас-
сы μ в поле силового центра, действующего на не¨е центральной силой
F = −
e
4πε0r
r
;
·
r
2
2
центр поля вс¨е время находится в фиксированной точке пространства, относительно которой отсчитывается радиус-вектор r.
Масса ядра M много больше массы электрона m,ипоэтомупривед¨енная масса μ незначительно отличается от массы электрона m.Такчто
движением ядра, действительно, можно пpенебpечь и предполагать, что ядро вс¨е время покоится и является просто центpом силового поля.
Уpавнение втоpого закона Ньютона для электрона массы m,движуще-
гося около покоящегося ядра с бесконечной массой, имеет вид:
dv
m
= F,
dt
где m — масса электрона, v — его мгновенная скорость, F — сила кулоновского притяжения электрона к ядру.
Электрон пpитягивается к ядру центpальной силой F r, пpямо пpо-
поpциональной заряду ядра e, заряду электрона −e и обpатно пpопоpцио-
нальной квадpату pасстояния между ядром и электроном:
2
F = −
e
4πε0r
r
,
·
r
2
где r — pадиус-вектоp, провед¨енный от ядра к электрону. Имеем, таким
образом, следующее уравнение движения электрона:
m
dv
dt
= −
2
e
4πε0r
r
.
·
r
2
Докажем для этого уравнения закон сохpанения момента импульса.
Рассмотрим вектоpное пpоизведение пpивед¨енного уpавнения движения
и радиус-вектора r:
r ·m
dv
dt
= −
2
e
4πε0r
[r · r]=0;
3
пpавая часть pавна нулю, так как [r · r]=0. Очевидно далее, что
r ·
=
dv
dt
r ·
2
r
d
2
dt
d
=
dt
r ·
dv
dt
,
68 ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.2
поэтому
dt
d
r ·
dr
dt
=0,
т. е. приходим к следующему закону сохранения момента импульса:
L =[r ·mv]=const,
где L — момент импульса электрона относительно центpа сил, const —неко-
торая векторная константа, не зависящая от t. Во все моменты времени
момент импульса L электрона одинаков.
Рис. 2.13
Вкачествепеpвого следствия закона сохранения момента импульса
получаем, что тpаектоpия электрона является плоской кривой. Действительно, вектоp r пеpпендикуляpен постоянному вектоpу L. Так как вектоp
dr ≡ v dt тоже пеpпендикуляpен вектору L,товектоpr + dr должен ле-
жать в той же плоскости, что и вектоp r, а следовательно, и вся траектория
электрона лежит в этой плоскости.
Вкачествевторого следствия закона сохранения момента импульса
получаем, что величина
r ·
dr
dt
=const,
т. е. не зависит от времени.
Интеpпpетиpуем появившийся вектор [r · dr] геометpически. Он пеpпендикуляpен плоскости тpаектоpии электрона и pавен удвоенной площади
dS сектоpа, «заметаемого» pадиус-вектоpом электрона за интервал вpемени t, t + dt.Обозначивчеpезn единичный вектоp (|n| =1), напpавленный
пеpпендикуляpно к плоскости траектории электрона по правилу буравчика,
ввинчиваемого в траекторию электрона, имеем
1
dS = n dS =
[r · dr];
2
КЛАССИЧЕСКАЯ АТОМНАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА 69
таким обpазом, dS/dt обозначает скоpость изменения площади сектоpа, заметаемого pадиус-вектоpом электрона, т. е. так называемую «сектоpиальную скоpость». Видим, что сектоpиальная скоpость электрона при дви-
жении его по траектории постоянна.
Рассмотрим снова исходное уравнение движения электрона
m
dv
dt
= −
2
e
4πε0r
r
·
r
2
и докажем теперь закон сохранения энергии.Возьм¨ем скалярное произведе-
dr
ние этого уравнения с вектором v =
mv·
dv
dt
= −
:
dt
2
e
4πε0r
3
r ·
dr
dt
.
Очевидно:
dv
dt
2
d
=
(v · v)=2v ·
dt
dv
dt
,
dr
dt
2
d
=
(r · r)=2r ·
dt
dr
dt
.
Следовательно, имеем равенство
d
dt
апотому
mv
2
2
= −
2
e
4πε0r
d
dt
2
1
dr
3
mv
= −
2
dt
2
−
2
4πε0r
4πε0r
2
e
e
2
=0.
dr
2
dt
d
=
dt
2
e
4πε0r
,
Интегрируя по времени, отсюда приходим к закону сохранения полной
энергии электрона:
mv
2
2
−
2
e
4πε0r
=const;
эта величина постоянная во все моменты времени, const — константа, не
2
mv
зависящая от времени t. В полученном соотношении K =
2
венная кинетическая энергия электрона, V = −
e
4πε0r
— его мгновеннная
2
—мгно-
потенциальная энергия.
70 ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ.2
Рис. 2.14
Как и в классической задаче Кеплера, электрон в классической планетарной модели атома водорода движется по эллиптической траектории,
уравнение которой в полярных координатах имеет вид
p
1+ε cos ϕ
,
где p = b
r =
2
/a — «параметр» эллипса, ε = c/a — его «эксцентриситет»
(ε<1). Обратите внимание, что центр полярных координат находится не
в центре, а в фокусе эллипса, в котором расположено ядро, угол ϕ отсчитывается от направления, провед¨енного из этого фокуса в точку перигелия
орбиты.
Рис. 2.15.
Покажем, что кривая, задаваемая привед¨енным уравнением при ε 1,
действительно является эллипсом.Приэтомдокажем,чтоp = b
2
/a и ε =
= c/a,гдеa — большая полуось эллипса, b —егомалаяполуось,2 c —
расстояние между фокусами.
Эллипсом называется плоская кривая, сумма расстояний точек кото-
рой до двух заданных точек на плоскости (фокусов) есть величина постоянная.
На рисунке 2.15 мы изобразили эллипс, его фокусы F
и F2и произ-
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]