Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследования по оптике
.pdf
K.7. ГЛАВНЫЕ И ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ 61
через эти точки и перпендикулярны оптической оси по современной терминологии называются передней главной плоскостью, задней главной плоскостью, передней фокальной плоскостью, задней фокальной плоскостью
соответственно. Следует отметить, что слова «первая», «вторая», «передняя», «задняя» в названиях этих точек и плоскостей достаточно условны,
так как порядок расположения точек E, E
ным (рис. K.9, K.10, K.7, K.12, K.13). Однако точка E не может совпадать
сточкойF,аточкаE
∗
не может совпадать с точкой F∗.
∗
, F , F∗может быть произволь-
E
F
Рис. K.9. Положение главных и фокальных точек в двояковыпуклой линзе
*
F
E
Рис. K.10. Положение главных и фокальных точек в двояковогнутой линзе
F
Рис. K.11. Положение главных и фокальных точек в менискообразной линзе
E
*
E
*
F
F
*
E
*
E
*
F
В DU7 утверждается, что при n0= n∗выходной участок траектории
луча занимает то же самое положение относительно точки E
∗
, какое име-
62 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
*
E
F
Рис. K.12. Положение главных и фокальных точек в объективе из двух менискоообразных линз
E
Рис. K.13. Положение главных и фокальных точек в трехлинзовой системе
F
E
*
F
*
F
*
E
ет место, если в точке E находится преломляющая поверхность радиуса
∗
n0− n
, через которую световой луч переходит непосредственно из пер-
k
вой среды в последнюю (рис. K.14). Для доказательства этого утверждения
рассмотрим луч, входной участок траектории которого описывает система
уравнений
Так как N
0
β
y =
0
n
0
γ
z =
0
n
0
= E + n0(1 − )/k (см. таблицу в DU6), то входной участок
x − N
x − N
0
0
⎫
⎪
0
⎪
⎬
+ b
,
⎪
⎪
0
⎭
.
+ c
траектории может быть описан системой уравнений
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
n0− n
k
∗
,ко-
y =
z =
0
β
(x − E)+b0−
0
n
0
γ
(x − E)+c0−
0
n
0
β
(1 − ),
k
0
γ
(1 − ).
k
Преломление этого луча на сферической поверхности радиуса
торая проходит через точку E, описывают формулы (2) при подстановке
в них r =
0
.
γ = γ
n0− n
k
∗
, n= n∗, n = n0, b = b0−
0
β
(1 − ), c = c0−
k
0
γ
(1 − ),
k
K.7. ГЛАВНЫЕ И ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ 63
После преломления на поверхности траекторию луча описывает система уравнений
0
y =
z =
kb
kc
0
0
+ β
∗
n
0
+ γ
(x − E)+c0−
∗
n
(x − E)+b0−
0
β
k
0
γ
k
Сместим преломленный луч на расстояние E
(1 − ),
(1 − ).
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
∗
− E. Этот смещенный
луч описывает система уравнений
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
y =
z =
kb
kc
0
0
0
+ β
(x − E∗)+b0−
∗
n
0
+ γ
(x − E∗)+c0−
∗
n
0
β
(1 − ),
k
0
γ
(1 − ).
k
Так как E
∗
= N∗+
n∗(1 − g)
k
(см. таблицу в DU6), то смещенный луч может
быть описан системой уравнений
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
y =
z =
kb
kc
0
0
0
+ β
(x − N∗)+gb0+ hβ0,
∗
n
0
+ γ
(x − N∗)+gc0+ hγ0.
∗
n
Полученная система уравнений соответствует выходному участку траектории луча, прошедшего через всю оптическую систему.
В DU7 утверждается, что при n
луча занимает относительно E
0
∗
= n∗выходной участок траектории
то же самое положение, которое он имел
бы относительно E,когдавточкеE была бы установлена одиночная бес-
0
конечно тонкая линза с фокусным расстоянием −
n
(рис.K.15).Длядока-
k
зательства этого утверждения рассмотрим луч, входной участок траектории
которого описывает система уравнений
⎫
⎪
0
⎪
⎬
+ b
,
⎪
⎪
0
⎭
+ c
.
y =
z =
0
β
0
n
0
γ
0
n
x − N
x − N
0
0
64 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
X
E
*
E
X
Рис. K.14. Аналогия между прохождением луча через систему линз и одиночную
преломляющую поверхность при n
0
= n∗; входной и выходной участки траектории
луча отмечены как «x»и«xx»
X
XX
*
EE
X
X
*
E
E
XX
*
EE
XX
X
Рис. K.15. Аналогия между прохождением луча через систему линз и эквивалентную тонкую линзу при n
0
= n∗; входной и выходной участки траектории луча
отмечены как «x»и«xx»
K.7. ГЛАВНЫЕ И ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ 65
Так как N0= E + n0(1 − )/k (см. таблицу в DU6), то входной участок
траектории может быть описан системой уравнений
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
где B = b
0
β
0
−
(1 − ), C = c0−
k
y =
z =
0
β
(x − E)+B,
0
n
0
γ
(x − E)+C,
0
n
0
γ
(1 − ).
k
Систему уравнений, которая описывает траекторию луча после прохождения тонкой линзы, запишем в виде
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
y =
z =
β
ТЛ
(x − E)+BТЛ,
0
n
γ
ТЛ
(x − E)+CТЛ,
0
n
где (см. DU5)
= gТЛB + hТЛβ0,CТЛ= gТЛC + hТЛγ0,
B
ТЛ
β
= kТЛB + ТЛβ0,γТЛ= kТЛC + ТЛγ0,
ТЛ
g
, hТЛ, kТЛ, ТЛ— коэффициенты тонкой линзы.
ТЛ
Так как линза бесконечно тонкая, то участки траекторий луча до и после прохождения линзы должны пересекать плоскость x = E (где и расположена линза) в одной и той же точке. Следовательно, B
А это возможно только при g
g
=1и hТЛ=0втождествоgТЛТЛ− hТЛkТЛ=1находим ТЛ=1.
ТЛ
=1и hТЛ=0. В результате подстановки
ТЛ
По опредедению, данному в DU9, фокусное расстояние ϕ
−n
ты g
, из чего следует kТЛ= −n0/ϕТЛ.Приn0= n∗=1коэффициен-
0/kТЛ
, hТЛ, kТЛ, ТЛможно найти в результате подстановки t= e =0в
ТЛ
= B и CТЛ= C.
ТЛ
линзы равно
ТЛ
формулы DU13.
При ϕ
= −n0/k траекторию луча после прохождения тонкой линзы
ТЛ
описывает система уравнений
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
y =
z =
kb
kc
0
0
0
+ β
0
n
0
+ γ
(x − E)+c0−
0
n
(x − E)+b0−
0
β
(1 − ),
k
0
γ
(1 − ).
k
66 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
Сместим прошедший через линзу луч на расстояние E∗−E.Сучетом
равенства n
Так как E
описывает система уравнений
0
= n∗смещенный луч описывает система уравнений
0
∗
= N∗+
y =
z =
y =
z =
kb
kc
+ β
n
0
+ γ
n
∗
(1 − g)
n
0
kb
0
kc
0
(x − E∗)+b0−
∗
0
(x − E∗)+c0−
∗
(см. таблицу в DU6), то смещенный луч
k
0
+ β
(x − N∗)+gb0+ hβ0,
∗
n
0
+ γ
(x − N∗)+gc0+ hγ0.
∗
n
0
β
(1 − ),
k
0
γ
(1 − ).
k
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
Полученная система уравнений соответствует выходному участку траектории луча, прошедшего через всю оптическую систему.
В DU10 приведены формулы для расчета положения изображения точки относительно главных и фокальных точек. При подстановке в эти формулы ξ = E получим
∗
= E
∗
η∗= ηζ∗= ζ. (K.58)
∗
оптически сопряжены, а ли-
ξ
Таким образом плоскости x = E и x = E
нейное увеличение в этих сопряженных плоскостях равно +1.Поэтомупо
ГОСТ 7427–76 передней и задней главными плоскостями являются плоскости в пространстве предметов и в пространстве изображений (перпендикулярные оптической оси и оптически сопряженные друг с другом), для
которых линейное увеличение равно +1.
В DU18 утверждается, что при n
0
= n∗и F −ξ = f = −n0/k = −n∗/k
расстояние между предметом и изображением минимально. Доказательство
данного утверждения может быть основано на формулах, которые приведены в DU10. Так как изображение находится в плоскости x = ξ
2
ξ
= F+
f
(F − ξ)
,
,где
то расстояние между предметом и изображением равно
2
− ξ = F+
ξ
f
(F − ξ)
− ξ. (K.59)
K.8. ГРАФИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ВЫХОДНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА 67
Продифференцировав выражение (K.59) по ξ получим
∂(ξ
− ξ)
∂ξ
=
2
f
(F − ξ)
− 1. (K.60)
2
Таким образом, расстояние между предметом и изображением принимает
экстремальные значения при F − ξ = ±f, F − ξ =0. Значению F − ξ =
= f соответствует ξ
= F− f = E.СлучайF = ξ соответствует бесконечно удаленному
ξ
= F+ f, а значению F − ξ = −f соответствует
изображению.
K.8. Графическое построение выходного участка
траектории луча
В DU9 К. Гаусс описывает (без ссылок на какие-либо чертежи и рисунки!) графическое построение выходного участка траектории луча. При
используемом К. Гауссом методе изложения геометрической оптики графические способы построения непосредственно следуют из полученных
ранее алгебраических формул. Поэтому графическим построениям отводится весьма скромная вспомогательная роль. Это существенно отличает
«Dioptrische Untersuchungen» от трудов по оптике Смита [19, 20] и очень
многих учебных курсов середины XIX века – начала XXI века [46–48], где
большое внимание уделяется геометрическим построениям и именно на основе геометрических построений находятся алгебраические соотношения.
На рис. K.16 показано построение выходного участка траектории луча
с использованием вспомогательных точек (1), (2), (3), (4), (5).
Построение выходного участка траектории луча при F
когда вспомогательная точка (3) становится излишней, показано на рис. K.17.
Особо следует отметить, что используемые при построениях вспомогательные прямые F (3), (3)(5), (2)(4), (1)E не рассматриваются здесь в качестве
участков траекторий каких-либо лучей. Поэтому данные прямые могут проходить за пределами световых габаритов элементов оптической системы.
Для графического построения выходного участка траектории луча
удобно воспользоваться следующим приемом. Пусть входной участка тра-
ектории луча A описывает система уравнений (K.1) приˆb = B
ˆc = C
0
, ˆγ = γ
A
0
, ˆn = n0, ˆa = Q0. Рассмотрим луч B, входной участок
A
траектории которого является проекцией входного участка траектории луча
A на плоскость xy. Тогда входной участок траектории луча B описывает
0
0
= B
система уравнений (K.1) приˆb = B
0
ˆγ = γ
=0, ˆn = n0, ˆa = Q0.
B
B
,ˆβ = β
A
∗−E∗
= E −F ,
0
,ˆβ = β
A
0
0
= β
B
, ˆc = C
A
0
B
0
A
=0,
,
68 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
C
′
C
(1)
B B′−
′
B
F
(2)
(3)
E
CC′−
(4)
CC′−
(5)
*
E
*
F
B
B B′−
Рис. K.16. Построение выходного участка траектории луча с использованием вспомогательных точек (1), (2), (3), (4), (5)
(4)
(2)
(1)
*
E
F
E
(5)
*
F
Рис. K.17. Построение выходного участка траектории луча при F∗− E∗= E − F
Из DU5 следует, что выходной участок траектории луча A описывает
0
A
0
A
0
A
0
A
0
B
0
B
0
B
0
B
∗
=0, γ
B
∗
A
∗
, ˆc = C
B
+ Hβ
+ Lβ
+ Hγ
+ Lγ
+ Hβ
+ Lβ
+ Hγ
+ Lγ
,ˆβ = β
система уравнений (K.1) приˆb = B
∗
, ˆa = Q∗, а выходной участок траектории луча B описывает система
= n
уравнений (K.1) приˆb = B
∗
Так как B
B
= B
∗
, β
A
∗
,ˆβ = β
B
∗
B
= GB
A
∗
β
= KB
A
∗
= GC
C
A
∗
= KC
γ
A
∗
B
= GB
B
∗
= KB
β
B
∗
= GC
C
B
∗
γ
= KC
B
∗
∗
= β
B
, C
A
∗
, ˆc = C
A
∗
, ˆγ = γ
B
0
,
A
0
,
A
0
,
A
0
,
A
0
∗
= B
B
0
B
0
B
0
B
∗
B
,
A
∗
= β
,
A
=0,
=0.
=0, то выходной участок тра-
∗
, ˆγ = γ
A
∗
, ˆn = n∗, ˆa = Q∗,где
B
∗
A
, ˆn =
ектории луча B является проекцией выходного участка траектории луча A
на плоскость xy. Если входной участок траектории луча C является проекцией входного участка траектории луча A на плоскость xz,тоаналогично
K.9. ФОКУСНОЕ РАССТОЯНИЕ 69
доказывается, что выходной участок траектории луча C является проекцией выходного участка траектории луча A на плоскость xz.Таккакпрямая
однозначно задается ее проекциями на две ортогональные плоскости, то
выходной участок траектории луча A может быть построен по выходным
участкам траекторий лучей B и C. Нахождение выходного участка траектории луча B существенно упрощает то, что все необходимые для этого
построения выполняются только в плоскости xy.ДлялучаC эти построения выполняются только в плоскости xz.
y
A
z
x
B
B
F
C
A
*
E
*
F
E
C
Рис. K.18. Построение выходного участка траектории луча A по выходным участкам траекторий лучей B и C
В статье [49] подробно изложены основанные на «Dioptrische Untersuchungen» графические методы построения траекторий параксиальных лучей.
K.9. Фокусное расстояние
После обсуждения в введении к «Dioptrische Untersuchungen» различных вариантов К. Гаусс предлагает определить фокусное расстояние следующим образом
фокусное
расстояние
где точка F
∗
является фокальной точкой объектива; точка P
изображением бесконечно удаленной точки P
лением на бесконечно удаленную точку P
= lim
ω→0
∗
∗
P
F
∞
= lim
tg ω
∞
и оптической осью (рис. K.20).
∞
∗
∗
P
F
∞
, (K.61)
ω→0
ω
; ω — угол между направ-
∗
является
∞
70 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
2
1
()
()
1
()
2
()
F
4
()
*
E
E
3
()
**
FEEF−≠−
5
()
*
F
4
()
*
EEF
5
()
5
()
*
F
*
F
()
4
()
2
*
E
E
()
F
1
**
FEEF−=−
4
()
1
()
F
*
E
**
FEEF−=−
Рис. K.19. Построение выходного участка траектории луча при различных вариантах расположения главных и фокальных точек. Входной участок траектории луча
и оптическая ось лежат в плоскости рисунка
2
()
E
5
()
*
F
()
**
FEEF−=−
1
2
()
F
E
**
FEEF−=−
*
F
5
()
4
()
*
E
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]