Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ случайных процессов. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
Для вычисления интервала корреляции предварительно найдем
K
(0) =Dx=
x
= .
Подставляя полученный результат в формулу (44), окончательно
получим
=
к
Между эффективной шириной спектра и интервалом корреляции
имеет место количественная связь, которая выражается в виде соотношения
неопределенности
2 .
к
Это соотношение показывает, что чем «уже» ширина спектра , тем больше
интервал корреляции к и наоборот.
Важное значение в электро- и радиотехнике имеет понятие «белого шума»
Под «белым шумом» понимается стационарный с.п. n(t) в широком смысле с
дельтавидной корреляционной функцией, т.е. корреляционная функция такого
с.п. равна произведению дельта-функции () на постоянную величину N0/2
Kx() = () N0/2 .
Спектральная плотность мощности такого процесса будет
S
() =
x
Поскольку в природе существуют только положительные частоты, то
спектральная плотность мощности S+() на положительных частотах будет
S+() = 2 S() = N
.
0
Здесь величину N0 называют интенсивностью процесса n(t) , а сам процесс n(t),
обладающий равномерной (постоянной) спектральной плотностью на всех
частотах (,+), также называют «белым шумом». Белый шум физически
неосуществим, т.к. его дисперсия D
(t) бесконечна.
n
«Белый шум» является полезной математической идеализацией, применимой
в тех случаях, когда интервал корреляции много меньше существующих
постоянных времени системы, на которую он воздействует, или, иначе, когда в
пределах амплитудночастотной характеристики системы спектральную
плотность воздействующего реального шума можно приближенно считать
постоянной.
32
Пример 11. Спектральная плотность S
случайного процесса X(t) имеет вид (рис. 18)
() стационарного в широком смысле
x
N0/2 при (2; 1) и при (1; 2) ;
S
() = {
x
0 , в остальных случаях.
Найти корреляционную функцию с.п. X(t).
Рисунок 18
Решение. По определению корреляционной функции (42) получим
= (N
/2)( sin2 sin1) = (N0/2)2cos[(2+1)/2]sin[(21)/2] =
0
(46)
При 1 = 0 область определения спектральной плотности станет 2 ,
а корреляционная функция будет
(47)
Графики корреляционных функций, соответствующие формулам (46) и (47),
приведены на рис. 19, 20.
33
Рисунок 19
Рисунок 20
Линейные преобразования стационарных случайных процессов
На практике часто приходится решать задачи типа: имеется некоторая
система S, на вход которой поступает сигнал X(t). В результате преобразования
входного сигнала системой S на ее выходе появляется с.п. Y(t), который
называется «откликом» или «реакцией системы» на входной сигнал X(t).
Символически преобразование случайного процесса X(t) в сигнал Y(t)
системой S записывают в виде
Y(t) = S[X(t)] ,
здесь символ S играет роль оператора преобразования. Среди множества всех
возможных операторов будем рассматривать только линейные однородные
операторы L[].
34
Определение. Оператор L [ ] называется линейным однородным, если он
обладает свойствами:
1) линейный однородный оператор от суммы функций равен
сумме линейных однородных операторов от каждой функции
;
2) постоянную величину можно выносить за знак оператора L
L [ cx(t) ] = c L [ x(t) ] .
К линейным однородным операторам относятся операторы:
1) оператор дифференцирования у(t) = dx(t) / dt ;
t
2) оператор интегрирования у(t) = a(t) x() d ;
0
3) оператор интегрирования с определенным весом u(t)
t
y(t) = u()x() d ;
4) оператор дифференциального уравнения второго порядка
0
у(t) = a2 · d2x(t) / dt2 + a1· dx(t) / dt + a0x(t) .
Рассмотрим применение некоторых указанных операторов к стационарным
случайным процессам.
Пример 12. Пусть X(t) стационарный в широком смысле с.п., для которого
математическое ожидание M[X(t)] = m
K
() известны.
x
Найти характеристики с.п. на выходе системы, заданной:
1) оператором дифференцирования;
и корреляционная функция
x
2) оператором интегрирования.
Решение. 1. Используя формулу (25), получим
M[Y(t)] = m
(t) = dmx/dt = 0 .
y
Вычисление корреляционной функции с.п. Y(t) производится по формуле
K
() =
y
2
K
() /
x
2
.
35
Тогда спектральная плотность мощности процесса Y(t) будет
S
() = e
у
( 2 Kx()/ 2 ) d =
∞ ∞
= e
[ 2 ( Sx() e
= 2 e
= 2 Kx() e
( Sx() e
d = 2 Sx() .
Таким образом, спектральные плотности мощности сигнала X(t) и его
производной Y(t) связаны соотношением
Sy() =
2
Sx(). (48)
2. Рассмотрим оператор интегрирования Y(t) = X()d.
0
Характеристики процесса Y(t) будут
d) d =
d ) / 2 ] d =
t
M [Y(t)] = m
0
K
(t1,t2) = Kx(s1,s2) ds1 ds2 = (t2 ) Kx() d + (t1)Kx()d =
y
t
= (t
t
d = mxt ;
x
t
t
1
2 t2 t1
0 0
t
2
1
)Kx()d. (49)
2t1
0
0 0
Полагая t1= t2 = t, получим расчетное выражение для дисперсии
D
(t) = (t)Kx()d + (t)Kx()d = (t)[Kx()+ Kx()]d =
y
= 2 (t)K
t t t
0 0 0
t
0
()d . (50)
x
36
Пример 13. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную
функцию K
процесса
t
() =
x
2 e
x
. Определить дисперсию случайного
0
Y(t) = X()d .
Решение. Применим формулу (50) и найдем
t t
D[Y(t)] = 2 (t)Kx()d = 2
= 2
t t
2
[ t e
x
d e
= 2
t t
= 2
2
[ t ( 1/ 2) e
x
0
2
[(t / 2)( e
x
2
x
= [ 2t 1 (1 2t 2) e
2
(t)e
x
d =
d ] =
t t
(1/ 2) d(e
1) (1/ 2)( e
] / 22 .
)] =
e
d)] =
22
Из полученного выражения и формулы (50) следует, что интеграл от
стационарной случайной функции свойством стационарности не обладает.
Потоки событий
Потоком событий называется последовательность событий, происходящих
в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов, поступающих на
телефонную станцию; поток почтовых отправлений на почте; поток шайб,
забитых при игре в хоккей, и т.д.
В общем случае поток событий представляет собой последовательность
случайных точек t1, t2, ... , tn, ... на оси времени с разделяющими их случайными
интервалами T
, T2, ... , Tn = t
1
tn (рис. 21).
+1
n
Рисунок 21
Потоки событий отличаются друг от друга законами распределения
интервалов T
, T2, ... , их зависимостью или независимостью между собой.
1
Важными характеристиками потоков является их ординарность, отсутствие
последействия, стационарность.
37
1. Ординарность. Поток событий называется ординарным, если события в
нем появляются поодиночке, а не группами.
Это означает, что вероятность попадания на участок времени t двух и
более событий очень мала по сравнению с вероятностью попадания на него
ровно одного события.
Если обозначить р
ровно одного события, р
события и р
очевидно следующее равенство
р
(t, t) - вероятность попадания на него двух и более событий, то
>1
(t, t) + р
1
(t, t) вероятность попадания на участок (t, t + t)
1
(t, t) - вероятность непопадания на него ни одного
0
(t, t) + р>1(t, t) = 1.
0
Важной характеристикой потоков событий является интенсивность
потока.
Обозначим Х (t, t) случайное число событий, попадающих на
элементарный участок (t, t + t), для ординарного потока событий.
Интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий в момент t
называется величина
,
если данный предел существует.
Физический смысл интенсивности потока событий - это среднее число
событий, приходящихся на единицу времени для элементарного участка
(t, t + t).
Среднее число событий ординарного потока, приходящееся на интервал
(t, t + τ) , равно
и при постоянной интенсивности потока λ(t) = λ будем иметь
M [X ( t, τ )] = λτ .
2. Отсутствие последействия.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых
неперекрывающихся участков времени τ 1 , τ
, …, τ
2
числа событий
n
X1 = X(t1,τ1), X2 = Х(t2,τ2),…, Xn = Х(tn,τn), попадающих на эти участки,
представляют собой независимые случайные величины.
Если поток без последействия, ординарен и имеет постоянную
интенсивность λ, то число событий Х(t
имеет распределение Пуассона с параметром α = λτ.
), попадающих на участок времени τ,
,τ
38
Ординарный поток событий, в котором отсутствует последействие,
называется пуассоновским потоком.
Для пуассоновского потока вероятность наступления за время t ровно m
событий определяется формулой
(α) m
α
Р(m) = e
m
,
а функция распределения F(t) = P(T t) интервала Т между соседними
событиями является показательной
3. Стационарность.
F(t) = 1 e
t
(t 0).
Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные
характеристики не меняются со временем.
Для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного
числа событий на участок длины τ зависит только от длины этого участка и не
зависит от того, где именно на оси времени этот участок расположен. Это
значит, что числа событий Х(t
,τ) и Х(t2,τ), попадающих на два участка
1
одинаковой длины τ, будут иметь одинаковое распределение. Отсюда следует,
что для стационарного потока событий его интенсивность λ(t) есть величина
постоянная: λ(t) = λ = const.
Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется
простейшим потоком (или стационарным пуассоновским потоком).
Более сложным потоком событий, по сравнению с простейшим, является
поток с ограниченным последействием. Так будем называть поток, у
которого случайные интервалы Т1, Т2, … между событиями представляют
собой последовательность независимых одинаково распределенных
случайных величин.
Стационарный поток событий с ограниченным последействием называется
потоком Пальма. Для такого потока событий интервалы Т
, Т
, … между
1
2
соседними по времени событиями представляют собой независимые случайные
величины.
Потоки Пальма широко применяются в теории восстановления – разделе
теории надежности технических устройств.
Марковские процессы
Предположим, что физическая система может находиться в одном из
дискретных состояний S
, S2, ..., S
1
и переходить в определенные моменты
n
времени tk (шаги) из одного состояния в другое. Например, прибор может
находиться в следующих состояниях: S1 - исправен; S2 - неисправен;
S3 - cписан в отход; S4 - находится в ремонте и вдальнейшем может вернуться в
эксплуатацию или быть списанным, если его ремонт невозможен.
Переход системы из одного состояния в другое удобно иллюстрировать
графом состояний (рис. 22)
39
Рисунок 22
Петля на рисунке означает, что в результате шага состояние системы не
изменилось.
Нас интересует, в каком состоянии находится прибор в те или иные моменты
времени t
случайны, то правильнее задать вопрос, какова вероятность P
на k-м шаге находится в состоянии Sj .
(k = 0, 1, 2, ...). Так как переходы из одного состояния в другое
k
(k), что система
j
Определение. Процесс, протекающий в такой системе, называется марковс ким процессом с дискретными состояниями и дискретным
временем (марковской цепью), если для любого номера шага
k0 вероятность состояния системы в будущем (k k0) зависит
от состояния системы в настоящем (k = k0) и не зависит от
прошлого (k k0).
Если процесс является марковской цепью, то для нахождения вероятностей
Pj(k) необходимо знать вероятности Pij(k) перехода системы из состояния
Si на k 1 шаге в состояние Sj на k-м шаге. Эти вероятности, как правило,
находят в результате анализа работы системы методами математической
статистики в процессе эксплуатации системы.
Переходные вероятности Pij(k) формируют так называемую стохастическую
матрицу
P11(k) P12(k) ... P1n(k)
P21(k) P22(k) ... P2n(k)
..................................
Pn1(k) Pn2(k) ... Pnn(k) .
Для нахождения вероятности Pj(k) необходимо еще знать состояние системы
в начальный момент времени k = 0. Это состояние характеризуется вероятнос-
тями Рi(0) того, что система в начальный момент находится в определенном
состоянии S
(P
(0)+P2(0)+...+Pn(0) = 1).
1
i
Если известно, что в начальный момент система находится в определенном
состоянии S
, то Pi(0) = 1, Pj(0) = 0 (i j).
i
Зная состояние системы в начальный момент, по формуле полной вероятнос-
40
ти вычисляем вероятность нахождения системы в состоянии S
шага
после первого
j
Pj(1) = P1(0) P
(1) + P2(0) P
1
j
(1) + ... + Pn(0) Pnj(1) = Pi(0) Pij(1) .
2
j
n
i = 1
На втором шаге начальными условиями являются уже вероятности Pi(1),
найденные выше. Следовательно,
n
Pj(2) = Pi(1) Pij(2)
и
i = 1
n
Pj(k) = Pi(k1) Pij(k) .
i = 1
Определение. Цепь Маркова называется однородной, если вероятности
P
(k) одинаковы для всех шагов: P
ij
(k) = P
ij
.
ij
Предположим, что процесс, протекающий в системе (рис. 22), является
однородной марковской цепью. Для этой системы стохастическая матрица
имеет вид
Р11 Р12 0 0
0 Р22 Р23 Р24
0 0 1 0
Р41 0 Р43 Р44 .
Пусть в начальный момент система находилась в состоянии S1 , т.е.
Р
(0) = 1, Р
1
Р
= Р
24
Тогда Р
41
Р
Р2(2) = Р
Р3(2) = Р
Р4(2) = Р
(0) = Р3(0) = Р
2
= 0,6, Р
(1) = 0,8; Р
1
(2) = Р1(1) Р
1
= 0,1; Р
43
(1)Р
2
(1) Р
2
(1) Р
2
(0) = 0, и Р
4
= 0,3.
44
(1) = 0,2; Р3(1) = Р4(1) = 0;
2
= 0,64;
11
+ Р
12
= 0,04;
23
= 0,12.
24
(1) Р
2
= 0,2;
22
= 0,8; Р
11
= 0,2 = Р
12
22
= Р
;
23
Следовательно, Р1(3) = 0,584; Р2(3) = 0,168; Р3(3) = 0,092; Р4(3) = 0,156.
Марковская цепь является простейшей формой марковских процессов.
Более сложные варианты марковских процессов, имеющих большое прикладладное значение, рассмотрены в [1].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]