Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
51
Рис. 2`. (a) Движение частицы; (б) движение античастицы; (в) аннигиляция пары; (г) рождение
пары; (д) замкнутая петля – флуктуация вакуума.
В релятивистской квантовой теории нам надо иметь не только амплитуду рождения,
распространения и уничтожения электрона, но и те же характеристики для позитрона. Схемы на
рисунках соответствуют распространению вперед по времени частиц и назад по времени –
античастиц.
В релятивистской квантовой теории нам надо изменить два правила для функций Грина по
сравнению с НКМ.
1 При вычислении матричных элементов перехода для античастиц полевые функции начального
и конечного состояний надо поменять местами:
Для частиц: d4x
конFнач
,
Для античастиц: d4x
начFкон
.
2 Очевидно, что причинность в релятивистской квантовой теории тоже изменяется. Если в НКМ
возможно было развитие физического процесса только из прошлого в будущее, то в
релятивистской области формально античастицы описываются как частицы, движущиеся в
противоположном направлении по времени. Поэтому причинная функция Грина должна
содержать решения для частиц при t2>t1 и решения для античастиц при t2<t1. Функцию Грина для
спинорных частиц принято обозначать S(x2, x1).
S(x2, x1) = n
n
(+)
(x2)
n
(+)
(x1) при t2>t1,
S(x2, x1) = -n
n
(-)
(x2)
n
(-)
(x1) при t2<t1.
Знак (-) от вклада античастиц будет получен позже.
Дифференциальное уравнение для функции Грина спинорных (дираковских) частиц
Запишем уравнение Дирака для свободных частиц:
(i - m)(x) = 0
Введем в уравнение Дирака взаимодействие с электромагнитным полем, для чего в соответствии
с требованием локальной калибровочной инвариантности заменим на ковариантную
производную D= + ieA(x), получим:
52
(i -eA - m)(x) = 0 или (i - eÂ(x) – m)(x) =0
Составим по аналогии с НКМ дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских
частиц:
(i2 - eÂ(x2) – m) S(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1) (1)
Для функции Грина свободных частиц S0(x2-x1) дифференциальное уравнение будет иметь вид:
(i2 - m) S0(x2-x1) = i
(4)
(x2-x1) (2)
Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц
По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:
S(x2, x1) = S0(x2, x1) + d4x3 S0(x2, x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1) (3)
Докажем справедливость интегрального уравнения (3).
Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i2 - m) и, с учетом
уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:
(i2 - m)S(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1) + d4x3 i
(4)
(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1). Или
(i2 - m)S(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1) + eÂ(x2)S(x2, x1), что совпадает с дифференциальным уравнением
(1) для функции Грина.
Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории
возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия
спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия
является постоянная тонкой структуры =e2/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений
прекрасно “работает” в КЭД.
Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала
получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем
сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.
Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном
представлении
Запишем уравнение Дирака
(i - m)S0(x2-x1) = i
(4)
(x2-x1)
Для перехода к импульсному представлению проведем Фурье-преобразование – представим
функцию Грина S0 и дельта-функцию в виде интеграла Фурье.
Произвольную функцию четырех переменных f(x)=f(t,x) можно представить в форме интеграла
Фурье:
f(x) = [d4p/(2)4] f(p)exp[-i(px)]. Здесь (px)px=p0t-px. Фурье-образ f(p) – обратное
преобразование Фурье: f(p) = d4x f(x)exp[i(px)].
Представим S0 в виде разложения в интеграл Фурье, обозначим x2-x1=x (традиционно из Фурьеобраза S0 выносится мнимая единица -i):
S0(x2-x1) S0(x) = [d4p/(2)4i] S0(p)exp[-i(px)]; (4)
Разложение дельта-функции:
(4)
(x) = (d4p(2)4)exp[-i(px)] (4`)
53
Подставим (4) и (4`) в уравнение Дирака:
(i2 - m)(d4p/(2)4i) S0(p)exp[-i(px)] = i(d4p/(2)4)exp[-i(px)]
Внесем оператор уравнения Дирака под знак интеграла (оператор дифференцирует только
экспоненту):
(d4p/(2)4i) (p - m)S0(p)exp[-i(px)]. Отсюда:
S0(p) = (-1)/(p-m).
Но такая форма записи S0(p) бессмысленна по двум причинам: (a) легко устранимая причина –
операции деления на матрицы не существует; (б) в S0(p) содержатся полюса, которые следует
должным образом обходить (смотрите дальнейшие рассуждения).
Устраним первую некорректность в записи S0(p), домножив числитель и знаменатель S0(p) на
‘сопряженное’ выражение (p+m) (вспомните, что p
2=p2
):
S0(p) = (-1)(p+m)/(p-m)(p+m) = -(p+m)/(p2-m2) (5)
В формуле (5) содержатся два полюса:
p2 - m2 (p
2
- m2) = (p
0
2
– p2 - m2) = 0 p
0
(пол)
= (p2 + m2) = E, где E – энергия свободной
частицы. Полюс p0=+E соответствует частицам, полюс p0=-E – античастицам. При
интегрировании по переменной p0 (d4p=dp0d3p) в формуле (4) для S0(x) полюса лежат на
действительной оси p0 и их следует правильным образом обходить. Критерием правильности
для нас является причинность: при t2>t1 вклад в S0(x2-x1) должны давать частицы, а при t2<t1 –
античастицы. Для этого надо доопределить знаменатель формулы (5). Это сделал Ричард
Фейнман: он ввел в знаменатель формулы (5) дополнительное бесконечно малое слагаемое “+i”.
Это ‘доопределение’ так и называется – ‘фейнмановское доопределение’.
С учетом доопределения Фейнмана S0(p) принимает окончательный вид:
S0(p) = -(p+m)/(p2-m2+i) (6)
Теперь нам следует доказать, что фейнмановское доопределение действительно приводит к
правильной концепции причинности.
Прежде всего поймем, что “происходит” с полюсами при фейнмановском доопределении.
Рассмотрим знаменатель формулы (6):
p2-m2+i = p
0
2-E2
+i = 0 p
0
(пол)
= (E2-i)
1/2
= E(1-i/E2)
1/2
E(1-i`/E), где `=/2E –
бесконечно малая величина, которую без потери общности можно снова обозначить буквой .
Таким образом, S0(p) содержит два полюса:
p
0
(1)
= +E - i
p
0
(2)
= -E + i
Очевидно, что благодаря фейнмановскому доопределению оба полюса переместились с
действительной оси p0 в комплексную плоскость p0 (смотрите рисунок 3), причем полюс с p0=+E
(полюс, соответствующий частицам) переместился в нижнюю часть комплексной плоскости p0,
а полюс p0=-E (полюс, соответствующий античастицам) переместился в верхнюю часть
комплексной плоскости p0. Следовательно, убрав полюса с действительной оси p0, мы сделали
формулу для S0(p) осмысленной в математическом смысле.
54
Рис. 3.
Далее покажем, что фейнмановское доопределение приводит к правильной концепции
причинности.
1. Рассмотрим случай t2>t1.
Подставим выражение (6) для S0(p) в формулу (4):
S0(x) S0(x2-x1) = (d4p/(2)4i) [-(p+m)/(p2-m2+i)] exp[-i(p(x2-x1))] =
= (d3p/(2)3)exp[ip(x2-x1)]
-
(dp0/2i){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] (7)
Вычислим интеграл по p0 с помощью теории функций комплексного переменного – используя
вычет в нижней полуплоскости (“cрабатывает” вычет в точке p0=E-i). Замкнем контур
полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости (Рис. 4). Интеграл по
замкнутому контуру пропорционален вычету в точке p0=E-i:
-
(dp0/(2i)){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]} exp[-ip0(t2-t1)] +
+ CR (dp0/2i){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]} exp[-ip0(t2-t1)] =
= (-2i)ResF(E-i)|
→0
Здесь F обозначена подынтегральная функция. Знак минус в множителе (-2i) возникает потому,
что обход контура происходит по часовой стрелке. Интеграл по полуокружности CR обращается
в нуль по лемме Жордана, так как содержит затухающую экспоненту:
exp[-i(Rep0+iImp0)(t2-t1)]~exp[(Imp0)(t2-t1)]→0 на CR (Imp0<0, t2-t1>0).
Рис.4.
Напоминаем, что вычет первого порядка в точке b вычисляется по формуле
ResF(b) = lim
z→b
{F(z)(z-b)}. Используя эту формулу, получим:
-
(dp0/(2i)) {-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] =
= (-2i)/(2i){-(E0-p+m)/2E}exp[-iE(t2-t1)] = {(p+m)/2E}exp[-iE(t2-t1)] (8)
55
Имея в виду, что (p+m) = u(p)u(p) (-спиральность), подставим (8) в соотношение (7):
S0(x2-x1) = d3p/(2)3 {[u(p)/2E]exp[-i(Et2-px2)}{[u(p)/2E]exp[i(Et1-px1)]} =
=
p,
(+)
p(x2
)
(+)
p(x1
). (9)
Таким образом, мы показали, что при t2>t1 свободная функция Грина фермионов, спинорных
частиц, S0(x2-x1) содержит сумму по положительно-частотным решениям, которые описывают
частицы, что и требуется причинностью.
2 Рассмотрим случай t2<t1.
Вычисления аналогичны случаю t2>t1 с некоторыми изменениями. Во-первых, замкнем контур
интегрирования в комплексной плоскости переменной p0 полуокружностью бесконечного
радиуса в верхней полуплоскости. Теперь “срабатывает” полюс p0=-E+i (Рис.5). Интеграл по
полуокружности С`R обращается в нуль по лемме Жордана, так как опять содержит затухающую
экспоненту (t2-t1<0, Imp0>0). Обход контура интегрирования происходит против часовой
стрелки. Получим формулу, аналогичную (8), для интеграла по переменной p0.
-
(dp0/(2i)){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] =
= {-(-E0-p+m)/(-2E)}exp[iE(t2-t1)] (10)
Подставим (10) в формулу (7), где сделаем замену импульса p на -p.
S0(x2-x1) = (d3p/(2)3)exp[-ip(x2-x1)]{(-E0+p+m)/2E}exp[iE(t2-t1)] (11)
Величина (-E0+p+m) = -(p-m) = - v(p)v(p) (11`)
Подставляя (11`) в формулу (11), окончательно получим:
S0(x2-x1) = -p
(-)
-p-(x2
)
(-)
-p-(x1
)
Мы показали, что свободная функция Грина S0(x2-x1) спинорных частиц при t2<t1 содержит
сумму по отрицательно-частотным решениям, которые описывают античастицы, но со
знаком минус.
Дополнение (не входит в экзаменационные вопросы)
Таким образом, при t2>t1 свободная функция Грина S0(x2-x1) описывает распространение
свободного фермиона из пространственно-временной точки x1 в точку x2, а при t2<t1 –
распространение свободного антифермиона с положительной энергией E из x2 в x1, т.е. снова в
положительном направлении по времени.
Решение уравнения Дирака, развивающееся во времени из состояния
(+)
(x1) с p0>0 для t2>t1
имеет вид (по аналогии с НКМ):
(+)
(x2) = d3x1 S0(x2-x1)0
(+)
(x1) при t2>t1.
Матрица 0 возникает потому, что вместо + в НКМ в релятивистской области мы используем
=+0. Или можно объяснить это так: во временном уравнении Шредингера стоит оператор
дифференцирования по времени: i/t, а в уравнении Дирака: i0/t.
При отсутствии взаимодействия состояние с положительной энергией при t2>t1 содержит
только состояния с E>0. При включении взаимодействия это утверждение не верно, так как
может происходить рождение фермион-антифермионных пар.
56
При t2<t1 решение для античастиц описывает развитие состояния с p0<0 в “обратном”
направлении по времени:
(-)
(x2) = - d3x1 S0(x2-x1)0
(-)
(x1) при t2<t1.
57
1 и 8 ноября 2021
Лекция №11 по релятивистской квантовой теории
Один из выдающихся современных теоретиков, лауреат Нобелевской премии, Герард т`Хоофт
сказал: “В диаграммах Фейнмана больше правды, чем в лежащем в их основе формализме.”
Теория возмущений и диаграммный язык Фейнмана для КЭД
Рассмотрим ряд теории возмущений, который получается из интегрального уравнения для
функции Грина дираковских частиц.
Снова запишем интегральное уравнение для функции Грина спинорных, дираковских частиц:
S(x2, x1) = S0(x2-x1) + d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1).
1 Рассмотрим первый порядок теории возмущений (первую итерацию) S
(1)
(x2, x1):
S
(1)
(x2, x1) = d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x1).
Пусть, для определенности, частица c 4-импульсом p1 и спиральностью 1, описываемая в
начальном состоянии полевой функцией i(x), переходит в результате взаимодействия в
конечное состояние f(x) с 4-импульсом p2 и спиральностью 2. Запишем инвариантную
амплитуду процесса, исходя из общего правила получения амплитуды по функции Грина (лекция
№9). В первом порядке теории возмущений получим:
iT
fi
(1)
= d4xf(x)(-ieÂ(x))i(x) (1)
Здесь i(x) = (u1(p1)/2E1)exp(-i(p1x)); f(x) = (u2(p2)/2E2)exp(i(p2x)). (2)
A(x) – 4-потенциал взаимодействия с внешним электромагнитным полем или фотоном.
Покажем, что в первом порядке теории возмущений допустимо взаимодействие только с
внешним электромагнитным полем. Подставим (2) в формулу (1):
iT
fi
(1)
= [u2(p2)/2E2][-ie][u1(p1)/2E1] d4x A(x)exp[i((p2-p1)x)] (3)
Интеграл в (3) представляет Фурье-образ 4-потенциала A(x):
A(q) A(p2-p1) = d4x A(x)exp(i(qx)), (4)
q=(p2-p1)– передаваемый 4-импульс при рассеянии, (qx)qx=q0x0-qx.
Если в качестве электромагнитного поля в процессе рассеяния участвовал бы фотон, то
A(x) = (
()
/2)exp(-i(kx)) (полевая функция фотона) (5)
Поскольку фотон является собственным состоянием оператора зарядовой четности, т. е. является
истинно нейтральной частицей, то зарядовое сопряжение, меняющее положительно-частотное
решение на отрицательно-частотное снова дает полевую функцию фотона:
A(x)= (*
()
/2)exp(ikx) (тоже полевая функция фотона) (5`)
(5) и (5`) можно объединить в единую формулу:
A(x) = (
⩮
()
/2)exp(ikx) (5``)
Здесь значок ⩮ означает, что экспоненте со знаком плюс соответствует комплексно-сопряженная
поляризация *, а экспоненте со знаком минус – без комплексного сопряжения.
58
Тогда интеграл (4) был бы пропорционален фактору: d4x exp[i(p2-p1∓k] = (2)4
(4)
(p2-p1∓k), т.е.
должен выполняться закон сохранения энергии-импульса процесса. Но из кинематики процесса
следует, что p2p1k. Это очевидно и из классической теории поля – свободная заряженная
частица не излучает – не может испустить или поглотить фотон.
Таким образом, первый порядок теории возмущений может описывать только рассеяние
частиц (или античастиц) внешним электромагнитным полем.
В случае стационарного (не зависящего от времени) электромагнитного поля A(x) можно
проинтегрировать соотношение (4) по времени:
A(p2-p1) = d3xA(x)exp(-i(p2-p1)x)
-
dt exp(i(E2-E1)t) = A(p2-p1)(2)(E2-E1). (6)
В стационарном случае имеет место закон сохранения энергии.
Окончательно, амплитуда рассеяния частиц внешним электромагнитным полем в первом
порядке теории возмущений имеет вид:
iT
fi
(1)
= [u2(p2)/2E2] [(-ie)A(p2-p1)] [u1(p1)/2E1] (частицы)
(7)
Если рассматривать рассеяние античастиц внешним электромагнитным полем, то начальные и
конечные состояния античастиц следует поменять местами по отношению к амплитуде для
частиц, как указано в предыдущей лекции, и, кроме того, надо заменить биспиноры u(p) на
биспиноры v(p):
iT
fi
(1)
=[v1(p1)/2E1] [(-ie`)A(p1-p2)][v2(p2)/2E2] (античастицы)
(8)
Здесь e`=-e – заряд античастиц.
Графическая диаграмма процесса для частиц изображена на Рис.1, для античастиц – на Рис.2.
Условимся, что время “течет” слева направо. Каждой спинорной частице сопоставляется
сплошная прямая линия со стрелкой по направлению времени, античастице – то же со стрелкой
против направления времени. Взаимодействие с внешним полем будем графически изображать
волнистой линией с крестиком на конце (волнистая линия без крестика будет означать
взаимодействие с фотоном). В одной точке – точке взаимодействия, называемой вершиной, в
КЭД сходятся две сплошные и одна волнистая линия, что соответствует лагранжиану
взаимодействия КЭД:
L
int
= e(x)(x)A(x).
Рис.1 Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) частицы,
взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.
59
Рис.2. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) античастицы,
взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.
2 Рассмотрим второй порядок теории возмущений (вторую итерацию) для функции Грина S(x2,
x1):
S(x2, x1) = T{d4x3d4x4 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x4)(-ieÂ(x4))S0(x4-x1)}.
По общим правилам запишем инвариантную амплитуду во втором порядке теории возмущений
(рассмотрим, для определенности, процесс для частиц):
iT
fi
(2)
= T{d4x3d4x4f(x3) (-ie)A(x3)S0(x3-x4)(-ie)A(x4)i(x4)} (9)
T{...} означает хронологическое произведение операторов.
Будем рассматривать взаимодействие с фотонами (формула (5``)):
A(x3) = (
⩮
2
(2)
/22)exp(ik2x3)
A(x4) = (
⩮
1
(1)
/21)exp(ik1x4).
i и
f
описываются формулами (2).
S0(x3-x4) запишем в виде разложения Фурье:
S0(x3-x4) = (d4p/(2)4i) [-(p+m)/(p2-m2+i)] exp[-ip(x3-x4)]
Подставим приведенные выше выражения в формулу (9) и проинтегрируем экспоненциальные
множители по переменным x3 и x4 при t3>t4:
d4x3 exp[i(p2-pk2)x3] = (2)4
(4)
(p∓k2-p2),
d4x4 exp[i(p-p1k1)x4] = (2)4
(4)
(p1∓k1-p).
Формула (9) при t3>t4 приобретет вид:
iT
fi
(2)
= (d4p/(2)4i)[u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4
(4)
(p∓k2-p2)][
⩮
2
(2)
/22]
[-(p+m)/(p2-m2+i)][(-ie)(2)4
(4)
(p1∓k1-p)]
⩮
1
(1)
/21][u1(p1)/2E1].
(10)
При t3<t4 взаимодействия в точках x3 и x4 меняются местами.
iT
fi
(2)
= (d4p`/(24)i) [u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4
(4)
(p`∓k1-p2)][
⩮
1
(1)
/21]
[-(p`+m)/(p`2-m2+i)][(-ie)(2)4
(4)
(p1∓k2-p`)][
⩮
2
(2)
/22][u1(p1)/2E1]
(11)
Для античастиц надо поменять u1(p1)/2E1 на v2(p2)/2E2, и u2(p2)/2E2 на v1(p1)/2E1.
60
Теперь дадим графическую интерпретацию инвариантной амплитуды процессов (10) и (11)
Рис.3. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (10).
Рис.4. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (11).
В каждой вершине взаимодействия с фотоном стоит -функция, знаменующая закон сохранения
энергии-импульса в каждой вершине. Верхний знак минус в -функции формул (10-11)
соответствует излучаемому фотону и поляризации *, нижний знак – поглощаемому фотону и
поляризации .
Свободная функция Грина спинорной частицы (отныне мы будем называть ее пропагатором)
переносит частицу без взаимодействия из одной пространственно-временной точки в другую. В
графической интерпретации пропагатору соответствует внутренняя линия диаграммы – это
виртуальная частица, которая рождается в некоторой точке и уничтожается в другой точке. Ее
время жизни ограничено (в КЭД характерное время жизни составляет ~10
-16
-10
-18
сек). Из
принципа неопределенности Гейзенберга следует, что такая частица не может обладать строго
заданной энергией или импульсом. Поэтому в формулах (10-11) происходит интегрирование по
всей области энергий-импульсов. Но поскольку пропагатор имеет полюсной характер, то
наибольший вклад в процесс всегда дают конфигурации частиц вблизи полюсов.
Сопоставляя графическую запись амплитуды с ее аналитической записью (7-8;10-11), мы
приходим к наиважнейшим понятиям - правилам Фейнмана. Правила Фейнмана для
элементов S-матрицы сопоставляют каждому графическому элементу диаграммы
аналитический элемент.
Полный перечень правил Фейнмана для инвариантной амплитуды (элементов S-матрицы) в КЭД
приведен ниже в Приложении к лекции 11.
Свободная функция Грина фотона – пропагатор фотона в импульсном представлении
Мы пока не получили свободной функции Грина фотона (пропагатора фотона) в импульсном
представлении. Получим пропагатор фотона по аналогии с фермионным пропагатором, не
рассматривая интегрального уравнения для фотонов.
Внутренняя фотонная линия (обозначается волнистой линией) связывает две вершины с
индексами и .
Пропагатор спинорной частицы в импульсном представлении:
S0(p) = -(p+m)/(p2-m2+i) = -[ u(p)u(p)]/(p2-m2+i)
Построим по тому же принципу фотонный пропагатор в импульсном представлении.
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика