Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квазиклассическая и квантовая теория атома водорода
.pdf
2.2. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА 51
Подставим в эту формулу значения радиальной переменной r вточках
перигелия и афелия:
r =
p
1+ε
,r=
p
1 −ε
и приравняем друг другу значения энергии E электрона в обеих этих точках. Так получим следующее равенство:
2
L
2mp
(1 + ε)2−
2
2
e
4πε0p
(1 + ε)=
L
2mp
2
(1 − ε)2−
2
2
e
4πε0p
(1 − ε),
то есть равенство
2
L
{(1 + ε)2− (1 − ε)2} =
2
2mp
2
e
{(1 + ε) −(1 − ε)},
4πε0p
из которого следует, что
2
L
{(1 + ε) − (1 −ε)}{(1 + ε)+(1− ε)} =
2
2mp
2
e
{(1 + ε) − (1 −ε)}.
4πε0p
Таким образом,
L
mp
2
2
=
2
e
4πε0p
,
где p — параметр эллиптической орбиты, а потому
где r
=4πε
0
0
p =4πε
2
¯h
— боровский радиус.
2
me
0
L
me
2
= r
2
2
L
,
0
2
¯h
Хотя в этой формуле и появилась постоянная Планка ¯h,ноэтаформула
классическая, так как постоянная Планка в ней возникла искусственно: изза того, что мы ввели боровский радиус r
, который содержит ¯h.
0
Получили очень простую формулу, связывающую значения геометрического параметра p эллиптической орбиты со значением интеграла момента импульса L для этой орбиты.
52 ГЛАВА 2
Для энергии E электрона в точке перигелия имеем формулу
E =
L
2mp
=
2
(1 + ε)2−
2
2
L
2mp
(1 + 2ε + ε2− 2 − 2ε)=−
2
2
L
mp
1+ε
p
=
2
L
{(1 + ε)2− 2(1 + ε)} =
2
2mp
2
L
(1 − ε2);
2
2 mp
таким образом, приходим к следующему результату:
E = −
2
L
2mp
(1 − ε2)=−
2
¯h
2 mr
4
2
0
(1 − ε2).
2
L
Получили формулу, связывающую энергию E электрона, движущегося
по эллиптической орбите, с эксцентриситетом ε этой орбиты и значением
момента импульса L электрона на этой орбите; при ε<1 имеем E<0,
отрицательную энергию; здесь r
— боровский радиус.
0
2.2.1. Квантование эллиптических орбит
Рассмотрим обобщ¨енные импульсы p
и pϕ, соответствующие обоб-
r
щ¨енным координатам r и ϕ электрона, движущегося по эллиптической ор-
бите.
Эти обобщ¨енные импульсы формально определяют следующим образом. Надо взять выражение для кинетической энергии электрона, выраженное в обобщ¨енных координатах r, ϕ:
2
K =
mv
2
2
m
=
v
2
2
2
+ v
r
ϕ
m
˙
=
2
+ r2˙ϕ
r
2
и продифференцировать его по обобщ¨енным скоростям ˙r и ˙ϕ:
∂K
p
=
r
= m˙r, p
∂ ˙r
∂K
=
ϕ
∂ ˙ϕ
= mr
2
˙ϕ,
так получаем формулы, определяющие обобщ ¨енные импульсы.
Как видим, угловой обобщ¨енный импульс p
равен величине, сохра-
ϕ
няющейся при движении электрона, в силу закона сохранения момента импульса электрона. Когда орбита электрона круговая, тогда ˙r =0и r ˙ϕ = v =
=const,гдеv — постоянная скорость электрона на круговой орбите.
2.2. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА 53
Условие квантования Бора для круговых орбит Зоммерфельд записал
с помощью обобщ¨енного импульса p
2π
ввиде:
ϕ
pϕdϕ = nh,
0
где n =1, 2,... и h — непереч¨еркнутая постоянная Планка. Действительно,
для круговой орбиты
2π
0
pϕdϕ =
2π
mrvdϕ =2πmrv,
0
а следовательно, согласно условию Зоммерфельда,
mvr = n¯h,
где ¯h —переч¨еркнутая постоянная Планка, т. е. имеем условие квантования
Бора.
Для эллиптических орбит Зоммерфельд предложил два следующих
независимых условия квантования:
r
r
max
min
prdr = nrh,
и nr— положительные
ϕ
2π
pϕdϕ = nϕh, 2
0
где h — непереч¨еркнутая постоянная Планка, n
целые числа, которые называются «угловым квантовым числом» и «радиальным квантовым числом».
Второй интеграл по r, как и первый интеграл по ϕ,бер¨ется по полной
орбите электрона. Поэтому в качестве пределов второго интеграла мы взяли
r
min
и r
— расстояния от ядра до перигелия и до афелия эллиптической
max
орбиты и результат умножили на 2.
Рассмотрим теперь условия Зоммерфельда квантования эллиптических
орбит.
Для произвольной эллиптической орбиты величина r
2
˙ϕ не зависит от
времени в силу закона сохранения момента импульса, таким образом, угловой обобщ¨енный импульс p
= mr2˙ϕ является интегралом движения.
ϕ
54 ГЛАВА 2
Рассмотрим первое условие квантования Зоммерфельда. Так как pϕ—
интеграл движения, p
можно вынести из-под знака интеграла и получить
ϕ
формулу
2π
p
dϕ = p
ϕ
0
ϕ
0
2π
dϕ =2πp
= nϕh,
ϕ
из которой непосредственно следует, что
p
= nϕ¯h;
ϕ
т. е. значение углового импульса p
на квантовой эллиптической орбите
ϕ
квантуется порциями ¯h и определяется значением квантового числа n
Рассмотрим теперь второе условие квантования Зоммерфельда . Имеем
для него формулу
0
2π
p
dr = m
r
0
2π
˙rdr= m
0
2π
dr
dϕ
˙ϕ
dr
dϕ
dϕ = p
2π
1
ϕ
r
2
dr
dϕ
dϕ,
2
0
так что надо вычислить появившийся здесь интеграл:
2π
2
dr
dϕ
dϕ.
2
I =
1
r
0
2.2.2. Вычисление интеграла
.
ϕ
Возьм¨ем этот интеграл. Дифференцируя по углу ϕ уравнение эллипти-
ческой орбиты
r =
p
1+ε cos ϕ
,
получим формулу
dr
dϕ
=
pε sin ϕ
(1 + ε cos ϕ)
1
,
2
dr
r
dϕ
ε sin ϕ
=
1+ε cos ϕ
.
2.2. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА 55
Используя е¨е, имеем следующее выражение для рассматриваемого ин-
теграла:
I =
0
ε sin ϕ
=
1+ε cos ϕ
Очевидно, что
2π
0
=
0
где ϕ =2π − ϕ
π
2
0
=
=
2π
2
ε
(1 + ε cos ϕ)
2π
0
dϕ
1+ε cos ϕ
π
dϕ
1+ε cos ϕ
. Далее,
dϕ
1+ε cos ϕ
4
1 −ε
0
1
4
·
1 −ε
a
sin2ϕ
−
0
=4
π
1+ε
1 −ε
arctg
dϕ =
2
2π
1+ε cos ϕ
π
=
0
−
π
π
0
dtg
+tg
x
a
2π
ε sin ϕd
0
ε cos ϕ
dϕ = −2π +
dϕ
1+ε cos ϕ
0
dϕ
1+ε cos ϕ
(1 + ε)cos
ϕ
2
=
ϕ
2
2
∞
2π
=
1 −ε
0
2π
+
π
=2
0
ϕ
d
2
ϕ
2
+(1− ε)sin
2
∞
4
1 −ε
0
1 − ε
1+ε
1
1+ε cos ϕ
2π
0
dϕ
1+ε cos ϕ
π
dϕ
1+ε cos ϕ
dx
a2+ x
=
√
1 −ε
=
dϕ
1+ε cos ϕ
=
,
=
ϕ
2
2
=
2
2π
,
2
.
где
x =tg
ϕ
,a
2
1+ε
2
=
1 −ε
.
56 ГЛАВА 2
Таким образом, приходим к окончательной формуле:
I = −2π +
√
2π
1 −ε
2
=2π
√
1
1 −ε
− 1.
2
Используя это значение интеграла I, второе условие квантования Зо-
ммерфельда можно представить в следующем виде:
√
1
1 −ε
− 1= hnr.
2
· 2π
p
ϕ
Так как согласно первому условию Зоммерфельда p
, то отсюда получаем, что
= hn
ϕ
1
1 −ε
− 1=
2
n
r
,
n
ϕ
1
1 −ε
=1+
2
n
n
·2π =¯hnϕ·2π =
ϕ
+ n
n
r
r
=
ϕ
n
ϕ
ϕ
и окончательно — соотношение
2
n
ϕ
2
1 −ε
=
,
2
n
где n ≡ n
+ nϕ— квантовое число, называемое «главным квантовым чис-
r
лом».
Получили формулу для эксцентриситета квантового эллипса:
2
n
ϕ
;
2
n
при n
2
=1−
ε
=0имеем круговую орбиту, эксцентриситет которой ε =0.
r
Эксцентриситет эллиптической орбиты определяется значениями
квантовых чисел n
Подставляя значение для ε
r
и nϕ.
2
в формулу для энергии E электрона, приходим к следующей окончательной формуле для полной энергии электрона
на квантовой эллиптической орбите:
E = −
4
¯h
2 mr
1
·
2
0
¯h2n
2
ϕ
n
·
(nr+ nϕ)
2
ϕ
= −
2
2
¯h
2 mr
1
·
≡ En,
2
2
n
0
где n = n
+ nϕ— главное квантовое число.
r
2.2. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА АТОМА ВОДОРОДА 57
Энергия квантовой эллиптической орбиты определяется значением
суммы n ≡ n
+ nϕквантовых чисел nrи nϕ, а не значениями этих чисел
r
по отдельности.
Следовательно, может случиться, что несколько плоских квантовых эллиптических орбит будут иметь одинаковую энергию (это — орбиты, для
которых сумма n
+ nϕодинакова).
r
Такое явление, когда одному и тому же значению энергии, т. е. одному
и тому же энергетическому уровню, соответствует несколько квантовых
состояний движения, т. е. несколько квантовых эллиптических орбит, называется «вырождением», а энергетический уровень называется «вырожденным».
В теории Бора никаких вырожденных уровней нет. В более полной теории Зоммерфельда, а также и в экспериментальном спектре атома водорода
они существуют.
На рисунке изображены самые важные квантовые эллиптические орбиты. Эллиптические орбиты с нулевым квантовым числом n
=0всво-
ϕ
ей теории Зоммерфельд отбросил. Для таких орбит ε =1,иониявляют-
ся дважды покрытыми отрезками, один конец которых расположен в ядре.
Эти орбиты, как сказал Зоммерфельд, «проникают внутрь ядра» и поэтому
их следует отбросить, он посчитал эти орбиты не имеющими физического
смысла.
Однако правильно в теории Зоммерфельда исключить не эти орбиты,
а орбиты, для которых n
= n, хотя они и соответствуют боровским круго-
ϕ
вым орбитам. Так именно мы и поступим и будем считать, что при фиксированном n =1, 2,... угловое квантовое число принимает значения
n
=0, 1,...,n− 1;
ϕ
т. е. принимает n значений, прич¨ем значение n
= n исключено.
ϕ
На рисунке представлены квантовые эллиптические орбиты при n =
=1, 2, 3.
Рассчитаем большую и малую полуоси квантовой эллиптической орбиты. Так как ε = c/a, c
2
= a2− b2,тоb = a√1 −ε2. Таким образом, зная
эксцентриситет и большую полуось квантового эллипса, его малую полуось
можно вычислить по этой формуле. Большую полуось можно найти, зная
параметр p квантовой эллиптической орбиты. Действительно,
r =
p
1+ε cos ϕ
;
58 ГЛАВА 2
поэтому при ϕ =0получаем
a − c =
p
,a(1 − ε)=
1+ε
p
1+ε
,a=
p
1 −ε
.
2
Так как
p = r
2
p
ϕ
0
2
¯h
= r0n
2
,
ϕ
то для большой полуоси квантовой эллиптической орбиты имеем очень
простую формулу:
a = r
n2;
0
для малой полуоси квантовой эллиптической орбиты имеем формулу
0nnϕ
,
так как
1 −ε2=
Как видим, при n
√
b = r
n
ϕ
.
n
= n имеем b = a, в этом случае квантовая эллип-
ϕ
тическая орбита круговая.
Рис. 2.8
2.3. ТЕОРИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА КВАНТОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ 59
2.3. Теория Зоммерфельда квантования
пространственных орбит
Мы подробно рассмотрели квантование по Зоммерфельду плоских эллиптических орбит при помощи азимутального n
товых чисел. Расскажем теперь, как по Зоммерфельду проквантовать положения эллиптических орбит в тр¨ехмерном пространстве.
Рис. 2.9
При рассмотрении плоских эллиптических орбит положение M электрона на орбите мы характеризовали двумя полярными координатами r и ϕ,
как показано на рисунке. При рассмотрении пространственных эллиптических орбит положение M электрона на орбите будем характеризовать тремя
сферическими координатами r, θ, ψ, с некоторой произвольной декартовой
системой Oxyz. Атомное ядро атома находится в точке O,являющейсяодним из фокусов эллипса.
Считаем ради простоты, что эллиптическая орбита, изображ¨енная на
рисунке, близка к круговой. Радиальное расстояние r —этоOM,уголθ —
это угол между осью Oz иотрезкомOM ,уголψ —этоуголмеждуосьюOx
и полупрямой OK, так называемой «линией узлов», угол ϕ, показанный на
плоскости рассматриваемой эллиптической траектории, — это угол между
осью Ox
иотрезкомOM.
Так как
и радиального nrкван-
ϕ
x = r sin θ cos ψ,
y = r sin θ sin ψ,
z = rcos θ,
60 ГЛАВА 2
Рис. 2.10
то, дифференцируя по времени t,получим
˙x =˙r sin θ cos ψ + r cos θ cos ψ˙θ − r sin θ sin ψ˙ψ,
˙y =˙r sin θ sin ψ + r cos θ sin ψ˙θ + r sin θ cos ψ˙ψ,
˙z =˙r cos θ − r sin θ˙θ.
Таким образом, для кинетической энергии электрона имеем следующее выражение:
m
2
2
+ r
{˙x
2
2
˙
θ
+˙y2+˙z2} =
2
+ r2sin2θ˙ψ2}.
m
2
{˙r
+r
=
2
sin2θ cos2ψ +˙r2sin2θ sin2ψ +˙r2cos2θ+
2
cos2θ cos2ψ˙θ2+ r2cos2θ sin ψ˙θ2+ r2sin2θ˙θ2+
2
sin2θ sin2ψ˙ψ2+ r2sin2θ cos2ψ˙ψ2+
+r
+2 ˙r˙θrsin θ cos θ cos
−2˙r˙ψrsin
2
−2˙θ˙ψr
sin θ cos θ sin ψ cos ψ +2˙θ˙ψr2sin θ cos θ sin ψ cos ψ} =
=
K =
2
ψ +2˙r˙θrsin θ cos θ sin2ψ − 2˙r˙θrsin θ cos θ−
2
θ cos ψ sin ψ +2˙r˙ψrsin2θ cos ψ sin ψ−
m
{˙r
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]