Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ сетей массового обслуживания. Учебно-методическое пособие
.pdf
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Е.В. Кокорева
АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебно-методическое пособие
Новосибирск
2015
УДК [621.391.01:519.872] (075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент доц. М.С. Шушнов
Кокорева Е.В. Анализ сетей массового обслуживания : учебно-методичес-
кое пособие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики; каф. систем мобильной связи. – Новосибирск, 2015. – 39 c.
Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения о
методах аналитического моделирования инфокоммуникационных систем с
применением основных результатов теории сетей массового обслуживания,
необходимые для выполнения лабораторных работ.
Пособие предназначено для подготовки студентов направления 11.03.02 –
Инфокоммуникационные технологии и системы связи по дисциплине «Анализ
и моделирование систем мобильной связи».
© Кокорева Е.В., 2015
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2015
ВВЕДЕНИЕ
В задаче из N уравнений всегда будет N+1 неизвестная.
Уравнения Снэйфу
(Свод законов Мёрфи)
Аналитическое моделирование служит для описания исследуемых процессов функционирования инфокоммуникационных систем в некотором классе математических моделей. Например, теория графов используется для исследования и оптимизации топологии сетей, сети Петри – для верификации и анализа
распределенных алгоритмов функционирования сети, теория случайных процессов – для отображения вероятностных характеристик сети, системы и сети
массового обслуживания – для анализа пропускной способности, сетевых задержек и потерь.
Теории массового обслуживания1 (ТМО) как разделу теории вероятностей
и возникшей на ее основе теории телетрафика положила начало научная работа
служащего датской телефонной компании Агнера Крарупа Эрланга, посвященная качеству обслуживания в развивающихся на заре XX в. телефонных сетях.
С тех пор ТМО претерпела значительные изменения и применяется для анализа
характеристик в различных областях научной, экономической и производственной деятельности человека.
С точки зрения инфокоммуникаций фундаментальные результаты теории
систем массового обслуживания хорошо применимы к сетям с коммутацией
каналов, предназначенных для передачи речи, но непригодны для анализа сетей, построенных на основе пакетной коммутации. Поэтому в настоящее время
наиболее распространенным средством анализа вероятностно-временных характеристик инфокоммуникационных систем разного назначения являются сети
массового обслуживания, благодаря наличию эффективных методов расчета и
высокому уровню адекватности этих методов [1].
1
В англоязычной литературе применяется название «Теория очередей» (англ. Queueing Theory).
3
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЕТЕЙ
1
12
3
5
44
1213
24
41
35
253401
04
50
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Понятие сетей массового обслуживания было введено Дж. Джексоном в
1957 году в работе «Networks of waiting lines»[2].
Многие технические системы могут быть представлены сетью, в которой
клиент получает доступ к услуге через несколько последовательных узлов,
каждый из которых содержит один или несколько обслуживающих приборов и
буферную память (очередь) для хранения заявок на обслуживание. Каждая заявка в течение случайного времени обслуживается одним узлом, а затем переходит к следующему. Таким образом, узлы представляют собой системы массового обслуживания (СМО), а структура их объединяющая – сеть систем массового обслуживания, чаще называемая сетью массового обслуживания (СеМО).
1. Определения
Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных узлов обслуживания, в которой циркулируют заявки,
переходящие в соответствии с заданным маршрутом с выхода одного узла на
вход другого (рис. 1).
Рис. 1. Пример сети массового обслуживания
Переходы заявок от одной СМО к другой задаются матрицей маршрутов ,
которая является стохастической, зависит от вида СеМО и определяет ее топологию [5]. Маршрутная матрица для примера, приведенного на рис. 1, выглядит
следующим образом:
4
24 25
34 35
0 0 0 0
0 0 0 0
.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
j
0
j
01 04
12 13
0 0 0 0
0 0 0 0
41
50
Сети массового обслуживания могут быть открытыми (разомкнутыми) и
закрытыми (замкнутыми). Открытыми называются СеМО, имеющие бесконечный внешний источник заявок и сток, через который заявки покидают сеть
после облуживания. В каждый момент времени в сети может находиться произвольное число заявок. В замкнутой СеМО отсутствует внешний источник-сток
заявок и количество циркулирующих по сети заявок постоянно. Смешанные
СеМО обладают свойствами и тех и других. Открытые СеМО легко могут быть
преобразованы в замкнутые добавлением дополнительного узла. В приведенном выше примере открытой СеМО (рис. 1) источник-сток заявок обозначен
0-вым узлом и соответствующие ему маршрутные вероятности обозначаются
и
вероятность поступления заявки извне в j-й узел и вероятность вы-
хода заявки из сети после обслуживания в j-м узле соответственно.
Для полного описания СеМО необходимо определить понятие класса за-
явок. Класс заявок – множество требований с одинаковыми свойствами, т. е.
имеющими одинаковые маршруты, одинаковые распределения времени обслуживания и одни и те же приоритеты. Если заявки различаются хотя бы одним
из этих параметров, они принадлежат разным классам. По окончании обработки
в некотором узле, требование может перейти не только в другой узел, но и в
другой класс, изменив свои свойства. Например, запрос, дойдя до обслуживающего сервера, превращается в информационный пакет, который в свою очередь, дойдя до запрашивающего клиента, превращается в квитанцию.
Однородными называются сети, в которых существует только один класс
заявок, а неоднородными – сети с более чем одним классом заявок [1–5].
2. Классификация СеМО
Описанные в предыдущем разделе понятия, можно обобщить в виде приведенной ниже классификации [1]. СеМО подразделяются:
1. По наличию внешних источников:
открытые;
замкнутые;
смешанные.
5
2. По числу классов заявок:
t
a t e
x
b x e
/ / 1
М М
однородные;
неоднородные.
3. По типу функции распределения времени обслуживания:
экспоненциальные (марковские);
общего вида.
3. Марковские СеМО. Теорема Бёрке
Марковские (экспоненциальные) СеМО содержат системы массового
обслуживания (СМО) с показательным распределением времени обслуживания
и в случае открытых сетей – показательное время между поступлениями требований [6].
Таким образом, можно говорить о сети узлов, каждый из которых представляет собой СМО из одного или нескольких приборов и очереди. Требования поступают в систему в разных точках, ждут в очереди обслуживания и, покинув один узел, поступают в другой для дальнейшего обслуживания. Важно
определить топологию сети, т. к. она определяет возможные переходы между
узлами.
Рассмотрим простейшую последовательную систему с двумя узлами. Каждый овал – это СМО. Внутри овала − номер узла (рис. 2).
Рис. 2. Система с двумя последовательными узлами
Предположим, что входящий поток является пуассоновским с интенсивностью (плотность распределения времени между поступлениями заявок:
( )
), причем каждое требование поступает сначала в узел 1, который
содержит один прибор с интенсивностью обслуживания и показательным
распределением времени обслуживания
ляет собой СМО типа
. Предположим также, что узел 2 также содер-
( )
. То есть узел 1 представ-
жит один обслуживающий прибор с показательным распределением времени
обслуживания с интенсивностью обслуживания .
Задача состоит в том, чтобы определить распределение промежутков времени между последовательными требованиями, поступающими в узел 2. Это
эквивалентно задаче вычисления распределения промежутков времени между
последовательными требованиями, уходящими из узла 1.
6
Обозначим
( )
d t
* ( )
D s
* ( )
D s
* ( ) * ( )
D S B S
1
узел пуст узел не пуст
s
( ) 1 , 0
D t e t
плотность распределения вероятностей промежутков
между последовательными требованиями на выходе узла 1 и
зование Лапласа этой величины. Вычислим
покидает узел 1. Возможно одно из двух событий. Либо в очереди имеется
второе требование, готовое поступить в прибор узла 1, либо нет (накопитель
пуст). В первом случае промежуток времени, через которое второе требование
покинет узел 1, распределен так же, как время обслуживания, и в этом случае
получаем:
1
узе л не пуст
Во втором случае промежуток времени, через который следующее требование покинет узел 1, складывается из двух промежутков:
1) время до поступления следующего требования;
2) время обслуживания следующего требования.
Так как эти два промежутка распределены независимо, то плотность распределения вероятностей их суммы равна свертке плотностей распределения
суммируемых величин.
Преобразование Лапласа плотности распределения суммы независимых
случайных величин равно произведению преобразований исходных плотностей
распределения.
в момент, когда требование
. (1)
– преобра-
*( ) *( ) *( )
D S A S B S
В выражении 2 первый и второй сомножители правой части представляют
собой преобразования Лапласа показательной функции.
Кроме того, вероятность того, что требование покинет систему пустой
равна вероятности того, что поступающее требование застанет систему пустой
, где
коэффициент использования системы.
Запишем безусловное преобразование Лапласа для плотности распределения промежутков времени между уходящими требованиями:
*( ) (1- ) *( ) *( )
D S D S D S
* ( ) (1 )D S
Упрощаем:
Обратное преобразование дает нам:
1
узел пуст
s s
1 1
s s s
*( )D S
. (5)
. (2)
. (3)
. (4)
7
t
. (6)
Приходим к замечательному выводу о том, что промежутки времени меж-
/ /
М М r
/ /
М М r
i
r
i
0,
i
1
L
/ /
М М r
ij
0
Θ
ij
i
, 1, 2, ...,
i L
i i i
r
ду уходящими требованиями, так же как и промежутки времени между поступающими требованиями распределены показательно с тем же параметром .
Теорема Бёрке: в случае стационарной СМО входящий пуассоновский поток, проходя через обслуживающий прибор с показательным распределением, порождает выходящий пуассоновский поток.
Более того, теорема Бёрке говорит о том, что исходящий поток стационарной СМО типа
c пуассоновским входящим потоком с параметром
и показательным распределением времени обслуживания с параметром в
каждом из r приборов является пуассоновским потоком с параметром .
Доказано, что
единственная система с обслуживанием в по-
рядке поступления, которая обладает таким свойством [6].
4. Сети Джексона
Рассмотрим сеть, содержащую L узлов, причем каждый i-й узел состоит из
обслуживающих приборов с показательным временем обслуживания с пара-
метром
с интенсивностью
Покидая i-й узел требование с вероятностью
чем допускается
. В каждый i-й узел извне поступает пуассоновский поток требований
. При
получаем
.
поступает в j-й узел, при-
.
ii
матрица вероятностей переходов (маршрутная мат-
рица).
Вероятность того, что после обслуживания в i-м узле требование покинет
L
сеть, равна
1
j
.
1
Необходимо вычислить полную интенсивность потока требований в заданный узел. Для этого нужно просуммировать пуассоновские потоки, поступающие извне и потоки требований (не обязательно пуассоновские), поступающие от других узлов сети.
чем множество этих параметров должно удовлетворять системе уравнений:
описывались эргодическими цепями Маркова.
Обозначим
полную интенсивность потока, входящего в i-й узел. При-
L
i i j ji
0,
j
1
Для всех i должно выполняться требование
8
. (7)
, чтобы все узлы сети
Состояние системы с L узлами описывается вектором
( , ,..., )
L
n n n
i
n
( , , ..., )
L
P n n n
( )
i i
p n
i
n
*
P A P A B P A B
( , , , ) ( ) ( ) .... ( )
L L L
P n n n p n p n p n
( )
i i
p n
/ /
М М r
1 0
n N
i
n
( , ) [ ( , , ..., ) | 0, 1, , ]
S N L n n n n n i L n N
–1
L N
–1
L
1 2
, где
– число требований в i-м узле. Обозначим
роятность этого состояния, а
– маргинальное распределение вероятно-
1 2
стей того, что в состоянии равновесия в i-м узле будет находиться
– стационарную ве-
требова-
ний.
Примечание:
бытия A; то есть, вероятность события A, не зависит от того, наступает ли какое-то
другое событие B или нет. Если B – случайная величина, принявшая данное значение, маргинальная вероятность A может быть получена суммированием (или более
широко интегрированием) совместных вероятностей по всем значениям этой случайной величины. Например, если есть два возможных значения, соответствующие событиям B и B*, то
маргинальная вероятность
это безусловная вероятность
.
P(A)
со-
Джексон доказал, что пространство состояний СеМО может быть получено в мультипликативной форме [2]:
, (8)
и
где
1 2 1 1 2 2
– стационарная вероятность для классической системы
может быть найдена независимо для каждого узла с использованием
С-формулы Эрланга [2, 4, 6].
5. Замкнутые сети массового обслуживания
В замкнутой сети из L узлов циркулирует конечное и фиксированное число
N требований, которые задерживаются в сети так, что ни одно из них не может
покинуть сеть и ни одно другое требование не может поступить в сеть [6]. Это
L
соответствует схеме Джексона, в которой:
j
ij
1
и
0,0i
для всех i
(частный случай сети Джексона). В замкнутой СеМО:
L
, (9)
где
– число заявок в i-й СМО.
i
i
1
В этой модели множество состояний системы является конечным. Обозначим его:
и равно числу сочетаний из
1 2
L i i
по
N требований по L узлам:
9
L
i
1
(10)
, т. е. числу способов размещения
( 1)!
!( 1)!
C
( 1) ( , ,..., 1,..., 1,..., )
n i i i ij j i L
n P n n n n n
1, 0
0, 0
i i i
i i i
n n r
r n r
i
n
( , ,..., )
L
n n n
( )
i i
n
i i i
i i i i
n n r
r r n r
i
b
1, 2, 3, ...,
b b j L
( , ) ( )
i i
G N L n
( )
i i
n
,
S N L
L N
N L
. (11)
Стационарное распределение вероятностей в этой замкнутой сети описывается следующей системой уравнений:
L
( , ,..., ) ( )
P n n n n
1 2
L L
i j
1 1 2
1 1
j
L n i i i
i
1
i
1
, (12)
k
единичная функция входит в уравнения равновесия, и та-
k
где:
k
ким образом учитывается тот факт, что когда узел пуст, интенсивность обслу-
,
( )
n
живания должна равняться 0, а
i i
i-м узле, находящихся на обслуживании при условии, что всего в узле
,
число требований в
требований. Выражения 12 – уравнения равновесия замкнутой СеМО, левая часть
описывает вероятностный поток, исходящий из состояния
1 2
, а пра-
вая – поток, входящий в него.
Определим функцию
Рассмотрим множество чисел
( )
n
i i
:
!,
n r
i i
! ,
. (13)
, представляющих собой решения систе-
мы линейных уравнений:
L
j j j j ij
j
Используя эти определения, решения системы (0.12) можно записать в виде:
( , , ..., )
P n n n
1 2
где нормирующая константа задается равенством:
( , )
G N L
здесь
– множество всех векторов состояний из выражения 10 [6].
Практически любую инфокоммуникационную систему можно представить
в виде замкнутой однородной или неоднородной сети массового обслуживания,
1
L
( , ) 1
n S N L i
10
. (14)
1
L
L
i
n
i
b
i
n
i
b
i
, (15)
1
, (16)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]