Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследования по оптике
.pdf
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 111
2π
+ s
Ct
1
λ
∗
0
.Пустьs
B
, (Д.97)
фазу волны
0
=0
A
∗
0
∗
.Для
× exp−i
Из выражений (Д.95), (Д.97) следует, что в плоскости x = Q
W
описывает функция (Д.93) при S
B
∗
∗
= s
и s
A
вплоскостиx = Q
= s
представить в виде
(p; q; ρ), где функция s
0
0
∗
+ s
(p; q; ρ). Следовательно, слагаемое S
0
B
∗
фазу волны WBописывает функция (Д.93) при S
∗
S
= S
0
∗
∗
= s
0
∗
(p; q; ρ) зависит только от p , q, ρ.Тогда
0
0
∗
+ s
(p; q; ρ). (Д.98)
0
0
0
− s
A
A
∗
в формуле (Д.93) можно
0
Определим вещественную амплитуду волны в плоскости x = Q
этого выделим в плоскости x = Q прямоугольник (рис. Д.6). Центр этого прямоугольника находится в точке P с координатами y = y
, z = zP,
P
стороны прямоугольника параллельны осям y и z; длины сторон равны
Δy и Δz. Рассмотрим пучок лучей, который пересекает плоскость x = Q
по прямоугольнику (P ;Δy;Δz). При этом лучи данного пучка являются
нормалями к геометрической волновой поверхности, фазу которой в плоскости x = Q описывает выражение (Д.76). Траектории лучей этого пучка
заполняют область пространства, которую (как это уже было сделано ранее)
назовем лучевой трубкой. Оптические поверхности
ку на участки. Пусть ΔΣ
и ΔΣ
j
области, по которым лучевая трубка
j+1
14
делят лучевую труб-
пересекает две последовательно расположенные (по ходу лучей пучка) поверхнсти (рис. Д.7). Так как излучение не проникает через боковые стенки
лучевой трубки (см. раздел Д.2.1), то потоки излучения через ΔΣ
и ΔΣ
j
j+1
будут одинаковыми15. Различие потоков излучения в примыкающих к одной поверхности участках лучевой трубки может быть обусловлено потерями излучения при отражении и преломлении, а также перераспределением
энергии на дифракционных структурах. Если пренебречь этими потерями,
то поток излучения будет одинаковым во всей лучевой трубке.
Из формул (Д.83), (Д.85) следует, что плоскость x = Q
мый пучок лучей пересекает по прямоугольнику с центром в точке P
этом координаты точки P
0
Hq +2HρzP, а стороны данного прямоугольника параллельны осям y
+ n
∗
равны y = GyP+ n0Hp +2HρyP, z = GzP+
∗
рассматривае-
∗
.При
и z; длины сторон равны
=
∗
Δy
=(G +2Hρ)Δy, Δz∗=(G +2Hρ)Δz. (Д.99)
14
На этих поверхностях луч изменяет свое направление в результате преломления или отражения. Если на поверхности находится дифракционная структура, то изменение направления
луча происходит в результате дифракции.
15
Предполагается, что поглощение и рассеяние излучения отсутствуют.
112 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
()
Δ
z
P
yΔ
Рис. Д.6. Лучевая трубка в оптической системе
ΔΣ
1j+
ΔΣ
j
∗
∗
;;Pyz
∗
Рис. Д.7. Лучевая трубка пересекает две последовательно расположенные (по ходу
лучей пучка) поверхности по ячейкам ΔΣ
и ΔΣ
j
j+1
Проведем через точку P геометрическую волновую поверхность
(рис. Д.8 ). Пусть световая трубка пересекает данную геометрическую волновую поверхность по ячейке ΔΣ
трубку, перпендикулярны поверхности ячейки ΔΣ
0
. Лучи, которые заполняют световую
0
и пересекают плоскость x = Q по прямоугольнику (P ;Δy;Δz). При малых значениях Δy,
Δz, ρ участки траекторий лучей между плоскостью x = Q иячейкой
0
можно считать примерно параллельными. Тогда ячейку ΔΣ0можно
ΔΣ
рассматривать как результат параллельного проецирования прямоугольника (P ;Δy;Δz) на геометрическую волновую поверхность по направлению
входного участка траектории луча, который проходит через точку P .При
малых значениях Δy, Δz поверхность ячейки ΔΣ
0
можно считать плос-
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 113
кой. При выполнении этих условий площадь ячейки ΔΣ0иплощадьпрямоугольника (P ;Δy;Δz) связаны равенством
0
ΔΣ
cos ∠(x;v0)=ΔyΔz, (Д.100)
где ∠(x;v) — угол между нормалью к плоскости x = Q (ортомx) и направлением входного участка траектории луча (вектор
следует, что с точностью до величин второго порядка малости относительно β
0
и γ0cos ∠(x;
0
v
)=1. Тогда формула (Д.100) примет вид
0
ΔΣ
=ΔyΔz. (Д.101)
z
Δ
0
v
P
yΔ
0
v
). Из уравнений (Д.77)
y
x
z
Рис. Д.8. Геометрическая волновая поверхность, которая проходит через точку P
Поток излучения, который обусловлен переносом электромагнитным
полем энергии через ячейку ΔΣ
0
M[A
(xP,yP)]2n0ΔyΔz,гдеA0(xP,yP) — вещественная амплитуда волны
вточкеP. Аналогичным методом определяется поток излучения, который
обусловлен переносом энергии через прямоугольник (P
поток равен M[A
∗
∗
(x
∗
,y
P
P
ная амплитуда волны в точке P
0
и прямоугольник (P ;Δy;Δz), равен
∗
;Δy∗;Δz∗).Этот
∗
)]2n∗Δy∗Δz∗,гдеA∗(x
∗
. Так как поток излучения во всей световой
∗
,y
P
) — веществен-
P
трубке одинаковый, то
0
[A
(xP,yP)]2n0ΔyΔz =[A∗(x
∗
∗
,y
P
)]2n∗Δy∗Δz∗. (Д.102)
P
Для оптических систем без отражающих поверхностей и дифракционных элементов равенство (Д.102) может быть получено непосредственно из
формулы (Д.56). Для этого следует сделать сделать два допущения: (I) при
114 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
переходе от одной оптической среды к другой показатель преломления меняется не скачком, а плавно на очень малом интервале; (II) проходящие
через точки P и P
x = Q и x = Q
∗
волновые поверхности мало отличаются от плоскостей
∗
.
После подстановки выражений (Д.99) в формулу (Д.102) получим
0[A0
n
(y,z)]2= n∗(G +2Hρ)2×
Если вещественная амплитуда во всех точках плоскости x = Q одинакова
0
(y,z)=A0=const], то в любой точке плоскости x = Q∗вещественная
[A
амплитуда равна
×A
∗
Gy + n
0
Hp +2Hρy,Gz + n0Hq +2Hρz
!
A
∗
=
0
A
G +2Hρ
0
n
. (Д.104)
∗
n
2
. (Д.103)
Пусть в плоскости x = Q комплексную амплитуду волны описывает
функция
expi
2π
λ
0
S
+ n0py + n0qz + ρy2+ z
0
A
Из формул (Д.93), (Д.95), (Д.97), (Д.98), (Д.104) следует, что в этом случае
комплексную амплитуду волны в плоскости x = Q
G +2Hρ
!
0
A
n
n
0
expi
∗
2π
+ n
S
λ
py + qz
0
G +2Hρ
0
+ s
∗
(p; q; ρ)+
0
+
K +2Lρ
G +2Hρ
2
. (Д.105)
∗
описывает функция
2
+ z
2
2
. (Д.106)
y
Д.2.3. Интеграл Коллинса
Пусть в плоскости x = Q (среда с показателем преломления n
плексную амплитуду волны описывает функция W
∗
x = Q
ны описывает функция W
(среда с показателем преломления n∗)комплексную амплитуду вол-
∗
(y,z). По аналогии с формулам (Д.9), (Д.10)
0
(y,z),авплоскости
0
представим комплексную амплитуду волны в плоскости x = Q ввиде
+∞
+∞
0
(y,z) = lim
W
Δp
Δq
→0
j
y
jy=−∞
→0
j
z
jz=−∞
× exp
i2πn
W
0
(p
, q
)×
j
j
y
z
0
(yp
+ zq
j
λ
y
j
z
)Δp
Δq
j
y
, (Д.107)
j
z
)ком-
где
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 115
+∞
2
0
n
λ
W0(y,z)exp−i
−∞
0
2πn
(yp + zq)dydz. (Д.108)
λ
W
0
(p, q)=
Каждое слагаемое в формуле (Д.107) можно рассматривать как комплексную амплитуду вспомогательной плоской волны в плоскости x = Q
0
2πn
λ
= |W
0
n
p
i
(yp
j
y
+ zq
j
y
0
(p
j
y
y + n0q
, q
j
j
j
z
z
z
z +
)Δp
)Δp
j
λ
2π
y
j
y
Δq
Δq
j
j
z
argW
z
|×
=
0
(p
, q
). (Д.109)
j
j
y
z
∗
ком-
0
W
(p
, q
)exp
j
j
y
z
× exp
2πi
λ
Из формул (Д.105), (Д.106), (Д.109) следует, что в плоскости x = Q
плексную амплитуду рассматриваемой вспомогательной волны описывает
выражение
W
0
(p
, q
j
y
× exp
j
z
G
)Δp
2πi
λ
!
Δq
j
y
n
0
j
z
n
×
∗
n
2
p
y + q
j
y
0
z
j
z
G
+ K
2
+ z
y
2G
∗
(p; q; ρ) . (Д.110)
+ s
0
∗
Так как функция W
(y,z) является суперпозицией комплексных амплитуд
вспомогательных волн в плоскости x = Q
W
∗
(y,z)=
× exp
!
lim
j
y
j
z
p
→0
→0
j
y
jy=−∞
y + q
G
0
n
∗
n
Δp
Δq
2πi
0
n
λ
+∞
z
j
z
+∞
jz=−∞
+ K
y
2
∗
W
2G
,то
0
+ z
(p
; q
)
j
j
y
z
+ s
∗
(p
0
× Δp
×
; q
;0) ×
j
j
y
z
Δq
. (Д.111)
j
j
y
z
G
2
116 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
После предельного перехода от суммирования к интегрированию и замены
переменных формула (Д.111) примет вид
W
∗
(y,z)=
×
−∞
+∞
!
2
λ
n
W
0
G
n
expi
∗
0
n
p
λG
0
;
0
n
πK
2
y
Gλ
λG
q
exp
0
n
× exp [2πi(p
+ z
2
2πi
λ
×
λG
n
λG
q
;
0
0
n
p
∗
s
0
y + qz)] dpdq. (Д.112)
×
Интеграл в формуле (Д.112) можно интерпретировать как обратное
преобразование Фурье от функции
W
λG
p
0
0
n
q
λG
;
0
n
exp
2πi
λ
λG
p
∗
s
0
0
n
q
λG
;
n
. (Д.113)
0
Следовательно, функция (Д.113) может быть получена в результате прямого
преобразования Фурье функции (Д.111)
!
0
n
λ2G
Для определения функции s
n
n
+∞
∗
W∗(y,z)exp−i
0
−∞
0
=W
× exp [−2πi(p
λG
n
λG
q
;
0
0
n
∗
(p; q;0) рассмотрим волну, комплексную ам-
0
p
πK
2
y
Gλ
exp
+ z
y + qz)] dpdq=
2πi
s
λ
2
×
λG
n
λG
q
;
0
;0. (Д.114)
0
n
p
∗
0
плитуду которой в плоскости x = Q описывает выражение
0
(y,z)=A0expi
W
сф
2π
λ
2
ρ(y
+ z2). (Д.115)
Из формул (Д.105), (Д.106) следует, что в плоскости x = Q
амплитуда этой волны равна
!
W
сф
∗
(y,z)=
0
A
G +2Hρ
× expi
2π
0
n
∗
n
λ
×
∗
(0; 0; ρ)+
s
0
K +2Lρ
G +2Hρ
2
y
+ z
2
∗
комплексная
2
. (Д.116)
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 117
В результате подстановки W0(y,z)=W
16
чим
W
0
сф
(p, q)=i
0
A
λ
2ρ
2
0
n
expi
λ
0
(y,z) в формулу (Д.108) полу-
сф
0)2
π(n
2ρλ
2
+ q2) . (Д.117)
(p
Аналогично вычисляется интеграл в формуле (Д.114)
+∞
−∞
∗
W
(y,z)exp−i
сф
πK
2
y
Gλ
× exp [−2πi(p
2
+ z
×
y + qz)] dpdq=
!
0
=
iλGA
2ρ
0
n
∗
n
exp"−
Из формул (Д.114), (Д.117), (Д.118) следует, что s
∗
s
(p; q;0) =−
0
Если H =0,тоs
∗
(p; q;0) = s•. В этом случае17из формул (Д.108),
0
iπλG(G +2Hρ)
2ρ
× expi
0)2
(n
H
2
+ q2)+s•. (Д.119)
(p
2G
)2
[(p
+(q)2]×
2π
∗
s
(0; 0; ρ). (Д.118)
0
λ
∗
(0; 0; ρ)=s•=constи
0
(Д.112) следует
!
0
0
n
ÊÊ
n
+∞
−∞
G
expi
∗
n
exp{iε[(y − y0)2+(z − z0)2]}dydz при действительном ε формально
∗
W
(y,z)=
16
Интеграл
является несобственным. По причинам, объясняемым во многих руководствах по оптике [1,5],
на это обстоятельство можно не обращать внимания, положив указанный интеграл равным
iπ/ε.
17
При H =0плоскость x = Q оптически сопряжена с плоскостью x = Q∗.Таккак
GL − HK =1,тоG и H не могут быть одновременно равны нулю.
πK
Gλ
2
y
+ z
2
exp
2πi
λ
× W
•
s
×
0
y
z
,
G
. (Д.120)
G
118 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
При H =0подстановка формул (Д.108), (Д.119) в уравнение (Д.112)
дает
∗
W
(y,z)=Gn
!
0
n
0
expi
∗
n
πK
Gλ
2
y
+ z
2
exp
2πi
λ
•
s
×
+∞
×
W0(y,z)
−∞
× exp {−2πi[p
Проинтегрировав выражение (Д.121) по p
!
− i
W
∗
(y,z)=
×G(y
n
n
Hλ
)2
− 2yy+ Ly2+ G(z)2− 2zz+ Lz
+∞
exp#−iπHGλ(p)2+(q)
−∞
(Gy− y)+q(Gz− z)]}dpdqdydz. (Д.121)
, qполучим
0
∗
exp
2πi
λ
+∞
•
s
W0(y,z)expi
−∞
$
2
×
π
×
Hλ
2
dz
. (Д.122)
dy
Если не учитывать постоянный фазовый сдвиг (а он обычно не представляет интереса), то формула (Д.122) примет вид
!
+∞
W
∗
(y,z)=
×G(y
− i
Hλ
0
n
n
)2
− 2yy+ Ly2+ G(z)2− 2zz+ Lz
W0(y,z)expi
∗
−∞
Hλ
π
×
2
dz
. (Д.123)
dy
Формулу (Д.123) называют интегралом Коллинса (Collins integral) по имени автора статьи [17]. Дополнительные сведения об интеграле Коллинса
можно найти в [1, 8, 9,18, 19].
Рассмотрим случай, когда на пути от плоскости x = Q до плоскости
∗
x = Q
няются прямолинейно в среде с показателем преломления n
раздела K.4, следует, что в рассматриваемом случае G =1, K =0, L =0,
H =Δx/n,гдеΔx = Q
лучи не встречают каких-либо оптических элементов, а распростра-
∗
− Q — расстояние между плоскостями x = Q
0
= n∗= n.Из
Д.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 119
и x = Q∗. После подстановки этих значений в интеграл Коллинса (Д.123)
получим
W
∗
×
(y,z)=
+∞
−∞
− in
×
Δxλ
W0(y,z)expi
πn
Δxλ
(y
− y)2+(z− z)
2
dz
. (Д.124)
dy
Формула (Д.124) эквивалентна интегралу Френеля (Д.21).
Отметим, что рассмотренный в этом разделе вывод формулы (Д.124)
предполагает выполнение условия G =0,таккакприG =0значения
выражений (Д.110), (Д.111), (Д.114), (Д.119), (Д.120), (Д.121) принимают
неопределенные значения. Это связано с тем, что падающей на оптическую
систему плоской вспомогательной волне соответствует пучок лучей, входные траектории которых параллельны. А так как при G =0точка Q
падает со второй (задней) фокальной точкой F
∗
(это следует DU5 и DU6),
∗
сов-
то выходные траектории лучей этого пучка пересекают плоскость x = F
в одной и той же точке. Соответственно, длины Δy∗, Δz∗сторон прямоугольника, по которому световая трубка пересечет плоскость x = F
нулю [см. формулу (Д.99)]. Из-за этого вычисленная по формуле (Д.102)
амплитуда A
вплоскостиx = F
вия применения метода геометрической оптики
Заметим, что интеграл Френеля (Д.21) позволяет определить комплексную амплитуду волны в плоскости x = F
плитуде волны в плоскости x = F
и x = F∗− Δx∗находятся в среде с показателем преломления n∗). Так
как в плоскости x = F
волны принимает конечные значения, то для расчета комплексной амплитуды W
Коллинса (Д.123)
∗
W
∗
F
18
Подробные сведения о каустиках, их классификации и каустическом сдвиге фаз приведены
в [10].
∗
принимает бесконечно большое значение. Таким образом,
∗
имеет место каустика, где нарушаются основные усло-
∗
− Δx∗(Δx∗> 0,аплоскостиx = F
∗
− Δx∗вещественная амплитуда вспомогательной
∗
(y,z) вплоскостиx = F∗− Δx∗можно использовать интеграл
∗
F
18
.
∗
по известной комплексной ам-
!
(y,z)=
×
−∞
− i
Hλ
+∞
0
n
×
∗
n
W0(y,z)expi
+ G
π
Hλ
(z)2
(y)2
G
− 2zz+ Lz
− 2yy+ Ly2+
)
2
dy
dz
, (Д.125)
∗
равны
∗
∗
120 Р. Е. Ильинский.ДОПОЛНЕНИЕ.ГАУССОВЫ ПУЧКИ
где коэффициенты G= −KΔx∗/n∗, H= H −LΔx∗/n∗, K= K, L= L
удовлетворяют уравнению [см. раздел K.4, формула (K.41)]
1Δx
01
∗/n∗
G
KL
H
=
G =0 H
KL
, (Д.126)
а коэффициенты G =0, H, K, L соответствуют выбору в качестве опорных
точек Q и F
Для определения комплексной амплитуды в плоскости x = Q
∗
.
∗
вос-
пользуемся интегралом Френеля (Д.21)
∗
W
(y,z)=
×−KΔx
∗
− n
(H −LΔx∗/n∗)Δx∗λ
expi
× exp"i
(y)2+(z)
∗
n
∗
πn
∗
λΔx
(H −LΔx∗/n∗)λ
2
− 2ηy+ Lη2− 2ζz+ Lζ
∗
2
− 2yη + η2+ z2− 2zζ + ζ
y
!
2
+∞
+∞
0
n
∗
n
−∞
π
W0(y,z)×
−∞
×
2
dz
dy
2
dηdζ. (Д.127)
После интегрирования по η и ζ формула (Д.127) примет вид
!
+∞
W
∗
(y,z)=
− i
Hλ
× expi
0
n
n
∗
−∞
π
Hλ
W0(y,z)×
−2yy
+ Ly2− 2zz+ Lz
2
dz
. (Д.128)
dy
Выражение (Д.128) представляет интеграл Коллинса (Д.123) при G =0.
Д.2.4. Преобразование гауссового пучка оптической системой
Пусть ось симметрии падающего на оптическую систему кругового
гауссового пучка совпадает с осью симметрии оптической системы, а перетяжка гауссвого пучка находится в плоскости x = ξ. В соответствии с формулой (Д.23) комплексную амплитуду такого пучка (в среде с показателем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]