Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ случайных процессов. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
Нормированная корреляционная функция случайного процесса R
обладает свойствами:
1) при t
= t2 = t нормированная корреляционная функция равна 1
1
(t1,t2)
x
K
R
(t,t) = = = 1.
x
(t,t) Dx(t)
x
(t) х(t)
x
2
(t)
x
2) нормированная корреляционная функция случайного процесса симметрична
относительно своих аргументов
R
x(t1,t2
) = Rx(t2,t1).
3) нормированная корреляционная функция случайного процесса принимает
значения от 1 до 1, т.е. R
x(t1,t2
) 1.
Замечание. В некоторых учебниках и задачниках, например [4; 5],
корреляционная функция (10) называется ковариационной функцией, а
нормированная корреляционная функция называется корреляционной
функцией.
Более сложным объектом по сравнению со случайным процессом Х(t)
является векторный случайный процесс Х (t), состоящий из k - компонент -
случайных процессов Х
(t)
i
Х (t) = Х1 (t), Х2 (t), ... , Х
(t) . (12)
k
Каждая компонента векторного случайного процесса (12) имеет
характеристики:
М [Х
(t)] = m
i
(t) ; D[Xi (t)] =
i
2
; K(xi ; t
i
, t
) = Ki (t
1
2
1
, t
2
).
Для определения зависимости между компонентами векторного с.п.
используют взаимную корреляционную функцию K
(t1, t2) двух случайных
i j
процессов.
Определение. Взаимной корреляционной функцией K
ных процессов Х
двух аргументов t
( t
Х
K
(t1, t2) = М [Х
i j
, t2) равна ковариации двух сечений случайных процессов
1
(t) и Х
i
(t) и вычисляется по формуле
j
0
(t1) Х
i
(t) и Х
i
и t2 , которая при каждой паре значений
1
0
(t2)] = M[(Х
j
(t) называется неслучайная функция
j
(t1) mx(t
i
1
(t1, t2) двух случай-
i j
)) (Х
(t2) mx(t2))] =
j
= M[Х
(t1) Хj (t2) ] mi (t1)mj(t2) . (13)
i
12
Рисунок 4 Рисунок 5
Свойства взаимной корреляционной функции:
1) Взаимная корреляционная функция K
K
равна ковариации сечений Х
К
, t1), т.к. ковариация между сечениями Х
(t2
i j
(t2) и Хj (t1)
i
(t1, t2) К
i j
(t1, t2) в общем случае не равна
i j
(t2, t1) ;
i j
i
(t1
) и Х
(t2) в общем случае не
j
2) при одновременной перемене мест индексов и аргументов взаимная
корреляционная функция не меняется
К
(t1, t2) = К
i j
3) при равенстве индексов i = j взаимная корреляционная функция равна
автокорреляционной функции
К
(t1, t2) = М[ Х
Нормированная взаимная корреляционная функция определяется по формуле
i j
(t1
i
) Х
, t1);
(t2
j i
)] = Кi (t1, t2) .
(t2
j
. (14)
Из свойств 1) 3) следуют свойства нормированной взаимной
корреляционной функции:
а. R
б. R
(t1, t2) = R
i j
(t1, t2) = Ri (t1, t2) .
i i
(t2, t1) ;
j i
Таким образом в качестве характеристик векторного случайного процесса
Х (t) = Х1 (t), Х2 (t), ... , Хn (t)
рассматривают:
1) математическое ожидание векторного с.п. Х (t) - неслучайный вектор,
зависящий от параметра t :
mx(t) = { m1(t), m2(t), ... , mk(t)},
где m
(t) = M[Xi(t)] - математическое ожидание i-й компоненты векторного с.п.;
i
13
2) квадратную матрицу взаимных корреляционных функций
(размерности kk) векторного с.п.;
K
, t2) K12(t1, t2) ... K1k(t1, t2)
11(t1
K21(t1, t2) K22(t1, t2) ... K2k(t1, t2)
K
, t2) = . . (15)
(t1
i j
. .
Kk1(t1, t2) Kk2(t1, t2) ... Kkk(t1, t2) ,
где каждая компонента K
(t1, t2) определяется по формуле (13).
i j
Случайные процессы Xi ( t ) и Xj ( t ) называются некоррелированными,
если соответствующая им взаимная корреляционная функция K
обращается в ноль при любых значениях аргументов t1 t2 для всех i j.
Векторный случайный процесс X(t) называется процессом с некорре-
лированными составляющими, если матрица взаимных корреляционных
функций является диагональной, т.е. К
( t
, t2) при всех i j.
1
i j
В простых задачах случайные процессы можно представлять через
элементарные случайные функции.
Определение. Элементарная случайная функция - это такая функция
аргумента t, в которой зависимость от t представлена
неслучайной элементарной функцией, а параметром является
одна или несколько случайных величин, не зависящих от
аргумента t.
Примеры элементарных случайных функций:
1) Y (t) = X e
- t
(t 0) ,
где Х - непрерывная случайная величина с известным законом распределения
- t
(например, равномерным на интервале [1, 1]) ; e
2) Y (t) = e
- X t
(t 0) ,
- элементарная функция;
где Х - случайная величина, принимающая только положительные значения;
(t1, t2)
i j
3) Y (t) = at + X;
4) Y (t) = a + X t ;
5) Y (t) = X cos (a t) ,
где Х - случайная величина; a - неслучайный параметр.
14
Семейства реализаций случайных процессов 1) 5) представлены на
рисунках 6 10 :
Рисунок 6 Рисунок 7
Рисунок 8 Рисунок 9
Рисунок 10
15
Рассмотрим некоторые примеры на определение основных характеристик
случайных процессов, представленных элементарными функциями.
Пример 1. Элементарная случайная функция имеет вид Y (t) = X e
- t
(t 0),
где Х - равномерно распределенная на отрезке [ a, b ] случайная
величина. Найти характеристики с.п. Y (t) :
1) математическое ожидание Му (t) ;
2) дисперсию D
y
(t) ;
3) корреляционную Ку (t1, t2) и нормированную корреляционную
R
y
(t1, t2
) функции.
Решение. 1) Используя свойства математического ожидания, получим
(
t
t
t1 + t
) = e
) = (e
)
2
Му(t) = М ( Х e
2) D
3) K
(t) = D (Xe
y
, t2) = M [(Y(t
(t1
y
= e
При t1 = t2 = t в данном случае получим Ку(t, t) = e
t
M (X), где М(Х) = (a+b) / 2 ; My(t) = (a+b) e
t
) D(x) = (b-a)2 e
) - M
1
(t1))( Y(t
y
D(X).
) - M
2
2 t
/ 12, где D(x) = (b - a)2 /12 .
t1 + t
(t2))] = e
y
(
2t
)
2
M[ (X - M(X))2] =
D(x) = D
y
(t).
t
.
Корреляционная функция для с.п. У (t) будет
Пример 2. Элементарная случайная функция имеет вид У (t) = e
Ry (t1, t2) = 1.
хt
(t 0),
где случайная величина Х распределена по показательному
закону с плотностью f (x) = e
x
(x 0 ; 0). Найти
характеристики с.п. У (t) :
1) Му(t); 2) Dy(t); 3) Ky(t1, t2) и Ry(t1, t2) .
Решение. 1) По определению математического ожидания случайной
величины найдем +
хt
Му (t) = М (e
) = e
2) По определению дисперсии имеем D
M[ Y2(t) ] = e
+
2xt
e
x
0
Тогда Dy(t) = /( t+ ) [/( 2t + )]2 = t2/(2t + ) (t + ) .
3) Предварительно найдем
= e
M[Y(t
) Y(t2)] = M( e
1
+
x(t1 + t2)
0 t1 t2
xt
e
dx = (t + )1 e
( t) = M[ Y2(t) ] M2 [ Y(t) ], где
y
dx = [/( 2t+)] e
хt
e
1
хt
e
2
) =
x
dx = ;
( + 2t) x
(t + ) x
+
= /( t+ ).
0
= /( 2t + ).
0
16
Тогда K
( t1, t2) = M[ Y(t
y
) Y(t2)] My(t1) My(t2) =
1
2 t1 t2
= = .
t1 t2 (t1 + ) (t2 + ) ( t1 t2) (t1 + ) (t2 + )
t2
При t1 = t2 = t получаем K
(t, t) = Dy (t) = .
y
( t)2 ( 2t)
Далее по определению найдем
_____ _____
Ky( t1, t2) 2t1 + 2t2 +
Ry (t1, t2) = = .
y(t1) y(t2) + t1 + t2
Пример 3. Элементарная случайная функция имеет вид
Z(t) = Х cos t + У sin t, где - постоянная величина;
Х и У - взаимно независимые гауссовские случайные величины
с нулевыми математическими ожиданиями m
и дисперсиями D (x) = D (y) =
2
.
( t ) и m
x
( t ) = 0
y
Найти одномерную f (z, t) и двумерную f ( z1, z2; t1, t2 ) плотности
распределения вероятностей.
Решение. Функции cos t и sin t являются детерминированными
функциями, т.е. известными функциями в любой момент времени при любом
значении параметра . Тогда случайная величина Z Z (t) при любом
фиксированном значении t представляет собой линейную комбинацию
гауссовских случайных величин и, в силу этого, также является гауссовской
случайной величиной.
Поэтому для определения плотностей распределения f (z, t) и f (z1, z2; t1, t2)
необходимо найти математическое ожидание М
K
, t2). Так как mx (t) и my (t) = 0 , то математическое ожидание Mz ( t ) будет
(t1
z
(t) и корреляционную функцию
z
Mz ( t ) = M [x cos t + y sin t] = cos t M(x) + sin t M(y) = 0.
Далее
Kz( t1, t2 ) = M[ z( t1 ) z( t2 ) ] = M[(x cos t1 + y sin t1)( x cos t2 + y sin t2)] =
= cos t1 cos t2 M(x2) + sin t1 cos t2 M(xy) + cos t1 sin t2 M(xy) +
+ sin t1 sin t1 M(y2) = cos t1 cos t2 M(x2) + sin t1 sin t1 M(y2) =
= cos t1 cos t2 2 + sin t1 sin t1 2 = 2 cos (t2 t1),
поскольку M(xy) = M(x) M(y) = 0.
Дисперсию Dz (t) получим из формулы для Кz (t1 ,t2), положив t
= t2 = t
1
Dz (t) = Kz (t, t) = 2 .
17
Тогда одномерная функция плотности будет иметь вид
1
f (z, t) = exp { [ z (t) ]2 / 22 }.
2
Для нахождения двумерной функции плотности вероятностей вспомним
функцию плотности двумерной гауссовской случайной величины
В нашем случае
где (t
- t1) = . Тогда искомая двумерная плотность вероятностей будет
2
=
x
; r
=
y
= Kxy / xy = 2 cos (t2-t1) / 2 = cos ,
xy
.
Классификация случайных процессов
Рассмотрим два варианта классификации случайных процессов.
1. Классификация случайных процессов по характеру реализаций xi (t) с.п.,
т.е. в зависимости от возможных значений, принимаемых случайной функцией
X(t) и ее аргументом t.
Случайный процесс Х(t) называется процессом с дискретным временем,
если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в
моменты времени t
множество параметров Т - дискретное множество.
, t2, ... , t
1
, ... , число которых конечно или счетно. Здесь
i
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем,
если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой
момент времени t наблюдаемого промежутка Т .
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными
(дискретными) состояниями, если его сечение в любой момент времени t
представляет непрерывную (дискретную) случайную величину.
Исходя из вышеизложенного различают следующие виды случайных
процессов.
1. Дискретная случайная последовательность - случайный процесс с
дискретным временем и дискретным множеством состояний (рис. 11).
Процессы такого вида получаются после аналого-цифрового квантования по
амплитуде и по времени.
18
2. Случайная последовательность - случайный процесс с дискретным
временем и непрерывными состояниями (рис. 12).
Рисунок 11 Рисунок 12
3. Дискретный (разрывный) случайный процесс - с.п. с непрерывным
временем и дискретными состояниями (рис. 13).
4. Непрерывный (непрерывнозначный) случайный процесс - с.п. с
непрерывным временем и непрерывными состояниями (рис. 14). Примерами
такого с.п. могут служить: напряжение в сети электропитания; амплитуда
звукового сигнала на выходе радиоприемника и т.д.
Рисунок 13 Рисунок 14
2. Классификация случайных процессов по виду закона распределения
отдельного сечения или совокупности сечений процесса.
2-1. Гауссовский случайный процесс
Случайный процесс называется гауссовским, если все его конечномерные
распределения являются гауссовскими (нормальными). Многомерная плотность
распределения вероятностей задается формулой
, (16)
где К - определитель корреляционной матрицы (15), А
дополнение элемента К
матрицы (15).
i j
– алгебраическое
i j
19
Векторная форма записи формулы (16) имеет вид
, (17)
где символ ( ) Т означает операцию транспонирования.
Гауссовский случайный процесс обладает следующими важными свойствами:
а) гауссовский с.п. исчерпывающим образом определяется заданием
математического ожидания mx(t) и ковариационной функцией Kij (t1,t
), что
2
видно из формулы (16);
б) для гауссовского с.п. некоррелированность значений процесса
тождественна их независимости. Тогда многомерная плотность распределения
(16) распадается в произведение одномерных гауссовских плотностей
. (18)
2 – 2. Винеровский процесс или процесс броуновского движения
Винеровский процесс служит приближенной моделью хаотического
(случайного) движения частиц.
Винеровским процессом, выходящим из начала координат, называется
такой с.п. Х(t) , который обладает следующими свойствами:
а) Х(t = 0) = 0 ;
б) для любых 0 t1 t2 , ... , tn случайные величины Х(t2)Х(t1); Х(t3)Х(t2); ... ;
Х(t
) Х(t
n
) независимы ;
1
n
в) случайные величины Х(t) Х(s) распределены по нормальному закону с
параметрами М [ Х(t) Х(s) ] = 0 ; D [ Х(t) Х(s) ] = t s ; 0 s t .
2 – 3. Пуассоновский случайный процесс
Пуассоновским называется такой случайный процесс Х(t) с параметром
(0), который удовлетворяет следующим условиям:
а) Х(t = 0) = 0 ;
б) для любых 0 t1 t2 , ... , tn случайные величины Х(t2) Х(t1); Х(t3) Х(t2);
... ; Х(tn) Х(t
) независимы ;
1
n
в) случайные величины Х(t) Х(s) ; 0 s t, распределены по закону Пуассона
с параметром ( t s)
Р[ Х(t) Х(s) = k ] = [ ( t s)]k e
(t s )
/ k , k = 0,1,2, ... .
20
2 – 4. Марковский случайный процесс
Марковским случайным процессом (процессом А.А. Маркова) называется с.п.
без последействия, для которого исчерпывающей вероятностной
характеристикой является условная функция распределения, удовлетворяющая
для любых n моментов времени t
F ( x
, t
/ x1, t1; ... ; x
n
n
Если существует условная плотность вероятностей f (xn, tn / x
t2 , ... , tn соотношению
1
, t
-1
n
) = F ( xn, tn / x
-1
n
, t
-1
n
). (19)
-1
n
, t
-1
n
),
-1
n
которая называется переходной плотностью вероятностей, то важное свойство
марковского с.п. состоит в том, что его совместная плотность вероятностей
может быть представлена в виде произведения переходных вероятностей
f(x1, ... , xn; t1, ... ,tn) = f (x1, t1) f (xi , ti / x
n
i=2
, t
-1
i
) . (20)
-1
i
Таким образом для марковского процесса условные функции распределения
и переходные плотности вероятностей f (xi , ti / x
момент времени t
значений процесса до момента времени t
зависят только от значений x
i
.
i-1
i
, t
-1
i
в момент t
-1
) его значений x
-1
i
и не зависят от
i-1
в
i
Примерами марковских процессов являются пуассоновский и винеровский с.п.
Для марковских процессов также применима классификация по «времени»
и по «состояниям».
2 – 5. Случайные процессы с независимыми приращениями
Случайным процессом с независимыми приращениями называется такой с.п.
Х(t), приращения которого на непересекающихся отрезках времени не зависят
друг от друга и для t
Х(t
) Х(t
3
); ... , Х(t
2
n
t2 , ... , tn случайные величины Х(t2) Х(t1);
1
) Х(t
) независимы.
1
n
Примерами таких с.п. являются рассмотренные выше винеровский и
пуассоновский процессы.
Здесь же можно отметить случайные процессы с некоррелированными
приращениями, для которых приращения на неперекрывающихся отрезках
времени некоррелированы.
2 – 6. Стационарные случайные процессы
Стационарным случайным процессом «в узком» смысле называется процесс
Х(t), для которого для любого действительного его конечномерные
распределения не меняются при сдвиге на величину
F(x1, ... , xn; t1, ... ,tn) = F (x1 , ... , xn; t1 , ... ,tn ) ,
где t
, ... , t
1
Т.
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]