Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование эвристических методов решения минимаксной неоднородной задачи по различным критериям. Монография
.pdf
81
Таблица 3.6
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и первоначальная матрица по алгоритму),
максимальный столбец
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
Квадратичный критерий «максимальный столбец»
592
1 744
2 895
4038
Минимаксный критерий минимальная матрица
581
1 727
2 878
4021
Квадратичный критерий минимальная матрица
579
1 715
2 860
3994
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий «максимальный столбец»
440
1 284
2 124
2 966
Минимаксный критерий минимальная матрица
426
1 265
2 100
2 936
Квадратичный критерий минимальная матрица
426
1 258
2 084
2 914
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий «максимальный столбец»
353
1 678
1 678
2 336
Минимаксный критерий минимальная матрица
336
1 655
1 655
2 312
Квадратичный критерий минимальная матрица
337
1 639
1 639
2 294
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий «максимальный столбец»
297
846
1 385
1 929
Минимаксный критерий минимальная матрица
279
823
1 366
1 909
Квадратичный критерий минимальная матрица
280
819
1 352
1 892
В результате эксперимента установлено, что данная модификация
сопоставима с решением «максимальная матрица». Использование ее даже
с квадратичным критерием неэффективно. Этот результат предполагался,
но требовал экспериментальной проверки.
Первоначальная матрица, выбранная как столбец с минимальной
суммой задач в нем. Данный алгоритм очень похож на «столбец с
максимальной суммой элементов», но выбирается столбец, у которого
сумма элементов минимальна. Пример выбора по матрице, указанной на
рисунке 3.16, продемонстрирован на рисунке 3.19. Сумма элементов по
столбцам равна:
82
N1=(4+5+2+2+7+1+2+3)=26;
N2=(8+2+9+8+4+6+3+1)=41;
N3=(8+9+5+6+4+8+9+6)=55.
В указанной исходной матрице выбран столбец 1, так как он
является минимальным по сумме элементов.
Рисунок 3.19 - Выбор исходной матрицы
по алгоритму «минимальный столбец»
Для оценки эффективности модификации проведем вычислительный
эксперимент. Результаты эксперимента представлены в таблице 3.7.
Диапазон распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого
набора параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически
точного результата).
Таблица 3.7
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и первоначальная матрица по алгоритму),
минимальный столбец
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Квадратичный критерий минимальный столбец
586
1 738
2 888
4028
Минимаксный критерий минимальная матрица
581
1 727
2 878
4021
Квадратичный критерий минимальная матрица
579
1 715
2 860
3994
83
Продолжение таблицы 3.7
1
2 3 4
5
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
439
1 284
2 119
2 957
Минимаксный критерий минимальная матрица
426
1 265
2 100
2 936
Квадратичный критерий минимальная матрица
426
1 258
2 084
2 914
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
356
1 675
1 675
2 330
Минимаксный критерий минимальная матрица
336
1 655
1 655
2 312
Квадратичный критерий минимальная матрица
337
1 639
1 639
2 294
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
298
844
1 383
1 928
Минимаксный критерий минимальная матрица
279
823
1 366
1 909
Квадратичный критерий минимальная матрица
280
819
1 352
1 892
В результате эксперимента установлено, что данная модификация
сопоставима с решением «максимальный столбец». Проверив алгоритмы,
которые выбирают в качестве первоначального распределения «целый
столбец», сделали вывод, что они не обеспечивают оптимального
распределения.
Следующие алгоритмы рассчитаны на максимально равномерное
распределение задач по количеству на процессоры. Они не используют
параметр загрузки, тем самым не предполагают большой вычислительной
нагрузки.
3.4 Модификации алгоритма Крона
первоначальными матрицами «элементный выбор»
Алгоритм Крона с первоначальной матрицей, выбранной по
алгоритму «лестница». Работа данного алгоритма заключается в
следующем. Выбираем первый элемент в первом столбце. Далее
«спускаемся по лестнице», каждый следующий элемент находится на
84
столбец дальше и на «ступеньку» ниже. Если количество процессоров
закончилось, то начинаем сначала (аналог перехода на новый пролет).
Пример распределения показан на рисунке 3.20.
Рис. 3.20 - Выбор исходной матрицы по алгоритму «лестница»
Для оценки эффективности модификации проведем вычислительный
эксперимент. Результаты эксперимента представлены в таблице 3.8.
Диапазон распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого
набора параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически
точного результата).
Таблица 3.8
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и первоначальная матрица по алгоритму
«лестница»)
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
354
1 666
1 666
2 314
Минимаксный критерий минимальная матрица
581
1 727
2 878
4021
Квадратичный критерий минимальная матрица
579
1 715
2 860
3994
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
354
1 666
1 666
2 314
Минимаксный критерий минимальная матрица
426
1 265
2 100
2 936
Квадратичный критерий минимальная матрица
426
1 258
2 084
2 914
85
Продолжение таблицы 3.8
1
2 3 4
5
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
354
1 666
1 666
2 314
Минимаксный критерий минимальная матрица
336
1 655
1 655
2 312
Квадратичный критерий минимальная матрица
337
1 639
1 639
2 294
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
354
1 666
1 666
2 314
Минимаксный критерий минимальная матрица
279
823
1 366
1 909
Квадратичный критерий минимальная матрица
280
819
1 352
1 892
В результате эксперимента установлено, что данная модификация не
обеспечивает оптимального распределения. Рассмотрим следующий алгоритм
первоначального распределения, после чего сможем сделать выводы.
Алгоритм Крона с первоначальной матрицей, выбранной по
алгоритму «диагональ». Этот алгоритм по принципу очень похож на
алгоритм «лестница», отличием является только то, что за один шаг
выбираем несколько элементов в столбце. Количество элементов на
каждом шаге выбирается по формуле
. (3.1)
Так как формула имеет округление в большую сторону, то на
крайний прибор может приходиться на один элемент меньше. Пример
такого выбора показан на рисунке 3.21, в качестве исходного
распределения взята матрица показанная на рисунке 3.17.
Рисунок 3.21 - Выбор исходной матрицы по алгоритму «диагональ»
86
Для оценки эффективности модификации проведем вычислительный
эксперимент. Результаты эксперимента представлены в таблице 3.9.
Диапазон распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого
набора параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически
точного результата).
Таблица 3.9
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и первоначальная матрица по алгоритму
«диагональ»)
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
591
1 741
2 890
4030
Минимаксный критерий минимальная матрица
581
1 727
2 878
4021
Квадратичный критерий минимальная матрица
579
1 715
2 860
3994
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
444
1 286
2 120
2 964
Минимаксный критерий минимальная матрица
426
1 265
2 100
2 936
Квадратичный критерий минимальная матрица
426
1 258
2 084
2 914
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
354
1 686
1 686
2 345
Минимаксный критерий минимальная матрица
336
1 655
1 655
2 312
Квадратичный критерий минимальная матрица
337
1 639
1 639
2 294
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
354
1 666
1 666
2 314
Минимаксный критерий минимальная матрица
279
823
1 366
1 909
Квадратичный критерий минимальная матрица
298
845
1 391
1 934
В результате эксперимента установлено, что данная модификация не
обеспечивает оптимального распределения относительно минимальной
матрицы. Как показали исследования, простое количественное
распределение не дает улучшения эффективности алгоритма Крона. В
87
таблице 3.10 представлены сводные результаты по всем алгоритмам
распределения по количественному показателю.
Таблица 3.10
Сводная таблица различных алгоритмов
первоначального распределения основанных на количественных показателях
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Квадратичный критерий минимальный столбец
586
1 738
2 888
4028
Квадратичный критерий максимальный столбец
592
1 744
2 895
4038
Квадратичный критерий средний столбец
587
1 736
2 889
4025
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
590
1 733
2 876
4025
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
591
1 741
2 890
4030
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
439
1 284
2 119
2 957
Квадратичный критерий максимальный столбец
440
1 284
2 124
2 966
Квадратичный критерий средний столбец
441
1 283
2 119
2 955
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
440
1 276
2 112
2 938
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
444
1 286
2 120
2 964
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
356
1 675
1 675
2 330
Квадратичный критерий максимальный столбец
353
1 678
1 678
2 336
Квадратичный критерий средний столбец
355
1 675
1 675
2 329
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
354
1 666
1 666
2 314
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
354
1 686
1 686
2 345
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий минимальный столбец
298
844
1 383
1 928
Квадратичный критерий максимальный столбец
297
846
1 385
1 929
Квадратичный критерий средний столбец
295
841
1 385
1 927
Квадратичный критерий алгоритм «лестница»
296
837
1 375
1 918
Квадратичный критерий алгоритм «диагональ»
298
845
1 391
1 934
88
Из сводной таблицы показателей по всем первоначальным
распределениям получается, что самым эффективным оказался алгоритм
«лестница». Это происходит из-за максимального перемешивания
элементов в первоначальном распределении. Все алгоритмы достаточно
просты, но алгоритм первоначального распределения «минимальная
матрица» не имеет конкурентов по эффективности [91,92,93,100].
Следовательно, будем использовать алгоритм минимальной
матрицы. Алгоритм, где в качестве первоначальной матрицы используется
алгоритм, предложенный В.Н. Плотниковым и В.Ю. Зверевым,
использовать не будем, так как он имеет более сложную реализацию и
почти не дает выигрыша в эффективности.
3.5 Результаты вычислительного эксперимента
Так как математически доказать, какой критерий в комбинации с
каким первоначальным распределением будет оптимальным, невозможно,
было реализовано программное средство и произведены вычислительные
эксперименты.
Нам было необходимо определить, как зависит качество результатов
от количества повторений в алгоритме Крона (рисунок 3.22).
В связи с высокой эффективностью квадратичного критерия для
алгоритма Крона, решено исследовать возможность последовательного
применения минимаксного и квадратичного критерия.
89
Рисунок 3.22 - Зависимость эффективности работы алгоритма Крона от числа
повторений
Результаты эксперимента представлены в таблице 3.11.
Распределение нагрузки на процессор по задачам выбирается
автоматически из интервала [15; 25]. Для каждого набора параметров
проводилось 100 экспериментов (для получения статистически точного
результата).
Таблица 3.11
Сводная таблица различных алгоритмов первоначального распределения,
основанных на количественных показателях
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Минимаксный критерий минимальная матрица
581,3
1728
2869
4015
Квадратичный критерий минимальная матрица
580,9
1720
2850
3987
Мин. кр. + квад. кр. максимальная матрица
582,5
1726
2869
4012
Квад. кр. + мин. кр. максимальная матрица
577,1
1717
2849
3986
238.00
240.00
242.00
244.00
246.00
248.00
250.00
252.00
254.00
256.00
258.00
1000 5000 10000 100000
Количество повторений
Минимаксный критерий
Квадратичный критерий
90
Продолжение таблицы 3.11
1
2 3 4
5
4x100
4x300
4x500
4x700
Минимаксный критерий минимальная матрица
425,2
1261
2098
2940
Квадратичный критерий минимальная матрица
424,3
1252
2082
2917
Мин. кр. + квад. кр. максимальная матрица
424,3
1261
2097
2939
Квад. кр. + мин. кр. максимальная матрица
421
1250
2081
2914
5x100
5x300
5x500
5x700
Минимаксный критерий минимальная матрица
338
993,6
1655
2316
Квадратичный критерий минимальная матрица
337,9
988,5
1643
2300
Мин. кр. + квад. кр. максимальная матрица
338,2
993,9
1654
2315
Квад. кр. + мин. кр. максимальная матрица
334,5
985,1
1642
2294
6x100
6x300
6x500
6x700
Минимаксный критерий минимальная матрица
279,3
820,6
1366
1910
Квадратичный критерий минимальная матрица
279
813,5
1353
1891
Мин. кр. + квад. кр. максимальная матрица
279,1
820,6
1366
1909
Квад. кр. + мин. кр. максимальная матрица
276,5
812,3
1351
1889
В результате вычислительного эксперимента получили
положительный результат. Действительно, применение минимаксного
критерия после получения решения по квадратичному критерию дает
видимый результат.
Улучшение измеряется в десятых долях процентов, но при этом
время на работу алгоритма почти не увеличилось, так как после первого
прохода результат уже близок к оптимальному решению. Далее
сравнивается алгоритм Крона с алгоритмом Холланда, замечательно себя
показавшим на небольших количествах процессоров с минимаксным
критерием и пропорциональным отбором. Результаты представлены на
рисунке 3.23–3.25.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]