Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование эвристических методов решения минимаксной неоднородной задачи по различным критериям. Монография
.pdf
41
Для большого количества экспериментов выбор Tср почти не влияет
на результат. Но как видно из экспериментов, минимальная матрица дает
не большее улучшение (см. рисунки 2.5, 2.6).
Условия несовпадения минимаксного и квадратичного критерия.
Результаты минимаксного и квадратичного критерия дают разные
результаты. Было решено определить, при каких условиях не совпадает
решение минимаксной неоднородной задачи при использовании
минимаксного и квадратичного решения. На рисунке 2.7 показан пример
загрузки по одной задаче.
Рисунок 2.7 - Графическое представление загрузки
Рассмотрим условия несовпадения при условии двух приборов:
22
22
()
()
;
( ) ( ),
T t T
T t T
j j j
i i i
T t t T
i i j j
+
+
+ +
+ +
где Ti – накопленная работа на первом процессоре;
Tj – накопленная работа на втором процессоре;
ti – время текущей задачи на первом процессоре;
tj – время текущей задачи на втором процессоре.
Для определения нижней границы предположим, что Ti = 0, тогда
2
2 ( )
j j j i j j
t T t t t T+ +
.
T1 T2 t3 Tn
42
Рассмотрим пример:
. В данном примере загрузка на
первом приборе значительно превышает загрузку на двух остальных, тем
самым мы можем выделить часть, которая будет отвечать нашим
требованиям. Рассмотрим матрицу
. (0, 5) – текущее накопленное
состояние. При использовании минимаксного критерия следующее
состояние будет выглядеть как (8, 5). При использовании квадратичного
критерия состояние будет (0, 9).
Проверим полученную нами формулу: 6 <ti< 9.
При Tj>4, и tj>1 может быть получено минимум одно значение,
удовлетворяющее условию 1. ti = (Tj + tj) -1 [65, 66, 67, 79]. Результат
решения по минимаксному критерию (0,11,5), по квадратичному критерию
соответственно (0,3,9), тем самым мы получаем улучшение на 2 единицы.
Исследование описанных модификаций при различных размерностях
с помощью программы «Минимакс». В связи с тем, что доказать
математически, какой из методов дает более точные результаты, не
представляется возможным, решено произвести вычислительный
эксперимент для сравнения и выбора наилучшей модификации. Во всех
экспериментах для получения статистически значимого результата
выполнялось 1000 повторений. Среднеквадратическое отклонение не
превышало 1%. Размерность [25x30]. Результаты показаны на рисунках 2.8
– 2.11.
43
Рисунок 2.8 - Сравнение алгоритма Плотникова - Зверева
с различными критериями, размерность [25x30]
Рисунок 2.9 - Сравнение алгоритма Плотникова - Зверева
с различными критериями, размерность [20x30]
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
[25x30]
Минимаксный критерий
Квадратичный критерий
Кубический критерий
Усредненному критерию
(минимальная матрица) :
по усредненному критерию
(максимальная матрица) :
по усредненному критерию
(средний по строке) :
-200
-100
0
100
200
300
400
500
[20x30]
Минимаксный критерий
Квадратичный критерий
Кубический критерий
Усредненному критерию
(минимальная матрица) :
по усредненному критерию
(максимальная матрица) :
по усредненному критерию
(средний по строке) :
По усредненному критерию
(минимальная матрица)
По усредненному критерию
(максимальная матрица)
По усредненному критерию
(средний по строке)
По усредненному критерию
(минимальная матрица)
По усредненному критерию
(максимальная матрица)
По усредненному критерию
(средний по строке)
44
Рисунок 2.10 - Сравнение алгоритма Плотникова - Зверева
с различными критериями, размерность [5x50]
Рисунок 2.11 - Сравнение алгоритма Плотникова - Зверева
с различными критериями, размерность [25x30]
-1,000
-500
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
[5x50]
Минимаксный критерий
Квадратичный критерий
Кубический критерий
Усредненному критерию
(минимальная матрица) :
по усредненному
критерию (максимальная
матрица) :
-100
-50
0
50
100
150
200
250
[25x30]
Минимаксный критерий
Квадратичный критерий
Кубический критерий
Усредненному критерию
(минимальная матрица) :
по усредненному критерию
(максимальная матрица) :
по усредненному критерию
(средний по строке) :
По усредненному критерию
(минимальная матрица)
По усредненному критерию
(максимальная матрица)
По усредненному критерию
(минимальная матрица)
45
Здесь и далее, где не указано дополнительно на рисунках 2.8-2.11, по
вертикальной шкале указано отклонение от среднего значения для
наглядности результатов.
Как показали эксперименты, самый худший результат – это решение
с усредненным критерием по максимальной матрице. Самым лучшим
является квадратичный критерий, он дает приблизительно схожие
результаты с кубическим критерием и усредненным критерием средним по
строке. Для дальнейшего выбираем квадратичный критерий в качестве
эталонного.
2.2 Модификация алгоритма Холланда
Генетический алгоритм (ГА) представляет собой эволюционный
метод оптимизации, основанный на концепциях естественного отбора и
генетики. Идею ГА подсказала сама природа и работы Дарвина. В 1966 г.
Л.Дж. Фогель, А.Дж. Оуэнс, М.Дж. Волш предложили и исследовали
эволюцию простых автоматов, предсказывающих символы в цифровых
последовательностях.
В 1975 г. Дж.X. Холланд предложил схему генетического алгоритма.
Эти работы легли в основу главных направлений разработки
эволюционных алгоритмов. Простой генетический алгоритм был впервые
описан Гольдбергом на основе работ Холланда [68,69,78,89,93].
Исходя из концепции естественного отбора и генетики можно
сделать предположение: если взять две жизнеспособных особи и какимлибо образом получить из них новую особь, то будет высокая вероятность
того, что эта особь будет также жизнеспособная или даже более
приспособленная к условиям существования. В генетических алгоритмах
особи представлены в виде хромосом (бинарных векторов, решений),
46
которые представляют собой закодированные специальным образом
значения аргументов заданной целевой функции.
Жизнеспособность (приспособленность к условиям существования)
особей в ГА определяется с помощью функции пригодности (ФП)–
целевой функции, способной принимать аргумент в виде бинарного
вектора.
В генетических алгоритмах исходные решения представляют собой
родительский пул или родительскую популяцию. Новые решения,
получаемые из исходных решений, в ГА называются потомками. Процесс
получения потомков из родительских хромосом реализуется в ГА с
помощью множества генетических операторов.
Для реализации генетического алгоритма используют моделирование
эволюции (естественного отбора). В природе каждое животное стремится
выжить, чтобы оставить после себя как можно больше потомства.
Генетические алгоритмы отличаются от других оптимизационных и
поисковых процедур следующим:
– работают в основном не с параметрами задачи, а с закодированным
множеством параметров;
– осуществляют поиск не путем улучшения одного решения, а путем
использования сразу нескольких альтернатив на заданном множестве
решений;
– используют целевую функцию, а не ее различные приращения для
оценки качества решений;
– применяют не детерминированные, а вероятностные правила
анализа оптимизационных задач [15,70,71].
47
Начало
Инициализация
популяции
Отбор хромосом в
родительский пул
Скрещива ние
родительских
хромосом
Мутация хромосом
родительского
пула
Оценка
пригодности
хромосом
Проверк
а
условий
заверше
ния
Конец
Рисунок 2.12 - Алгоритм Холланда
48
Начало
Инициализация
популяции
Отбор хромосом в
родительский пул
Скрещивание
родительских
хромосом
Мутация хромосом
родительского
пула
Оценка
пригодности
хромосом
Проверк
а
услов ий
заверше
ния
Конец
Поиск решения по
алгоритму ПЗ.
Генерация элитной
особи
Рисунок 2.13 - Алгоритм Холланда с добавлением элиты
49
Структурная схема алгоритма представлена на рисунке 2.12. В
работе исследованы различные варианты модификации алгоритма
Холланда. Одной из модификаций алгоритма Холланда является введение
турнирного отбора. Это означает, что особь, получившаяся в результате
кроссинговера и мутации, сравнивается с исходной родительской особью.
В случае если эта особь более приспособлена (имеет лучшую
характеристику критерия), то она выступает в качестве особи,
формирующей следующую популяцию.
Модификация алгоритма введением элиты в виде вектора,
полученного путем первоначального решения по алгоритму Плотникова –
Зверева, показана на рисунке 2.13.
Были произведены различные эксперименты, связанные с
изменениями первоначальных данных, различных параметров и
модификацией алгоритма. В качестве проверки на завершение работы
алгоритма всегда выбиралось определенное количество циклов полной
эволюции особей без улучшения выбранного критерия [32, 72, 73, 74].
Первым экспериментом было решено проверить эффективность
квадратичного критерия (таблица 2.2). Задача выбирается из диапазона
[25,30]. Количество экспериментов 1000. Вероятность мутации и
кроссинговера 0,5 и 0,8 соответственно. Размер популяции 10 особей.
Количество итераций без улучшения 10.
Таблица 2.2
Алгоритм Холланда – квадратичный критерий
Алгоритм
nm
3х25
3х45
3х145
3х345
4х25
4х45
4х145
4х345
ПЗ
236
403
1 307
3 091
181
314
977
2 316
Холланд Минимаксный
критерий
234
404
1 307
3 101
182
315
988
2 336
Холланд Квадратичный
критерий
231
395
1 262
2 983
180
308
948
2 231
50
Оценив результаты, авторы решили добавить элитные особи. Было
решено сохранять не только элитную особь, как лучшую особь
первоначальной выборки, но и ввести первоначальную особь в виде
решения по алгоритму Плотникова - Зверева (ПЗ). Также алгоритм был
модифицирован на сравнение потомков не только с родителями, а с любой
случайной особью из первоначальной популяции. Исходные данные те же,
что и в предыдущем эксперименте (таблицы 2.3, 2.4).
Таблица 2.3
Алгоритм Холланда – различные модификации
Алгоритм
nm
3х25
3х45
3х145
3х345
1
2 3 4
5
ПЗ
235
403
1 296
3 090
Холланд Минимаксный кр. с род. без элиты
239
422
1 332
3 164
Холланд Минимаксный кр. со случ. без элиты
240
425
1 330
3 163
Холланд Квадратичный кр. с род. без элиты
245
436
1 365
3 217
Холланд Квадратичный кр. со случ. без элиты
245
435
1 385
3 213
Холланд Минимаксный кр. с род. с элитой
239
420
1 329
3 157
Холланд Квадратичный кр. с род. с элитой
242
432
1 366
3 212
Холланд Квадратичный кр. со случ. с элитой
243
432
1 375
3 208
Холланд Минимаксный кр. с род. с элитой по
минимаксу
235
403
1 296
3 090
Холланд Минимаксный кр. со случ. с элитой по
минимаксу
235
403
1 296
3 090
Холланд Квадратичный кр. с род. с элитой по
минимаксу
235
407
1 298
3 098
Холланд Квадратичный кр. со случ. с элитой по
минимаксу
235
407
1 299
3 106
Холланд Минимаксный кр. с род. с элитой по
квадратичному
231
411
1 268
2 981
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]