Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ случайных процессов. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Стационарным случайным процессом «в широком» смысле называется
процесс Х(t) , для которого существуют первый и второй начальные моменты и
при этом выполняются условия:
а) М[ Х(t) ] = m ; D[ Х(t) ] =
b) K (t1, t2) = K (t2 t1) = K () ,
2
;
т.е. математическое ожидание с.п. не зависит от времени, а ковариационная
функция не зависит от моментов времени t
и t2, а зависит лишь от разности
1
= t2 t1.
Каноническое разложение случайных процессов
Каноническим разложением случайного процесса Х(t) называется
выражение вида
Х(t) = mx (t) + u k k (t) , (21)
k=1
где m x(t) - математическое ожидание с.п.; u1, u2,..., uk,... – некоррелированные,
центрированные случайные величины с дисперсиями D1, D2, ... , Dk, ... ;
(t), 2 (t), ... , k (t), ... - неслучайные функции аргумента t . Число членов в
1
разложении (21) может быть как конечным, так и бесконечным.
Такое представление случайных процессов было впервые предложено в
конце 50-х годов В.С. Пугачевым, и оно позволяет довольно просто проводить
анализ преобразований (линейных, нелинейных) случайных процессов.
Пусть с.п. Х(t) задан представлением (21). Найдем его характеристики:
- математическое ожидание Х(t)
М [ Х(t) ] = m
x
(t) + M( uk )
k
= 1
(t) = m
k
(t), т.к. M(uk) = 0; (22)
x
- корреляционная функция Х(t)
Кх(t1, t
) = М[Х(t1) Х(t2) ] = M[(Х(t
2
) mx(t
1
)) (Х(t
1
) mx(t2))] =
2
= M[ ukk (t1) u
k
=1
n
=1
(t2) ] = M [ u
nn
k
=1 n=1
k un k
(t1) n(t2) ] =
= M(uk un) k(t1) n(t2) = k(t1) n(t2) Dk , (23)
k
n
=1
здесь M ( u
=1 k =1 n =1
) = 0 при k n и M (u
k un
) = Dk при k = n.
k un
22
Выражение (23) называется каноническим разложением корреляционной
функции с.п. Х(t). В частности при t1 = t
= t получаем
2
K
(t) =
x
k=1
2
(t) D
k
. (24)
k
Это выражение называется каноническим разложением дисперсии с.п. Х(t).
Операции анализа над случайными функциями
К операциям математического анализа относятся интегрирование и
дифференцирование случайных процессов. Указанные операции
математического анализа опираются на понятие сходимости и предела,
поэтому, определяя операции анализа над случайными функциями,
приходится неизбежно сталкиваться с пределами последовательностей
случайных величин. Это позволяет построить совершенную элементарную
теорию дифференцирования и интегрирования случайных функций, дающую
удобные практические методы исследования в рамках корреляционной теории
случайных функций (процессов).
Не вдаваясь в математические аспекты операций дифференцирования и
интегрирования случайных функций, остановимся только на том, как числовые
характеристики случайного процесса Х(t) связаны с числовыми
характеристиками его производной У(t) = dХ(t) / dt и интеграла
t
Z(t) = X(s) ds.
Если для случайного процесса Х(t) его числовые характеристики будут
M
(t) = mх(t), КХ(t1,t2) и DХ(t), то характеристики с.п. У(t) будут связаны с
Х
характеристиками с.п. X (t) следующим образом:
M [ У (t) ] = d m
K
(t 1, t2) =
У
D[У (t)] = K
Числовые характеристики случайного процесса Z(t) соотносятся с
характеристиками с.п. X (t) таким образом:
M [ Z (t)] =
t
K
0 0
z
(t1
, t2) =
D[ Z (t) ] = K
0
t
m
1 t2
0
(t) / dt, (25)
x
2
Kx (t
У
(s) ds, (27)
x
, t2) / t1 t2, (26)
1
(t, t).
K
(t, t).
Z
, s2) ds1 ds2 , (28)
(s1
x
23
Пример 4. Случайный процесс задан элементарной функцией У = Х t + a,
где Х - равномерно распределенная на отрезке [c,d] случайная величина;
а - неслучайная величина. Найти характеристики производной с.п.
Решение. На основании определений найдем М [y(t)] = mx t + a ;
Ky (t1, t2) =
2
t1 t2. Далее по формулам (25, 26) найдем
x
m
K
D [y(t)] = lim K y (t
t1t
(t) = m
y
(t1, t2) = 2 (
y
x
= const;
2
t
x
2
1 t2
1,t2
) /t
) =
1
t
x
2
2
.
=
2
= const ;
x
Пример 5. Случайный процесс X(t) задан каноническим разложением
X(t) = 1 + ut + vt2 с характеристиками Du = 3; Dv = 1.
Найти математическое ожидание и корреляционную функцию
производной данного процесса.
Решение. По определению канонического разложения имеем Mx(t) = 1.
Обозначим Z(t) = dX(t)/dt. Тогда M [ dX(t)/ dt ] = dM
(t) / dt = 0 ,
x
Кz (t1,t2) = 2 Kx (t1,t2) /t1 t2. Найдем Кх (t1,t2) = M [X0(t1) X0(t2)] =
= { X0(t) = ut + vt2 центрированный с.п.} = M[(ut + vt2)(ut + vt2)] =
2
= t1t2M(u2) + (t1t
2
2
+ t
t2)M(uv) = (t1t2)2M(v2) = 3t1t2 + (t1t2)2 ,
1
т.к. M(u2) = Du = 3; M(v2) = Dv = 1; M(uv) = 0.
Тогда Kz(t1,t2) = 2 [3t1t2 + (t1t2)2] / t1 t2 = 3 + 4t1t2 .
Пример 6. В условиях примера 5 найти математическое ожидание и
t
дисперсию процесса Z(t) = X(s) ds.
0
t
t
Решение. По определению (28) найдем М[Z(t)] = Mz(s)ds = 1 ds = t ;
0
t1 t
Kz(t1,t2) = ds1 (3s1s2 + s
Дисперсию с.п. Z(t) найдем как
D[Y(t)] = lim Ky(t1,t2) = 3 t4 /4 + t6 /9.
0 0
t
2
2
2
s
) ds2 = 3 (t1t2)2 /4 + (t1t2)3 / 9.
1
2
1t2
0
24
Cтационарные случайные процессы
Случайный процесс X(t) , t называется стационарным в узком
смысле (или строго стационарным), если распределение вероятностей любых
случайных величин X(t
X(t1+), X(t2 + ), ... , X(t
), X(t2), ... , X(tn) такое же, как и случайных величин
1
+ ), имеющих сдвиг по времени на постоянную
n
величину , . Если, например, X(t) случайная функция непрерывного
типа, то условие строгой стационарности имеет вид
f (x1, ... , xn; t1, ... ,tn) = f (x1 , ... , xn; t1 , ... ,tn ) . (29)
Случайный процесс X(t), для которого M [X(t)]2 + , называется
стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не
зависят от времени, а корреляционная функция K
(t1,t
) зависит лишь от
2
x
разности t2 t1:
M[X(t)] = m = const ;
D [X(t)] =
2
= const ; (30)
Kx (t1,t2) = Kx() ; = t2 t1 .
Для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности
совпадают.
Автоковариационная функция стационарного в широком смысле процесса
обладает следующими свойствами:
1) Kx() = Kx() ;
2) Kx() Kx(0) = D[X(t)]; (31)
3) функция Kx() неотрицательно определена.
Если стационарная в широком смысле случайная функция X(t) является
дифференцируемой и y(t) = dX(t) / dt , то y(t) также стационарная в широком
смысле случайная функция, для которой
M[y(t)] = 0; Ky() = d2Kx(t) / d2 ; D[y(t)] = Ky(0). (32)
Эргодические случайные процессы
Случайный процесс будем называть эргодическим, если любая его
вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству
реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна
временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой
промежуток времени одной единственной реализации случайного процесса. Из
эквивалентности двух способов усреднений по множеству и по времени
следует, что для эргодического с.п. нет необходимости изучать большую
совокупность реализаций, которой исследователь, как правило, не располагает,
25
а достаточно одной реализации, наблюдаемой в течение длительного
промежутка времени. Другими словами, эргодическое свойство состоит в том,
что любая реализация стационарного с.п. является полным представителем
всей совокупности реализаций стационарного с.п.
В большинстве случаев на практике интересуются не всеми, а только отдельными характеристиками процесса (математическим ожиданием, ковариационной
функцией и одномерной функцией распределения или плотностью вероятностей).
В связи с этим можно ввести понятие временных характеристик реализаций с.п.
Пусть реализация X
(k)
(t) случайного процесса наблюдается в течение
промежутка времени 2Т; Т t Т .
Временным средним или средним по времени от реализации стационарного
с.п. называется числовая характеристика, определяемая выражением
1 T
X
которую можно трактовать как постоянную составляющую этой реализации.
Средним по времени квадратом от реализации стационарного с.п.
(k)
(t) = lim X
T
2T T
(k)
(t) dt , (33)
называется числовая характеристика, определяемая выражением
1 Т
(k)
[X
(t)]2 = lim [X
Если реализация X
(k)
(t) представляет изменение напряжения или тока на
T
2T
T
(k)
(t)]2 dt . (34)
единичной нагрузке, то средний во времени квадрат равен средней мощности
данной реализации.
Временной корреляционной (автокорреляционной) функцией реализации
(k)
X
(t) будем называть действительную величину, определяемую выражением
1 T
X
(k)
Временной взаимной корреляционной функцией реализаций X
(t) X
(k)
(t+) = lim [X
T
2T
T
(k)
(t)mx][ X
(k)
(t+)mx] dt . (35)
(k)
(t) и У
(k)
(t)
будем называть величину, определяемую выражением
1 T
X
(k)
(t) У
(k)
(t+) = lim [X
T
2T
T
(k)
(t)m
x
][ У
(k)
(t+)mу] dt . (36)
Пример 7. Пусть случайный процесс X(t) задан как неслучайная величина
X(t) = b. Найти его характеристики; определить, является ли этот
процесс стационарным и обладает ли он свойством эргодичности.
26
Решение. Найдем M[X(t)] = a; Dx(t) = Kx(t,t) = 0. Следовательно, согласно
- 1
+ 1
1/2
1/2
(30), случайный процесс X(t) является стационарным и, кроме этого,
он будет и эргодическим.
Пример 8. Случайный процесс задан в виде X(t) = u, где u – случайная
величина.
Найти его характеристики. Определить, является ли этот процесс
стационарным и обладает ли он свойством эргодичности.
Решение. Найдем M[X(t)] = mu ; Kx(t1,t2) = M[(umu)2] = D(u) = Du .
Следовательно, случайный процесс X(t) - стационарен, и, так как
lim Kx() = Du 0 , он не обладает эргодическим свойством.
τ
Пример 9. Случайный процесс X(t) представляет случайную телеграфную
волну, которая образуется следующим образом. На оси 0t имеется
простейший (пуассоновский) поток событий с интенсивностью .
Случайный процесс X(t) попеременно с равной вероятностью
принимает два значения 1 и 1. Одна из возможных реализаций
такого с.п. приведена на рис. 15. Найти характеристики с.п. X(t) .
Рисунок 15
Решение. Закон распределения с.п. X(t) имеет вид
Х(t) :
Найдем M[X(t)] = (1) 1/2 ( 1) 1/2 = 0
D[X(t)] = (1)2 1/2 ( 1)2 1/2 = 1.
Зафиксируем произвольные моменты времени t1 и t2 и будем искать
корреляционную функцию в виде
K
) = M[(X(t1) mx) (X(t2) mx)] = M[X(t1) X(t2)] .
x(t1,t2
Здесь произведение X(t1) X(t2) может принимать только два значения:
27
1, если за интервал времени (t1, t
телеграфной волны, и 1 , если за интервал (t1, t
нечетным. Найдем вероятность того, что на интервале = t
) произошло четное число перемен знака у
2
) число перемен знака было
2
t
( )
2
1
произошло четное число перемен знака
P(n = 2k) = P[ X(t1)X(t2) = +1] = =
= = e
ch = (1 + e
Отсюда вероятность того, что за интервал времени = t
нечетное число перемен знака будет равна
P(n2k) = 1 P(n=2k) = (1 e
)/ 2.
Тогда Kx(t1,t2) = M[X(t1) X(t2)] = (1) P(n2k) + (+1) P(n=2k) = e
t
произойдет
2
1
) / 2.
. ()
Для случая, когда = t1t2 (т.е. t2t1 = ) , получим
K
x(t1,t2
) = e
= e
. ()
Объединяя две последние формулы () и () в одну, получим окончательно
K
x(t1,t2
) = Kx() = e
.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что случайный
процесс – «телеграфная волна» - является стационарным и обладает
свойством эргодичности относительно математического ожидания, т.к.
lim K
() = 0.
x
Cпектральное разложение стационарных случайных процессов
При изучении детерминированных процессов (или сигналов) и реакции на
них линейных систем с постоянными параметрами широко используются
спектральные представления, базирующиеся на возможности представления
сигналов рядом или интегралом Фурье (гармонический анализ). При этом
математически сравнительно просто и физически наглядно можно найти сигнал
на выходе линейной системы простым пересчетом отдельных спектральных
составляющих входного сигнала через комплексную передаточную
характеристику с последующим принципом суперпозиции. Представляется
естественным желание распространить гармонический анализ на случайные
процессы для решения аналогичных задач, хотя физический смысл результатов
будет при этом несколько другим. Наиболее просто эта задача решается для
стационарных с.п. с использованием понятия спектральной плотности
процесса.
28
Стационарный в широком смысле случайный процесс X(t), заданный
каноническим разложением вида
n
X(t) = m
где u
условия M[v
и vk - центрированные случайные величины, для которых выполняются
k
vj] = M[ui uj] = Di , если i = j и M[vi vj] = M[ui uj] = 0 при i j;
i
+ (u
x
k
cos kt + vk sin kt ) = m
k
= 0 k =
n
+ z
x
(t) , (37)
k
0
M[vi uj ] = 0 для всех i, j = 0,1, ... , n; называется случайным процессом с
дискретным спектром.
Автокорреляционная функция такого процесса будет
n n n
Kx(t1,t2) = M[ zk(t1) zk(t2)] = M[ zk(t1) zk(t2)] =
n
= M[ u
k
= 0
+ ukvk sin kt1 cos kt2 + v
n
k = 0 k = 0 k = 0
2
cos kt1 cos kt2 + u
k
cos
kvk
2
sin kt1 sin kt2 ] =
k
t1 sin kt2 +
k
= Dk(cos
k
= 0
n n
= Dk cos
k = 0 k = 0
kt1
cos
+ sin
kt2
kt1
sin
kt2
) =
(t
t2) = Dk cos k = Kx() . (38)
1
k
Отсюда следует, что дисперсия процесса определяется суммой дисперсий всех
гармоник n
Dx = Kx(0) = Dk .
k
= 0
Представления (37) и (38) называются спектральными представлениями
соответственно случайного процесса и его корреляционной функции.
Стационарный случайный процесс X(t) называется случайным процессом
с непрерывным спектром, если существует такая действительная
неотрицательная функция Sx(), определенная на всей числовой оси частот
, называемая спектральной плотностью (или спектральной
плотностью мощности) и задаваемая преобразованием Фурье от
ковариационной (автоковариационной) функции
Sx() = . (39)
29
При этом имеет место обратное преобразование Фурье вида
Kx() = . (40)
Пара преобразований Фурье (39) и (40) называется преобразованием Винера
Хинчина.
Спектральная плотность Sx() обладает свойствами:
1) спектральная плотность мощности неотрицательная функция
Sx() 0, при ;
2) спектральная плотность мощности четная функция
Sx() = Sx() ;
это вытекает из четности ковариационной функции стационарного в широком
смысле случайного процесса K
3) D
= K
x
(0) =
x
() = Kx () ;
x
интеграл от спектральной плотности в пределах (;+) равен дисперсии
стационарного случайного процесса.
Для стационарного в широком смысле случайного процесса в силу четности
ковариационной функции формулы (39) и (40) будут иметь вид
S
() = = .
x
K
() = = . (42)
x
(41)
Для стационарного в широком смысле с.п. имеют место следующие важные
понятия:
эффективная “ширина” спектральной плотности мощности,
определяемая соотношением
= (1/Sx(0)) Sx() d ; (43)
интервал корреляции (или эффективная длительность корреляционной
функции) к, определяемый соотношением
к = (1/Kx(0)) Kx() d . (44)
30
Cмысл определений (43) и (44) состоит в том, что площади под кривыми S
и K
() приравниваются к площадям прямоугольников с основаниями и
x
()
x
к
и высотами S
(0) и Kx(0) cоответственно (рис. 16, 17).
x
Рисунок 16 Рисунок 17
Пример 10. Автокорреляционная функция стационарного с.п. X(t) задана в
виде K
() =
x
Найти спектральную плотность мощности S
2 e
x
; ; .
() и эффективные
x
характеристики и к.
Решение. Данная корреляционная функция является четной функцией, тогда
по определению (41) имеем
S
() = =
x
Применяя для вычисления полученного интеграла метод интегрирования по
частям, найдем
Окончательно спектральная плотность мощности с.п. будет равна
S
() = 2
x
2
/ (2 + 2) . (45)
x
Для определения эффективной ширины спектра предварительно
найдем
S
(0) = = 2
x
2
/ .
x
Окончательно получим
= = .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]