Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода
.pdf
4.2. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 101
подстановка при x = ±∞ обращается в нуль. Так что действительно
оператор ¯h/i ∂/∂x —эрмитов.
∂
¯h
ϕ,
i
∂x
ψ=
∂
¯h
ϕ, ψ;
i
∂x
4.2.3. Проблема на собственные значения и собственные функции
эрмитового оператора
Собственной функцией произвольного оператораA называется волно-
вая функция ψ, не равная тождественно нулю, при действии на которую
операторомA получается эта волновая функция, умноженная на некоторое число α:
Aψ = αψ (ψ =0).
Число α называется «собственным значением оператораA,соответствующим данной собственной функции ψ». Функция ψ называется «соб-
ственной функцией оператораA, соответствующей собственному значению α».
Математическая проблема на собственные значения и собственные
функции данного эрмитового оператора заключается в отыскании всех
его собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Может случиться, что одному собственному значению α эрмитова опе-
ратора соответствует не одна, а несколько линейно независимых собственных функций, например, две функции ψ
и ψ2. Тогда говорят, что имеем
1
«случай вырождения» собственного значения α. В этом «вырожденном»
случае произвольная линейная комбинация собственных функций, соответствующих вырожденному собственному значению, будет тоже собственной
функцией, отвечающей этому значению.
Действительно, если у нас имеются две линейно независимые собственные функции ψ
и ψ2, т. е. такие функции, для которых
1
Aψ
= αψ1(ψ1=0),Aψ2= αψ2(ψ2=0),
1
то в силу линейности оператораA:
где C
+C
2ψ2
A (C
и C2— произвольные комплексные числа. Так что функция C1ψ1+
1
действительно является собственной функцией оператораA,соот-
+ C2ψ2)=α (C1ψ1+ C2ψ2),
1ψ1
ветствующей собственному значению α.
102 ГЛАВА 4
Собственные функции, соответствующие вырожденному собственному значению α, образуют конечномерное (в случае вырождения конеч-
ной кратности) или бесконечномерное (в случае вырождения бесконечной
кратности) функциональное векторное пространство.
Число линейно независимых собственных функций, соответствующих
вырожденному собственному значению, называется его кратностью,точнее «кратностью вырождения». Если кратность вырождения равна единице,
то говорят, что собственное значение «не вырождено».
Кратность вырождения — это размерность функционального пространства собственных функций, соответствующих данному вырожденному собственному значению.
Привед¨ем без доказательства четыре теоремы, которые следует иметь
в виду при решении проблемы на отыскание собственных значений и собственных функций эрмитового оператора.
Теорема 1. Собственные значения α эрмитового оператораA действительные:
Aψ = αψ (ψ =0)
=⇒ α − действительное.
Теорема 2. Собственные функции ψ и ϕ эрмитового оператораA,
соответствующие различным собственным значениям α и β (α = β), ортогональны друг другу:
Aψ = αψ (ψ =0),
Aϕ= βϕ (ϕ =0),α= β
=⇒ (ψ, ϕ)=0.
Теорема 3. Для любого вырожденного собственного значения α эр-
митового оператораA кратности n можно указать n взаимно орто-
гональных его собственных функций ψ1,..., ψn, соответствующих этому собственному значению α, таких, что любую собственную функцию ψ
этого оператора, соответствующую собственному числу α, можно представить в виде линейной комбинации:
1ψ1
+ ... Cnψ
n
ψ = C
взаимно ортогональных собственных функций, здесь C1,..., Cn—комплексные числа.
Функции ψ
,...,ψnназывают базисными собственными функция-
1
ми функционального пространства рассматриваемого вырожденного собственного значения α.
4.2. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 103
Теорема 4. Для любого эрмитового оператора собственные функции,
соответствующие всем его невырожденным собственным числам, и базисные собственные функции, соответствующие всем его вырожденным
собственным числам, в совокупности образуют базисную ортогональную
систему функций полного функционального пространства, в котором действует эрмитов оператор.
4.2.4. Физический смысл собственных значений и собственных
функций оператора физической величины
Пусть оператором физической величины A является эрмитов опера-
торA,ипустьα
— собственные значения и ψn— собственные функции
n
этого оператораA:
Aψ
= αnψn;
n
предположим, что функции ψ
(ψ
n.ψn
нормированы на единицу, т. е.
n
)=1 при всех n.
Расссмотрим физический прибор для измерения значений величины A
и произвед¨ем с его помощью измерение значения этой физической величины у системы, находящейся в состоянии ψ.
Рис. 4.3.
Считаем, что волновая функция ψ этого состояния тоже нормирована
на единицу, т. е. (ψ, ψ)=1.
104 ГЛАВА 4
Физический смысл собственных значений αnсостоит в том, что это
набор значений, одно из которых показывает прибор при измерении значения величины A. Прич¨ем при измерении прибор покажет значение α
с вероятностью
= |(ψn,ψ)|2.
P
n
n
Каждая вероятность заключена в пределах 0 P
вероятностей равна единице, т. е.
Pn=1.
n
1,исуммавсех
n
4.3. Интегралы движения и квантовые числа
стационарных состояний квантовой системы
4.3.1. Коммутируемость оператора интеграла движения
с гамильтонианом
Физическая величина A, явным образом не зависящая от времени, на-
зывается интегралом движения, если е ¨е среднее значение A для любой
зависящей от времени волновой функции Ψ=Ψ(t) квантовой системы не
зависитотвремени.
Средним значением A физической величины A в состоянии, описываемом волновой функцией ψ, называется величина
A =(ψ,Aψ), ∀ψ (ψ, ψ),
в правую часть которой входит скалярное произведение функций ψ иAψ.
ЗдесьA — оператор физической величины, ψ — нормированная волновая функция рассматриваемого состояния системы, для которой (ψ, ψ)=1.
Полная, или временн´ая, волновая функция Ψ удовлетворяет вре-
менн´ому уравнению Шредингера:
¯h
∂Ψ
−
=H Ψ,
i
∂t
прич¨ем рассмотрим любое решение указанного уравнения, т. е. решение,
удовлетворяющее произвольному начальному условию:
Ψ
= ψ,
t=0
где ψ — произвольная волновая функция.
4.3. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА 105
Вычислим производную по времени от среднего значения произвольной физической величины A для произвольного состояния Ψ и приравняем
е¨енулю.Получимтогда,что
0=
d
dt
=−
A =
d
(Ψ,A Ψ) =
dt
i
H Ψ,A, Ψ+Ψ,A−
¯h
∂Ψ
,A Ψ+Ψ,A
∂t
i
¯h
H Ψ
∂Ψ
∂t
;
=
здесь скобки (,) означают скалярное произведение волновых функций; мы
учли, что операторA не зависит явно от времени.
Воспользуемся теперь правилом, что произвольное число λ,стоящее
множителем перед первым компонентом скалярного произведения, можно
вынести из-под знака скалярного произведения:
(λψ, ϕ)=λ
∗
(ψ, ϕ),
где * означает комплексное сопряжение, а число λ, стоящее множителем
перед вторым компонентом скалярного произведения, можно просто вынести из-под знака скалярного произведения:
(ψ, λ ϕ)=λ(ψ, ϕ).
Таким образом, из полученного соотношения непосредственно следует, что
0=
i
H Ψ,A Ψ−
¯h
i
Ψ,AH Ψ.
¯h
Воспользуемся теперь тем, что операторH эрмитов. Поэтому в первом слагаемом в скалярном произведении его действие можно перенести
с первого компонента на второй. Таким образом, приходим к равенству:
i
Ψ, {HA −AH}Ψ.
¯h
0=
i
¯h
(Ψ,HA Ψ) −
i
(Ψ,AH Ψ) =
¯h
Полагая в этом соотношении t =0, заключаем, что
ψ, {HA −AH}ψ=0,
итаккакψ — произвольная функция, то отсюда непосредственно следует,
что
H
A −AH =0.
Приходим к следующей теореме.
106 ГЛАВА 4
Теорема. ОператорA любого интеграла движения квантовой системы, явно не зависящий от времени, коммутирует с гамильтонианомH
этой квантовой системы.
Если операторA физической величины A коммутирует с гамильтонианом системыH, то эта физическая величина является интегралом дви-
жения.
Покажем теперь, что собственная функция ψ
гамильтонианаH явля-
n
ется также собственной функцией оператораA любого интеграла движения.
Рассмотрим, однако, только простой случай невырожденного собственного значения энергии E
.Таккак
n
H
A −AH =0,
то очевидно
H (Aψ
) −A (Hψn)=0.
n
Следовательно,
H (Aψ
Так как собственное значение энергии E
не вырождено, то отсюда заключаем, что функцияAψ
) − En(Aψn)=0,H (Aψn)=En(Aψn).
n
, по нашему предположению,
n
n
с точностью до
умножения на произвольную константу, должна совпадать с функцией ψ
(так что функцияAψnявляется собственной функцией гамильтонианаH
с той же самой энергией E
где α
—число.
n
, что и функция ψn). Следовательно,
n
Aψ
= αnψn,
n
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Собственная функция ψ
гамильтониана квантовой систе-
n
мы является собственной функцией любого интеграла движения этой системы.
Мы доказали эту теорему для невырожденного значения энергии E
гамильтониана, но она справедлива и в случае произвольного вырожденного значения энергии E
.
n
Вычислим среднее значение A интеграла движения A в стационарном состоянии ψ
A =(ψ
так как, по предположению, (ψ
.Очевидно:
n
,Aψn)=(ψn,αnψn)=αn(ψn,ψn)=αn,
n
)=1.
n,ψn
n
n
4.3. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА 107
Среднее значение интеграла движения A совпадает с собственным
значением α
его оператораA.
n
Вычислим неопредел¨енность Δ A интеграла движения A в стационар-
ном состоянии ψ
. Имеем следующий результат:
n
2
(Δ A)
=ψ
=(ψn,A2ψn) −(ψn,Aψn)2=
,A (αnψn)− α
n
2
n
= α
2
n
− α
2
n
=0.
В стационарном состоянии ψ
квантовой системы не только неопре-
n
дел¨енность энергии Δ E равна нулю, но также равна нулю и неопредел¨енность Δ A любого интеграла движения.
То есть как энергия, так и все интегралы движения имеют точные значения в стационарных состояниях.
4.3.2. Квантовые числа
Остановимся на принятом в современной квантовой механике удобном
способе нумерации так называемыми «квантовыми числами» стационарных состояний квантовых систем, в частности, стационарных состояний
атома водорода.
Нумерация эта основана на теореме, которую мы приводим здесь без
доказательства, а также на определении понятия «полной системы физических величин», которое основано на этой теореме.
Теорема. Для системы попарно коммутирующих друг с другом эрмитовых операторовA,B,...,C можно построить полную систему одно-
временных собственных функций
Aψ
= αnψn,
n
Bψn= βnψn, ...
Cψn= γnψn.
Определение. Система попарно коммутирующих эрмитовых операторовA,B,...,C называется полной, если у одновременной системы соб-
ственных функций ψ
ций ψ
и ψn2, у которых наборы собственных чисел αn1,βn1,..., γ
n1
этих операторов не существует таких двух функ-
n
n1
и αn2,βn2,...,γn2одинаковы.
Собственные числа α, β,..., γ полной системы попарно коммутирую-
щих эрмитовых операторов дают математически очень естественный способ нумерации одновременных собственных функций указанной полной
системы операторов. Этот способ используется в современной квантовой
механике.
108 ГЛАВА 4
4.3.3. Полные наборы коммутирующих друг с другом
и с гамильтонианом физических величин квантовой системы
Вследствие наличия у квантовой системы физических симметрий,
энергии стационарных состояний системы, т. е. собственные значения е¨е
гамильтонианаH, как правило, вырождены (как в случае атома водорода,
для которого вырождение уровней связано с пространственной сферической симметрией). Таким образом, стационарные состояния нельзя однозначно характеризовать только значениями их энергий.
Для однозначного обозначения стационарных состояний квантовой системы приходится поэтому рассматривать не только е¨е гамильтонианH
и его собственные значения, а целый набор (из конечного числа) попарно
коммутирующих между собой и коммутирующих с гамильтонианом операторов физических величин
H,A,B,
C,
являющихся интегралами движения рассматриваемой квантовой системы, и
их одновременные собственные функции и значения. Число дополнитель-
ных операторовA,B,C и т. д. интегралов движения, которые надо добавить к гамильтониану, чтобы получить из него полную систему операторов,
конечно.
Указанная система величин полна в том смысле, что одновременные
собственные функции е¨е операторов не вырождены. Физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, является интегралом
движения.
В случае атома водорода, без уч¨ета спина электрона, полным является
набор коммутирующих друг с другом величинH,L
ратор квадрата орбитального момента импульса электрона,L
2
,Lz,гдеL2—опе-
—оператор
z
проекции орбитального момента импульса электрона на ось Oz.
Если две физические величины A и B характеризуются коммутирующими друг с другом операторамиA иB ([A,B]=0), то в качестве их
одновременных собственных функций (Aψ
взять одну и ту же систему волновых функций ψ
Действительно, возьм¨ем какую-нибудь собственную функцию ψ
= αnψn,Bψn= βnψn)можно
n
.
n
n
оператораA и докажем, что она является собственной функцией оператораB. Рассмотрим функциюBψ
A(
Bψ
)=ABψn=BAψn=Bαnψn= αn(Bψn) (при написании третье-
n
. Действуя на не¨е операторомA,получим
n
го равенства мы воспользовались тем, чтоAB =BA). Если значение α
n
4.4. ОПЕРАТОРЫ ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНА 109
не вырождено, то отсюда заключаем, чтоBψn= Cψn,гдеC —некоторая постоянная, т. е. что ψ
Если значение α
вырождено, то можно доказать (с помощью довольно
n
является собственной функцией оператораB.
n
длинных рассуждений), что всегда можно выбрать такие линейные комбинации собственных функций для собственного значения α
, что они будут
n
собственными функциями и оператораB.
4.4. Операторы орбитального момента импульса
электрона
4.4.1. Фундаментальные коммутационные соотношения для
операторов проекций орбитального углового момента
В классической механике момент импульса электрона определяется
векторной формулой
L =[r.mv],
в которой r — радиус-вектор электрона, v — мгновенная скорость электрона.
В квантовой механике моменту импульса соответствует векторный эр-
митов оператор
L =[r.p].
Здесь
x = x., y = y., z = z.
— операторы декартовых координат электрона, точка означает, что это оператор умножения функции соответственно на x, y, z.Далее
¯h
p
x
∂
=
, p
i
∂x
¯h
∂
=
y
, p
i
∂y
¯h
∂
=
z
i
∂z
— операторы проекций импульса электрона.
Таким образом, операторы компонент момента импульса имеют следу-
ющий вид:
¯h
L
=
x
∂
y
i
∂z
− z
∂
∂y
,L
¯h
=
y
∂
z
i
∂x
− x
∂z
∂
,L
¯h
=
z
∂
x
i
∂y
− y
∂
∂x
Найд¨ем коммутационные соотношения для операторов проекций орби-
тального углового момента. Пусть ψ — произвольная функция. Тогда имеем
.
110 ГЛАВА 4
следующие соотношения:
= −¯h
= −¯h
L
2
L
2
L
x
yz
L
y
zy
ψ = −¯h
y
2
∂
∂z∂x
ψ = −¯h
x
2
∂
∂x∂z
2
+ y
2
− xy
y
∂
∂x
z
∂z
∂x
∂
∂z
∂
− z
∂
2
2
− z
− x
− z
∂y
2
∂y∂x
∂z
2
∂
2
∂
∂
∂
∂x∂y
− xy
2
z
∂x
y
∂z
+ xz
∂
∂z
− x
2
2
∂
∂z
+ zx
ψ =
2
∂
∂y∂z
ψ,
∂
− z
∂
∂z∂y
∂y
2
∂
ψ =
∂
+ x
∂y
ψ.
∂
Вычитая вторую формулу из первой, получим
(L
∂
L
x
y
−L
L
y
)ψ=−¯h
x
2
y
∂x
− x
∂
∂y
=i¯h ·
∂
¯h
x
i
∂y
− y
∂
∂x
ψ=i¯hL
ψ.
z
Так как функция ψ — произвольная, то получаем следующие так называемые «фундаментальные коммутационные соотношения» для операторов
проекций момента импульса:
[L
L
]=i¯hLz, [L
x
y
L
]=i¯hLx, [L
y
z
L
z
x
]=i¯hLy,
где квадратные скобки обозначают коммутатор двух операторов:
[A, B] ≡ AB − BA.
Как видим, операторыL
,Ly,Lzне коммутируют друг с другом.
x
Рассмотрим теперь так называемый «оператор квадрата углового момента»
2
2
2
L
=L
+L
x
Вычислим коммутатор операторовL
[L
,L2]=[Lx,L
x
L
[L
=L
y
]+[Lx,Ly]Ly+Lz[Lx,Lz]+[Lx,Lz]Lz=
x
y
= i¯hL
L
+ i¯hL
y
z
z
L
− i¯hL
y
2
+L
.
y
z
2
иLx:
2
]+[Lx,L
y
L
z
y
2
z
− i¯hL
]=
y
L
=0;
z
здесь мы воспользовались свойством коммутатора:
[A,BC]=B [A,C]+[A,B]C;
таким образом, имеем равные нулю коммутаторы:
2
,Lx]=0, [L2,Ly]=0, [L2,Lz]=0.
[L
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]