Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследования по оптике
.pdf
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 101
( , , ) constSxyz =
Рис. Д.4. Геометрические световые лучи ортогональны к волновым фронтам
1
(, ,) constSxyz =
2
(, ,) constSxyz =
3
Так как касательная к траектории луча в каждой точке ортогональна волновому фронту, то из формул (Д.43), (Д.44) следует
1+˙y2+˙z
n˙y
1+˙y2+˙z
n˙z
1+˙y2+˙z
n
, (Д.45)
2
, (Д.46)
2
. (Д.47)
2
∂S
∂x
∂S
∂y
∂S
∂z
=
=
=
Заметим, что производная функции S[x, y(x), z(x)] по x равна
dS
∂S
dx
∂x
∂S
+
∂y
=
˙
y +
∂S
˙
z. (Д.48)
∂z
После подстановки в формулу (Д.48) выражений (Д.45), (Д.46), (Д.47) получим
dS
dx
= n
1+˙y2+˙z2. (Д.49)
Продифференцируем уравнение (Д.46) по x
dx
n˙y
d
1+˙y2+˙z
2
d
dx
∂S
∂y
=
∂
=
∂y
dS
. (Д.50)
dx
102 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
Из формул (Д.49), (Д.50) следует
d
dx
n˙y
1+˙y2+˙z
1+˙y2+˙z
=
2
∂n
2
. (Д.51)
∂y
Аналогично
d
dx
n˙z
1+˙y2+˙z
1+˙y2+˙z
=
2
∂n
2
. (Д.52)
∂z
Для определения вещественной амплитуды умножим уравнение (Д.42)
на A(x, y, z) и замечая, что,
2A
∂A
∂ξ
2
∂A
=
∂ξ
,
перепишем уравнение (Д.42) в виде скалярного произведения двух векторов
или
∂
x
∂x
+y
∂
∂y
+z
∂
∂z
div(A
∂S
2
xA
∂x
2
gradS)=0. (Д.54)
+yA
∂S
2
∂y
+zA
∂S
2
=0 (Д.53)
∂z
Рассмотрим бесконечно узкую трубку, образованную световыми лучами, выходящими из элемента ΔΣ
S(x, y, z)=const
, и обозначим через ΔΣ2соответствующий элемент, ко-
1
геометрической волновой поверхности
1
торый пересекают эти лучи на другой геометрической волновой поверхности S(x, y, z)=const
(рис. Д.5).
2
ΔΣ
1
ΔΣ
2
v
v
Рис. Д.5. К выводу закона интенсивности в геометрической оптике
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 103
Если проинтегрировать выражение (Д.54) по объему Ω, ограниченному
лучевой трубкой, то из теоремы Гаусса–Остроградского
div(A2gradS)dV =
Ω
— поверхность боковых стенок трубки,v — единичный вектор внеш-
где Σ
0
(
ΔΣ1+ΔΣ2+Σ
A2(v gradS)dΣ, (Д.55)
0
13
следует
ней нормали к поверхности трубки.
Так как на боковой поверхности Σ
лучевой трубки векторы gradS
0
иv взаимно перпендикулярны, то интеграл (Д.55) по боковой поверхности
равен нулю. На поверхности ΔΣ
векторы gradS иv направлены в проти-
1
воположные стороны, следовательно,v gradS = −|v|·|gradS| = −n
где n
ности ΔΣ
v gradS = |v|·|gradS| = n
преломления на ΔΣ
где A
мент поверхности ΔΣ
= |gradS| — значение показателя преломления на ΔΣ1. На поверх-
1
векторы gradS иv направлены в одну сторону, следовательно,
2
. Тогда из выражения (Д.55) следует
2
и A2вещественные амплитуды на ΔΣ1и ΔΣ2соответственно.
1
Поток излучения, который обусловлен переносом энергии через эле-
, равен MA
1
,гдеn2= |gradS| — значение показателя
2
2
A
n1ΔΣ1= A
1
2
n2ΔΣ2, (Д.56)
2
2
n1ΔΣ1. При этом коэффициент про-
1
порциональности M не зависит от свойств среды и параметров волнового фронта, а выражается через фундаментальные физические константы —
скорость света в вакууме и магнитную постоянную [6, 10]. Из формулы
(Д.56) следует, что поток излучения через элемент поверхности ΔΣ
потоку излучения через элемент поверхности ΔΣ
. Так как равенство по-
1
равен
2
токов излучения будет иметь место для любого сечения бесконечно узкой
лучевой трубки геометрической волновой поверхностью, то перенос излучения происходит внутри лучевой трубки. Через боковые стенки лучевой
13
В 1813 г. Гаусс опубликовал фундаментальную работу [11], в которой он исследовал задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь Гаусс многократно применяет для
отдельных частных случаев представление потока через замкнутую поверхность в виде объемного интеграла. Но вместо общей формулы Гаусс доказывает в этой работе отдельно ряд
частных теорем, повторяя каждый раз геометрические рассуждения, необходимые для данного
частного случая. Кроме того, Гаусс рассматривал только гравитационные поля, в которых сила притяжения является функцией расстояния. Случай общего векторного поля в трехмерном
пространстве Гаусса в этот период не интересовал [12, 13]. В общем виде теорема о представление потока через замкнутую поверхность в виде интеграла по области трехмерного
пространства была доказана впервые Остроградским [14, 15]. Позднее эта теорема формула
была обобщена Остроградским на случай m-кратного интеграла в работе [16]. Примечательно, что Максвелл в своем основополагающем труде [4, page 117] об электромагнитном поле
ссылается на работу Остроградского [14].
,
1
104 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
трубки излучение не проникает. Поэтому в рамках геометрической оптики
поток излучения направлен вдоль лучей [5, 6, 10].
Если значения показателя преломления во всех точках среды одинако-
вы, то
∂n
∂y
=0и
∂n
=0. В этом случае уравнения (Д.51), (Д.52) можно
∂z
преобразовать к виду
n˙y
1+˙y2+˙z
1+˙y2+˙z
n˙z
= b, (Д.57)
2
= c, (Д.58)
2
где коэффициенты b и c не зависят от координаты x. Из формул (Д.46),
(Д.47), (Д.57), (Д.58) следует
b =
c =
∂S
∂y
∂S
∂z
∂S
=˙y
=˙z
, (Д.59)
∂x
∂S
. (Д.60)
∂x
Так как [см. уравнение (Д.41)]
∂S
∂x
!
=
n2−
∂S
∂y
2
−
2
∂S
=n2− b2− c2, (Д.61)
∂z
то
˙
y =
˙
z =
b
√
n2− b2− c
c
√
n2− b2− c
, (Д.62)
2
. (Д.63)
2
Решение системы дифференциальных уравнений (Д.62), (Д.63) имеет вид
x + b,
x + c,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(Д.64)
y =
z =
β
n
γ
n
где
β = n˙y =
nb
√
n2− b2− c
, (Д.65)
2
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 105
γ = n˙z =
nc
√
n2− b2− c
. (Д.66)
2
Система уравнений (Д.64) описывает прямую линию.
Пусть функции S(x, y, z) соответствует пучок лучей, траектории которых описываются уравнениями (Д.64) при малых значениях β и γ .Сточностью до величин третьего и более высоких порядков малости относительно
β и γ из формул (Д.65), (Д.66) следует β = b, γ = c. После подстановки
этих значений в выражения (Д.61), (Д.59), (Д.60) получим
∂S
∂y
≈ β,
∂S
∂z
≈ γ,
∂S
∂x
n2− β2− γ2≈ n−
=
1
1
2
2
−
γ
2
. (Д.67)
β
2
Следовательно, в рассматриваемом случае значения частных производных
∂S
∂S
,
∂y
можно считать малыми. Так как при малых значениях β и γ уг-
∂z
лы между лучом и ортомx близки к нулю, а в геометрической оптике
поток излучения направлен вдоль лучей, то направление потока излучения примерно совпадает с осью x. Но электромагнитное поле с подобным
пространственным распределением потока излучения в среде с однородным показателем преломления n(x, y, z)=constописывает параболиче-
ское уравнение (Д.20). Поэтому для лучей, направление которых мало отличается от ортаx, формулы (Д.67) могут быть получены непосредственно
из уравнения (Д.20). Для этого, по аналогии с формулами (Д.16), (Д.40),
представим комплексную амплитуду волны в виде
W (x, y, z)=W
(x, y, z)expi
∪
2πnx
λ
, (Д.68)
где
2π
(x, y, z)=A∪(x, y, z)expi
W
∪
После подстановки формулы (Д.68) в уравнение (Д.20) и выделения коэффициентов при λ
ближении
−2
получим уравнение эйконала в параболическом при-
2
2n
∂S
∂x
∪
= −
∂S
∂y
∪
S
(x, y, z).
∪
λ
2
∂S
−
∪
. (Д.69)
∂z
В параболическом приближении поверхность геометрического волнового фронта описывает уравнение
nx + S
(x, y, z)=const. (Д.70)
∪
106 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
Вектор
xn +
∂S
∂x
+y
∂S
∂y
∪
∂S
∪
+z
∂z
∪
(Д.71)
является нормалью к поверхности (Д.70). Если направление луча мало отличается от ортаx, то в формуле (Д.44) величинами третьего и более высокого порядка относительно˙y,˙z можно пренебречь. При выполнении этого
условия вектор (Д.44) может быть записан в виде
2
2
˙
y
x1 −
+˙z
+y˙y +z˙z. (Д.72)
2
Так как касательная к траектории луча совпадает с нормалью к поверхности геометрического волнового фронта, то из формул (Д.69), (Д.72), (Д.71)
следует
2
2
˙
+˙z
∂S
∂y
∪
= n˙y,
∂S
∂z
∪
= n˙z,
∂S
∂x
∪
= −n
y
. (Д.73)
2
Полученные выражения используем для определения производной функции
S
[x, y(x), z(x)] по x
∪
2
2
˙
y
dS
dx
∂S
∪
=
∂x
∂S
∪
+
∂y
∪
˙
y +
∂S
∂z
∪
˙
z = n
+˙z
. (Д.74)
2
Из формул (Д.74), (Д.73) следует
или
2
d
y
n
dx
d
n
dx
d
=
2
dx
2
z
d
=
2
dx
2
y
d
n
dx
∂S
∪
∂y
∂S
∪
∂z
=0 n
2
dS
∂
=
∂y
∂
=
∂z
d
dx
∪
=0,
dx
dS
∪
=0
dx
2
z
=0. (Д.75)
2
Легко проверить, что при подстановке β = n˙y =constи γ = n˙z =
=constформулы (Д.64), которые описывают прямую линию, являются ре-
шением системы дифференциальных уравнений (Д.75).
Следует отметить, что фаза плоской волны (Д.5) удовлетворяет уравнению (Д.41); фаза плоской волны в параболическом приближении (Д.15)
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 107
удовлетворяет уравнению (Д.69). Но фаза (Д.27) гауссового пучка (Д.23) не
удовлетворяет ни одному из уравнений (Д.41), (Д.69) геометрической оптики. По этой причине использование метода геометрической оптики для расчета преобразования гауссовых пучков оптической системой предполагает
представление падающего на оптическую систему гауссового пучка в виде суперпозиции вспомогательных плоских волн, а преобразование вспомогательных плоских волн оптической системой рассчитывается методами
геометрической оптики.
Д.2.2. Преобразование фазы и амплитуды волны оптической системой
в приближении геометрической оптики
В этом и последующих разделах предполагается, что оптическая система является вращательно-симметричной; траектории лучей лежат в параксиальной области; комплексная амплитуда волны описывается в параболическом приближении. Как и в работе Гаусса «Dioptrische Untersuchungen»
перед оптической системой находится среда с постоянным показателем
преломления n
Пусть в плоскости x = Q (среда с показателем преломления n
0
, а показатель преломления последней среды равен n∗.
0
)фазу
падающей на оптическую систему волны W описывает функция
0
S
(y,z)=S
0
+ n0py + n0qz + ρ(y2+ z2), (Д.76)
0
где p, q, ρ — постоянные коэффициенты. Рассмотрим пучок лучей {R},лучи
которого являются нормалями к поверхностям геометрического волнового
фронта волны W. Входные участки траекторий лучей пучка {R} описывает
система уравнений
y = B +
z = C +
0
β
(x − Q),
0
n
0
γ
(x − Q),
0
n
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(Д.77)
где
∂S
0
β
0
γ
=
∂y
∂S
=
∂z
= n0p +2ρB, (Д.78)
y=B
z=C
= n0q +2ρC, (Д.79)
y=B
z=C
B, C — координаты точки пересечения луча с плоскостью x = Q.Легко
проверить, что при ρ =0входные участки траекторий лучей пучка {R}
108 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
параллельны друг другу. При ρ =0входные участки траекторий лучей
пучка {R} пересекаются в точке с координатамиQ −
n
2ρ
0
0
n
p
, −
2ρ
, −
0
n
q
2ρ
Если лучи пучка {R} пересекаются в одной точке, то функция (Д.76) описывает фазу сферической волны в параболическом приближении (B, C, β
0
γ
рассматриваются как величины первого порядка малости). При ρ =0
функция (Д.76) описывает фазу плоской волны.
Выходные участки траекторий пучка лучей {R} описывает система
уравнений
y = B
z = C
∗
где B
, C∗— координаты точки пересечения луча с плоскостью x = Q∗.
Если функция S
с показателем преломления n
∗
(y,z) описывает фазу волны W вплоскостиx = Q∗(среда
∗
β
γ
∗
β
∗
+
(x − Q∗),
∗
n
∗
γ
∗
+
(x − Q∗),
∗
n
), то из формул (Д.67) следует
∗
∂S
∗
=
∗
=
∂y
∂S
∂z
∗
y=B
z=C
y=B
z=C
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
, (Д.81)
∗
∗
. (Д.82)
∗
∗
(Д.80)
А из DU5 и формул (Д.78), (Д.79) следует
∗
B
= Gb + Hβ = GB + n0Hp +2HρB, (Д.83)
∗
= Kb+ Lβ = KB + n0Lp +2LρB, (Д.84)
β
∗
= Gc + Hγ = GC + n0Hq +2HρC, (Д.85)
C
∗
γ
= Kc+ Lγ = KC + n0Lq +2LρC. (Д.86)
.
0
,
Решение системы линейных уравнений (Д.83)–(Д.86) имеет вид
B =
C =
∗
β
∗
B
G +2Hρ
∗
C
G +2Hρ
=
G +2Hρ
− H pn
− H qn
pn
0
, (Д.87)
0
, (Д.88)
0
K +2Lρ
+
G +2Hρ
∗
, (Д.89)
B
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 109
γ∗=
0
qn
G +2Hρ
K +2Lρ
+
G +2Hρ
∗
C
. (Д.90)
Легко проверить, что при K +2Lρ =0выходные участки траекто-
рий лучей пучка {R} параллельны друг другу. При K +2Lρ =0входные
участки траекторий лучей пучка {R} пересекаются в точке с координатами
G +2Hρ
∗
− n
∗
K +2Lρ
, −
Q
0
p
n
K +2Lρ
, −
K +2Lρ
Если лучи пучка {R} пересекаются в одной точке, то функция S
описывает фазу сферической волны в параболическом приближении. При
K +2Lρ =0функция S
∗
(y,z) описывает фазу плоской волны.
0
q
n
.
∗
(y,z)
Из формул (Д.81), (Д.82), (Д.89), (Д.90) следует
∂S
∂y
∂S
∂z
∗
∗
y=B
∗
z=C
∗
∗
y=B
∗
z=C
=
G +2Hρ
=
G +2Hρ
0
p
n
0
q
n
K +2Lρ
+
G +2Hρ
K +2Lρ
+
G +2Hρ
∗
, (Д.91)
B
∗
. (Д.92)
C
Решением системы дифференциальных уравнений (Д.91)–(Д.92) является функция
2
∗
S
(y,z)=S
∗
0
+ n
py + qz
0
G +2Hρ
K +2Lρ
+
G +2Hρ
·
2
+ z
y
. (Д.93)
2
Пусть в плоскости x = Q фазу волны W
0
0
= s
при S
0
Вплоскостиx = Q
описывает функция (Д.93) при S
и WBвплоскостиx = Q описывает одна и таже функция A0(y,z).
W
A
,афазуволныWBописывает функция (Д.76) при S
A
∗
(среда с показателем преломления n∗)фазуволныW
∗
∗
= s
0
. Вещественную амплитуду волн
A
описывает функция (Д.76)
A
0
0
= s
0
B
Из формулы (Д.3) следует, что в произвольно выбранный момент времени t
пространственный профиль волны WAвплоскостиx = Q описывает
1
выражение
2π
λ
×
Ct
1
. (Д.94)
ReA
0
(y,z)expi
2π
λ
0
s
+ n0py + n0qz + ρ(y2+ z2)
A
× exp−i
.
A
110 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
Вмоментвремениt1пространственный профиль волны WAвплоскости
∗
x = Q
описывает выражение
∗
Re"A
(y,z)expi
2π
+ n
py + qz
0
G +2Hρ
∗
s
A
λ
+
K +2Lρ
G +2Hρ
y
2
2
+ z
2
×
2π
λ
2π
λ
Ct
1
, (Д.95)
×
Ct
1
, (Д.96)
где функция A
∗
= Q
.
Вмоментвремениt
волны W
ReA
× expi
вплоскостиx = Q описывает выражение
B
0
(y,z)expi
2π
λ
× exp−i
∗
(y,z) описывает вещественную амплитуду в плоскости x =
0
= t1+(s
2
2π
0
s
+ n0py + n0qz + ρ(y2+ z2)
B
λ
2π
× exp−i
0
s
+ n0py + n0qz + ρ(y2+ z2)
A
Ct
2
λ
B
0
− s
)/C пространственный профиль
A
0
(y,z) ×
=ReA
exp−i
Из выражений (Д.95), (Д.96) следует, что пространственный профиль волны W
ный профиль волны W
как свойства оптической системы не зависят от времени, то в плоскости
x = Q
ряет пространственный профиль волны W
времени t
произвольным образом) в плоскости x = Q
волны W
вплоскостиx = Q вмоментвремениt2повторяет пространствен-
B
∗
пространственный профиль волны WBвмоментвремениt2повто-
. Тогда в момент времени t1(а этот момент времени был выбран
1
описывает выражение
B
∗
Re"A
(y,z)expi
вплоскостиx = Q вмоментвремениt1.Так
B
вэтойжеплоскостивмомент
A
∗
пространственный профиль
2π
+ n
py + qz
0
G +2Hρ
∗
s
A
λ
+
K +2Lρ
G +2Hρ
2
y
+ z
2
2
×
× expi
2π
λ
∗
s
A
× exp−i
py + qz
0
+ n
G +2Hρ
2π
λ
Ct
+
2
G +2Hρ
=ReA
K +2Lρ
∗
(y,z) ×
2
y
+ z
2
+ s
0
×
A
2
0
− s
B
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]