Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ случайных процессов. Учебно-методическое пособие
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
Власов А.В., Юдин В.С.
Учебно-методическое пособие
по курсу
АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
для студентов-заочников 3 курса
(направление 11.03.02)
Москва 2018
УДК 51
Власов А.В., Юдин В.С. Анализ случайных процессов: Учебно-
методическое пособие./ МТУСИ.- М., 2018.- 46 с.
Издание утверждено на заседании кафедры.Протокол №10 от 25.05.18 г.
Рецензент: М.С. Лохвицкий,доцент
Московский технический университет
связи и информатики, 2018
3
ВВЕДЕНИЕ
Аудиторная
работа
Самостоятельная
работа
лекции
упражнения
итого
изучение курса
выполнение
контрольной
работы
итого
4
6
10
32
30
72
Студенты технических факультетов ЗОТФ МТУСИ в течение пятого семестра
третьего года обучения изучают дисциплину «Анализ случайных функций»,
выполняют одну контрольную работу и сдают зачет.
Бюджет времени (в часах)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
1. Случайные функции. Случайные процессы. Основные понятия и определения.
2. Характеристики случайных процессов и их свойства.
3. Классификация случайных процессов.
4. Каноническое разложение случайного процесса. Операции анализа
над случайными процессами.
5. Стационарные случайные процессы.
6. Эргодические случайные процессы.
7. Спектральное разложение стационарных случайных процессов. Спектраль-
ная плотность мощности стационарного случайного процесса. Преобразование
Винера-Хинчина. Соотношение неопределенности, “белый” шум.
8. Линейные преобразования стационарных случайных процессов.
9. Потоки событий. Марковские случайные процессы.
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Высшая школа, 2007.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2005.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая
школа, 2003.
4. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. - М.:
Физматлит, 2002.
5. Сборник задач по математике для втузов. - Ч. 4. Теория вероятностей и
математическая статистика. - М.: Физматлит, 2004.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4
ПЛАН ОБЗОРНЫХ ЛЕКЦИЙ
1. Определение случайной функции и случайного процесса. Характеристики
случайных процессов. Операции анализа над случайными процессами.
2. Стационарные случайные процессы. Эргодические случайные процессы.
3. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
Преобразование Винера-Хинчина. Соотношение неопределенности.
4. Линейные преобразования стационарных случайных процессов. Потоки
событий. Марковские случайные процессы.
ПЛАН УПРАЖНЕНИЙ
1. Характеристики случайных процессов. Операции анализа над случайными
процессами (2 ч.).
2. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
Линейные преобразования стационарных случайных процессов (2 ч.).
3. Потоки событий. Марковские случайные процессы (2 ч.).
Случайные функции. Случайные процессы.
Основные понятия и определения
Курс «Основы теории случайных функций» является разделом теории
вероятностей и использует в своем изложении основные понятия, определения,
свойства и теоремы из курса теории вероятностей.
Данный раздел высшей математики наиболее интенсивное развитие получил
в начале ХХ века в связи с возросшим интересом к исследованию и построению
математической модели броуновского движения, обнаруженного в 1827 г.
английским ботаником Р. Броуном и заключающегося в том, что легкие
частицы, взвешенные в жидкости, совершают беспорядочное движение. Для
исследования процессов, аналогичных броуновскому движению, потребовался
новый математический аппарат, дающий возможность количественного анализа
не случайных величин, а случайных функций. Развитие электроники,
радиотехники и космонавтики также способствовало совершенствованию
теории и методов случайных функций, т.к. для создания сложных систем и
управления ими требовался новый математический аппарат, адекватно
описывающий поведение таких систем, находящихся в условиях постоянных
случайных воздействий извне.
Поэтому естественно, что теория случайных функций, возникновение
которой относится к началу ХХ века, в настоящее время является одним из
наиболее быстро развивающихся разделов теории вероятностей.
На практике часто приходится решать задачи, связанные с определением
вероятностных характеристик на выходе какой-либо системы при условии, что
вероятностные законы входного воздействия (сигнала) известны. При этом
параметры системы могут быть как постоянными, не меняющимися во времени
(в этом случае система называется детерминированной), так и изменяться
случайным образом (в этом случае система называется стохастической). Под
вероятностными характеристиками случайных сигналов на входе и выходе
5
исследуемой системы понимают функции распределения и (или) функции
плотности вероятностей, их числовые характеристики и ковариационные
(или корреляционные) функции.
Случайные процессы, как объект исследования, возникают во многих
задачах, имеющих практический интерес. В качестве примеров случайных
процессов можно использовать показания термометра, отображающего
суточную температуру в течение, например, одного месяца или года. Другим
примером случайного процесса является амплитуда управляющего напряжения
в кольце слежения либо за частотой, фазой или временной задержкой.
Показания высотомера самолета также представляют собой случайный процесс.
В приведенных примерах показания термометра, высотомера самолета и
амплитуда управляющего напряжения постоянно изменяются с течением
времени, принимая случайные значения. Поэтому случайная функция
характеризуется значением Х случайной величины (t), принимаемым при
произвольном неслучайном значении параметра t. Таким образом если задано
некоторое множество Т действительных чисел и если каждому параметру tТ
поставить в соответствие случайную величину (), то говорят, что на
множестве Т задана случайная функция (t,) = Х(t) ; tТ, , ХХ.
Определение. Случайной функцией называется семейство случайных вели-
чин (t,), зависящих от параметра t, пробегающего заданное
множество Т.
Обозначение: Х(t) = (t,) =
() ; tТ, , ХХ.
t
Если Т - подмножество прямой, а параметр t интерпретируется как время, то
вместо термина “случайная функция” используют термин «случайный
процесс».
Наряду с названием «случайный процесс» (сокращенно с.п.) в литературе
встречаются эквивалентные термины – «вероятностный процесс»,
«стохастический процесс», которые выражают суть одного и того же.
При исследовании случайных функций (процессов) различают два случая:
1) аргумент случайной функции t может принимать любые значения в
заданном интервале Т (конечном или бесконечном);
2) аргумент t может принимать только определенные дискретные значения.
В первом случае Х(t), как правило, называют случайным процессом; во
втором - случайной последовательностью.
Например, текущие координаты цели, определяемые радиолокатором,
вследствие ошибок измерения являются случайными функциями непрерывного
времени, т.е. случайными процессами.
Не менее часты примеры, когда аргументом случайной функции является не
время, а другой непрерывный параметр. Примерами здесь могут служить:
ордината волнового профиля поверхности моря для фиксированного момента
времени как функция координаты точки моря; скорость ветра над заданной
точкой земной поверхности как функция высоты рассматриваемой точки.
Для всех приведенных примеров случайных функций Х(t) = (t,)
характерно, что при фиксированном значении параметра t значения
соответствующих функций являются случайными величинами t (); если же в
6
функции Х(t) = (t,) зафиксировать элементарное событие , то получим
функцию х(t) = (t) - это неслучайная функция от tТ и называется
выборочной функцией или траекторией (реализацией) случайного процесса.
Совокупность траекторий х1 (t), х2 (t), ... хn (t) является случайным
процессом Х(t) = (t,)
Определение. Случайная величина
.
() = Х( t0) при фиксированном
t
значении параметра t = t0 Т называется сечением случайного
процесса.
На рис. 1 указаны сечения случайного процесса Х(t) в моменты времени t0,
t
и t
, а также его различные траектории х1 (t), х2 (t), ..., х
1
2
(t), ..., х
i
(t).
n
Рисунок 1
Совокупность всех сечений Х(t
), Х(t2), ... , Х(tn) случайного процесса Х(t)
1
представляет собой многомерную случайную величину или случайный вектор
для всех t
Т. Таким образом случайный процесс это система случайных
i
величин - всех сечений этого процесса.
Закон распределения системы случайных величин или случайного процесса
задается многомерной функцией распределения
F( Х
, Х2, ... , Х
1
) = Р { Х(t1) Х
n
, Х(t
1
) Х
2
, ... , Х(t
2
) Х }. (1)
n
Эти распределения при всевозможных ti T; i = 1,…, n носят название
конечномерных распределений случайной функции.
В качестве примера рассмотрим случайный процесс Х(t), для которого
сечение Х(t
) при любом фиксированном значении аргумента t = t
0
представляет
0
случайную величину с функцией распределения
F ( x; t0 ) = P { Х(t0) х }. (2)
7
Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых от значения параметра
t = t
которого должно быть значение, принимаемое случайной величиной Х(t
, для которого берется сечение Х(t
0
); во-вторых от значения х, меньше
0
).
0
Здесь функция (2) называется одномерным законом распределения случайного
процесса Х(t) (рис. 2).
Рисунок 2
Соответствующая одномерная плотность существует, если сечение Х( t0 )
представляет непрерывную случайную величину, и в точках, где F ( x; t0 )
дифференцируема, справедливо равенство
F ( x; t0 )
f ( x; t0 ) = . (3)
x
Функция f ( x; t0 ) называется одномерной функцией плотности распределения
вероятностей сечения случайного процесса в момент времени t = t
.
0
Одномерные законы распределения F (x; t0) и f (x; t0) определяют
вероятностное поведение ординат случайного процесса только в
фиксированный момент времени t = t
и ничего не позволяют сказать о
0
значениях случайной функции в любой другой момент времени. Также функции
F ( x; t0 ) и f ( x; t0 ) не отражают взаимной зависимости между значениями
случайного процесса в различные моменты времени, что часто требуется в
большинстве практических задач, например, в задачах прогнозирования ( или
предсказания) случайных функций. Поэтому знание одномерных законов
оказывается недостаточным, и они не могут служить полной характеристикой
случайного процесса.
Для получения более детальной характеристики случайного процесса
рассматривают двумерные законы распределения:
F ( x1, x2; t1, t2 ) = P ( t1) x1 ; (t2) x2 ; (4)
2 F ( x1, x2; t1, t2 )
f ( x1, x2; t1, t2 ) = , (5)
x1 x2
где (t1) и (t2) - ординаты случайного процесса, являющиеся случайными
величинами, соответственно в моменты времени t
и t2 .
1
8
Здесь, как и прежде, двумерная плотность f (x1, x2; t1, t
) существует, если
2
случайный вектор (t1); (t2) является двумерной случайной величиной
непрерывного типа, и если в точке (х1, х2) функция F(x
дифференцируема, то имеет место соотношение (5).
Увеличение размерности законов распределения позволит получить еще
, x2; t1, t
1
) дважды
2
более подробную характеристику случайного процесса, и поэтому будем
считать случайный процесс заданным, если заданы все многомерные законы
распределения для любых значений t
, t2,..., tn T, определяемые формулой (1).
1
В большинстве случаев на практике оказывается достаточным
использование двумерных законов распределения. В частности, марковские
процессы (или процессы без последействия), которые используют для
описания процессов в радиоэлектронике, исчерпывающей вероятностной
характеристикой будет двумерный закон распределения, определяемый
формулой (4).
Другой и важный класс случайных процессов - гауссовские (или
нормальные) случайные процессы также полностью задается двумерным
законом распределения (4).
Однако при исследовании случайного процесса для практических целей
часто вообще отказываются от законов распределения вероятностей, а
пользуются его основными характеристиками, которые описывают случайный
процесс не полностью, а частично. Аналогично тому, как числовые случайные
величины позволяют в сжатой форме выразить наиболее существенные черты
распределения случайной величины, не подменяя при этом самого закона
распределения, задаваемого функцией распределения.
Основные характеристики случайных процессов
Основными характеристиками случайных процессов являются
математическое ожидание, дисперсия, авто- и взаимная ковариационные ( или
корреляционные) функции.
Определение: Математическим ожиданием случайного процесса Х (t)
называется неслучайная функция М Х(t) = mx (t) , которая
для каждого фиксированного значения параметра t Т равна
математическому ожиданию соответствующего сечения и
вычисляется по формулам
,
если сечение с.п. - непрерывная случайная величина;
если сечение с.п. - дискретная случайная величина.
, (6)
9
Математическое ожидание с.п. Х(t) можно охарактеризовать как “среднюю”
функцию, около которой происходит разброс реализаций случайного процесса
( ярко выделенная линия на рис. 3).
Рисунок 3
Определение. Дисперсией случайного процесса Х(t) называется неслучайная
функция D[ X(t) ] = Dx (t) =
2
, которая при каждом
x
фиксированном значении параметра t T равна дисперсии
соответствующего сечения и вычисляется по формулам
M ,
если сечение с.п. - непрерывная случайная величина;
, (7)
если сечение с.п. - дискретная случайная величина.
Наиболее удобной для подсчета дисперсии является формула
D[ X(t) ] = М[ X
Если математическое ожидание М Х(t) с.п. Х(t) представляет неслучайную
«среднюю функцию», около которой располагаются реализации с.п., то
дисперсия D[X(t)] представляет собой неслучайную неотрицательную
функцию, характеризующую степень разброса реализаций с.п. около своего
математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением
называется положительное значение корня квадратного из дисперсии D[ X(t) ] :
_________
2
(t)] M2[ X(t)]. (8)
(t) случайного процесса Х
х
0
(t)
Центрированным случайным процессом Х
(t) = D[ X(t)] .
х
0
(t) называется процесс,
получаемый вычитанием из Х(t) его математического ожидания М[Х(t)]
10
Х
0
(t) = Х(t) М[Х(t)]. (9)
Используя определение математического ожидания с.п. и его свойства,
нетрудно показать, что М[Х
0
(t)] = 0.
Другой важной характеристикой с.п., определяющей степень линейной
зависимости между сечениями Х(t
) и Х(t2) случайного процесса в различные
1
моменты времени, является ковариационная функция.
Определение. Корреляционной (или автокорреляционной) функцией случай-
ного процесса Х(t) называется неслучайная функция Кх (t1, t2),
которая при каждой паре значений аргументов t
и t
1
равна
2
ковариации сечений Х(t1) и Х(t2) случайного процесса в
моменты времени t
Кх(t1, t2) = М[Х
= M[Х(t
0
(t
1
) Х
1
) Х(t
0
(t2) ] = M[(Х(t1) mx(t
) ] m
2
и t2
1
)) (Х(t
1
(t1)mx(t2) . (10)
x
) mx(t2))] =
2
Корреляционная функция с.п. обладает свойствами:
1) при t = t = t корреляционная функция с.п. равна дисперсии случайного
процесса
Кх(t, t) = М[ Х
0
(t) Х
0
(t) ] = M[ (Х(t) m
(t))2 ] = D[ Х(t) ];
x
2) корреляционная функция с.п. симметрична относительно своих аргументов
Кх(t
1
, t
) = К
2
(t2, t1);
х
3) корреляционная функция с.п. является положительно определенной, т.е. для
любой произвольной функции (t) ; t T имеет место
(t1) (t
) К(t
2
, t2) dx1 dx2 0 ,
1
(В)
где В - подмножество Т.
Определение. Нормированной корреляционной (автокорреляционной)
функцией случайного процесса называется нормированная
ковариационная (автоковариационная) функция, получаемая
делением ковариационной функции на произведение
среднеквадратичных отклонений
. (11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]