Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование эвристических методов решения минимаксной неоднородной задачи по различным критериям. Монография
.pdf
71
Продолжение таблицы 3.2
1
2 3 4 5 6
7
Квадратичный критерий случайная
матр.
187
519,1
522,2
1013
1667
2324
Минимаксный критерий
минимальная матр.
172
501,8
500,6
997,3
1657
2313
Квадратичный критерий
минимальная матр.
174
499,6
500,1
989,6
1646
2291
6x50
6x100
6x150
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий случайная
матр.
156
295,7
435,2
838,2
1379
1918
Минимаксный критерий
минимальная матр.
143
278,3
414,9
822,7
1363
1908
Квадратичный критерий
минимальная матр.
144
280,7
413,2
817,5
1354
1892
В случае применения минимальной матрицы, видим минимум 3%
улучшения по сравнению с квадратичным критерием и случайной
первоначальной матрицей. При размерности, где количество задач меньше,
чем количество процессоров, умноженное на 25, при использовании
минимальной матрицы для алгоритма Крона, лучший результат дает
применение минимаксного критерия. На больших размерностях
квадратичный критерий показывает лучшие результаты. Для сравнения в
следующих экспериментах оставляем оба варианта критериев.
3.3 Модификации алгоритма Крона
первоначальными матрицами «численный выбор»
Максимальная матрица. Одним из способов первоначального
построения авторами был выбран способ «максимальная матрица».
Данный алгоритм заключается в следующем. В каждой строке, очень
72
похожей на минимальную матрицу, выбирается элемент уже с
максимальным значением загрузки для этой задачи. Пример распределения
по алгоритму «максимальная матрица» показан на рисунке 3.13. В качестве
исходной была взята матрица, показанная на рисунке 3.1.
Рисунок 3.13 - Первоначальная матрица по алгоритму «максимальная матрица»
При таком первоначальном распределении значение
характеризующих критериев по минимаксному критерию равно 27, а по
квадратичному – 729. Данные значения можно использовать как верхнюю
границу в любых алгоритмах. Для сравнения был поставлен
вычислительный эксперимент. В эксперименте сравним данный алгоритм с
квадратичным и минимаксным критерием с выбранными ранее
эталонными алгоритмами.
Результаты эксперимента представлены в таблице 3.3. Диапазон
распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого набора
параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически точного
результата).
73
Таблица 3.3
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия
(минимальная первоначальная матрица и максимальная матрица)
Наименование алгоритма
nm
3x50
3x100
3x150
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4 5 6
7
минимаксный критерий минимальная
матр.
292
578
862
1 726
2 875
4 020
квадратичный критерий минимальная
матр.
293
576
859
1 716
2 855
3 990
минимаксный критерий
максимальная матр.
353
712
1 076
2 165
3 618
5 069
квадратичный критерий
максимальная матр.
299
586
871
1 728
2 866
4 010
4x50
4x100
4x150
4x300
4x500
4x700
минимаксный критерий минимальная
матр.
216
425
636
1 265
2 106
2 938
квадратичный критерий минимальная
матр.
216
424
633
1 257
2 090
2 913
минимаксный критерий
максимальная матр.
270
547
821
1 652
2 771
3 880
квадратичный критерий
максимальная матр.
225
440
646
1 275
2 111
2 947
5x50
5x100
5x150
5x300
5x500
5x700
минимаксный критерий минимальная
матр.
171
337
501
994
1 655
2 312
квадратичный критерий минимальная
матр.
173
336
502
986
1 641
2 293
минимаксный критерий
максимальная матр.
218
441
666
1 340
2 237
3 138
квадратичный критерий
максимальная матр.
182
349
512
1 006
1 662
2 324
74
Продолжение таблицы 3.3
1
2 3 4 5 6
7
6x50
6x100
6x150
6x300
6x500
6x700
минимаксный критерий минимальная
матр.
143
278
415
821
1 364
1 906
квадратичный критерий минимальная
матр.
145
278
413
817
1 352
1 888
минимаксный критерий
максимальная матр.
183
367
554
1 123
1 876
2 631
квадратичный критерий
максимальная матр.
156
293
429
836
1 376
1 918
Из результатов таблицы 3.3 видно, что модификация алгоритма
максимальной матрицей приводит к отрицательному результату в случае
использования минимаксного критерия. Дает результаты, сопоставимые со
случайной матрицей, в случае использования квадратичного критерия.
Данная модификация не имеет перспектив для дальнейшего исследования.
Минимаксный критерий для алгоритма Крона с первоначальной
матрицей, вычисленной по алгоритму Плотникова – Зверева с
минимаксным критерием. Суть данной модификации заключается в том,
что в качестве первоначального решения выбирается решение по
алгоритму Плотникова – Зверева. Для демонстрации работы данного
алгоритма выберем матрицу, отличную от матрицы, представленной на
рисунке 3.1, так как она уже не может быть улучшена (рисунок 3.14):
Рисунок 3.14 - Исходная матрица для эксперимента с отмеченным решением
по алгоритму Плотникова – Зверева
75
– на первом шаге вычисляем минимальный (1) и максимальный (3)
столбец.
- первый этап происходит без каких-либо замен, так как не удается
поменять местами элементы с улучшением критерия.
– приступаем к этапу перемещений элементов. Удачным
перемещением является перемещение с первого на третий процессор и при
этом одновременное перемещение элемента из 3 строки на 1 элемент
(рисунок 3.15).
Больше изменений не произойдет, так как нет вариантов,
улучшающих решение.
Рисунок 3.15 - Результат работы алгоритма
В итоге значение минимаксного критерия равно 8, что лучше
решения по алгоритму Плотникова – Зверева.
Квадратичный критерий для алгоритма Крона с первоначальной
матрицей, вычисленный по алгоритму Плотникова – Зверева с
минимаксным критерием. В случае использования квадратичного
критерия для матрицы, которая показана на рисунке 3.13, не произойдет ни
одного перемещения, так как в случае минимаксного критерия
перемещение давало улучшение оценки. Для примера рассчитаем
квадратичный критерий для исходного решения (см. рисунок 3.14) и
полученного в результате решения по минимаксному критерию (см.
рисунок 3.15).
;
76
.
В результате решения получилось, что алгоритм Крона с
квадратичным критерием не выполнил ни одного изменения.
Для оценки эффективности модификации проведем вычислительный
эксперимент. В качестве исходной особи будем брать решения по
алгоритму, предложенному В.Н. Плотниковым и В.Ю. Зверевым, со
следующими критериями: минимаксный критерий, квадратичный
критерий, усреднённый по минимальной матрице, усреднённый по
максимальной матрице, усреднённый по строке.
Результаты эксперимента представлены в таблице 3.4. Диапазон
распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого набора
параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически точного
результата).
Таблица 3.4
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и элитная матрица по алгоритму ПЗ)
с различными критериями
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Мин. кр. минимальная матр.
579
1 724
2 879
4 019
Квад. кр. минимальная матр.
579
1 717
2 858
3 993
Мин. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
623
1 873
3 125
4 370
Квад. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
587
1 726
2 871
4 003
Мин. кр. ПО по ПЗ с квадратичным критерием
581
1 718
2 858
3 989
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный минимальная
матрица
581
1 719
2 859
3 990
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный максимальная
матрица
581
1 719
2 859
3 990
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный средний по строке
582
1 719
2 859
3 990
77
Продолжение таблицы 3.4
1
2 3 4
5
4x100
4x300
4x500
4x700
Мин. кр. минимальная матр.
427
1 261
2 101
2 938
Квад. кр. минимальная матр.
426
1 255
2 086
2 916
Мин. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
462
1 384
2 305
3 227
Квад. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
436
1 270
2 108
2 944
Мин. кр. ПО по ПЗ с квадратичным критерием
428
1 256
2 084
2 911
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный минимальная
матрица
428
1 257
2 085
2 912
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный максимальная
матрица
429
1 258
2 085
2 912
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный средний по строке
429
1 258
2 086
2 912
5x100
5x300
5x500
5x700
Мин. кр. минимальная матр.
338
997
1 654
2 316
Квад. кр. минимальная матр.
336
990
1 640
2 296
Мин. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
367
1 090
1 822
2 548
Квад. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
349
1 010
1 667
2 321
Мин. кр. ПО по ПЗ с квадратичным критерием
338
990
1 639
2 287
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный минимальная
матрица
340
990
1 639
2 288
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный максимальная
матрица
341
993
1 641
2 289
Мин. кр. ПО по ПЗ усредненный средний по строке
341
991
1 640
2 288
6x100
6x300
6x500
6x700
Мин. кр. минимальная матр.
278
820
1 365
1 909
Квад. кр. минимальная матр.
278
815
1 353
1 892
Мин. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
302
901
1 503
2 101
Квад. кр. ПО по ПЗ с минимаксным критерием
291
834
1 380
1 922
Мин. кр. ПО по ПЗ с квадратичным критерием
280
815
1 351
1 882
Мин. кр. ПО по ПЗ усреднен. минимальная матрица
281
816
1 352
1 883
Мин. кр. ПО по ПЗ усреднен. максимальная матрица
283
818
1 353
1 884
Мин. кр. ПО по ПЗ усреднен. средний по строке
283
817
1 353
1 885
78
Модификация алгоритма Крона с минимаксным критерием и
первоначальной матрицей, полученной решением по алгоритму,
предложенному В.Н. Плотниковым и В.Ю. Зверевым, а точнее
модификация с квадратичным критерием, в части случаев дает результаты
даже лучше, чем алгоритм с минимальной матрицей. Улучшение
минимальное и составляет не более 1%, что можно было бы списать на
статистическую погрешность, но большое количество повторений и
постоянство результата говорит в пользу данной модификации.
Первоначальная матрица, выбранная как средний столбец. В данном
алгоритме выбора первоначального распределения берётся просто столбец
по порядковому номеру, находящийся посередине, с округлением в
большую сторону. Например, для системы из трех приборов это будет
второй столбец. В системе, состоящей из шести приборов, будет выбран
третий столбец. Пример выбора первоначального распределения показан
на рисунке 3.16.
Рисунок 3.16 - Результат работы алгоритма
При таком распределении в дальнейшем алгоритм Крона начинает
просто перебрасывать задания на другие процессоры. Для оценки
эффективности модификации проведем вычислительный эксперимент.
Результаты эксперимента представлены в таблице 3.5. Диапазон
распределения по задачам из интервала [15;25]. Для каждого набора
параметров проводилось 100 экспериментов (для статистически точного
результата).
79
Таблица 3.5
Сравнение квадратичного и минимаксного критерия (минимальная
первоначальная матрица и первоначальная матрица по алгоритму) средний
столбец
Наименование алгоритма
nm
3x100
3x300
3x500
3x700
1
2 3 4
5
Квадратичный критерий средний столбец
587
1 736
2 889
4025
Минимаксный критерий минимальная матрица
581
1 727
2 878
4021
Квадратичный критерий минимальная матрица
579
1 715
2 860
3994
4x100
4x300
4x500
4x700
Квадратичный критерий средний столбец
441
1 283
2 119
2 955
Минимаксный критерий минимальная матрица
426
1 265
2 100
2 936
Квадратичный критерий минимальная матрица
426
1 258
2 084
2 914
5x100
5x300
5x500
5x700
Квадратичный критерий средний столбец
355
1 675
1 675
2 329
Минимаксный критерий минимальная матрица
336
1 655
1 655
2 312
Квадратичный критерий минимальная матрица
337
1 639
1 639
2 294
6x100
6x300
6x500
6x700
Квадратичный критерий средний столбец
295
841
1 385
1 927
Минимаксный критерий минимальная матрица
279
823
1 366
1 909
Квадратичный критерий минимальная матрица
280
819
1 352
1 892
По результатам эксперимента видно, что данная модификация
оказалась неэффективной. Результаты, близкие к результатам по
минимальной матрице, но хуже на всех вариантах параметров.
Первоначальная матрица, выбранная как столбец с максимальной
суммой задач в нем. В данном алгоритме необходимо изначально
посчитать сумму элементов всех столбцов. После чего найти столбец с
максимальной суммой элементов по столбцу и выбрать его. Он очень
похож на предыдущий алгоритм, но при этом здесь появляется
дополнительная операция в виде подсчета суммы задач по каждому
80
столбцу. Пример такого первоначального распределения показан на
рисунках 3.17, 3.18.
Рисунок 3.17 - Исходная матрица
Сумма элементов по столбцам равна
N1=(4+5+2+2+7+1+2+3)=26;
N2=(8+2+9+8+4+6+3+1)=41;
N3=(8+9+5+6+4+8+9+6)=55.
Рисунок 3.18 - Выбор исходной матрицы по алгоритму «максимальный столбец»
В указанной исходной матрице выбран столбец 3, так как он
является максимальным по сумме элементов. Для оценки эффективности
модификации проведем вычислительный эксперимент. Результаты
эксперимента представлены в таблице 3.6. Диапазон распределения по
задачам из интервала [15;25]. Для каждого набора параметров проводилось
100 экспериментов (для статистически точного результата).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]