Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследования по оптике
.pdf
K.4. ПАРАКСИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 51
Тогда с точностью до величин третьего порядка малости формулы (K.23),
(K.24) примут вид
= β +
= γ +
b
(n − n
r
c
(n − n
r
), (K.28)
). (K.29)
β
γ
Полученные выражения (K.28), (K.29) эквивалентны системе уравнений (2)
из DU1.
Следует отметить, что существуют вращательно-симметричные поверхности, через которые невозможен расчет хода луча в параксиальном
приближении. Например, уравнение
x − N =ctgσ
y2+ z
2
описывает поверхность кругового конуса с углом при вершине 2σ.Таккак
поверхность кругового конуса при y =0, z =0не является гладкой, то
расчет хода луча в параксиальном приближении через данную поверхность
невозможен.
K.4. Параксиальные характеристики оптической системы
На рис. K.4 показан пример расположения поверхностей оптической
системы, ход луча через которую рассматривается в DU2. На этом же рисунке указаны знаки радиусов преломляющих поверхностей.
()nμ
0
′
n
n
0
N
′′
n
′
N
N
IV
′′′
n
n
′′′
N
′′
(1)nμ+
()Nμ
0
0r >
Рис. K.4. Расположение поверхностей оптической системы
0r′<
′′′
0r
>
0r′′<
()0rμ
<
Вычисление коэффициентов g, h, k, , которые используются в формулах (4), Гаусс предлагается вести на основе обозначений Эйлера. Обозначения Эйлера связаны с цепными дробями следующими формулами
1
a +(1/a)
=
aa+1
a
=
(a
(aa)
)
,
52 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
a
(a
=
(aaa)
)
, ит.д.
)
)
,
a +
a +
a+(1/a)
a+
1
1
1
1
1
a+(1/a
)
a +
=
1
(a
)
(aa)
aa
(a
(aaaa
=
Подробнее с обозначениями Эйлера можно познакомиться в [26,29,30],
[31, стр. 29]. В книге [32] рассматриваемые обозначения Эйлера названы
скобками Гаусса. Обозначения Эйлера весьма близки к тому, что в современной математике называется континуантой (continuant) [33], [34, Chapter
XV. Continuants, up to 1870 pp. 413–444].
В конце 50-х годов XIX века (т.е. после публикации «Dioptrische
Untersuchungen») в математику был введен матричный формализм, который
в настоящее время используется весьма широко, в том числе для анализа
оптических систем [35, 36]. На основе матричного формализма материал
DU2 может быть изложен следующим образом.
В матричной форме соотношения между коэффициентами β
0
, b0, β
можно записать в виде
=
0
b
β
10
0
u
1
В матричной форме соотношения между коэффициентами b
записать в виде
=
b
β
1 t
01
0
b
. (K.30)
0
β
, b0, βможно
0
b
. (K.31)
β
После подстановки выражения (K.30) в формулу (K.31) получим
=
b
β
1 t
01
10
0
1
u
0
b
. (K.32)
0
β
Аналогично доказывается
=
b
β
10
1
u
1 t
01
10
0
u
1
0
b
. (K.33)
0
β
Подобным образом на основе матричного формализма могут быть получены формулы для расчета всех членов последовательностей b, β.Конечные
K.4. ПАРАКСИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 53
члены этих последовательностей равны
∗
b
∗
β
=
gh
k
0
b
, (K.34)
0
β
где
gh
k
=
10
∗
u
1
∗
1 t
01
···
10
u1
×
×
1 t
01
10
u01
. (K.35)
Аналогично доказывается
∗
c
∗
γ
=
gh
k
0
c
. (K.36)
0
γ
На основе матричного формализма могут быть легко получены соотношения из раздела DU3. Заметим, что детерминант любой матрицы в правой
части равенства (K.35) равен 1. А так как детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов, то
det
gh
k
= g − hk =1. (K.37)
Из формул (K.34), (K.36), (K.37) следует
где
b
β
c
γ
=
0
0
=
0
0
gh
k
gh
k
gh
k
−1
=
−1
−1
−h
−kg
∗
b
, (K.38)
∗
β
∗
c
, (K.39)
∗
γ
(K.40)
обратная матрица.
Рассмотренные в DU5 соотношения между коэффициентами g, h, k,
и G, H, K, L могут быть записаны в матричной форме
GH
KL
=
1
Q∗− N
01
∗
∗
n
gh
k
⎛
1
⎝
01
Q0− N
⎞
0
⎠
0
n
. (K.41)
54 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
Математический аппарат анализа оптической системы, который был
изложен в «Dioptrische Untersuchungen» и который был позднее дополнен
матричным формализмом, весьма универсален. Этот аппарат пригоден не
только для систем, где изменение направления луча происходит в результате преломления (или отражения) на поверхностях, но и для систем с дифракционными элементами и/или средами с плавно меняющемся по объему
среды показателем преломления. Если на поверхности расположен дифракционная структура, то изменение параметров луча дифракционной структурой описывает матрица [37, 38]
−Φ
10
дифр
, (K.42)
1
где Φ
— оптическая сила дифракционной структуры.
дифр
Если оптический элемент (рис. K.5) представляет ограниченную двумя
плоскими поверхностями среду с распределением показателя преломления
2
n
− δn2(y2+ z2),
0
где n
n =
— показатель преломления на оси элемента, δn — параметр распре-
0
деления показателя преломления, то изменение параметров луча до и после
прохождения этого элемента описывает матрица [35–38]
−δn sin(t
=(N− N0)/n0.
где t
Рис. K.5. Прохождение луча через оптический элемент с неоднородным распределением показателя преломления
cos(t
δn)sin(tδn)/δn
δn)cos(tδn)
0
N
N
, (K.43)
′
В элементарных учебных курсах, где использование матричного формализма нежелательно, для вычисления коэффициентов g, h, k, можно
непосредственно рассчитать ход двух впомогательных параксиальных лучей. Входной участок траектории первого впомогательного луча описывает
K.5. ПРЕДМЕТ И ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ 55
система уравнений (K.1) при ˆn = n0,ˆβ = β
0
, ˆγ =0, ˆa = N0,ˆb = b
I
0
, ˆc =
I
=0. Входной учаток траектории второго впомогательного луча описывает
система уравнений (K.1) при ˆn = n
0
,ˆβ = β
ˆc =0. При этом должно быть выполнено условие β
0
, ˆγ =0, ˆa = N0,ˆb = b
II
0
0
0
− β
II
0
b
I
b
I
II
0
II
=0.По
формулам
0
β
= β
I
I
0
= b
b
I
I
β
β
b
= β
I
I
= b
b
I
I
= β
I
I
= b
I
I
+ u0b
+ tβ
+ ub
+ tβ
+ ub
β
+ t
0
,
I
,
I
,
I
,
I
,
I
,
I
..................
из DU2 определяют члены последовательностей β
формулам рассчитывают члены последовательностей β
(4) следует
∗
где β
, β
I
∗
II
, b
∗
∗
, b
конечные члены последовательностей βI, βII, bI, bII.
I
II
∗
0
b
= gb
I
∗
= kb
β
I
∗
= gb
b
II
∗
β
= kb
II
+ hβ
I
0
I
0
II
0
II
+ β
+ hβ
+ β
0
,
I
0
,
I
0
,
II
0
,
II
Коэффициенты g, h, k, являются решением системы уравнений (K.44).
Для упрощения вычислений обычно задают β
, bI.Поаналогичным
I
, bII.Изформул
II
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
0
I
=0, b
0
II
=0.
(K.44)
Тождество g − hk =1в элементарных курсах может быть доказано
на основе инварианта Лагранжа
0
0
0
0
0
0
β
b
−β
b
= β
b
−β
b
= β
I
II
II
I
I
II
II
b
I
I
II
−β
II
b
= ...= β
I
∗
∗
∗
−β
II
b
∗
. (K.45)
I
b
I
II
Из формул (K.44), (K.45) следует
0
0
0
0
∗
∗
∗
∗
0
0
0
β
b
I
II
Так как (β
− β
0
b
I
0
II
II
− β
b
= β
b
I
0
b
II
− β
I
II
0
) =0,тоg − hk =1.
I
II
b
I
=(β
b
I
II
− β
0
b
)(g − hk). (K.46)
II
I
,
K.5. Предмет и его изображение
В DU4 получены наиболее общие соотношения между координатами
ξ, η, ζ точки предмета P и координатами ξ
∗
, η∗, ζ∗точки P∗— изображения
56 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
точки P :
0
h − g(ξ −N0)
∗
ξ
= N∗−
∗
η
=
∗
ζ
=
Доказать, что точки P , P
n
n0 − k(ξ −N0)
0
η
n
n0 − k(ξ − N0)
0
ζ
n
n0 − k(ξ − N0)
∗
иосьx лежат в одной плоскости можно
, (K.48)
. (K.49)
∗
· n
, (K.47)
следующим образом. Уравнение плоскости, в которой лежит ось x имеет
вид
y + azz =0. (K.50)
a
y
∗
Если точка P
принадлежит этой плоскости, то
η∗+ azζ∗=0. (K.51)
a
y
После подстановки в уравнение (K.51) выражений (K.48), (K.49) получим
a
η + azζ
y
n0 − k(ξ −N0)
=0. (K.52)
Из уравнения (K.52) следует равенство a
координаты точки P удовлетворяют уравнению (K.50). Следовательно, точки P , P
∗
иосьx лежат в одной плоскости.
Если точка P
∗
является изображением точки P ,тоточкиP и P∗на-
η + azζ =0. Это означает, что
y
зывают оптически сопряженными. Если все точки одной поверхности являются изображениями точек другой поверхности, то такие поверхности
называют оптически сопряженными. Например, плоскость x = ξ оптиче-
ски сопряжена с плоскостью x = ξ
∗
ξ
= N∗−
∗
, где, согласно формуле (K.47),
0
h − g(ξ −N0)
n
n0 − k(ξ −N0)
· n
∗
.
По современной терминологии коэффициент подобия
0
n
n0 − k(ξ −N0)
называется линейным увеличением в оптически сопряженных плоскостях
x = ξ и x = ξ
∗
.
= g +
k
(ξ∗− N∗)(K.53)
∗
n
K.5. ПРЕДМЕТ И ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ 57
Если рассматриваемые в DU5 точки Q и Q∗оптически сопряжены, то,
согласно формуле (K.47),
∗
∗
Q
∗
θ
− N
=
∗
n
= −
gθ + h
kθ +
.
Коэффициенты G, H, K, L вэтомслучаеравны
0
G =
n0 + k(N0− Q)
n
, (K.54)
H =0, (K.55)
K = k, (K.56)
0
N
L = + k
− Q
. (K.57)
0
n
Из формул (K.53), (K.54), (K.57) следует, что линейное увеличение в оптически сопряженных плоскостях x = Q, x = Q
Из формул (K.47), (K.48), (K.49) следует: изображение прямой есть
прямая
8
; изображение плоскости есть плоскость. Эти утверждения можно
∗
равно G =1/L.
легко доказать методами аналитической геометрии. Но в книге [39] приведено следующее чисто геометрическое доказательство.
Рассмотрим прямую, которая проходит через точки S
Изображением точки S
ляется точка S
∗
. Выберем произвольным образом точку T . Изображением
2
точки T является точка T
проходит через точки T и S
проходит через точки T
является точка S
1
∗
. Если входной участок траектории этого луча
, то выходной участок траектории этого луча
1
∗
∗
и S
. Аналогично, если входной участок траекто-
1
рии этого луча проходит через точки T и S
тории этого луча проходит через точки T
на прямой S
жит в плоскости TS
прямые TS
луча пересекает прямые T
является изображением точки P1,аточкаP
ки P
.ТочкаS
2
∗
∗
P
— выходном участке траектории луча. Таким образом прямые T∗S
P
1
2
∗S∗
∗
, S
T
2
1
8
Это очевидно для прямых, которые совпадают с начальными участками траекторий лучей,
но требует доказательства для прямых, которым нельзя поставить в соответствие начальный
участок траектории луча. Например, прямая перпендикулярна оптической оси.
. Рассмотрим луч, который проходит через точку S3иле-
1S2
и TS2вточкахP1и P2, а выходной участок траектории этого
1
∗
, которая является изображением точки S3, лежит на прямой
3
∗
∗ S
иточкаS
2
. Входной участок траектории этого луча пересекает
1S2
∗S∗
и T∗S
1
∗
лежат в одной плоскости. Так как точка T∗была
3
∗
1
∗
∗
вточкахP
2
, а изображением точки S2яв-
, то выходной участок траек-
2
∗
и S
.ПустьточкаS3находится
2
∗
и P
1
∗
является изображением точ-
2
и S2(рис. K.6).
1
∗
.ПриэтомточкаP
2
∗
1
∗
,
1
58 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
выбрана выбрана произвольно, то точка S
проходящей через S
∗
∗
и S
1
, т. е. лежит на прямой S
2
доказано, что изображением прямой S
S
1
P
P
2
1
S
3
S
T
2
∗
принадлежит любой плоскости,
3
является прямая S
1S2
*
S
2
*
S
3
*
S
1
∗
∗
S
. Таким образом,
1
2
∗
1
∗
T
*
P
1
S
∗
2
P
Рис. K.6. К доказательству о том, что изображение прямой есть прямая
Докажем теперь, что изображение плоскости есть плоскость. Пусть
и P0P2(рис. K.7) — две прямые, принадлежащие плоскости P0P1P2.
P
0P1
Они изображаются прямыми P
∗
ке P
P
кости P
— изображении точки P0. Произвольная прямая P1P2плоскости
0
0P1P2
изображается прямой P
изображаются точками плоскости P
0P1P2
P
Рис. K.7. К доказательству о том, что изображение плоскости есть плоскость
∗
∗
∗
P
и P
0
1
∗
∗
P
, а следовательно, и все точки плос-
0
1
P
1
P
0
2
∗
P
, пересекающимися в точ-
0
2
∗
∗
∗
P
P
0
*
P
2
*
P
0
*
P
1
.
1
2
.
*
2
Полученные К. Гауссом соотношения (K.47), (K.48), (K.49) в проективной геометрии можно интерпретировать как коллинеарное соответствие с осевой симметрией двух проективных пространств
9
. Первое про-
странство называется пространством предметов. Второе пространство на-
9
Проективное пространство можно получить, пополняя евклидово пространство бесконечно удаленными точками, которые образуют бесконечно удаленную плоскость: каждая другая
плоскость пересекает ее по своей бесконечно удаленной прямой. Параллельные плоскости пересекаются по бесконечно удаленной прямой — она у них общая. Так же как параллельные
прямые пересекаются в их общей бесконечно удаленной точке. Пространство, пополненное
таким образом бесконечно удаленной плоскостью, становится проективным пространством,
когда бесконечно удаленные его элементы — точки, прямые, плоскость, — полагаются «равноправными» с соответствующими обычными элементами пространства [40].
K.6. СИСТЕМЫ С ОТРАЖАЮЩИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 59
зывается пространством изображений. Входные участки траекторий лучей
принадлежат пространству предметов, а выходные участки траекторий лучей принадлежат пространству изображений. Поэтому точка P пересечения входных траекторий лучей пучка относится к пространству предметов,
аточкаP
сится к пространству изображений. При этом точка P
∗
пересечения выходных траекторий лучей этого же пучка отно-
∗
является изображением точки P , а координаты этих точек удовлетворяют равенствам (K.47),
(K.48), (K.49).
Методы анализа оптических характеристик на основе проективных соотношений получили свое развитие в трудах Мебиуса, Максвелла, Аббе,
Каратадеори и других исследователей второй половины XIX – начала XX
веков [22, 41–43]. Следует отметить книгу [44], где изложение материала
основано на аналогии между геометрической оптикой и проективной геометрией.
K.6. Системы с отражающими поверхностями
В DU5 утверждается, что общая теория может быть использована для
систем с одной или несколькими отражающими поверхностями. Действительно, в конце DU1 было указано, что формулы отражения луча получаются из формул преломления как частный случай, если показатели преломления до и после поверхности равны по величине и противоположны по
знаку (n
казатели преломления всех сред, которые следуют за этой поверхностью,
меняют свой знак на противоположный. Необходимо также помнить, что
в системах с отражающими поверхностями луч может встречать одну и ту
же физическую поверхность несколько раз. При этом в списках конструктивных параметров эта поверхность также появляется несколько раз. На
рис. K.8 показан пример зеркально-линзовой системы и указаны ее основные конструктивные параметры.
систему с отражающими поверхностями и последующий анализ оптических характеристик такой системы по изложенной в «Dioptrische
Untersuchungen» методике подробно рассмотрен в статье [45].
= −n). Поэтому после каждой отражающней поверхности по-
Расчет хода лучей через вращательно-симметричную оптическую
K.7. Главные и фокальные точки
В DU6, DU7, DU8 вводятся четыре точки E, E∗, F , F∗. По современной терминологии точка E называется передней главной точкой, E
∗
60 Р. Е. Ильинский.КОММЕНТАРИИ
радиус ΔN
показатель
преломления
1
75
5 1.3439
70
22 1
190
6 1.4054
227
104 1
−368
−104 −1
227
− 6 −1.4054
190
6 1.4054
227
1
Рис. K.8. Зеркально-линзовая система и ее конструктивные праметры. ΔN –разность абсцисс точек N двух поверхностей, которые последовательно пересекает
луч
называется задней главной точкой, F называется передней фокальной точ-
∗
кой, F
называется задней фокальной точкой. Плоскости, которые проходят
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]