Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
11
-мезоны, бозон Хиггса и т. д.), так что, несомненно, должна быть возможна разумная
интерпретация этого уравнения.
Дополнение. Каноническое квантование действительного скалярного поля Клейна–
Гордона
(Дополнение не входит в экзаменационные вопросы.)
Уравнение Клейна – Гордона для действительного скалярного поля (x) описывает частицы с
зарядом, равным нулю (нейтральные частицы). Поскольку классическая аналогия отсутствует,
поле (x), вообще говоря, является строго квантовым полем. Рассматривая сначала это поле как
классическое, мы далее поймем, что это квантовое поле и будем считать его оператором,
подчиняющимся определенным коммутационным соотношениям, аналогичным соотношениям
коммутации обычной квантовой механики – соотношениям для операторов рождения и
уничтожения, введенных при рассмотрении вторичного квантования одномерного квантового
осциллятора. Мы займемся квантованием поля, а не движением отдельной частицы, как это
было в квантовой механике. В этой интерпретации величина ||2 пропорциональна числу
имеющихся частиц. После квантования поля отпадают трудности, связанные первоначально с
уравнением Клейна – Гордона.
Квантование поля заставляет нас интерпретировать поле как квантовую систему – поле
рассматривается как эрмитов оператор, разложение Фурье которого можно записать в виде:
(x) = d3p/((2)32Ep) [a(p)e
-ipx
+ a+(p)e
ipx
] (15)
где Ep=(p2+m2)
1/2
. Коэффициенты a(p) и a+(p) являются операторами. (p
2
= p
0
2
– p2=m2)
Полевая функция (x) играет в квантовой теории поля роль, аналогичную вектору положения x
в квантовой механике. В НКМ коммутаторы задаются гейзенберговскими соотношениями:
[xi, pk] = iik, [xi, xk] = [pi, pk] = 0. (16)
Импульс pi в лагранжевом формализме определяется канонически как L/xi.
Полевой аналог импульса в непрерывном пределе (x)=L
полев
/, (16*)
где L
полев
– плотность лагранжиана скалярного поля.
Одновременные коммутационные соотношения, по аналогии с HКМ (16), в непрерывном
пределе примут вид:
[(x,t), (x`,t)] =i(2)3
(3)
(x-x`) (17)
[(x,t), (x`, t)] = [(x, t), (x`,t)] = 0. (18)
Используем эти соотношения, чтобы найти коммутационные соотношения для операторов a(p)
и a(p)+, которые входят в выражение (15).
Плотность лагранжиана скалярного поля (подробно будем говорить об этом в последующих
лекциях), которая с помощью принципа наименьшего действия приводит к правильному
уравнению Эйлера – Лагранжа, а именно к уравнению Клейна – Гордона, имеет вид:
L
полев
= [1/2()2 - (m2/2)2] =1/2[(0)2 – ()2 - m22] (19)
Отсюда с учетом (16*): (x)=(x). (19*)
12
Используя ортонормированную (14) систему функций (12), мы можем разложить (x) по системе
этих функций, подставив их в разложение (15):
(x) = d3p/[(2)3(2Ep)
1/2
][p(x)a(p) + p*(x)a+(p)]. (20)
Обращая это разложение с помощью соотношения (14), находим:
a(p) = d3x [2Ep]
1/2
p*(x)i
0
(x), (21)
a+(p`) = d3x[2Ep]
1/2
p(x`)i
0
p`(x`). (22)
С учетом формул (17), (18), (19*), (21) и (22) получим коммутатор:
[a(p), a+(p`)] = (2)32Ep
(3)
(p-p`) (23)
Нетрудно показать, что
[a(p), a(p`)] = [a+(p), a+(p`)] = 0. (23`)
Операторы a+(p) и a(p) называются операторами рождения и уничтожения квантов поля.
Можно образовать, как при вторичном квантовании осциллятора в НКМ, оператор числа частиц
(или, точнее, оператор плотности числа частиц):
N(p)=a+(p)a(p). Вся алгебра оператора числа частиц, операторов рождения и уничтожения
полностью совпадает с алгеброй квантовомеханического осциллятора.
[N, a+] = a+ (24`)
[N, a] = -a (24``)
Обозначим собственные функции оператора числа частиц |n(p)>, тогда:
N(p)|n(p)> = n(p)|n(p)> (25)
a(p)|n(p)> = n(p)
1/2
|n(p)-1> a(p)|0>=0 (26`)
a+(p)|n(p)> = (n(p)+1)
1/2
|n(p)+1>. (26``)
Зная лагранжиан L
полев,
можно по общим правилам определить гамильтониан действительного
скалярного поля H: H = [L/()] - L. Для гамильтониана скалярного поля, с учетом (19),
отсюда получим:
H
полев
= (1/2)[(0)2 + ()2 + m22]d3x (27)
Подставляя в (27) формулы (20-22), получим:
H
полев
= (d3p/2Ep(2)3) [N(p) + 1/2]Ep. (28)
Очень важно отметить, что гамильтониан скалярного поля неотрицателен (N(p)0).
Таким образом, поле Клейна – Гордона эквивалентно бесконечной сумме осцилляторов. Никаких
состояний с отрицательной энергией не возникает.
Состояние |0> - это вакуумное состояние, не содержащее ни одной частицы с ненулевым
импульсом.
13
Лекция №3 по релятивистской квантовой теории
“Нейтрон подчиняется уравнению Дирака и дает нам прекрасный пример истинно
‘общественного’ явления. Он просто не может существовать вне коллектива – как только он
покидает ядерную толкучку, он тут же распадается.” Физики шутят.
Уравнение Дирака
Уравнение Дирака – самое знаменитое и всеобъемлющее уравнение в квантовой теории. Это
уравнение содержит “внутри себя” спин. Оно описывает частицы со спином S=1/2, т. е. все
фундаментальные частицы материи – лептоны и кварки.
Первоначальная задача Дирака состояла в создании уравнения первого порядка по времени и по
координатам (поскольку в релятивизме время и координаты должны входить в соотношения
равноправно) – в “линеаризации” уравнения Клейна – Гордона. В уравнении первого порядка по
времени плотность вероятности перестает зависеть от производных по времени и становится
положительно определенной величиной. Таким образом Дирак предполагал избавиться от
отрицательных плотностей вероятности, возникающих в уравнении Клейна – Гордона.
Наиболее глубокий вывод уравнения Дирака связан с использованием свойств группы Лоренца.
Мы сделали это в курсе “Теория групп и ее приложения к квантовой теории”. Здесь же мы
получим уравнение Дирака традиционным путем без использования групповых методов.
Запишем общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:
(/t+1/x+2/y+3/z+im)(x)=0 или более кратко:
(/t++im)(x)=0 (1)
Здесь (1,2,3) и пока неизвестные числовые величины.
Найдем гамильтониан уравнения Дирака, для этого запишем (1) в форме уравнения Шредингера
i(/t)=H.
i(/t)=[(-i)+m] (1`)
Следовательно, дираковский гамильтониан имеет вид:
HD=(-i)+m (2)
Решения уравнения Дирака должны удовлетворять уравнению Клейна – Гордона, так как
последнее получено из правильного соотношения между энергией и импульсом релятивистской
частицы E2=p2+m2. Из этих соображений найдем числовые величины и . Для этого домножим
(1) на “сопряженный” оператор [/t –(+im)]:
[/t-(+im)][/t+(+im)] = [2/t2 – (+im)2]=0 (3)
(+im)2 = 1/2(ii+im)(kk+im)+1/2(kk+im)(ii+im) =
= 1/2(ik+ki)ik+im(i+i)i-2m2 (4)
Чтобы оператор уравнения (3) с учетом (4) соответствовал оператору в правой части уравнения
Клейна – Гордона [2/t2-2+m2], необходимо положить:
14
2=1 (4`)
ik+ki=2ik (4``), отсюда
i
2
=1
i+i=0 (4```)
Соотношения (4``), (4```) удовлетворяются, только если числовые формы i и являются
матрицами. Поскольку дираковский гамильтониан HD должен быть эрмитов (как и любой
гамильтониан в квантовой теории), то входящие в него матрицы i и тоже должны быть
эрмитовыми:
i
+
=i, +=, а их квадраты равны единице.
Далее соотношение (4```) домножим слева на -1:
-1i=-i. Возьмем след (сумму диагональных элементов матрицы) от обеих частей этого
выражения (след цикличен!):
Sp(-1i)=- Spi или Spi=-Spi. Следовательно, Spi=0.
Домножив (4```) на
i
-1
, получим, что Sp=0. Все четыре матрицы i (i=1,2,3) и бесследовые и
эрмитовы. Любая эрмитова матрица может быть приведена к диагональной форме. Но так как
квадрат каждой матрицы равен единице, то на диагонали приведенной к диагональному виду
матрицы могут стоять только единицы или минус единицы, а в силу бесследовости матриц число
единиц совпадает с числом минус единиц. Следовательно, ранг рассматриваемых матриц
четный.
Попробуем взять матрицы минимального четного ранга N=2. В пространстве комплексных
матриц 2x2 существуют три фундаментальные матрицы Паули и единичная матрица (это система
линейно независимых матриц):
1=01, 2=0-i, 3=10 , I=10 .
10 i 0 0-1 01
ik=ik+i
ikll
(A)
Матрицы Паули подчиняются такому же антикоммутационному соотношению, как (4``):
ik+ki=2ik.
Но единичная матрица коммутирует со всеми матрицами Паули, и соотношение (4```) не
выполняется.
Поэтому попробуем рассматривать матрицы следующего четного ранга N=4. Выбрать
четырехрядные матрицы, удовлетворяющие условиям (4``), (4```) можно несколькими
способами. Мы будем работать в представлении, называемом стандартным:
i =0 i , =I 0, 1=I 0
i 0 0-I 0 I
Нетрудно проверить, что так выбранные матрицы i и удовлетворяют соотношениям (4``) и
(4```). Здесь 1 – единичная четырехрядная матрица, I – единичная двурядная матрица.
15
Уравнение Дирака – дифференциальное и одновременно матричное уравнение, оно содержит
спиновые матрицы 4х4, которые выражаются через матрицы Паули. Решением уравнения
Дирака является четырехкомпонентный спинор или биспинор.
Поэтому частицы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными. Все
фундаментальные частицы материи – спинорные частицы.
Уравнение Дирака в ковариантной форме
Получим уравнение Дирака в ковариантной форме, которой будем пользоваться в дальнейшем.
В ковариантной форме координаты и время должны входить в уравнение совершенно
симметрично. Для этого введем новые четырехрядные матрицы: 0 и =. Образуем 4матричный вектор (0,).
Уравнение Дирака в этих обозначениях примет ковариантный вид (которым в дальнейшем всегда
будем пользоваться):
[i-m](x)=0 (5)
Из (4``) и (4```) следует, что -матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному
соотношению:
+=2g1. (6)
Алгебра матриц Дирака
Мы ввели четыре матрицы Дирака (=0,1,2,3), подчиняющиеся антикоммутационным
соотношениям:
+=2g1
0=I 0; i=0 i;
0
2
=1;
0
+
=0;
i
2
=-1;
i
+
=-i (i=1,2,3); Sp=0.
0 -I -
i
0
Введем еще пятую матрицу 5=-i0123=0 -I;
5
2
=1;
5
+
=5; Sp5=0.
-I 0
Матрица 5 антикоммутирует с матрицами :
5+5=0 (7)
Полезные соотношения:
1) Покажем, что
2
=4. Действительно:
2
=
0
2
-
1
2
-
2
2
-
3
2
=1-(-1)-(-1)-(-1)=4
2) Введем обозначение p=p. Покажем, что p
2=p2
. Действительно:
p
2
=(1/2)(pp+pp)=(1/2)pp2g=p2. (Компоненты 4-вектора p перестановочны с
матрицами.)
3) Покажем, что 0
+
0=. Для =0 0
0
+
0=(
0
2
)0=0. Для =1 (то же для =2,3) 0
1
+
0=-
010=1(
0
2
)=1
4) Покажем, что â=-2â (a - произвольный 4-вектор (не матрица!), его компонентами
являются числа).
â= =a=(-+2g)a=-â
2
+2a=-4â+2â=-2â.
(Перестановка матриц и осуществляется с помощью соотношения (6).)
5) Покажем, что âb=4ab (a, b - произвольные 4-векторы).
16
âb=ab=(-+2g)(-+2g)ab=(
2
-2g-
2g+4gg)ab=(4-2-2+4g)ab=4ab4ab.
Много примеров вычислений с алгеброй матриц Дирака содержится в задачнике:
Ломоносова, Никитин “Сборник задач по электродинамике”, изд. МИФИ.
17
Лекция №4 по релятивистской квантовой теории
Ф. Дайсон: Много лет назад Ричард Фейнман сказал мне: “Электрон делает все, что ему
хочется. Он движется в любом направлении, с любой скоростью, вперед и назад по времени. А
ты складываешь соответствующие амплитуды, и это дает тебе волновую функцию.” Я сказал
ему: “ Ты сумасшедший.” Но он не был сумасшедшим – он был гением.
Сопряженный биспинор
Решением уравнения Дирака
(i-m)(x)=0 (1)
является четырехкомпонентный спинор 1(x)
2(x)
(x)= 3(x)
4(x)
Введем сопряженный биспинор =+0=(1*,2*,-3*, -4*).
Биспинор - это четырехкомпонентный столбик, а - это четырехкомпонентная строка.
Получим уравнение для сопряженного биспинора. Для этого эрмитовски сопряжем (1): (-
i+
+
-m+)=0, умножим справа на 0 и вставим
0
2
=1 между + и
+
. Используя пункт 3)
алгебры матриц Дирака, получим:
i()+m=0 (2)
Ток уравнения Дирака и уравнение непрерывности
Для получения уравнения непрерывности из уравнения Дирака умножим уравнение (1) слева на
, а уравнение (2) - справа на , получатся соотношения:
[i() - m]=0 (1`)
[ i() + m]=0 (2`)
Сложим (1`) и (2`), получим уравнение непрерывности:
() + ()=0 или в компактной форме
j=0 (3)
Здесь j -ток уравнения Дирака:
j= (4),
а соотношение (3) представляет уравнение непрерывности (закон сохранения вероятности –
числа частиц) как следствие динамического уравнения Дирака.
Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока:
j0 =0=+=||20.
18
Таким образом, Дирак получил неотрицательные значения плотности вероятности, преодолев
трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна – Гордона.
Заметим, что структура =inv – является скаляром в 4-пространстве Минковского, и поэтому
инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Итак, мы познакомились с первым (и единственным) динамическим квантовым уравнением,
которое описывает спин. И поскольку матрицы Дирака содержат матрицы Паули, т. е. спиновые
операторы для частиц со спином 1/2, то уравнению Дирака подчиняются частицы со спином ½,
фермионы. Это можно показать более строго: гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует
с оператором момента количества движения L, но коммутирует с суммарным оператором
момента J=L+S, где S –оператор спина ½. Фермионы, подчиняющиеся уравнению Дирака,
называют спинорными частицами, имея в виду, что дираковская полевая функция является
четырехкомпонентным спинором.
Решения уравнения Дирака для свободных частиц
В свободном пространстве сохраняется импульс p=const, для частицы с массой m введем 4-
импульс p(p0, p). Свободные решения уравнения Дирака представляются плоскими волнами:
p(x)=[u(p)/(2E)
1/2
]exp(-i(px)) (5)
Нормировочный множитель 1/(2E)
1/2
получается, как и в уравнении Клейна – Гордона, из
требования, чтобы в объеме V=1 находилась одна частица:
dV|p|= dV
p
+
p=(u+u)/2E=1 (6).
(px)px=p0t-px. Здесь u(p) – спиновая часть полевой функции частицы – четырехкомпонентный
спинор, но уже не зависящий от x. Из (6) следует, что
u+u=2E. (7)
Получим уравнение для спиновой части полевой функции уравнения Дирака u(p). Подставим
решение (5) в уравнение Дирака
[i - m]p(x)=[i(-ip) - m]p=(p - m)u(p)=0. Уравнение
(p - m)u(p)=0 (8)
является матричным алгебраическим уравнением для компонент биспинора u(p).
Введем сопряженный биспинор u(p)=u+(p)0. Получим уравнение для u. Для этого эрмитовски
сопряжем уравнение (8): u+(p
+
- m)=0; вставим между u+ и p
+
0
2
=1 и домножим полученное
уравнение на 0 справа. На основании алгебры матриц Дирака (пункт 3) получим:
u(p)(p-m)=0 (9)
Найдем явный вид биспинора u(p). Будем искать u(p) в виде: u(p)=N w(p) (10)
w`(p)
где w и w` в свою очередь обычные двухкомпонентные спиноры, с которыми мы знакомы в
нерелятивистской квантовой механике и которые подчиняются условиям w+w=w`+w`=1; N –
нормировочный множитель.
19
Запишем уравнение (8) более подробно в двухкомпонентной форме:
(p - m)u(p)=(p00 - p - m)u(p)=I 0p0 - 0 p – 1 0m u(p)=0 или:
0-I - 0 0 1
(p0-m); -p Nw =0
p; -(p0+m) w`
В двухкомпонентной форме получим систему двух линейных однородных алгебраических
уравнений относительно w и w`:
(p0-m)w - pw`=0 (11)
pw –(p0+m)w`=0
Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель
равен нулю.
= (p0-m); -p = 0 Отсюда p
0
2=p2+m2
и p0=E. (Из свойства матриц Паули (А): (p)(p)=p2 ).
p;-(p0+m)
Таким образом, как и уравнение Клейна – Гордона, уравнение Дирака содержит два типа энергий
– положительные и отрицательные. Мы уже знаем, что отрицательные энергии формально
следует приписать античастицам.
Решения уравнения Дирака, так же, как и уравнения Клейна – Гордона, содержат решения для
частиц и для античастиц.
1. Рассмотрим решения для частиц с p0=+E.
p
(+)
=(1/2E)
1/2
u(p)exp{-i(Et-px)}=(1/2E)
1/2
u(p)exp(-i(px)) (12) – положительно-частотное решение,
описывающее частицы. Здесь (px)px.
Подставляем в (11) p0=+E:
(E-m)w - pw`=0 (13)
pw –(E+m)w`=0 (14)
Выразим w` из (14):
w`=(1/(E+m))pw=(1/(E+m))n|p|w=[(E2-m2)
1/2
/(E+m)]nw=[(E-m)/(E+m)]
1/2
nw,
где n – единичный вектор, направленный вдоль импульса частицы n=p/|p|. Тогда:
u(p)=N w ; u(p)+=N*(w+, [(E-m)/(E+m)]
1/2 w++
n).
[(E-m)/(E+m)]
1/2
nw
Учитывая, что + = , найдем:
u+u = |N|2{w+w + [(E-m)/(E+m)]w+(n)(n)w}=|N|2(1+(E-m)/(E+m))=|N|22E/(E+m)=2E; отсюда
N=(E+m)
1/2
.
При вычислении полученной выше формулы использовалось свойство матриц Паули:
ik=ik+i
ikll
, (A)
Отсюда (n)(n)=n2=1.
20
Окончательно для четырехкомпонентного спинора u(p) получим формулу (где пока не
определены компоненты двухкомпонентного спинора w):
u(p) = (E+m)
1/2
w (15)
(E-m)
1/2
(n)w
Нетрудно проверить, что соотношение u(p)u(p)=2m является скаляром, инвариантом
относительно преобразований Лоренца.
Алгебраические уравнения для u(p) и u(p) получены выше:
(p - m)u(p)=0 (8) и u(p)(p - m)=0 (9)
Из вида биспинора (15) ясно, что в нерелятивистском приближении E→m две нижние
компоненты биспинора исчезают, и биспинор в нерелятивистском пределе превращается в
обычный двухкомпонентный спинор, описывающий частицы. Напротив, в
ультрарелятивистском приближении E>>m две верхние и две нижние компоненты становятся
одного порядка.
2. Рассмотрим решения для частиц с p0=-E.
Но, как следовало при рассмотрении операции зарядового сопряжения для уравнения Клейна Гордона, эти решения соответствуют античастицам, при этом надо изменить еще и импульс на
противоположный (формально!) p→-p.
Биспинор u(-p) принято именовать v(p); u(-p)v(p) – спиновая часть полевой функции
античастиц.
Полевая функция античастиц имеет вид:
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2
v(p)exp{i(Et-px)}= (1/2E)
1/2
v(p)exp(i(px)) (16)
– отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.
Вычисления, полностью аналогичные проделанным в пункте 1, с заменой E→-E и p→-p,
приводят к следующему виду биспинора v(p):
v(p) = (E-m)
1/2
(n)w` (17)
(E+m)
1/2
w`
v(p)v(p)=-2m
Алгебраические уравнения для v(p) и v(p) имеют вид:
(p + m)v(p)=0 (18)
v(p)(p + m)=0 (19)
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика