Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследования по оптике
.pdf
Д.1. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 91
U0— комплексная амплитуда волны в точке x =0, y =0, z =0.При
вещественных значениях p, q и одновременном выполнении условия p
2
< 1 поверхности равной фазы функции (Д.5), представляют собой
+ q
2
+
параллельные плоскости. Поэтому функция (Д.5) описывает комплексную
амплитуду плоской волны. Единичной нормалью к поверхности плоской
волны является вектор
x
1 − p2− q2+yp +zq, (Д.7)
гдеx,y,z орты координатных осей x, y, z соответственно.
При решении задач о распространении электромагнитных волн будем
использовать метод разложения по вспомогательным плоским волнам [2,8].
Запишем комплексную амплитуду в плоскости x =0в виде двухмерного
преобразования Фурье
+∞
W(x =0,y,z)=
−∞
W
(p, q)expi
0
2πn
(yp + zq)dpdq, (Д.8)
λ
где
+∞
2
W
(p, q)=
0
n
λ
W(x =0,y,z)exp−i
2
−∞
2πn
(yp + zq)dydz. (Д.9)
λ
Аппроксимируем интеграл (Д.8) рядом
+∞
+∞
jz=−∞
W
0(pj
, q
)V(x =0,y,z)Δp
j
y
z
Δq
j
j
y
z
W(x =0,y,z) = lim
Δp
Δq
j
y
j
z
→0
→0
jy=−∞
(Д.10)
где Δp
= p
j
y
jy+1
− p
, Δq
j
y
= q
j
z
jz+1
− q
.
j
z
Каждое слагаемое в выражении (Д.10) можно рассматривать как комплексную амплитуду вспомогательной плоской волны при x =0.Таккак
при n =constкомплексная амплитуда вспомогательной плоской волны
в произвольной точке равнаW
+∞
W(x, y, z) = lim
Δp
Δq
→0
j
y
jy=−∞
→0
j
z
jz=−∞
(p, q)Δp
0
+∞
W
0(pj
Δq
j
y
, q
y
V(x, y, z),то
j
z
)V(x, y, z)Δp
j
z
Δq
. (Д.11)
j
j
y
z
,
92 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
После предельного перехода от суммирования к интегрированию выражение (Д.11) примет вид
+∞
−∞
W
(p, q)V(x, y, z)dpdq. (Д.12)
0
W(x, y, z)=
Если значения p и q не очень велики, то квадратный корень в формуле
(Д.6) можно аппроксимировать выражением
1 − p2− q2≈ 1 −
1
1
2
p
2
2
q
−
. (Д.13)
2
Тогда формула (Д.6) примет вид
2π
λ
nxV
(x, y, z). (Д.14)
∪
x
−
2
x
2
p
2
q
−
+ yp + zq. (Д.15)
2
где
V (x, y, z)=expi
(x, y, z)=expi
V
∪
2πn
λ
В результате замены в формуле (Д.12) функции (Д.6) на функцию
(Д.14) получим:
W (x, y, z)=W
(x, y, z)expi
∪
2πn
x, (Д.16)
λ
где
W
(x, y, z)=
∪
+∞
−∞
W
(p, q)expi
0
=
2π
λ
n−
x
x
2
p
2
2
q
−
+ yp + zqdpdq. (Д.17)
2
Дважды продифференцируем формулу (Д.16) по x
2
∂
W (x, y, z)=i
2
∂x
+2
2π
λ
2πi
λ
2
n
nexp
exp
2πi
2πi
+exp
λ
λ
nxW
∂W
nx
2πi
(x, y, z)+
∪
∪
nx
λ
(x, y, z)
∂x
2
∂
W∪(x, y, z)
+
∂x
2
, (Д.18)
Д.1. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 93
где
∂W
(x, y, z)
∪
∂x
2
∂
W∪(x, y, z)
∂x
2πi
=
nx−
λ
2πi
=
2
nx
λ
x
2
p
2
2
x
p
−
2
x
2
q
−
2
x
2
−
2
W
2
2
q
(x, y, z),
∪
W∪(x, y, z),
Если, как это уже было сделано ранее в формуле (Д.13), пренебречь
слагаемыми четвертого и более высокого порядков малости относительно
p и q, то формула (Д.18) примет вид
2
∂
W (x, y, z)=
2
∂x
2πi
n
λ
+2
2
exp
2πi
λ
2πi
λ
nexp
nxW
(x, y, z)+
∪
2πi
nx
λ
∂W
(x, y, z)
∪
∂x
. (Д.19)
В результате подстановки выражений (Д.16), (Д.19) в уравнение (Д.4)
получим
2
W
∂
∂y
2
∂
W
∪
+
2
∂z
∪
+i
2
4πn
λ
∂W
∪
=0. (Д.20)
∂x
Уравнение (Д.20) называется параболическим [6]. Переход к параболическому уравнению (Д.20) от волнового уравнения Гельмгольца (Д.4) широко
используется в теории дифракции волн, а также в теории лазерных пучков
и лазерных резонаторов [2, 8].
Из формул (Д.9), (Д.17) следует, что решение уравнения (Д.20) имеет
вид
+∞
W
(x, y, z)=
∪
n
ixλ
−∞
× expi
W(x =0,η,ζ)×
πn
2
y
− 2yη + η2+ z2− 2zζ + ζ
λx
2
dηdζ. (Д.21)
Формула (Д.21) носит название интеграла Френеля.
При выводе параболического уравнения (Д.20) было сделано предположение о малости величин p и q. Из формулы (Д.7) следует, что при малых значениях p и q нормали вспомогательных плоских волн будут близки
94 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
кортуx. Следовательно, направление распространения таких вспомогательных плоских волн мало отличается от направления оси x.Таккакфункция (Д.17) представляет суперпозицию плоских вспомогательных волн, то
при малых значениях p и q волна распространяется преимущественно в направлении оси x. Поэтому параболическое уравнение хорошо описывает
свойства световых пучков, генерируемых мазерами и лазерами, собственные колебания открытых резонаторов и моды световодов, где излучение
сконцентрировано около одной линии (оси пучка) и быстро спадает до нуля в поперечных направлениях [2].
Д.1.2. Нулевая мода кругового гауссового пучка
Пусть в плоскости x =0комплексную амплитуду волны описывает
двумерная функция Гаусса
2
2
y
(x =0,y,z)=U0exp−
W
+ z
w
, (Д.22)
2
0
где U
w
— значение комплексной амплитуды в точке x =0,y =0,z =0,
0
— расстояние от оси x при котором вещественная амплитуда волны
0
вплоскостиyz в exp(1) ≈ 2.7 раза меньше, чем на оси x.Врезультате
подстановки функции (Д.22) в интеграл Френеля (Д.21) получим
w
W
(x, y, z)=U
× expi
2πn
x − iarctg
λ
0
w(x)
0
×
x
x
+i
πn
λR(x)
(y
2
+ z2) −
y
w
2
2
+ z
, (Д.23)
2
(x)
где
2
πnw
x
=
(x)=w
w
(x)=x1+
R
0
, (Д.24)
λ
!
0
1+
2
x
, (Д.25)
2
x
2
x
. (Д.26)
2
x
Д.1. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 95
Функция (Д.23) описывает комплексную амплитуду гауссового пучка
простейшего типа, так называемый круговой гауссов пучок. Еще этот пучок
называют нулевой модой гауссовых пучков [2,7].
0
2w
∞
υ
0
x
≍
Рис. Д.1. Нулевая мода кругового гауссового пучка. Сплошными линиями изображена пространственная форма пучка, штриховыми — фазовая поверхность
x
∞
υ
В соответствии с выражением (Д.23) поверхность равных значений фазы (далее — фазовая поверхность) пучка описывает уравнение
2πn
λ
где x
πn
x +
λR(x)
— абсцисса точки, в которой фазовая поверхность пересекает
ось
2
+ z2) −arctg
(y
x
x
2πn
=
x
−arctg
ось
λ
ось x. По сравнению с другими членами (Д.27) величиной arctg(x/x
− arctg(x
) можно пренебречь. Тогда из формулы (Д.27) следует
ось/x
2
2
+ z
y
2R(x)
= x
− x. (Д.28)
ось
Уравнение (Д.28) описывает поверхность вращения. Параметр R
x
ось
, (Д.27)
x
) −
(x) яв-
ляется радиусом кривизны этой поверхности для точек, которые лежат на
оси x (рис. Д.1). Центр кривизны данной поверхности имеет координаты
2
/x
(−x
;0;0). Производная от R(x) по x указывает, что максимальное
ось
искривление фазовой поверхности гауссова пучка имеет место при x =
= ±x
фазовой поверхности уменьшается от R(0) = ∞до R
.ВэтихточкахR(±x)=2x. Следовательно, радиус кривизны
)=2x,азатем
(x
вновь возрастает до бесконечности при x →∞. Это означает, что первона-
чальная (при x =0) плоская поверхность фазы искривляется (см. рис. Д.1,
штриховые линии), а затем опять стремится к плоскости.
96 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
Из формулы (Д.23) следует, что вещественная амплитуда убывает в поперечном направлении по гауссову закону (Д.2). При этом с увеличением x
увеличивается w
(x).Таккакw(x) определяет поперечный размер пуч-
ка, то с увеличением x гауссов пучок расширяется (рис. Д.1, Д.2). Плоскость, в которой гауссов пучок имеет наименьшие поперечные размеры,
называется плоскостью перетяжки [1, 2,7]. Для пучка, комплексную амплитуду которого описывает выражение (Д.23), плоскость перетяжки совпадает
сплоскостьюx =0.Вэтойплоскостиw
ное значение w
.Множительw0/w(x) в формуле (Д.23) характеризует
0
(x) принимает свое минималь-
медленное уменьшение амплитуды с ростом x.
(, , 0)Wxyz=
≍
x
y
0
2w
0
≍
x
Рис. Д.2. Амплитуда кругового гауссова пучка в плоскости xy
Если приравнять единице вещественный показатель экспоненты в выражении (Д.23), то полученное уравнение описывает пространственную
форму гауссова пучка [1, 2]
2
2
y
+ z
=1 (Д.29)
2
w
(x)
или
2
y
+ z2= w
2
1+
0
2
x
. (Д.30)
2
x
Уравнение (Д.30) соответствует однополостному гиперболоиду вращения
(рис. Д.3).
Д.1. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 97
Угол υ∞расходимости пучка в дальней зоне равен углу между асимптотой гиперболоида (Д.30) и его осью симметрии (рис. Д.1):
tg υ
∞
λ
=
. (Д.31)
nπw
0
y
w
0
0
x
z
Рис. Д.3. Однополостный гиперболоид вращения
Д.1.3. Эрмито-гауссовы и лагерро-гауссовы пучки
Комплексную амплитуду одиночного эрмито-гауссова пучка описывает
функция [1, 2, 8]
где U
[jy,jz]
W
[jy,jz]
(x, y, z)=U
[jy,jz]
— амплитудный множитель, который может быть как веществен-
expi
2πn
λ
xHG
[jy,jz]
(x, y, z), (Д.32)
ным, так и комплексным числом; функция
[jy,jz]
HG
× exp−i(1 + j
(x, y, z)=
w
0
w(x)
+ jz)arctg
y
√
y
H
j
y
2
w(x)
x
x
H
j
+i
z
λR(x)
√
z
2
w(x)
πn
(y
× exp−
×
2
+ z2) ×
2
+ z
y
2
w
2
(x)
является решением параболического уравнения (Д.20);
j
(y)=(−1)jexp(y2)
H
j
dy
d
j
exp(−y2)
(Д.33)
98 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
полином Эрмита степени j.Приjy= jz=0выражение (Д.32) описывает
комплексную амплитуду кругового гауссового пучка.
Пусть комплексная амплитуда волны является суперпозицией эрмитогауссовых пучков
(x, y, z)=expi
W
2πn
λ
x
jy=0jz=0
U
[jy,jz]
HG
[jy,jz]
(x, y, z). (Д.34)
Полиномы Эрмита ортогональны на интервале (−∞;+∞)
+∞
exp(−y2)H
−∞
j
1
(y)H
(y)dy =
j
2
"
0 при j
j
1
j1!√π при j1= j2.
2
1
= j2,
(Д.35)
Из условия (Д.35) и формулы (Д.34) следует
$
2
H
x
x
+ z2) −
z
j
z
w(x)
×
2
2
y
+ z
×
2
w
(x)
√
2
dydz. (Д.36)
U
[jy,jz]
w
2
0
=
πw(x)jy!jz!
+∞
×
W(x, y, z)exp−i
−∞
1−jy−j
z
exp#i(1 + j
× H
j
y
+ jz)arctg
y
πn
λR(x)
√
y
w(x)
(y
2
Формула (Д.36) может быть использована для представления комплексной
амплитуды W
(x, y, z) волны в виде суперпозиции эрмито-гауссовых пуч-
ков. Но такое представление возможно только в том случае, когда интеграл
в формуле (Д.36) является сходящимся.
Для описания комплексной амплитуды волны могут быть использованы цилиндрические координаты (x, r,φ), которые связаны с прямоугольны-
ми декартовыми координатами (x, y, z) следующим образом
y = r cos(φ),z= r sin(φ).
При использовании цилиндрических координат (x, r,φ) комплексную ам-
плитуду волны можно представить в виде суперпозиции лагерро-гауссовых
пучков. Комплексную амплитуду одиночного лагерро-гауссового пучка описывает функция [1,8]
W
[j1,j2]
(x, r,φ)=U
[jy,jz]
expi
2πn
λ
xLG
[j1,j2]
(x, r,φ), (Д.37)
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 99
где |j2| <j1; U
— амплитудный множитель, который может быть как
[jy,jz]
вещественным, так и комплексным числом; функция
√
2r
w(x)
πn
λR(x)
|j1|
×
$
x
×
x
2
r
−
2
r
2
w
(x)
(Д.38)
LG
[j1,j2]
(x, r,φ)=
× exp#iφj
w
|j1|
0
L
w(x)
− i(1 + |j1| +2j2)arctg
1
2r
j
2
2
w
× exp+i
2
(x)
является решением параболического уравнения (Д.20);
L
j
1
(r)=
j
2
1
|j2|!r
j
1
exp(r)
dr
2
d
j1+j
2
r
j
2
exp(−r)
j
полином Лагерра. Полиномы Лагерра ортогональны на интервале (0; +∞)
+∞
exp(−r)r
0
j
j
1
2
(r)L
j
1
(r)dr =
j
3
j
1
L
⎧
0 при j
⎨
(j1+ j2)!
⎩
j2!
= j3,
2
при j2= j3.
(Д.39)
Другие виды гауссовых пучков (эллиптические гауссовы и эрмитогауссовы пучки и т.д.) описаны в [1, 2,8].
Д.2. Гауссовы пучки в оптической системе
Д.2.1. Основы метода геометрической оптики
Прохождение излучения через оптические системы наиболее просто
описывается на основе методов геометрической оптики [1,5, 7, 8]. В этом
разделе будут изложены только те основы метода геометрической оптики,
которые необходимы для описания преобразования гауссовых пучков оптической системой. Более подробно с методом геометрической оптики можно
познакомиться по книгам [5, 6, 8–10].
В основе метода геометрической оптики лежит гипотеза о том, что
свойства волны меняются в пространстве достаточно медленно в масштабе
длины волны [5,6, 10]. Это дает основание считать, что решение уравнения
(Д.4) имеет вид «почти плоской» волны, т. е. волны
W(x, y, z)=A(x, y, z)expi
2π
S(x, y, z), (Д.40)
λ
100 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
где вещественная амплитуда A(x, y, z) ивекторgradS(x, y, z) мало меняются на расстояниях, сравнимых с длиной волны λ. После подстановки
формулы (Д.40) в уравнение (Д.4) и выделения коэффициентов при λ
−2
получим уравнение эйконала [5, 6, 10]
∂S
∂x
2
∂S
+
∂y
2
+
2
∂S
= n2. (Д.41)
∂z
После подстановки формулы (Д.40) в уравнение (Д.4) и выделения коэффициентов при λ
∂A
2
∂x∂S∂x
+
−1
получим уравнение переноса [5, 6,10]
∂A
∂y∂S∂y
+
∂A
∂z∂S∂z
+
2
S
∂
+ A(x, y, z)
∂x
+
2
∂
∂y
2
2
S
S
∂
+
2
∂z
2
=0. (Д.42)
Поверхности S(x, y, z)=constназываются геометрическими волно-
выми поверхностями или волновыми фронтами. Вектор
1
∂S
x
n
∂x
+y
1
∂S
n
∂y
+z
1
∂S
n
∂z
(Д.43)
ортогонален поверхности волнового фронта. Из формулы (Д.41) следует,
что длина вектора (Д.43) равна единице.
Геометрические световые лучи можно определить как линии, ортогональные к волновым фронтам S(x, y, z)=const(рис. Д.4). Пусть траекто-
рию луча описывает уравнение
y = y(x),z= z(x).
Единичный вектор, касательный к траектории данного луча, равен
x
1
1+˙y2+˙z
2
+y
1+˙y2+˙z
˙
y
+z
2
1+˙y2+˙z
˙
z
, (Д.44)
2
где
˙
y =
∂y(x)
∂x
∂z(x)
˙
,
z =
∂x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]