Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
31
Здесь
()
- единичный 4-вектор поляризации, описывающий поляризационные состояния
фотона ( описывает тип поляризации).
Поскольку электромагнитное поле в вакууме поперечно, то для реального (наблюдаемого)
фотона с k
2
=0 существуют два состояния поляризации, ортогональные по отношению к
направлению импульса фотона k. Если ось z направить по импульсу фотона k, то плоскостью
поляризации будет плоскость (xy), в которой можно ввести два взаимно ортогональных орта,
вектора поляризации, направленные по осям х (=1) и y (=2). У реального фотона, таким
образом, существуют два типа поляризации =1,2 – это так называемые физические
(наблюдаемые) поляризации.
Для реального фотона k
(=1,2)
= 0.
У виртуального фотона (ненаблюдаемого на опыте k
2
0), который испускается одной частицей
и поглощается другой, т. е. его время жизни ограничено (обычно в электродинамике оно
составляет ~10
-16
-10
-19
сек), в 4-пространстве Минковского можно ввести 4 независимых взаимно
ортогональных вектора:
(1)
= (0,1,0,0) – физическая поперечная поляризация по оси x; (9)
(2)
= (0,0,1,0) – физическая поперечная поляризация по оси y;
(0)
= (1,0,0,0) – нефизическая скалярная поляризация;
(3)
= (0,0,0,1) – нефизическая продольная поляризация по оси z.
В случае реального фотона состояния с продольной и скалярной поляризацией отсутствуют.
Кстати, их всегда можно исключить, используя калибровочную инвариантность 4-потенциала
электромагнитного поля.
В дальнейшем при выводе правил Фейнмана и расчете сечений физических процессов нам
понадобится формула суммирования по поляризациям фотона:
()
()
=
(1)
(1)
+
(2)
(2)
+
(3)
(3)
-
(0)
(0)
= -g. (10)
Уравнение для массивных калибровочных векторных бозонов – уравнение Прокá
Массивные поля со спином 1 – это калибровочные бозоны W и Z0, кванты слабого
взаимодействия, описываются уравнением Прокá.
Обозначим векторное поле массивных калибровочных бозонов B. Уравнение Прока (без
вывода):
(
2
+ m2)B = 0 (11)
Выполняется условие Лоренца B=0.
32
4 октября 2021
Лекция №7 по релятивистской квантовой теории
Вольфганг Паули однажды расcказал такую притчу: “Когда я окажусь на небесах, спрошу я у
Господа о двух вещах: об уравнении объединения всех физических полей и об описании
атмосферных процессов. И ответит мне Господь: “Вот тебе уравнение объединения всех
физических полей, а в атмосферных процессах я и сам ничего понять не могу!”
Лагранжева формулировка релятивистских теорий
До сих пор мы рассматривали только поля, отвечающие свободным частицам. Но совершенно
очевидно, что физика любого явления определяется взаимодействием. Поэтому огромное
значение имеет вопрос, как описывать взаимодействия частиц в квантовой теории поля. В
прежние времена, в 50-е и 60-е годы, допускался произвол в выборе взаимодействия. Одна из
самых глубоких концепций современной квантовой теории поля состоит в том, что
взаимодействия определяются принципами симметрии. Современные теории не допускают
свободы в выборе взаимодействий – они исходят из того, что вид взаимодействий между полями
(такими, как электроны, кварки, векторные бозоны и т. п.) определяется принципом
калибровочной инвариантности. Этот принцип вытекает из требования, чтобы сохраняющиеся
величины сохранялись не только глобально, но и локально. Глобально закон сохранения заряда
выполнялся бы, если бы он, например, вдруг исчез на Земле и одновременно появился на Луне.
Однако под сохранением заряда мы обычно подразумеваем нечто большее. Такое исчезновение
недопустимо, поскольку перенос заряда должен сопровождаться только появлением тока,
благодаря которому и возможно появление заряда в другой точке.
Эти вопросы составляют содержание теоремы Нетер, которая связывает симметрии с законами
сохранения. Исследование свойств симметрии и их связи с законами сохранения наиболее
удобно рассматривать в рамках лагранжева формализма. В классической физике основой
лагранжевой формулировки является принцип наименьшего действия, который приводит к
динамическим уравнениям. Мы построим по той же схеме лагранжев формализм в рамках
квантовой теории поля.
Вид лагранжиана определяет тип теории. Так, фотон является квантом электромагнитного поля
и описывается 4-векторным потенциалом A, электрон описывается спинорным полем .
Лагранжиан взаимодействия между электронами и квантами электромагнитного поля L
int
=
e(x)(x)A(x), который мы получим в этой лекции, полностью определяет квантовую
электродинамику (КЭД) – теорию взаимодействия спинорных полей с электромагнитным полем.
Форму теории определяет слагаемое в лагранжиане, задающее взаимодействие между
различными полями. Лагранжиан является функцией, которая полностью определяет динамику
частиц. Лагранжиан должен быть скаляром в любом рассматриваемом пространстве,
инвариантным относительно преобразований пространства. Например, требование
инвариантности лагранжиана относительно преобразований Лоренца гарантирует лоренцеву
инвариантность всей теории.
В классической механике лагранжиан зависит от координат, скоростей и времени:
L
класс
= L(q, qֺֺֺ, t). Интеграл действия: S = L
класс
dt.
Уравнение Лагранжа, полученное из принципа наименьшего действия, в классической механике
имеет вид:
d/dt(L/q) - L/q = 0.
33
В квантовой теории поля роль координаты играет полевая функция, задающая пространственновременное состояние в данной точке 4-пространства x: q → (x); роль скорости играет
производная от полевой функции: q → (x), а роль параметра времени – 4-координата: t → x.
Таким образом, плотность полевого лагранжиана, например, для заряженного скалярного поля,
подчиняющегося уравнению Клейна – Гордона, должна зависеть как от полевых функций (и их
производных) для частиц (x), так и для античастиц *(x), причем обе полевые функции и их
производные считаются независимыми.
L
полев
= L
скал
((x), (x), *(x), *(x), x). (1)
Плотность полевого лагранжиана для спинорного (дираковского) поля зависит от полевых
функций (x) и (x) и их производных, которые тоже рассматриваются как независимые.
L
полев
= L
спин
((x), (x), (x), (x), x). (1`)
Интеграл действия S
полев
= L
полев
d4x.
Уравнение Эйлера – Лагранжа в квантовой теории поля, полученное тоже из принципа
наименьшего действия, например, для скалярного поля, имеет вид:
d/dx(L
полев
)/()) - L
полев
/ = 0 (или с заменой →*). (2)
Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного нейтрального (действительного)
скалярного поля
Из полевых функций и их производных надо сформировать релятивистски инвариантную
скалярную величину, из которой в качестве уравнения Эйлера – Лагранжа получается уравнение
Клейна – Гордона. Кроме того, для свободных частиц лагранжиан (или, точнее, плотность
лагранжиана) не должен зависеть от 4-координаты x в силу пространственно-временной
трансляционной инвариантности. Обозначим полевой лагранжиан свободных частиц L0:
L0 = ½( - m22). (3)
Первое слагаемое является в каком-то смысле квантово-полевым аналогом кинетической
энергии (зависит от квадрата “скорости”), второе слагаемое зависит от квадрата поля, а
коэффициентом при нем является квадрат массы рассматриваемых скалярных частиц. Это
слагаемое часто называют “массивным” (или “массовым”) слагаемым. Вообще в полевом
лагранжиане Бозе-частиц, частиц с целым спином, обладающих массой, всегда присутствует
слагаемое, содержащее квадрат соответствующего поля, коэффициент при котором
пропорционален квадрату массы. Для безмассовых частиц подобное слагаемое отсутствует.
Нетрудно видеть, что уравнением Эйлера – Лагранжа (2) будет уравнение Клейна – Гордона.
Действительно:
L0/() = , d/dx() =
2
L0/ = m2, так что получим
(
2
+ m2) = 0.
Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного скалярного поля
Лагранжиан зависит от независимых переменных – полевых функций и *, а также от их
производных:
L
0(скал)
= * - m2* (4)
Производя в (4) дифференцирование по * и по *, получим уравнение Клейна – Гордона для
частиц, а при дифференцировании по и - для античастиц.
34
Для частиц:
(
2
+m2) = 0
Для античастиц:
(
2
+ m2)* = 0
Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного спинорного
(дираковского) поля
Лагранжиан спинорных частиц зависит от биспиноров и , а также от их производных (1`).
Поскольку функция Лагранжа не наблюдаема и допускает произвол в выборе, лишь бы этот
выбор не менял динамических уравнений Эйлера – Лагранжа, то можно выбрать полевой
лагранжиан свободных спинорных (со спином 1/2) частиц наиболее простым образом, но так,
чтобы он приводил к правильному динамическому уравнению – уравнению Дирака:
L
0(спинор)
= i - m (5)
Покажем, что уравнение Эйлера – Лагранжа является уравнением Дирака.
L/() = 0, L/() = (i - m) = 0 – мы получили уравнение Дирака.
Лагранжиан электромагнитного поля и уравнения Максвелла
Квантами электромагнитного поля являются фотоны, которые описываются полевой функцией
– 4-потенциалом электромагнитного поля A. Фотоны безмассовые, поэтому лагранжиан не
должен содержать слагаемого, содержащего квадрат поля.
Запишем тензор электромагнитного поля F = A - A.
Лагранжиан электромагнитного поля записывается в виде:
L
э-м
= -(1/4)FF . (6)
Уравнение Эйлера – Лагранжа: d/dx[L/(A)] - L/A = 0 из лагранжиана (6) с учетом
условия Лоренца A/x=0 запишется в форме:
2
(A) = 0.
Это уравнение для полевой функции фотонов A мы получили из уравнений Максвелла в лекции
№6.
Лагранжиан массивного векторного поля и уравнение Прока
В заключение, для полноты изложения, запишем лагранжиан массивных калибровочных бозонов
(квантов слабого поля W- и Z0-бозонов, частиц со спином 1), который в качестве уравнения
Эйлера – Лагранжа приводит к уравнению Прока.
Массивное векторное поле описывается 4-потенциалом B. По аналогии с электромагнитным
полем введем тензор F= B - B, с помощью которого записывается лагранжиан векторных
бозонов:
L
вект
= -(1/4)FF + (1/2)m2BB. (7)
Из (7) с учетом (2) и условия Лоренца следует уравнение Прока:
(
2
+ m2)B=0
35
Глобальная калибровочная инвариантность
Мы знаем, что из инвариантности относительно временных сдвигов следует закон сохранения
энергии, пространственных сдвигов – закон сохранения импульса, поворотов – закон сохранения
углового момента. Это составляет суть теоремы Нетер в классической механике. Мы не будем
исследовать эти свойства инвариантности в квантово-полевом аспекте, поскольку в этом разделе
нас интересуют не они, а преобразования внутренней симметрии, не затрагивающие
пространственно-временных координат.
Заряженные частицы со спином 0 или ½ описываются комплексными полями. Их лагранжианы
(4), (5) инвариантны относительно калибровочного преобразования – хорошо известной нам
неоднозначности волновой функции в НКМ →ei |ei|=1, связанной с ненаблюдаемостью
фазы волновой функции:
(x) → exp(ie)(x) или (x) → exp(ie)(x); (8)
(x) → exp(-ie)(x) или *(x) → exp(-ie)*(x).
Здесь - произвольная действительная константа, для удобства дальнейшего изложения мы
переопределили константу , заменив ее на e, где e – заряд рассматриваемых частиц.
Производные , , , * меняются при калибровочном преобразовании по тому же
закону (e=const).
По сути, это преобразование калибрует фазу полевой функции. Такое преобразование
неосуществимо на опыте и относится к категории так называемых мысленных экспериментов.
Мысленные эксперименты, несмотря на свою реальную неосуществимость, не противоречат
никаким физическим принципам.
Данное преобразование называется калибровочным преобразованием первого рода.
Можно придать калибровочному преобразованию (8) геометрическую форму. Представим,
например, комплексное скалярное поле в форме:
= (1 + i2)/2; * = (1 - i2)/2, (9)
Из соотношения (4) получим:
L
0(скал)
= 11 + 22 – m2(
1
2
+
2
2
). (9`)
Теперь запишем поле в виде вектора:
= i1 + j2, (10)
т.е. в виде вектора в двумерном пространстве с ортонормированными базисными векторами i и
j. Лагранжиан принимает вид:
L
0(cкал)
= ()() – m2. (10`)
Калибровочные преобразования запишутся в виде:
1` + i2` = exp(ie)(1 + i2) (11)
1` - i2` = exp(-ie)(1 - i2)
или в эквивалентном виде
36
`1 = 1cos(e) - 2sin(e) (11`)
`2 = 1sin(e) + 2cos(e)
(11`) определяет вращение двумерного вектора в плоскости (1,2) на угол (e).
Преобразование (8) U=exp(ie) – унитарное: UU+=1, U представляется в виде одномерной
матрицы.
Совокупность элементов образует группу, если в данной совокупности задана операция
группового умножения, которая не выводит элементы за пределы этой совокупности, кроме
того, в совокупности существует единичный элемент e, представляющий тождественное
преобразование, а также обратный элемент U-1, такой, что UU-1=U-1U=e.
Совокупность преобразований U образует группу. Действительно, произведение элементов
U1=exp(ie1) и U2=exp(ie2) снова представляет элемент совокупности U=U1U2=exp(ie(1+2)).
Единичный элемент e соответствует =0 (U=1). Обратным элементом по отношению к
U=exp(ie) является U-1=exp(-ie). Эта группа называется группой U(1). “U” означает, что группа
унитарная, а значок “(1)” – то , что элементы группы являются числами, т.е. матрицами 11.
Поскольку число не зависит от координат и времени, то такую симметрию называют
глобальной. Это означает, что если мы повернули в какой-нибудь пространственно-временной
области полевые векторы состояния, то они одновременно повернутся на тот же угол во всей
Вселенной. Поскольку при умножении элементы группы перестановочны, коммутативны, такие
группы называются абелевыми.
Таким образом, группа внутренней глобальной калибровочной симметрии лагранжианов
заряженных скалярных и спинорных частиц (4) и (5) – это абелева унитарная группа U(1).
Теорема Нетер
Теорема Нетер утверждает, что если интеграл действия не меняется при каком-либо
преобразовании симметрии, то это приводит к существованию сохраняющихся (или
сохраняющейся) величин. Теорема Нетер играет чрезвычайно важную роль в теории поля и в
физике частиц. Из нее вытекают не только законы сохранения энергии, импульса, момента, но и
законы сохранения других “квантовых” чисел: электрического заряда, изотопического спина,
цветового заряда кварков и т. п. (Правда, в квантовой теории поля существуют сохраняющиеся
величины другого типа, которые являются топологическими по своей природе, такие, как
монополь Дирака или инстантоны, их сохранение не связано с теоремой Нетер.)
Рассмотрим инфинитезимальное калибровочное преобразование (8) (<<1) для дираковского
поля:
exp(ie)→(1+ie), отсюда =ie, =-ie, ()=ie, ()=-ie(). (8`)
Запишем вариацию лагранжиана и во второй строке заменим L/ из уравнения Эйлера –
Лагранжа на d/dx[L/()] и то же для :
L = (L/) + (L/())() + ()(L/) + ()(L/(()) =
=d/dx[L/()]+[L/()][d/dx()]+()d/dx[L/()]+[d/dx()][L/()]
=
=ied/dx{[L/()] – [L/()]} = 0. (12)
Запишем сохраняющуюся величину – электромагнитный ток:
37
J = -ie{[L/()] -[L/()]}. (13)
Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы ток J соответствовал плотности тока
электронов, полученной из уравнения Дирака, J=e. Действительно, из лагранжиана
спинорных частиц (5) следует, что ток, определяемый соотношением (13),
J = e. (14)
Здесь и всюду в дальнейшем изложении заряд электрона будет обозначаться e, он включает в
себя отрицательный знак.
Для комплексного скалярного поля получим из (13) с заменой на и на *
электромагнитный ток скалярных частиц:
J = ie(* - *). (15)
Итак, глобальная калибровочная инвариантность приводит к сохраняющемуся 4-мерному току,
а, следовательно, к сохранению заряда.
Теорема Нетер определяет фундаментальное условие: сохранение заряда означает, что он не
просто исчезает, скажем, на Земле и появляется на Луне. Теорема Нетер говорит о значительно
большем: такое изменение невозможно без существования тока, благодаря которому и
возможно возникновение заряда в другой точке.
С физической точки зрения возникновение некой симметрии связано с неизмеримостью какойлибо величины, и потому, с определенным произволом в ее выборе. Например, инвариантность
относительно сдвигов в пространстве означает, что мы не можем определить абсолютное
положение в пространстве. Глобальная калибровочная инвариантность означает, что фаза
полевых (и волновых) функций неизмерима и не существует ее абсолютного значения – она
может быть выбрана произвольно. Фиксировав фазу , мы задаем ее во всем пространстве-
времени – это и есть глобальная калибровочная инвариантность.
38
11 октября 2021
Лекция №8 по релятивистской квантовой теории
“Узнайте, как устроен неизвестный вам мир. Разнообразие – стоящая вещь.” Ричард Фейнман
Локальная калибровочная инвариантность и лагранжиан квантовой электродинамики
(КЭД)
Мы рассматривали существование сохраняющейся величины, заряда, как следствие глобальной
калибровочной инвариантности (формула (8) лекции №7). Но поскольку - постоянная
величина, это калибровочное преобразование должно быть одним и тем же во всех точках
пространства-времени. Когда мы совершаем вращение поля во внутреннем пространстве, в
какой-либо одной точке на угол e, мы должны одновременно совершить то же самое вращение
во всех других точках. Это не противоречит нерелятивистскому рассмотрению квантовой
теории, поскольку скорость распространения физической информации в НКМ бесконечна.
Однако если рассматривать такой сценарий всерьез в релятивистской области, то очевидно, что
он противоречит духу и букве теории относительности, поскольку должно существовать
минимальное временное запаздывание, равное времени прохождения светового сигнала. Чтобы
обойти эту трудность, будем считать произвольной функцией пространственно-временных
координат → (x) (x). Впервые эта идея была высказана Янгом и Миллсом в их знаменитой
работе, опубликованной в 1954 году в журнале Phys. Rev., 96, 191 (1954). Кстати, тогда мало кто
из физиков обратил на эту работу серьезное внимание, но именно идея Янга и Миллса лежит в
основе всех квантово-полевых теорий, ныне составляющих Стандартную модель.
Снова запишем лагранжианы свободных заряженных спинорных и скалярных частиц:
L
0(спинор)
= i - m (*)
L
0(скал)
= * - m2* (**)
Преобразование:
→ exp(ie(x)), → exp(-ie(x)) (1)
называется локальным калибровочным преобразованием.
Но лагранжианы заряженных частиц теперь перестают быть инвариантными относительно
преобразования (1), так как при дифференцировании по x содержат производную (x):
(x) → [exp(ie(x))(x)] = exp(ie(x))( + ie)(x),
т. е. величина преобразуется нековариантно – не так, как само поле . Следовательно, и
интеграл действия перестает быть инвариантным. Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними
интеграл действия инвариантными относительно локального калибровочного
преобразования, надо их “поправить” – для этого введем 4-вектор A(x) (поскольку добавка
представляет 4-вектор), который при локальном калибровочном преобразовании полей (1)
одновременно преобразуется по закону:
A(x) → A(x) - (x) (2)
Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”) производную D:
D = ( + ieA(x)) (3)
39
и заменим всюду в лагранжианах → D (обратите внимание, что или преобразуются в
формы: D или D, а или * преобразуются как D* или D**). Покажем, что D
меняется при локальном калибровочном преобразовании так же, как само поле (формула (1)):
D = ( + ieA(x))(x) → ( + ieA(x) -ie(x))exp(ie(x))(x) = exp(ie(x))(+ieie +ieA) = exp(ie(x))( + ieA(x))(x) exp(ie(x))D.
Таким образом, чтобы скомпенсировать добавку , приводящую к неинвариантности
лагранжианов, мы вынуждены ввести векторное поле A(x), называемое калибровочным,
которое при локальном калибровочном преобразовании ведет себя по закону (2). Нетрудно
видеть, что (2) представляет калибровочную инвариантность электромагнитного поля, так что
A(x) – это 4-потенциал электромагнитного поля.
Запишем лагранжианы заряженных спинорных и скалярных частиц материи, “поправив” их так,
чтобы они стали инвариантными относительно локального калибровочного преобразования (1),
т. е. заменив в них производную → D.
Для дираковского, спинорного поля лагранжиан приобретает вид:
L
спин
= iD - m = i - m + (-e)A (4)
Последнее слагаемое в лагранжиане (4) описывает взаимодействие дираковских заряженных
частиц с электромагнитным полем (переименуем заряд -e → e – заряд электрона):
L
int
= e(x)(x)A(x) ej(x)A(x) (5)
Мы получили лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД).
Лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем можно изобразить
графически. Если обозначить полевую функцию дираковских частиц сплошной линией, а
электромагнитное поле (или поле фотонов) – волнистой линией, то (5) означает, что в одной
пространственно-временной точке x сходятся две сплошные и одна волнистая линия (L
int
в
просторечии называют “треххвосткой”).
Рис.1 Графическое изображение лагранжиана взаимодействия L
int
квантовой электродинамики
(КЭД)
40
Лагранжиан электромагнитного поля L
э.-м.
=-(1/4)FF тоже инвариантен относительно
локального калибровочного преобразования (2), поскольку относительно этого преобразования
инвариантен тензор электромагнитного поля F.
Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых:
лагранжиана свободных заряженных спинорных частиц L
0спин
+ лагранжиан электромагнитного
поля L
э-м
+ лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем L
int
:
L = [i(x)(x) - m(x)(x)] + [-1/4FF] + [e(x)(x)A(x)] (6)
Для скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона, лагранжиан
с учетом взаимодействия имеет вид:
L = D**D - m2*,
где лагранжиан взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем
L
int
= ei[(*(x))(x) - *(x)((x))]A(x)+ e2*(x)(x)A(x)A(x) (7)
Рис.2. Графическое изображение лагранжиана взаимодействия скалярных частиц с
электромагнитным полем.
Итак, требование инвариантности лагранжианов относительно локальной калибровочной
инвариантности привело нас к введению взаимодействия частиц материи с
электромагнитным полем.
Выводы:
1 Накладывая на лагранжианы свободных заряженных полей материи требование локальной
калибровочной инвариантности, мы приходим к теории взаимодействующих полей КЭД.
2 Заряд e представляет с одной стороны константу связи электромагнитного взаимодействия,
а с другой стороны – сохраняющуюся величину при локальном калибровочном преобразовании.
3 Мы приходим к новой интерпретации электромагнитного поля: это калибровочное,
компенсирующее поле, которое необходимо ввести, чтобы гарантировать инвариантность
относительно локальных калибровочных преобразований. Можно даже сказать:
электромагнитное поле есть порождение локальной унитарной группы U(1).
4 Добавление массового слагаемого m2AA к лагранжиану электромагнитного поля запрещено
требованием локальной калибровочной инвариантности. Это слагаемое не инвариантно
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика