Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ сетей массового обслуживания. Учебно-методическое пособие
.pdf
№
1
Схема №
Схема
5
7
6
8
9
Составить и решить систему уравнений равновесия потоков относительно
коэффициентов передачи узлов СеМО, предполагая, что
Затем рекуррентным способом определить параметры СеМО. Для этого
можно воспользоваться системой математических расчетов Mathcad (или любой другой).
Определить остальные узловые и сетевые характеристики СеМО, воспользовавшись методом средних значений.
Сделать выводы по проделанной работе. Например, выявлены ли в результате вычислений узкие места в реальной инфокоммуникационной сети, модель
которой рассматривалась в лабораторной работе, возможно ли решение этих
проблем и, если да, то за счет каких ресурсов и т. п.
10
.
0
21
Порядок выполнения
0
i
0,
N
1. Определить параметры моделируемой СеМО в соответствии с вариан-
том (см. табл. 6):
маршрутную матрицу;
количество заявок в СеМО;
интенсивности обслуживания.
Примечание: количество приборов для всех СМО, входящих в СеМО, принять
равным 1.
2. Преобразовать СеМО, введя дополнительный узел для входящего пото-
ка.
3. Определить маршрутную матрицу преобразованной СеМО.
4. Составить уравнения равновесия интенсивностей входящих потоков.
5. Выразить коэффициенты передачи из п. 4, поделив обе части уравнений
на
данное по варианту количество заявок в СеМО:
в СеМО;
.
6. Решить уравнения относительно коэффициентов передачи
7. По формулам 32–37 рекуррентно вычислить характеристики для
, где
среднее время пребывания заявки в СМО;
среднее число заявок в СМО;
среднее время пребывания заявки в СеМО;
среднее время пребывания заявки в СМО за все время ее пребывания
производительность СеМО.
8. Построить зависимости полученных в п. 7 параметров от .
9. По формулам 17–24 вычислить узловые характеристики СеМО:
─ интенсивность входящего в СМО потока;
─ нагрузка СМО;
─ коэффициент загрузки СМО;
─ коэффициент простоя СМО;
─ среднее время ожидания обслуживания в СМО;
─ среднее количество заявок в очереди СМО.
текущее в данной итерации число заявок в СеМО, а N – за-
.
10. Свести результаты выполнения п. 7 и п. 9 в таблицу, подобную табли-
цам 1 и 3.
11. По формулам 25–28 вычислить сетевые характеристики СеМО:
o среднее время ожидания заявкой обслуживания в СеМО;
o среднее количество заявок в очередях СеМО.
12. Свести результаты выполнения п. 7 и п. 11 в таблицу, подобную табли-
цам 2 и 4.
22
13. Оформить отчет по выполнению лабораторной работы (см. Содержа-
ние отчета).
14. Сдать и защитить лабораторную работу.
Содержание отчета
1. Титульный лист.
2. Номер работы, название работы, цель работы и номер варианта.
3. Задание по варианту.
4. Описание и параметры СеМО:
схема СеМО до и после преобразования;
маршрутная матрица до и после преобразования;
входные параметры СеМО (количество заявок, интенсивности обслу-
живания, количество приборов в узлах).
5. Описание пошагового выполнения работы со скриншотами.
Примечание: если в лабораторной работе использовались программы и
функции, привести их код с комментариями.
6. Результаты выполнения работы в виде таблиц и графиков с подписями и
комментариями.
7. Выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение сети массового обслуживания.
2. Поясните наличие классов заявок.
3. Приведите классификацию сетей массового обслуживания.
4. Что такое маршрутная матрица?
5. Охарактеризуйте пространство состояний замкнутой сети массового обслу-
живания.
6. В чем заключается особенность марковских СеМО?
7. Назовите известные дисциплины обслуживания заявок.
8. Что такое узловые характеристики?
9. Кратко охарактеризуйте метод средних значений для расчета парамет-
ров замкнутой СеМО.
10. Перечислите исходные данные для анализа замкнутой СеМО.
23
Параметры*
11,
,
* * ,
N
i j
i j
1.45 ,
,
i
i j
i j
1,
,
j
i
15,
2 , 5
,
, 5
N
i
i
1
Схема
Варианты заданий
Табл. 6. Варианты заданий для анализа СеМО
12,
N
i
ij
1, .
i L
1
i
j
i
j
i
i
ij
1, .
i L
10,
N
2.5
i
j
i
ij
1, .
i L
j
i
ij
1, .
i L
K
i i
i i
1
***
,
1 11 21 31
2 12 22 32
3 13 23 33
4 14 26 34
5 15 25 35
6 16 26 36
7 17 27 37
8 18 28 38
9 19 29 39
10 20 30 40
*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
– номер узла СеМО;
L – количество узлов СеМО;
N – количество заявок в СеМО;
– интенсивность обслуживания прибора в i-й СМО.
** Вероятности переходов для каждого i, где
*** K – количество выходов из i-го узла.
.
ij
24
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
/ /
М М r
0
ОТКРЫТЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СЕМО
Цель работы: освоить применение метода эквивалентных преобразований
для анализа открытых однородных СеМО. Научиться рассчитывать коэффициенты передачи, ликвидировать перегрузки в сети, определять узловые и сетевые
характеристики системы.
Краткая теория
Для анализа открытой (разомкнутой) сети массового обслуживания применяется метод эквивалентных преобразований для расчета узловых и сетевых
характеристик по формулам 17–28 для систем массового обслуживания
.
1. Ограничения, накладываемые на модель
Рассмотрим открытую СеМО из L узлов с однородным потоком данных и
независимым внешним экспоненциальным источником заявок. В каждый момент времени в сети может быть произвольное число заявок. После обслуживания заявки могут покидать сеть.
Будем строить аналитическую модель при следующих предположениях:
1. Узлы открытой СеМО могут быть одноканальными, так и многоканаль-
ными.
2. Накопители всех узлов имеют емкость неограниченной длины, таким
образом, не происходит отказов в обслуживании.
3. После завершения обслуживания в каком-либо узле передача заявки в
другой узел происходит мгновенно.
4. Переход заявки из очереди в обслуживающий прибор происходит мгно-
венно.
5. Заявки выбираются из очереди каждого узла в соответствии с бесприо-
ритетной дисциплиной обслуживания FCFS (в порядке поступления).
Исходные данные моделируемой СеМО соответствуют описанным в разделе 6.1 на стр. 11. Список входных параметров открытой СеМО от перечня параметров замкнутой СеМО отличается отсутствием фиксированного значения
N – количества циркулирующих по сети заявок и наличием значения
интен-
сивности входящего потока данных.
Метод расчета характеристик открытой однородной марковской СеМО
включает в себя следующие этапы:
расчет коэффициентов передачи и интенсивностей потоков заявок в узлах
открытой СеМО;
проверка условия отсутствия перегрузок в открытой СеМО;
расчет узловых и сетевых характеристик открытой СеМО.
25
2. Расчет коэффициентов передачи и интенсивностей потоков заявок
, 1,
i L
ij
0,
i
, 1,
i L
, 0,
i L
i
1
, 0,
i L
, 1,
i L
L L
x x x
0
Полная интенсивность потока входящих в i-ю СМО заявок соответствует
уравнению:
L
i i ij j
0,
j
1
, (39)
где
элемент маршрутной матрицы , а
интенсивность входящего
извне потока в i-ю СМО.
Если представить внешний поток данных еще одним узлом СеМО, выражение 39 можно переписать в виде:
L
i ij j
0
j
. (40)
Выражение 40 представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений, из которых интенсивности потоков могут быть найдены в виде:
где
i i
коэффициент передачи, причем
i
0
. Заметим, что:
0
i
0
, (41)
, (42)
а из 40 следует, что:
L
i ij j
0
j
(43)
Для открытой СеМО с известным внешним потоком заявок системы уравнений 40 и 43 имеют единственное решение [6, 8].
3. Проверка перегрузок в узлах СеМО
Для успешной работы моделируемой инфокоммуникационной системы
она должна функционировать в стационарном режиме. Стационарный режим
обеспечивается, если в СеМО, описывающей реальную систему, отсутствуют
перегрузки.
Условием отсутствия перегрузок в открытой марковской СеМО является:
r r r
min
0
1 2
1 1 2 2
L
. (44)
Если условие 44 не выполняется, то, как следует из этого условия, стационарный режим разомкнутой СеМО может быть реализован одним из следующих способов:
уменьшением интенсивности
внешнего источника заявок до значе-
ния, при котором это условие будет выполняться;
26
увеличением количества обслуживающих приборов
i
r
1
i
i
0123
2
12
13
20
21
3101
3
3
L
1
1
c
1 1 1
FCFS FCFS FCFS
10 8 5
0.75
0.25
0.5
1.0
1 0 21 2 31 3
.
узлах;
в перегруженных
уменьшением длительностей обслуживания заявок
женных узлах;
уменьшением коэффициентов передач
Возможно применение нескольких способов одновременно [8].
После того как была осуществлена проверка перегрузок в СеМО и достигнут стационарный режим ее функционирования, необходимо произвести расчет
узловых характеристик по формулам 17–24, а затем и с их помощью сетевых
характеристик по формулам 25–28.
4. Примеры расчета открытой однородной марковской СеМО
4.1. Анализ открытой СеМО без дополнительных преобразований
Рассмотрим разомкнутую СеМО, представленную на рис. 5.
в перегруженных узлах.
x
i
в перегру-
Рис. 5. Пример открытой СеМО
Исходные данные для расчета:
R
D
μ
вероятности переходов:
Уравнения равновесия интенсивностей входящих потоков (формула 40):
количество узлов;
интенсивность входящего потока;
0
количество приборов в узлах сети;
дисциплины обслуживания в узлах;
средние длительности обслуживания заявок в узлах;
12
2 12 1
3 13 1
,
13
,
21
,
31
.
27
Определяем коэффициенты передачи:
1 21 2 31 3
2.67
2.0
0.67
3.745
4.0
7.46
1 min 3.745 4.0 7.46
0
i i i
y x
min , 1
i i
i i
i
x
i i i
u w x
i i i
m w
i i i
n u
1
2 12 1
3 13 1
.
В результате:
1
1
12 21 1 3 31
2 12 1
3 13 1
;
.
;
Проверка отсутствия перегрузок в узлах СеМО:
1
1
2
3
1 10
2.67
1 8
2.0
1 5
0.67
;
;
.
.
Условие 44 выполнено:
r
1 1
r
r
3 3
0
2 2
Далее получим характеристики качества функционирования открытой
однородной марковской СеМО, воспользовавшись формулами 17–28. Результаты сведены в таблицы 7–8.
Табл. 7. Узловые характеристики
Характеристика Формула
Интенсивность входящего в СМО
потока
Нагрузка СМО
Коэффициент загрузки СМО
Коэффициент простоя СМО
Среднее время ожидания
обслуживания в СМО
Среднее время пребывания
заявки в СМО
Среднее количество заявок
в очереди СМО
Среднее количество заявок в СМО
Узел 1 Узел 2 Узел
3
i i
i
1
y
i
r
i
2.67 2.0 0.67
0.267 0.25 0.134
0.267 0.25 0.134
0.733 0.75 0.866
w
i
1
0.36 0.042 0.031
0.136 0.167 0.231
0.097 0.083 0.021
0.364 0.333 0.155
28
Табл. 8. Сетевые характеристики
i i
W w
i i
U u
i
M m
i
N n
0
j
1
012
3
212
13
30
21
01
3
32
1
3
L
1
2
c
1 1 1
FCFS FCFS FCFS
3 4 5
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
Характеристика Формула Значение
i
i
L
1
L
1
L
1
i
L
1
i
0.201
0.852
0.201
0.852
Среднее время ожидания заявкой обслуживания
в СеМО
Среднее время пребывания заявки в СеМО
Среднее количество заявок в очередях СеМО
Среднее количество заявок в СеМО
4.2. Преобразование открытой СеМО в замкнутую
Другой метод анализа открытой СеМО заключается в преобразовании ее в
замкнутую, через 0-й узел. Для этого необходимо ввести в систему дополнительный узел и создать переход из конечного узла в 0-й узел, с заданной веро-
ятностью
Рассмотрим, СеМО, представленную на рис. 6.
Исходные данные для расчета:
R
, а из 0-го узла переход в 1-й узел с вероятностью
Рис. 6. Открытая СеМО, вход и выход которой не связаны
количество узлов;
интенсивность входящего потока;
0
количество приборов в узлах сети;
01
.
D
μ
вероятности переходов:
дисциплины обслуживания в узлах;
средние длительности обслуживания заявок в узлах;
12
,
29
13
,
21
,
30
,
32
.
Вводим дополнительный узел и связываем 3-й узел с 1-м через 0-й узел.
1
23
21213
30
213
32
1
01
0 1 0 0
0 0 0.5 0.5
0 1 0 0
0.5 0 0.5 0
1 01 0 21 2
2 12 1 32 1
2 1 3
0.5 0.5
2 4
0.5 0.5 3
0.5 2
0.75
Получаем СеМО, представленную на рис. 7.
Рис. 7. Преобразованная СеМО
Маршрутная матрица преобразованной системы будет выглядеть следующим образом:
Θ
Уравнения равновесия интенсивностей входящих потоков (формула 40):
0 30 3
3 13 1
Определяем коэффициенты передачи:
1 0.5
1 2
1
3
. (45)
.
.
0.5
3 1
В результате:
1 3
;
Проверка отсутствия перегрузок в узлах СеМО:
2 1 3
3 1
1
1 3
4
30
r
1 1
;
.
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]