Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода
.pdf
4.5. ОПЕРАТОРЫ СПИНОВОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА 111
4.5. Операторы спинового момента импульса электрона
4.5.1. Фундаментальные коммутационные соотношения для
операторов проекций спинового углового момента
Электрон не является бесструктурной точечной частицей, характеризующейся только декартовыми координатами x, y, z. Он обладает также ещ¨е
и «внутренней» степенью свободы — спином, являющимся внутренним мо-
ментом импульса электрона. То есть на самом деле электрон имеет не три,
а четыре координаты: x, y, z, σ
Oz взятой декартовой системы координат; прич¨ем эта проекция принимает
только два значения: σ
= ±¯h/2.
z
Суч¨етом спина состояние электрона следует описывать не волновой
функцией ψ(x, y, z), а волновой функцией ψ(x, y, z, σ
и от спиновой переменной σ
чин теперь действуют в пространстве функций ψ(x, y, z, σ
новая переменная принимает два значения, то рассматриваемые новые волновые функции можно представить (что обычно и делают) в виде функцийстолбцов 1×2:
Физический смысл функций ψ
ющем. Величина
да¨ет вероятность найти электрон в объ¨еме dx dy dz около точки x, y, z,
имеющий проекцию спина на ось Oz,равнуюσ
,гдеσz— проекция спина электрона на ось
z
), зависящей также
. Соответственно операторы физических вели-
z
(x, y, z)
ψ
1
(x, y, z)
ψ
2
(x, y, z) и ψ2(x, y, z) состоит в следу-
1
|ψ
(x, y, z)|2dx dy dz
1
.
z
). Так как спи-
z
=¯h/2, а величина
z
|ψ
(x, y, z)|2dx dy dz
2
является вероятностью найти электрон в объ¨еме dx dy dz около точки
x, y, z, имеющий проекцию спина на ось Oz,равнуюσ
= −¯h/2.
z
Операторы декартовых проекций спинового момента импульса электрона действуют только на спиновую переменную и являются следующими
матрицами 2×2:
01
¯h
=
S
x
2
10
,S
¯h
=
y
2
0 −i
i 0
,S
¯h
=
z
2
10
0 −1
,
которые вв¨ел в квантовую механику Паули в 1927 г.
Основанием, что эти операторы являются квантово-механическими
операторами декартовых проекций спинового момента импульса, служит
112 ГЛАВА 4
то, что они удовлетворяют вточноститаким же фундаментальным ком-
мутационным соотношениям, каким удовлетворяют операторы декартовых
проекций орбитального момента импульса:
,Sy]=i¯hSz, [Sy,Sz]=i¯hSx, [Sz,Sx]=i¯hSy.
[S
x
У
ПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать, что операторы
Sx,Sy,Szявляются эрми-
товыми операторами.
Матрица 2 × 2
a
a21a
произвольного эрмитова оператора — эрмитова, т. е. соответствует эрмитовому опрератору,
если a
∗
= a
11
, a22= a
11
S
∗
, a12= a
22
01
¯h
=
x
2
10
∗
. Легко видеть, что матрицы
21
,S
=
y
обладают указанным свойством.
11a12
0 −i
¯h
i 0
2
22
,S
¯h
=
z
2
10
0 −1
УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать, что операторыSx,Sy,Szудовлетворяют
привед¨енным коммутационным соотношениям.
Действительно,
следовательно,
Далее,
следовательно,
Далее,
S
S
x
S
S
y
x
S
S
y
S
=
S
z
y
S
S
z
x
=
S
S
x
z
2
01
¯h
=
y
=
z
=
¯h
=
¯h
2
4
2
¯h
4
4
2
4
2
¯h
4
10
0 −1
2
¯h
4
−10
10
0 −i
i 0
,Sy−Sy,Sx= i¯hSz.
S
x
0 −i
i 0
,Sz−Sz,Sy= i¯hSx.
S
y
10
0 −1
01
0 −i
i 0
01
10
10
0 −1
0 −i
i 0
01
10
10
0 −1
i 0
0 −i
−i 0
0 i
2
0 i
i 0
0 −i
−i 0
01
−10
0 −1
10
i¯h
= −
=
= −
,
S
z
2
i¯h
,
S
z
2
i¯h
,
S
x
2
i¯h
,
S
x
2
i¯h
,
S
y
2
i¯h
,
S
y
2
=
= −
=
2
¯h
=
4
2
¯h
=
4
¯h
=
4
2
¯h
=
4
2
¯h
=
4
2
¯h
=
4
4.5. ОПЕРАТОРЫ СПИНОВОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА 113
следовательно,
,Sx−Sx,Sz= i¯hSy.
S
z
Как и для операторов орбитального момента импульса, полезно рас-
смотреть оператор квадрата спинового момента импульса
2
2
S
2
=S
+S
x
y
+S
2
,
z
который на самом деле является единичным оператором,таккак
10
3
2
S
ПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что оператор
У
2
¯h
=
4
.
01
S2да¨ется единичной матри-
цей.
Действительно,
2
2
y
+
+S
0 −i
i 0
2
¯h
4
2
=
z
10
01
2
10
¯h
+
0 −1
4
2
3¯h
=
4
10
01
10
0 −1
.
+S
S
x
2
0 −i
¯h
+
i 0
4
2
10
¯h
+
01
4
2
01
10
10
01
2
01
¯h
=
10
4
¯h
=
4
Из привед¨енного вида оператораS2непосредственно следует, что спин
электрона s равен
1
,таккак
2
3
= s(s +1)при s =
4
1
.
2
Очень легко убедиться в справедливости следующих коммутационных
соотношений:
2
[S
,Sx]=0, [S2,Sy]=0, [S2,Sz]=0,
=
т. е. операторы проекций спинового момента импульса коммутируют с оператором квадрата спинового момента импульса аналогично тому, как операторы орбитального момента импульса коммутируют с оператором квадрата
орбитального момента импульса.
Уравнение Шредингера с уч¨етом спина теперь следует записывать в
виде
ψ
ψ
(x, y, z)
1
(x, y, z)
2
(x, y, z)
ψ
1
ψ
(x, y, z)
2
2
¯h
Δψ + V (r)
−
2m
= E
=
.
114 ГЛАВА 4
Полным набором физических величин с уч¨етом спина теперь будут
величины
2
H,L
,Lz,S2,Sz,
а квантовыми числами, однозначно характеризующими стационарные состояния атома водорода с уч¨етом спина, будет четв¨ерка чисел
,
s
где m
n, l, m, m
= ±1/2;квантовоечислоs спинового углового момента указывать
s
не надо, так как всегда s =1/2.
4.6. Нахождение одновременных собственных состояний
2
системы операторовH,L
4.6.1. Сферические координаты
Воспользуемся сферическими координатами, которые более удобны
при рассмотрении решений уравнения Шредингера для атома водорода, чем
декартовы координаты x, y, z. Сферические и декартовы координаты связаны соотношениями:
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ.
,L
z
Рис. 4.4.
УПРАЖНЕНИЕ 6. Строго вывести привед¨енные формулы преобразований сферических и декартовых координат.
4.6. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ
Возьм¨ем привед¨енный черт¨еж и спроектируем точку M на ось Oz инаплоскостьOxy,
как это показано на приводимом рисунке. Тогда
≡ z = r cos θ, OM2= r sin θ.
OM
1
Спроектируем далее точку M
на оси Ox и Oy и построим точки N1и N2.Тогда
2
ON
≡ x = OM2cos ϕ = r sin θ cos ϕ,
1
≡ y = OM2sin ϕ = r sin θ sin ϕ.
ON
2
H ,L
Рис. 4.5.
Получили привед¨енные выше формулы, выражающие x, y, z через r, θ, ϕ.
Уравнение Шредингера в сферических координатах примет следующий вид:
2
1
¯h
−
2m
∂
2
∂r
r
∂ψ
2
r
+
∂r
r2sin θ
−
4πε0r
1
2
e
∂
sin θ
∂θ
ψ = Eψ.
∂ψ
∂θ
+
r2sin2θ
1
∂ϕ
2
2
ψ
∂
2
,Lz115
−
∂
1
Δ=
2
∂r
r
Возьм¨ем формулы преобразования
x = r sinθ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ;
с их помощью произвольную функцию ψ(x, y, z) можно превратить в функцию ψ(r, θ, ϕ).
Теперь
∂ψ
∂ψ
∂ψ
∂θ
∂r
=
=
∂ψ
∂x∂x∂θ
∂x∂x∂r
+
+
∂ψ∂y∂y
2
r
∂ψ∂y∂y
∂r
+
∂θ
∂
∂r
+
∂ψ
∂z∂z∂θ
+
r2sin θ
∂ψ
=sinθ cosϕ
∂z∂z∂r
= r cos θ cos ϕ
1
∂
∂θ
sin θ
∂ψ
∂x
∂ψ
∂x
∂
+
∂θ
+sinθ sin ϕ
+ r cos θ sinϕ
r2sin2θ
1
∂ψ
∂y
+cosθ
∂ψ
∂y
2
∂
2
∂ϕ
∂ψ
∂z
− r sin θ
.
,
∂ψ
,
∂z
116 ГЛАВА 4
∂ψ
∂ϕ
=
∂ψ
∂x∂x∂ϕ
+
∂ψ∂y∂y
∂ϕ
+
∂ψ
∂z∂z∂ϕ
= −r sin θ sin ϕ
∂ψ
+ r sin θ cos ϕ
∂x
∂ψ
∂y
.
Таким образом,
∂
=sinθ cos ϕ
∂r
∂
= r cos θ cos ϕ
∂θ
∂
∂ϕ
= −r sin θ sin ϕ
∂
+sinθ sin ϕ
∂x
∂
+ r cos θ sin ϕ
∂x
∂
∂x
∂
+cosθ
∂y
∂
− r sin θ
∂y
+ r sin θ cos ϕ
∂y
∂
,
∂z
∂
,
∂z
∂
.
Умножим первую формулу на r sin θ, а вторую на cos θ и сложим их, получим
2
r sin
θ cos ϕ + r cos2θ cos ϕ
= r cos ϕ
∂
+ r sin ϕ
∂x
∂
∂x
+r sin
∂
= r sin θ
∂y
2
θ sin ϕ + r cos2θ sin ϕ
∂
∂r
+cosθ
∂θ
∂
,
∂
=
∂y
члены с производной ∂/∂z взаимно уничтожаются.
Рассмотрим это равенство и равенство, получаемое из формулы для производной ∂/∂ϕ,
и составим из них систему двух линейных алгебраических уравнений для двух производных
∂/∂x, ∂/∂y:
⎧
⎪
r cos ϕ
⎨
⎪
⎩
−r sin θ sin ϕ
∂
∂x
+ r sin ϕ
∂
+ r sin θ cos ϕ
∂x
∂
∂y
= r sin θ
∂
∂y
∂
∂r
+cosθ
∂
=
∂ϕ
∂
,
∂θ
.
Умножим первое уравнение на sin θ sin ϕ, а второе на cos ϕ иисключим∂/∂x,получим
r sin θ sin
2
= r sin
2
ϕ
θ sin ϕ
∂
+ r sin θ cos
∂y
∂
+sinθ cos θ sin ϕ
∂r
∂
2
ϕ
= r sin θ
∂y
∂
∂θ
+cosϕ
∂y
∂
=
∂
.
∂ϕ
Следовательно,
∂
=sinθ sin ϕ
∂y
∂r
∂
1
+
r
cos θ sin ϕ
∂
∂θ
cos ϕ
+
r sin θ∂∂ϕ
.
Умножим теперь первое уравнение на sin θ cos ϕ, а второе на − sin ϕ иисключим∂/∂y,
получим
− sin ϕ
∂x
∂
=
∂
.
∂ϕ
r sin θ cos
2
= r sin
2
ϕ
θ cos ϕ
∂
+ r sin θ sin
∂x
∂
+sinθ cos θ cos ϕ
∂r
∂
2
= r sin θ
ϕ
∂x
∂
∂θ
Следовательно,
∂
=sinθ cos ϕ
∂x
∂r
∂
1
+
r
cos θ cos ϕ
∂
∂θ
sin ϕ
−
r sin θ∂∂ϕ
.
4.6. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ
Из исходной формулы для производной ∂/∂r получим также, что
∂
∂
=
∂r
∂
∂r
− sin
− sin θ cos ϕ
∂
∂r
∂
∂r
2
θ
cos θ
∂
=
− sin θ cos ϕsin θ cos ϕ
∂r
− sin θ sin ϕsin θ sin ϕ
∂z
=
Следовательно,
∂
=cosθ
∂z
Таким образом, окончательно приходим к следующим формулам:
∂
=sinθ cos ϕ
∂x
∂
=sinθ sin ϕ
∂y
∂
∂z
∂
+
∂r
∂
+
∂r
=cosθ
Вычислим теперь лапласиан. Имеем
2
∂
Δ=
2
∂x
1
∂
=sin θ cos ϕ
+sin θ sin ϕ
+cos θ
+
cos θ cos ϕ
r
∂r
×sin θ cos ϕ
1
∂
+
cos θ sin ϕ
r
∂r
×sin θ sin ϕ
1
∂
sin θ
−
r
∂r
∂r
∂r
∂θ
1
+
r
1
+
r
∂
−
∂r
∂
∂r
1
cos θ cos ϕ
r
1
cos θ sin ϕ
r
∂
∂r
∂
+
∂y
∂
∂θ
∂
+
∂
∂θ
∂
+
∂
∂
− sin θ sin ϕ
∂x
cos θ cos ϕ
cos θ sin ϕ
1
sin θ cos θ
r
1
sin θ
−
r
1
sin θ
−
r
2
2
∂
+
2
∂z
sin ϕ
−
r sin θ∂∂ϕ
1
cos θ cos ϕ
r
cos ϕ
+
r sin θ∂∂ϕ
1
cos θ sin ϕ
r
∂
cos θ
∂r
∂θ
∂θ
2
∂
∂θ
∂
∂θ
∂
.
∂θ
∂
−
∂
+
∂
.
∂θ
=
∂θ
∂θ
1
−
r
∂
∂y
sin ϕ
−
r sin θ∂∂ϕ
cos ϕ
+
r sin θ∂∂ϕ
∂
.
∂θ
sin ϕ
r sin θ∂∂ϕ
cos ϕ
r sin θ∂∂ϕ
×
sin ϕ
∂
−
r sin θ∂∂ϕ
×
cos ϕ
∂
+
r sin θ∂∂ϕ
∂
sin θ
∂θ
2
,Lz117
H ,L
=
−
=
,
,
+
+
=
2
r
:=
:+
1
cos θ cos2ϕ
2
r
2
θ
sin2θ cos2ϕ +sin2θ sin2ϕ +cos2θ
∂
∂θ
+
cos θ
1
2
r
∂
∂θ
sin θ
2
∂
+
2
1
+
cos θ sin2ϕ
2
r
sin θ
∂
∂θ
∂
∂θ
∂r
∂θ
∂
cos θ
∂θ
∂
+
+
118 ГЛАВА 4
ϕ2:+
rθ :+
+
sin ϕ
r2sin2θ
∂ϕ
sin θ cos θ cos2ϕ
sin θ cos θ sin2ϕ
− cos θ sin θ
rϕ: − sin ϕ cos ϕ
+sinϕ cos ϕ
θϕ: −
1
cos θ cos ϕ sin ϕ
2
r
1
cos θ sin ϕ cos ϕ
+
2
r
∂
sin ϕ
∂
∂r
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂r
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂θ
1
r
1
r
1
r
1
r
sin θ∂∂ϕ
sin θ∂∂ϕ
1
r
1
1
∂
∂ϕ
∂θ
∂θ
∂ϕ
∂ϕ
∂
∂
∂
∂
∂θ
∂
+
+
+
−
+
cos ϕ
r2sin2θ
1
cos θ cos
r
1
cos θ sin
r
1
sin θ
−
r
1
sin ϕ
r
1
cos ϕ
r
1
−
2
r
+
r
1
2
∂ϕ
∂ϕ
sin ϕ
cos ϕ
∂
∂ϕ
2
2
∂
∂θ
∂
∂
cos θ
sin θ∂∂ϕ
cos ϕ
∂
ϕ
∂θ
∂
ϕ
∂θ
cos θ
∂r
cos ϕ
∂r
sin ϕ
∂r
cos θ
sin θ∂∂ϕ
sin θ
sin θ
∂
∂
∂
∂
∂ϕ
cos ϕ
sin ϕ
+
∂
∂r
∂
∂r
−
+
−
∂θ
Преобразуя входящие сюда отдельные операторные слагаемые, получаем равенства:
2
θ
2
ϕ
rθ:
:
:
sin θ cos θ
− cos θ sin θ
1
cos θ
2
r
1
sin θ
2
r
sin ϕ
r2sin2θ
cos ϕ
r2sin2θ
1
cos θ
r
∂θ
∂r
∂
∂
∂θ
∂
∂θ
∂ϕ
∂ϕ
∂
∂r
cos θ
∂
∂
1
∂
sin θ
sin ϕ
cos ϕ
r
sin θ
∂θ
1
r
∂
∂
= −
= −
=
=
=
1
2
r
1
2
r
=
r2sin2θ
=
r2sin2θ
1
sin θ cos θ
2
r
1
cos
r
1
cos θ sin θ
2
r
cos θ sin θ
sin θ cos θ
2
sin
2
cos
2
θ
∂
∂θ
∂
∂θ
∂ϕ
∂ϕ
∂
∂
∂r
∂
∂θ
∂
1
cos2θ
+
2
∂θ
r
1
∂
+
sin2θ
2
∂θ
r
2
ϕ
ϕ
∂
∂r
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂θ
+
2
∂
∂
∂θ
sin ϕ cos ϕ
+
2
−
2
1
+
r
1
sin θ cos θ
r
1
−
r
r2sin2θ
cos ϕ sin ϕ
r2sin2θ
sin θ cos θ
cos θ sin θ
∂
∂θ
2
∂
∂θ ∂r
2
∂
∂θ
2
2
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂r ∂θ
,
∂
∂r ∂θ
∂
2
∂θ
,
2
+
−
+
∂
.
,
,
,
,
2
,
4.6. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ
H ,L
2
,Lz119
rϕ:
θϕ:
∂
sin θ
−
r
1
sin ϕ
−
r
1
cos ϕ
r
∂ϕ
∂θ
∂
∂ϕ
∂
cos θ
sin ϕ
−
1
sin2ϕ
=
2
r
1
=
cos2ϕ
2
r
cos ϕ
1
2
r
1
2
r
∂
∂r
∂
∂r
∂
∂r
sin ϕ
cos θ
sin θ∂∂θ
cos ϕ
cos θ
sin θ∂∂θ
1
=
r
1
=
r
1
cos
=
r
cos θ
sin θ∂∂ϕ
−
r
cos θ
sin θ∂∂ϕ
+
r
2
sin
θ
2
sin
ϕ
2
ϕ
cos ϕ
1
sin ϕ cos ϕ
2
sin ϕ
1
cos ϕ sin ϕ
2
∂r
∂r
∂
∂r
∂
∂
1
−
r
−
1
+
r
∂
∂θ
∂
∂θ
sin θ cos θ
1
sin ϕ cos ϕ
r
cos ϕ sin ϕ
=
cos θ
sin θ
=
cos θ
sin θ
2
∂
∂ϕ∂θ
2
∂
∂ϕ∂θ
2
∂
∂r ∂θ
∂ϕ∂r
∂
∂ϕ∂r
,
.
2
∂
2
Используя эти равенства и отбрасывая взаимно сокращающиеся члены, полученное выше выражение для лапласиана представляем теперь в следующем виде:
2
∂
∂r
2
+
2
+
r2sin2θ
2
ϕ
cos
∂
∂r
1
2
r
2
ϕ
+
Δ=
2
sin
+
r2sin2θ
1
2
+
ϕ
sin
r
∂r
2
ϕ
∂
∂ϕ
1
∂
+
cos
r
cos2θ
∂ϕ
1
2
r
∂θ
2
∂
2
sin2ϕ
2
∂
2
+
1
+
2
r
1
2
cos
r
cos θ
sin θ∂∂θ
sin2θ
∂
θ
∂r
+
∂
∂θ
+
1
r
2
2
1
r
2
+
sin
cos2ϕ
2
θ
cos θ
sin θ∂∂θ
∂r
∂
+
,
,
,
=
2
∂
=
∂r
1
=
2
r
2
∂r
∂
2
+
r
∂r
∂
∂
2
r
∂r
+
1
2
r
+
2
∂
+
2
θ
1
r2sin θ
cos θ
r2sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
r2sin2θ
∂
∂θ
1
+
r2sin2θ
2
∂
=
2
∂ϕ
2
∂
1
∂ϕ
.
Получили очень простое выражение для лапласиана в сферических координатах.
4.6.2. Сферические функции
Существует полная система ортонормированных функций (т.е. взаимно ортогональных и нормированных функций), называемых сферическими
функциями, по которой можно разложить (т. е. однозначно представить в виде суммы, может быть, бесконечного числа сферических функций) любую
функцию f(θ, ϕ).
120 ГЛАВА 4
Эти функции принято обозначать Ylm(θ, ϕ),прич¨ем индекс l принимает неотрицательные целочисленные значения: l =0, 1,... , а при фиксиро-
ванном индексе l индекс m пробегает 2l+1 значений: m = −l, −l +1,...,l.
Функции Y
(θ, ϕ) удовлетворяют условиям ортонормировки:
lm
2π
0
прич¨ем δ
при m
=1при l= l и =0при l= l, δ
l,l
= m,зв¨ездочка ∗ означает комплексное сопряжение.
Сферические функции Y
dϕ
π
sin θdθ Y
0
∗
(θ, ϕ)Ylm(θ, ϕ)=δ
m
l
(θ, ϕ) являются одновременными решения-
lm
l,lδm,m
=1при m= m и =0
m,m
,
ми системы двух следующих дифференциальных уравнений:
где i =
1
sin θ∂∂θ
√
−1 — мнимая единица.
sin θ
∂Y
∂θ
lm
∂Y
+
∂ϕ
lm
1
sin2θ
= imY
∂
2
Y
lm
+ l(l +1)Ylm=0,
2
∂ϕ
,
lm
Произвольную функцию ψ(r, θ, ϕ) при фиксированном r можно разло-
жить по сферическим функциям Y
(θ, ϕ). Имеем тогда следующую фор-
lm
мулу разложения:
l
∞
Rlm(r) Ylm(θ, ϕ),
m=−l
где R
ψ(r, θ, ϕ)=
l=0
(r) — коэффициенты разложения, которые являются функциями,
lm
зависящими от r.
При l =0,m=0имеем простейшую сферическую функцию:
(θ, ϕ)=
Y
00
√
1
4π
;
при l =1,m= ±1, 0 имеем три следующие сферические функции:
Y
1,±1
(θ, ϕ)=∓
8π
3
±iϕ
e
sin θ, Y
(θ, ϕ)=
1,0
3
4π
cos θ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]