Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ сетей массового обслуживания. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

определив источник-сток заявок в виде отдельного узла. Поэтому СеМО данно-

N n







, 1,

r i L

, , 1, , , 1,

i j L k n K





, 1, , 1,

i L k K





, 1,

t i L





, 1,

d i L





, 1, , 1,

i L k K

го вида представляют для нас наибольший интерес.

6. Узловые и сетевые характеристики СеМО

Нахождение распределения состояний системы (формулы 8 и 15) является отправной точкой для нахождения ее вероятностно-временных характеристик [1].

6.1. Исходные данные

В качестве исходных данных анализа характеристик СеМО применяются следующие параметры.

1. L – количество узлов СеМО.

2. K – количество классов заявок.

3. N – количество заявок в СеМО, если она является замкнутой, в общем

L K

случае:



1 1

i k

 

, где

 среднее число заявок k-го класса в i-м узле.

приборов в i-м узле.

внешнего потока заявок k-го класса в i-й узел, если СеМО является открытой.

стей обслуживания в i-м узле.

i-м узле.

сивность обслуживания k-го класса заявок в i-м узле.

 R

 



  

  Λ

 T

 D

  Μ

ik jn

 





 вектор, содержащий количество обслуживающих

 вектор, определяющий тип распределения длительно-

 вектор, определяющий дисциплину обслуживания в

6.2. Дисциплины обслуживания

 маршрутная матрица СеМО.

 вектор, определяющий интенсивность

 вектор, в общем случае определяющий интен-

Важным фактором при анализе вероятностно-временных характеристик СеМО является дисциплина обслуживания заявок, отражающая особенности СМО, имитирующих поведение компонентов мультисервисных сетей.

Практический интерес для нас представляют следующие дисциплины обслуживания [1]:

 FCFS (англ. First Come – First Served) – обслуживание требований в по- рядке поступления;

 LCFSPR (англ. Last Come – First Served – Preemptive Resume) – обслужи-

1ir

r N



r N





/ /

М М r

вание требований в порядке, обратном поступлению, с приоритетным дообслуживанием. При этой дисциплине, если в СМО имеется свободный обслуживающий прибор, то требование обслуживается так же, как и в системе с дисциплиной FCFS. Если все приборы заняты, то при поступлении нового требования

в СМО с вероятностью

одном из

приборов, и этот прибор начинает обслуживать вновь поступившее

прерывается процесс обслуживания требования в

требование. Требование, обслуживание которого было прервано, устанавливается первым в очередь, и за ним закрепляется остаточное время, в течение которого оно должно будет дообслуживаться при его последующем выборе из очереди;

 PS (англ. Processor Sharing) – обслуживание требований с разделением производительности обслуживающего прибора. Предполагается одновременное обслуживание всех требований, пребывающих в СМО. Интенсивность обслуживания каждого из этих требований обратно пропорциональна числу требований, пребывающих в системе;

 IS (англ. Infinite Service) – обслуживание требований с «бесконечным» числом приборов. В замкнутой однородной сети массового обслуживания СМО

с дисциплиной IS тождественна системе с

(N – число требований, цирку-

лирующих по сети) параллельными приборами, в которой, очевидно, отсутствует очередь;

 FS (англ. Finite Service) – обслуживание требований «конечным» числом приборов. В замкнутой однородной сети обслуживания система с дисциплиной

FS тождественна системе с

параллельными и одинаковыми обслужива-

ющими приборами. При этом если в i-й СМО имеется свободный прибор, то требование обслуживается так же, как и в системе с дисциплиной IS. Но если все приборы заняты, то вновь поступившее требование получает отказ и с веро-

ятностью

переходит в j-ю СМО.

6.3. Характеристики функционирования СеМО

Анализ поведения мультисервисных систем с применением методов теории сетей массового обслуживания позволяет получить ряд узловых и сетевых характеристик для оценки качества обслуживания при передаче гетерогенного трафика. Узловые характеристики оценивают функционирование каждой отдельной СМО, а сетевые характеристики оценивают функционирование сети в целом.

В основе моделирования разомкнутых и замкнутых СеМО лежит метод эквивалентных преобразований сети, который заключается в представлении марковской СеМО, состоящей из L узлов, в виде L независимых марковских СМО типа

. Рассчитанные c помощью фундаментальных соотноше-

ний теории массового обслуживания характеристики отдельных СМО данного

типа в точности соответствуют узловым характеристикам исходной СеМО, т. е.

i L

i i i

y x

 



min , 1

 

 

 

i i

 

 

i i





i i

P x



P P



 

 

 

i i i

u w x

 

i i i

m w

 

i i i

n u

 

модели являются эквивалентными.

Узловые характеристики i-й СМО,



(для простоты приводим харак-

теристики однородных марковских СеМО):

 среднее число занятых приборов, или нагрузка в i-м узле:

здесь





 среднее время обслуживания.

, (17)

 коэффициент загрузки i-го узла:





; (18)

 коэффициент простоя i-го узла:

; (19)

 среднее время ожидания обслуживания в i-м узле:







 

, (20)

для одноканальной СМО и:



 

для многоканальной СМО, где:

 

i i



! 1

 

 

i i

r r

 

 

i i i i

! 1 !

r k

 

i i





 вероятность ожидания,



r k

 

 



 









 вероятность простоя канала;

 среднее время пребывания заявки в i-м узле:

 среднее количество заявок в очереди i-го узла:





, (21)



; (22)

; (23)

 среднее количество заявок в i-м узле:



; (24)

Сетевые характеристики, рассчитанные на основе полученных узловых ха-

M m



N n





i i

W w

 

i i

U u

 

рактеристик:

 среднее число заявок, ожидающих обслуживания в СеМО:



(25)



 среднее число заявок в открытой СеМО:



(26)



 среднее время ожидания заявкой обслуживания в сети, здесь

–

коэффициент передачи для узла i, показывающий среднее число попаданий заявки в узел i за время ее нахождения в сети;







; (27)

 среднее время пребывания заявки в сети:







. (28)

Универсальные методы анализа СеМО, описанные в [1, 7], подходят для большого числа реальных инфокоммуникационных систем и включают в себя формулы расчета сетей массового обслуживания практически всех видов. Однако эти методы являются сложными для понимания и требуют для своего применения больших вычислительных мощностей и длительного времени обработки результата, особенно, если речь идет о сложных мультисервисных сетях большой размерности, оперирующих большими объемами трафика.

ды анализа СеМО с заведомо наложенными ограничениями на их применение.

Поэтому в лабораторных работах будут рассмотрены более простые мето-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

( , , ..., )

P n n n

ЗАМКНУТЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ СЕМО

Цель работы: освоить применение метода средних значений для анализа замкнутых однородных марковских СеМО. Научиться рассчитывать коэффициенты передачи, узловые и сетевые характеристики системы.

Краткая теория: вычисление вероятностей состояний СеМО

1 2

по формуле 15 для больших значений L и N может привести к потере значимости и некорректным результатам, поэтому ее применение носит ограниченный характер.

Во многих случаях для анализа вероятностно-временных характеристик СеМО можно использовать метод средних значений, основанный на рекуррентных соотношениях [8].

1. Ограничения, накладываемые на моделируемую СеМО

Рассмотрим замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания, состоящую из L узлов с однородным потоком из N заявок при следующих предположениях:

1. Все узлы замкнутой СеМО одноканальные;

2. Накопители всех узлов имеют емкость, равную количеству требований,

циркулирующих в СеМО N, таким образом, не происходит отказов в обслуживании;

3. После завершения обслуживания в каком-либо узле передача заявки в

другой узел происходит мгновенно;

4. Переход заявки из очереди в обслуживающий прибор происходит мгно-

венно;

5. Заявки выбираются из очереди каждого узла в соответствии с бесприо-

ритетной дисциплиной обслуживания FCFS (в порядке поступления).

Параметры моделируемой СеМО соответствуют описанным в разделе 6.1 на стр. 11.

Метод расчета средних значений замкнутой однородной марковской СеМО включает в себя два этапа:

 расчет коэффициентов передачи в узлах замкнутой СеМО;

 расчет узловых и сетевых характеристик замкнутой СеМО.

2. Расчет коэффициентов передачи в узлах замкнутой СеМО

Поскольку потерь заявок в узлах согласно нашим предположениям не происходит, то интенсивности потоков заявок на входе j-й СМО и ее выходе равны:

j L



, 0,

i L









, 0,

j L











1 1 1 ;

 

 

U N u N

U N

  

 



j ij i



. (29)

Если бы речь шла об открытой СеМО, то интенсивности потоков заявок, входящих в узлы, можно было бы выразить через известную интенсивность

входящего извне потока

где

 коэффициенты передачи, которые обозначают среднее количество по-

паданий заявок в i-й узел. При этом

  

  

i i

, (30)

В замкнутой СеМО нет входящего извне потока заявок и для нахождения коэффициентов передачи

можно воспользоваться выражениями 29–30 после некоторых преобразований. Для этого в левую и правую часть выражений 29 необходимо подставить интенсивности потоков

делить обе части выражений на

в виде выражений 30 и по-

В результате получим систему алгебраических уравнений относительно

коэффициентов передачи:

  

Полагая в выражении 31

 



j ij i



, можно получить единственное решение

. (31)

этой системы уравнений [8].

3. Расчет характеристик замкнутой СеМО

Воспользуемся методом средних значений, который позволяет вычислить средние характеристики функционирования экспоненциальных СеМО с помощью простых рекуррентных соотношений.

Можно показать, что в замкнутой СеМО с N заявками имеют место следующие соотношения:

 среднее время пребывания заявки в i-й СМО складывается из среднего времени обслуживания всех

n N

ранее поступивших и находящихся в ней

заявок и средней длительности обслуживания рассматриваемой заявки:

u N x n N x x n N

i i i i i i

      

     

. (32)

 среднее время пребывания заявки в сети:



 

   





i i

; (33)

 производительность замкнутой СеМО:



 



; (34)

 

 среднее число заявок в i-й СМО:





n N N u N

i L





0 0







N N



U N u N



1234



42









1 1 1 1



 

  

Все эти характеристики зависят от N – количества циркулирующих по за-

мкнутой сети заявок и

Выражение 32 справедливо для одноканальной СМО и экспоненциального распределения времени обслуживания, благодаря свойству отсутствия последействия времени дообслуживания заявки, находящейся в приборе во время поступления рассматриваемой заявки.

Выражения 33 и 34 представляют собой формулы Литтла [6] для сети, а выражение 35 – формулу Литтла для i-го узла, где интенсивность входящего в СМО потока заявок:



. Причем очевидно, что

  

Кроме того, среднее время пребывания заявки в i-м узле, с учетом количе-

ства попаданий заявки в узел

Рекуррентные соотношения 32–35 предоставляют точный метод расчета средних значений характеристик функционирования замкнутой экспоненциальной одноканальной СеМО.

   

i i i

0i i i

 



 

0i i

. (35)

. (36)

. (37)

Остальные характеристики определяются по формулам 17–28 [8].

4. Пример расчета замкнутой СеМО

Рассмотрим замкнутую однородную марковскую СеМО, представленную на рис. 3.

Рис. 3. Пример замкнутой СеМО

Исходные данные для расчета:



 количество узлов;  количество заявок;

 количество приборов в узлах сети;





FCFS FCFS FCFS FCFS







0.5 1.3 0.4 2.1



0.1 0.3 0.6 0

0 0 0 1

1 0 0 0

 

 

 

0 1 0 0 0

0.1 0 0.3 0.6 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

 

 

 

0 1

1 0 4

2 1

3 1

4 2 3

 

  

 

  

 









узлах.

Матрица переходов, соответствующая рис. 3:

Определяем коэффициенты передачи. Для этого вводим 0-ой узел (удобно вставить его перед узлом 1). Схема изменится следующим образом:

 средние длительности обслуживания заявок в



 дисциплины обслуживания в узлах;

0.3

0.6 1

Маршрутная матрица, соответствующая рис. 4:

Составляем уравнения равновесия интенсивностей входящих потоков в

соответствии с матрицей 38:

0.1

Рис. 4. СеМО с дополнительным узлом



0.1



 

 

 



 

0.3

0.6

. (38)

Делим левые и правые части уравнений на

передачи

, при

и вычисляем коэффициенты

0 1

4 2 3

0.1 ;

1 ;

0.3 ;

0.6 ;

 

  



 

10; 3; 6; 9

   

   

( 3)

 





 





 





 

 

  

 

i i i

y x

 

min , 1

 

 

 

i i

 

 

i i i

w u x

 

i i i

m w

 

 

 

1 4



2 1



3 1

В результате получим:

1 2 3 4

Далее вычисляем рекуррентно средние значения по формулам 32–36. Ре-

зультаты приведены в таблицах 1–2.

Табл. 1. Узловые характеристики

Характеристика Формула

Среднее время пребывания

заявки в СМО

Среднее число заявок в СМО

u u N

i i

n n N

i i

Узел 1 Узел 2 Узел 3 Узел

0.66 1.6 0.451 6.977

0.257 0.187 0.106 2.45

Табл. 2. Сетевые характеристики

Характеристика Формула Значение

Среднее время пребывания заявки в сети

Производительность сети

U U N

0 0

76.898

0.039

По формулам 17–28 вычисляем остальные узловые (табл. 3) и сетевые

(табл. 4) характеристики замкнутой однородной марковской СеМО.

Табл. 3. Узловые характеристики

Характеристика

Интенсивность входящего

в СМО потока

Нагрузка СМО

Коэффициент загрузки СМО

Коэффициент простоя СМО

Среднее время ожидания

обслуживания в СМО

Среднее количество заявок

в очереди СМО





Формула

i i



Узел 1 Узел 2 Узел 3 Узел

0.39 0.117 0.234 0.351

0.351 0.152 0.094 0.737

0.805 0.848 0.906 0.263

0.16 0.3 0.051 4.877

0.062 0.035 0.012 1.712

Табл. 4. Сетевые характеристики

i i

W w

 

M m



Характеристика Формула Значение









46.698

1.822

Среднее время ожидания заявкой обслуживания

в СеМО

Среднее количество заявок в очередях СеМО

Полученные характеристики, позволяют оценить качество обслуживания в моделируемой системе и принять меры по устранению узких мест. Так результаты, приведенные в таблицах 1 и 3, говорят о том, что СМО в узле 4 загружена гораздо больше всех остальных СМО и возможно часть ее нагрузки следовало бы переложить на дополнительный или уже имеющийся узел.

Задание: определить параметры замкнутой однородной марковской СеМО в соответствии с вариантом (табл. 6). Построить матрицу вероятностей переходов по схеме из табл. 5.

Преобразовать модель СеМО, введя дополнительный узел (удобно это делать, добавляя узел с номером 0 перед узлом 1). Построить новую матрицу вероятностей переходов.

№

Табл. 5. Схемы моделей замкнутых СеМО

Схема №

Схема

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]