Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
1
Оглавление
Курс “Релятивистская квантовая теория” .............................................................................. 2
Лекция №1 по релятивистской квантовой теории ............................................................................. 2
Лекция №2 по релятивистской квантовой теории ............................................................................. 7
Лекция №3 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 13
Лекция №4 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 17
Лекция №5 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 22
Лекция №6 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 29
Лекция №7 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 32
Лекция №8 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 38
Лекция №9 по релятивистской квантовой теории ........................................................................... 42
Лекция №10 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 50
Лекция №11 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 57
Приложение к лекции №11. Правила Фейнмана для вычисления элементов S-матрицы в КЭД 62
Лекция №12 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 65
Лекция №13 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 74
Лекция №14 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 79
Лекция №15 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 84
Приложение к лекции №15. Вычисление поляризационного оператора в однопетлевом
приближении (во втором порядке теории возмущений) ................................................................ 91
Лекция №16 по релятивистской квантовой теории ......................................................................... 95
2
Курс “Релятивистская квантовая теория”
Список рекомендуемой литературы
1. Бьёркен, Дрелл “Релятивистская квантовая теория”, т. 1 и 2.
2. Райдер “Квантовая теория поля”
3. Пескин, Шредер “Введение в квантовую теорию поля”
4. Ициксон, Зюбер “Квантовая теория поля”
5. Вайнберг “Квантовая теория поля”
6. Хелзен, Мартин “Кварки и лептоны”
7. Окунь “Лептоны и кварки”
8. Берестецкий, Лифшиц, Питаевский “Квантовая электродинамика” (том IV Курса
теоретической физики Ландау и Лифшица)
Лекция №1 по релятивистской квантовой теории
“ Природа совершенствуется при помощи средств, доставляемых ею же самой. Так что
познание, которое делает природу красивее, есть тоже детище природы.” Уильям Шекспир.
Введение. Обзор современного состояния физики элементарных частиц.
Изучая квантовую теорию поля, мы надеемся, что она прольет свет на природу фундаментальных
частиц материи и их взаимодействий.
Квантовая теория поля основана на двух структурах – квантовой механике и теории поля.
Первое дитя этого союза, квантовая электродинамика (КЭД) предсказывает аномальный
магнитный момент электрона с точностью до шестого знака после запятой. КЭД создана
примерно в 1950 году.
Благодаря квантованию различие между частицами и полями оказалось затуманенным.
“Точечные” частицы стали размытыми, они теперь описываются волновыми уравнениями, а
поле, которое в классической физике представляли как непрерывную среду, приобрело свойства
частицы (например, фотона). Можно задаться вопросом: если заряженные частицы
взаимодействуют между собой посредством электромагнитного поля, а квантование делает
частицу и поле весьма похожими друг на друга, то имеется ли существенное различие между
полями и частицами? Поиски ответа на этот вопрос приводят нас к квантовой теории поля и
физике элементарных частиц. Квантами поля, которым описывается электромагнитное
взаимодействие между частицами материи, являются фотоны. Электроны же “просто
существуют”.
Физические концепции и формальный аппарат квантовой теории поля (КТП) представляют
единственную логически последовательную основу для описания взаимодействий элементарных
частиц.
Из чего же построен мир?
Ответ шаг за шагом выведен из серии экспериментов в области атомной и ядерной физики,
космических лучей и экспериментов при высоких энергиях. Экспериментальный штурм начался
на пороге XX века, но только ряд важнейших открытий второй половины двадцатого столетия
привел нас в мир кварков, лептонов и калибровочных полей.
Квантовая теория поля, являющаяся объединением нерелятивистской квантовой теории со
специальной теорией относительности в релятивистской области и теории поля, естественным
образом приводит к понятию квантованного поля и связанных с ним частиц.
Чтобы хотя бы интуитивно понять, почему так происходит, рассмотрим несколько частиц,
взаимодействующих друг с другом. Силы, с которыми одна из частиц действует на все
остальные, не могут вызвать мгновенных изменений в их движении, так как ни один сигнал не
может распространяться быстрее скорости света c. Возмущенная частица является источником
поля (электромагнитного, сильного, слабого, гравитационного), которое переносит через
окружающее пространство энергию и другие квантовые характеристики. Поле оказывает
воздействие на другие частицы. Согласно квантовой теории, энергия и другие квантовые
3
характеристики переносятся порциями (квантами), которые следует идентифицировать с
частицами, передающими силы.
Итак, в квантовой теории поля все взаимодействия элементарных частиц связываются с обменом
квантами полей, т. е. частицами, переносящими взаимодействие. Имея в виду, что в природе
существует 4 взаимодействия – электромагнитное, сильное (ядерное), слабое (ответственное за
превращения частиц друг в друга) и гравитационное – каждому из полей ставятся в соответствие
их кванты – частицы. Так кулоновское рассеяние электрона на электроне на языке квантовой
теории поля обусловлено обменом между электронами фотоном , квантом электромагнитного
взаимодействия.
Согласно современным представлениям (современной теорией, описывающей наш мир, является
стандартная модель (CМ)) фундаментальными неделимыми частицами материи являются
лептоны и кварки (это фермионы со спином S=1/2).
Существует три поколения лептонов:
e
e
Электрон, мюон и тау-лептон образуют верхнюю строчку и обладают электрическим зарядом,
равным заряду электрона, а соответствующие им нейтрино, образующие нижнюю строчку,
электронейтральны. Все шесть лептонов обладают еще и слабым зарядом и не обладают
сильным зарядом. Таким образом, лептоны участвуют в электромагнитных, слабых и
гравитационных взаимодействиях (в гравитационном взаимодействии участвуют все
элементарные частицы, имеющие массу). Массы лептонов чрезвычайно различаются, так масса
электрона me=0,5 МеV, m=105,6 MeV, m=1780 MeV, m<0,3 eV.
Существует также три поколения кварков:
u c t
d s b
Верхние кварки имеют электрический заряд (2/3)e, а нижние – (-1/3)e; mu4,2 MeV, md7,5 MeV,
ms150 MeV, mc1350 MeV, mb5 GeV, mt175 GeV. Все кварки, помимо сильного (цветового)
заряда, обладают электрическим и слабым зарядом и потому участвуют во всех четырех
взаимодействиях.
Характеристики взаимодействий
(I) Электромагнитное взаимодействие
Кванты электромагнитного взаимодействия – фотоны , масса фотона равна нулю, спин равен 1;
фотон не несет заряда и не содержит внутренней электромагнитной структуры – это истинно
нейтральная частица. Источником электромагнитного взаимодействия является электрический
заряд, присущий лептонам и кваркам (в хэвисайдовских единицах, которыми пользуются в
квантовой теории поля) e2/41/137, сечения электромагнитных процессов по порядку величины
эм
10-3 мбарн = 10
-30
см2, эффективное время взаимодействия
эм
~ 10
-16
-10
-19
сек.
Квантовая теория: квантовая электродинамика (КЭД) создана в середине двадцатого столетия
трудами Фейнмана, Швингера и Томонаги.
(II) Слабое взаимодействие
Ответственно за распады частиц (-распад n → p + e +e, энерговыделение в звездах, синтез
новых элементов и т.д.). Источником поля является слабый заряд gw: g
w
2
/4 10-6. Кванты –
калибровочные бозоны W+, W- и Z0. Спин калибровочных бозонов S=1. Их массы mw 80mp, m
Z0
4
90mp, эффективное сечение взаимодействия W10
-11
-10
-12
мб~10
-38
см2, эффективное время
взаимодействия W~10
-12
-10
-13
сек, эффективный радиус действия сил RW~1/mw~10
-16
см.
Современная квантовая теория объединяет вместе электромагнитное и слабое взаимодействие и
называется электрослабой моделью (ЭМ) или электрослабой теорией. Создана трудами
Вайнберга, Салама и Глэшоу.
(III) Сильное взаимодействие
Факт существования особых ядерных короткодействующих сил был установлен в 30-е годы
прошлого века: ядро, содержащее несколько протонов, удерживает их вместе вопреки
электростатическому отталкиванию. К 60-м годам было открыто порядка 200
сильновзаимодействующих частиц (адронов). Физики понимали, что такой “зоопарк” частиц
(так их принято называть) должен состоять из каких-либо фундаментальных сущностей. Это же
подтвердили опыты по рассеянию высокоэнергичных электронов на ядрах и ряд других
экспериментов. Впоследствии эти элементарные образования были названы кварками (ГеллМанн). Кварки обладают сильным, цветовым зарядом, который имеет три разновидности
(физики их назвали – красный, синий, зеленый или можно взять любые другие три цвета).
Цветовое, сильное поле состоит из квантов – калибровочных бозонов сильного взаимодействия
– глюонов g. Глюоны безмассовые, как и фотон, и имеют спин S=1. Всего существует 8 глюонов.
Сильный заряд g
s
2
/4~1, s~10мб=10
-26 cм2
, s~10
-23
сек, Rs~10
-13
см. Кварки не наблюдаемы
(асимптотическая свобода, конфайнмент). Цветовое взаимодействие приводит к растущим с
расстоянием силам, поэтому “вырвать” кварк из адрона нельзя.
Современная квантовая теория: квантовая хромодинамика (КХД). Создана трудами Фейнмана,
Гелл-Манна и др. Ныне существуют попытки объединить электрослабое взаимодействие и КХД,
пока не увенчавшиеся успехом. Такое объединение, называемое Великим объединением,
возможно при чрезвычайно высоких энергиях ~10
15
GeV, не достижимых в рамках наших земных
условий.
(IV) Гравитационное взаимодействие
Гравитационное поле описывается общей теорией относительности. Однако квантование этой
теории наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, это математические трудности.
Эйнштейновские полевые уравнения гораздо сложнее уравнений Максвелла, к тому же они
нелинейны. Во-вторых, имеются трудности концептуального характера. В теории Эйнштейна
гравитационное поле проявляется как кривизна пространства-времени. Поэтому, если в
электродинамике поле является “актером” на сцене пространства-времени, то в теории
гравитации само пространство-время становится актером. На микроскопическом уровне
гравитация оказывается наименее изученным взаимодействием – так как массы микрочастиц
чрезвычайно малы (гравитационное взаимодействие, как известно, пропорционально
произведению масс взаимодействующих частиц), то возникающие гравитационные силы
исключительно слабы. В гравитационном взаимодействии участвуют все массивные частицы.
Квантовая теория гравитации ныне далека до завершения. Ее кванты – гравитоны имеют,
видимо, спин S=2.
Недавно на большом адронном коллайдере (БАК) открыт бозон Хиггса (физики называют его
“божественной частицей”) с массой m~125 GeV (S=0). Его роль в физике и космологии, повидимому, чрезвычайно существенна. Прежде всего, взаимодействие с бозоном Хиггса приводит
к существованию масс калибровочных бозонов. Его открытие завершает построение
Стандартной модели.
Из трех фундаментальных мировых констант – постоянной Планка ħ=1,05410
-27
эргсек, скорости
света с=310
10
см/сек и гравитационной постоянной Ньютона GN=6,6710-8см3/гсек2 – можно
составить единственную комбинацию размерности энергии, называемую массой Планка
MP=(ħc/GN)
1/2
1019 GeV.
5
Единственной фундаментальной длиной является длина Планка lP10
-33
см и фундаментальным
временным интервалом tP10
-43
сек. Согласно современным представлениям, не существует
длины, меньшей длины Планка и временного интервала, меньшего времени Планка.
Следует ожидать, что объединение всех четырех взаимодействий может произойти при энергиях
порядка массы Планка.
Квантовая теория поля естественным образом способна описывать многочастичные состояния, а
также переходы между состояниями с различным числом частиц. Но самое главное то, что
квантовая теория поля дает нам в руки инструменты, необходимые для расчета бесчисленного
количества процессов, все глубже погружая нас в исследование структуры материи и
пространства-времени. Экспериментальное подтверждение этих предсказаний, часто имеющих
беспрецедентную точность, и есть главная причина изучения квантовой теории поля.
Естественная система единиц
Введем единицы измерения, наиболее подходящие для физики элементарных частиц: положим
ħ=с=1.
Тогда все основные величины будут измеряться в единицах степеней массы m.
[E] =m (E=mc2) – энергия
[p] = m (p=mc) – импульс
[t] = m-1(ΔEΔt~ħ) – время
[l] = m
-1
(ΔpΔx~ħ) – длина
Скорость v (v/c) безразмерна и меняется в пределах 0 v <1.
Коэффициенты перерасчета от обычных единиц к естественным:
1GeV-1=0,6610
-24
сек; 1 GeV-1= 210
-14
см; 1 ферми = 10
-13
см =5,07 GeV-1; 1сек = 1,5210
24
GeV-1.
Единицы измерения энергии:
1 TeV = 103 GeV = 106 MeV =109 keV =1012 eV
1 eV = 1,610
-12
эрг.
Релятивистские обозначения
Трехмерное евклидово пространство: метрика – ik=diag(1,1,1). Используются латинские
индексы.
Трехмерные векторы обозначаются: A, p или Ai, pi и т.п. Ai(A1,A2,A3), i=1,2,3.
Скалярное произведение ABAiBiAiBkik=A1B1+A2B2+A3B3 является инвариантом при
трехмерных вращениях.
Четырехмерное пространство Минковского: метрикой является метрический тензор
g=diag(1,-1,-1,-1). Используются греческие индексы и контравариантные обозначения.
4-вектор A(A0,A1,A2,A3)A(A0,A); =0,1,2,3.
Скалярное произведение 4-векторов ABABgA0B0-A1B1-A2B2-A3B3A0B0-AB является
инвариантом относительно преобразований Лоренца и трехмерных вращений.
4-вектор координаты x (x0=t, x=r). 4-вектором называется величина, преобразующаяся при
преобразованиях Лоренца как 4-вектор координаты.
Преобразования Лоренца для 4-вектора A вдоль оси x:
A0=(A0`+vA1`)/(1-v2)
1/2
, A1=(A1`+vA0`)/(1-v2)
1/2
, A2=A2`, A3=A3`.
Для свободной релятивистской частицы введем 4-вектор энергии-импульса p(p0=E, p)
E=m/(1-v2)
1/2
, p=mv/(1-v2)
1/2
, v=p/E. E2=p2+m2.
p
2
=p
0
2-p2=m2
=inv
Оператор дифференцирования /x=(/t, -)
6
Например, если j(, j) – 4-вектор плотности тока, то j=/t+j=/t+divj.
2=2
/t2-2 - деламбертиан.
7
Лекция №2 по релятивистской квантовой теории
“Я вспоминаю, как кто-то начал мне объяснять операторы рождения и уничтожения – что
данный оператор может создать электрон. И я сказал: “Как можно создать электрон? Это
противоречит закону сохранения заряда.” Ричард Фейнман. Нобелевская лекция.
Релятивистские динамические уравнения
Динамические уравнения в релятивистской области – это аналоги уравнения Шредингера в
нерелятивистской квантовой механике, однако их физическая суть коренным образом
отличается от нерелятивистского волнового уравнения – это уравнения для соответствующих
полей материи.
Первым исторически было написано уравнение Клейна - Гордона.
Уравнение Клейна – Гордона.
Уравнение написано сразу вслед за уравнением Шредингера. Получим уравнение Клейна –
Гордона по “аналогии” с уравнением Шредингера в нерелятивистской квантовой механике
(НКМ).
НКМ
Получим уравнение Шредингера следующим образом. Соотношение между энергией и
импульсом свободной нерелятивистской частицы E=p2/2m. Заменим E оператором E→i/t, а
импульс p оператором p→-i (в единицах ħ=c=1), и в обе части соотношения для энергии
“припишем” волновую функцию, получим уравнение Шредингера для свободной частицы:
(i/t)=(-2/2m);
плотность вероятности =||2, плотность тока вероятности j=(2mi)-1[*-*].
Поступим так же в области релятивистской квантовой теории (РКМ).
РКМ
Соотношение между энергией и импульсом релятивистской свободной частицы
E2=p2+m2. Припишем с обеих сторон аналогичную теперь уже полевую функцию (x)=(x,t)
(объяснения по поводу смысла полевой функции будут даны ниже), получим:
(2/t2-2+m2)(x)=0 (1)
Это и есть уравнение Клейна – Гордона. Заметьте, что уравнение (1), в отличие от уравнения
Шредингера, второго порядка по времени. Его принято записывать в ковариантной форме:
(
2+m2
)(x)=0 (2)
Уравнение (2) не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с
массой m. Поскольку полевая функция является скалярной функцией, говорят: уравнение
Клейна –Гордона описывает скалярные частицы (например, мезоны со спином S=0).
Ток уравнения Клейна – Гордона. Уравнение непрерывности.
Запишем уравнение (2) и комплексно сопряженное ему уравнение, первое умножим слева на *,
а второе – на и вычтем друг из друга:
*(
2+m2
)=0
(
2+m2
)*=0
8
Получим: *
2
-
2
*=0 (3)
Введем ток уравнения Клейна – Гордона:
j=i(*-*) (4)
Тогда (3) можно записать в форме уравнения непрерывности: j=0. (5)
Таким образом, уравнение непрерывности, означающее сохранение числа частиц (сохранение
вероятности), является следствием динамического уравнения Клейна – Гордона.
Соотношение (5) более подробно можно записать в виде:
/t+divj=0,
где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]
Нетрудно понять, что величина не является положительно определенной величиной, в то время
как в НКМ эта величина всегда положительно определена (=||2). Это обусловлено тем, что
уравнение (2) второго порядка по времени, и величины и /t меняются произвольно.
Благодаря этому обстоятельству уравнение (2) было на долгие годы отброшено физиками. Для
выяснения отрицательных значений рассмотрим операцию зарядового сопряжения С.
Операция зарядового сопряжения С
Наряду с дискретными операциями четности P и обращения времени T, хорошо известными в
нерелятивистской квантовой механике, в релятивистской области существует еще операция
замены частиц на античастицы, называемая операцией зарядового сопряжения С. Зарядовое
сопряжение меняет только заряд частиц на противоположный (электрический заряд, слабый
заряд, сильный цветовой заряд), но не меняет массу и спин частиц. Так для электрона
античастицей является позитрон, для кварка – антикварк и т. д.
Если e – заряд рассматриваемых частиц, то
C
(e)
=
(-e)
Собственные функции и собственные значения оператора C подчиняются обычному уравнению
на собственные функции и собственные значения:
C
(e)
=
(e)
.
При повторном применении операции С античастица снова переходит в частицу, поэтому 2=1,
а =+1 либо =-1. Очевидно, что собственными функциями оператора С являются только
нейтральные частицы с e=0. Истинно нейтральной частицей с отрицательной зарядовой
четностью (=-1) является фотон (не содержит внутренней электромагнитной структуры) и 0мезон с положительной зарядовой четностью =1.
Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна – Гордона
Введем в уравнение Клейна – Гордона электромагнитное поле, так как именно оно различает
заряд, т. е. различает частицы и античастицы.
Электромагнитное поле в НКМ вводится по правилу p→p-eA(x), где p=-i – оператор импульса,
А – векторный потенциал электромагнитного поля. В РКМ запишем обобщение
нерелятивистской структуры: i→i-eA(x); здесь A(U,A) – 4-потенциал электромагнитного
9
поля (U – скалярный потенциал, A – векторный потенциал). Запишем уравнение Клейна –
Гордона (2) в виде:
[-(i)2+m2](x)=0 и введем в него электромагнитное поле.
Для частиц с зарядом e уравнение примет вид:
[-(i-eA)2+m2]
(e)
=0 (6)
Для античастиц с зарядом (-e):
[-(i+eA)2+m2]
(-e)
=0 (7)
Уравнение (6) переходит в (7) при операции комплексного сопряжения (K=*). Действительно:
[-(-i-eA)2+m2]
(e)
*=0 (6`)
(e)
* и
(-e)
подчиняются одному и тому же уравнению и, следовательно, с точностью до
нормировочного множителя совпадают друг с другом. Таким образом, операцией зарядового
сопряжения С для уравнения Клейна – Гордона является комплексное сопряжение.
Для нейтральных частиц с e=0
(e=0)
*=
(e=0)
, т.е. для нейтральных частиц полевая функция
оказывается вещественной.
При A→0 уравнения (6) и (7) совпадают, поэтому одно и то же уравнение (2) описывает как
частицы, так и античастицы. Важно понимать, что все квантовые динамические уравнения
(в дальнейшем мы рассмотрим уравнение Дирака и уравнение Прока) в релятивистской
области по своей природе не являются одночастичными, каковым является уравнение
Шредингера, их решения нельзя трактовать как волновые функции, все уравнения в
релятивистской области описывают соответствующие поля.
Решение уравнения Клейна – Гордона для свободных частиц
Для свободных частиц с массой m (при отсутствии сил) сохраняется импульс p=const. Введем 4импульс p(p0,p). Обозначим пока нулевую компоненту 4-импульса p0. Решения для свободных
частиц представляются в виде плоских волн:
p(x)=Nexp{-i(px)}=Nexp{-i(p0t-px)}. (8)
Здесь и в дальнейшем (px)=px=p0t-px; N – нормировочный множитель.
Подставим (8) в уравнение (2):
(
2+m2
)p=(-p
0
2+p2+m2
)p=0. Отсюда p
0
2=p2+m2=E2
; p0=E.
Итак, в релятивистской области существуют решения как с положительной, так и с
отрицательной (!) энергией.
Рассмотрим решения с положительной энергией p0=+E:
p
(+)
=Nexp{-iEt+ipx}. (9)
Если энергию и импульс устремить к нерелятивистским значениям, то (9) будет соответствовать
обычной плоской волне для нерелятивистской частицы. Поэтому естественно назвать это
решение решением для частиц. Но уравнение (2) содержит также решения для античастиц,
10
которые получаются из решений для частиц с помощью операции зарядового сопряжения – для
уравнения Клейна – Гордона это операция комплексного сопряжения. Определим решения для
античастиц:
p
(-)
=Nexp{iEt-ipx}=Nexp{-i(-E)t+i(-p)x} (10)
Из (10) следует, что решения для античастиц (впервые эта интерпретация дана Ричардом
Фейнманом и Штюкельбекером) можно представить как решения для частиц, но (чисто
формально!) с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную
сторону по отношению к движению частиц.
Формально позитрон с массой m, энергией E и импульсом p можно трактовать как электрон с
энергией –E и импульсом –p. В данной интерпретации Фейнмана (формально!) античастица
эквивалентна частице с отрицательной энергией, которая движется “вспять по времени”.
позитрон с E, p эквивалентен электрону c –E, -p
(время течет вверх)
Откуда же берутся отрицательные плотности вероятности? Для этого вычислим p:
p
()
=i[
p
()
*(/t)
p
()
-
p
()
(/t)
p
()
*]=2|N|2E (11)
Итак, очевидно, что отрицательные плотности вероятности соответствуют античастицам.
Решения (9) для частиц называются положительно-частотными решениями, а решения (10) для
античастиц – отрицательно-частотными решениями.
Квантовые релятивистские уравнения, в отличие от уравнения Шредингера, имеют вдвое больше
фундаментальных решений для свободных частиц – они соответствуют частицам и
античастицам.
В заключение получим нормировочный множитель N. Условимся решения нормировать так,
чтобы в единичном объеме V=1 находилась ровно одна частица.
dV|p|=1 (интеграл берется по единичному объему). Подставляя сюда p из (11) (эта величина не
зависит от объема), найдем для N значение: N=(1/2E)
1/2
.
Итак, окончательно: уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам (12)
p
(-)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам
(13)
Положительно-частотные решения, так же, как и отрицательно-частотные решения, образуют
ортонормированную систему:
p
(+)
*
0
p`
(+)
(x)d3x = (2)3
(3)
(p-p`) (14)
Оператор
0
действует следующим образом:
A(t)
0
B(t) = A(t)(B(t)/t) – (A(t)/t)B(t).
В связи с уравнением Клейна – Гордона были обнаружены следующие трудности: (a) имелись
решения с отрицательной энергией; (b) ток j не был связан с положительно определенной
плотностью вероятности , как это было в случае уравнения Шредингера. По этим причинам мы
вынуждены отказаться от интерпретации уравнения Клейна – Гордона как одночастичного
уравнения. Однако скалярные частицы, частицы со спином 0, существуют (-мезоны, K-мезоны,
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика