Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
61
Во-первых, фотон безмассовый m=0. Во-вторых, сумма по поляризациям
()
()
=-g.
Заменим в S0(p) сумму по спиральностям суммой по поляризациям фотона и положим m=0.
Пропагатор фотона (его обозначают D(k)) в импульсном представлении имеет вид:
D(k) = g/(k2+i) (12)
Далее, исходя из полученных результатов (7), (8), (10), (11), получим соответствие между
графическими и аналитическими элементами для инвариантной амплитуды (S-матрицы). Это и
есть правила Фейнмана для вычисления инвариантной амплитуды процессов квантовой
электродинамики (КЭД). Порядку n теории возмущений соответствует диаграмма с n
вершинами. Условимся, что время “течет” слева направо. Из формул (7,8,10,11) с очевидностью
следуют правила Фейнмана.
Например, каждой входящей спинорной частице (т.е. частице в начальном состоянии) с 4импульсом p сопоставляется графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной
вперед по времени, причем эта сплошная линия снабжается значением 4-импульса р. Из формул
(7-10) ясно, что аналитически ей соответствует величина в S-матрице [u(p)/2E]. Аналогично,
выходящей частице (частице в конечном состоянии) соответствует фактор [u(p)/2E].
Входящей спинорной античастице (в начальном состоянии) с 4-импульсом p сопоставляется
графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной против направления времени, и
она снабжается индексом 4-импульса (-p); аналитически ей соответствует величина [v(p)/2E],
выходящей спинорной античастице (в конечном состоянии) соответствует величина [v(p)/2E].
Свободному излучаемому фотону сопоставляется волнистая линия c индексом k и
аналитический фактор [*
()
2], поглощаемому фотону – фактор [
()
2].
Вершине взаимодействия с фотоном из формул (7, 8, 10, 11) соответствует фактор:
(-ie)(2)4
(4)
(pi). pi означает закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине.
Вершине взаимодействия с внешним электромагнитным полем соответствует фактор:
(-ie)A(q), где A(q) = d4x A(x)exp(iqx) – Фурье-образ 4-потенциала электромагнитного поля.
Аналитический фактор, соответствующий пропагатору спинорных частиц:
(d4p/(2)4i) .... [-(p+m)(p2-m2+i)]
Аналитический фактор, соответствующий пропагатору фотона:
(d4k/(2)4i) ... [g/(k2+i)]
и так далее.
Очень важна очередность аналитических факторов при записи инвариантной амплитуды,
поскольку все аналитические величины, связанные с фермионами, спинорными частицами,
представляют матрицы, которые не коммутируют друг с другом.
Еще надо отчетливо понимать, что фермионные (антифермионные) линии на диаграммах
Фейнмана никогда не прерываются в силу закона сохранения заряда, поскольку каждый фермион
несет заряд, который нельзя передать фотону, который является истинно нейтральной частицей.
Подробно правила Фейнмана изложены в Приложении к лекции №11.
62
Приложение к лекции №11. Правила Фейнмана для вычисления
элементов S-матрицы в КЭД
1. Внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор: ū(p)/2E. На диаграмме Фейнмана
внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется сплошная линия, выходящая из вершины.
Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь p – 4-импульс фермиона, – спиральность, ū(p) –
дираковски сопряженный биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона (точка на диаграмме
всюду отвечает вершине взаимодействия).
•⎯→⎯ ū(p)/2E
p
2. Внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор u(p)/2E. На диаграмме Фейнмана
внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется входящая в вершину сплошная линия.
Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь u(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние
фермиона.
⎯→⎯• u(p)/2E
p
3. Внешнему антифермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор v(p)/2E. На диаграмме
Фейнмана ему сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4импульс (-p). Здесь v(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние антифермиона.
•⎯⎯ v(p)/2E
-p
4. Внешнему антифермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор v(p)/2E. На диаграмме
Фейнмана ему сопоставляется выходящая из вершины сплошная линия, которой приписывается 4-импульс
(-p).
⎯⎯• v(p)/2E
-p
5. Поглощаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор
()
/2. На диаграмме Фейнмана поглощаемому фотону сопоставляется волнистая линия, входящая в
вершину, с указанием 4-импульса фотона k,
()
- 4-вектор его поляризации; 4-векторный индекс
совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака в вершине поглощения, индекс () отмечает
тип поляризации поглощаемого фотона.
• ()
()
/2
k
6. Излучаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор
()
*/2. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется волнистая линия, выходящая из вершины. 4-
векторный индекс совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака в вершине излучения.
() •~
()
*/2
k
7. Каждой вершине излучения (поглощения) фотона заряженным фермионом (антифермионом)
сопоставляется фактор (-ie) (здесь e – заряд электрона). Кроме того, в каждой вершине 4-импульсы
пересекающихся (входящих и выходящих) линий удовлетворяют закону сохранения 4-импульса, т.е.
p1k=p2, где p1, p2 – 4-импульсы входящей и выходящей из вершины фермионной линии (для
антифермионной линии p1→-p1, p2→-p2), k – 4-импульс поглощаемого или излучаемого в вершине фотона.
Каждой вершине соответствует фактор (2)4
(4)
(p1k-p2).
63
8. Внешнему электромагнитному полю сопоставляется фактор (-ie)A(q), где Фурье-компонента
внешнего поля A(q)=d4xe
i(qx)
A(x), где q=(p2-p1). Если поле A(x) не зависит явно от времени, то вершине
взаимодействия с ним сопоставляется фактор (-ie)2(E1-E2)A(q), где A(q)=d3xe
-iqx
A(x), где q=p2-p1 -
функция отражает закон сохранения энергии фермиона (антифермиона), взаимодействующего со
стационарным внешним полем.
На диаграмме Фейнмана внешнему полю сопоставляется волнистая линия с крестиком на свободном конце
и фактор (-ie)A(q) – для нестационарного внешнего поля; или фактор (-ie)A(q)2(E1-E2) – для
стационарного внешнего поля.
9. Внутреннему (виртуальному) фермиону (антифермиону) сопоставляется пропагатор S0(p)=-(p+m)/(p2m2+i). На диаграмме Фейнмана виртуальному фермиону (антифермиону) сопоставляется сплошная
линия, соединяющая две вершины. Здесь p – 4-импульс, переносимый фермионом. По 4-импульсам всех
внутренних фермионных (антифермионных) линий проводится интегрирование d4p/(2)4i (используя
(4)
-
функции законов сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).
•⎯→⎯⎯• d4p/(2)4i … [-(p+m)/(p2-m2+i)]
p
10. Внутреннему (виртуальному) фотону сопоставляется фотонный пропагатор D=g/(k2+i), где k – 4импульс, переносимый виртуальным фотоном. На диаграмме Фейнмана виртуальному фотону
соответствует волнистая линия между вершинами испускания и поглощения фотона. По 4- импульсам всех
внутренних фотонных линий проводится интегрирование d4k/(2)4i (с учетом
(4)
-функций, отражающих
законы сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).
() •~~~~~~~• () d4k/(2)4i … [g/(k2+i)]
k
11. Непрерывная последовательность фермионных линий на диаграмме Фейнмана снабжается стрелками,
причем каждой внешней фермионной линии и каждому отрезку внутренней фермионной линии между
вершинами взаимодействия приписывается 4-импульс p, а антифермионным – (-p). Антифермионной
непрерывной последовательности линий приписывается стрелками обратное направление по сравнению с
причинной последовательностью событий, то есть антифермионная линия направлена из будущего в
прошлое.
Каждая пара антифермионных внешних концов (если эти концы представляют начало и конец одной
последовательности антифермионных линий) вносят в амплитуду процесса фактор (-1).
⎯⎯/ /⎯⎯
(-p) (-p`)
12. Диаграммы процессов, содержащих тождественные фермионы (антифермионы) в начальных
(конечных) состояниях следует антисимметризовать по любой паре начальных (конечных) тождественных
частиц и сложить все диаграммы со всевозможными неэквивалентными перестановками внешних
входящих (выходящих) концов с такими относительными знаками, которые обеспечивают указанную
антисимметрию. В случае тождественных бозонов (фотонов), находящихся в начальных или конечных
64
состояниях, диаграммы следует симметризовать, сложив все неэквивалентные диаграммы с
переставленными входящими (выходящими) концами.
Примечания
а) В правилах Фейнмана везде фигурирует заряд электрона (заряд позитрона не фигурирует!),
измеряемый в системе единиц Хевисайда. Этот заряд e связан с зарядом e0, измеренным в гауссовской
системе единиц, соотношением e=4e0. e2/4=1/137.
б) В диаграммной технике КЭД в одной вершине сходятся две фермионные (антифермионные) линии и
одна фотонная, что обусловлено структурой лагранжиана взаимодействия КЭД:
L
int
= e(x)(x)A(x).
в) При аналитической записи элементов S-матрицы необходимо с помощью правил Фейнмана
последовательно полностью описывать каждую фермионную (антифермионную) линию, начиная с конца
выходящей стрелки и до ее начала, “двигаясь” вдоль линии в направлении, обратном направлению
стрелки. Это приведет к правильной последовательности чередования матриц, так как все факторы,
относящиеся к фермионным (антифермионным) линиям, являются матрицами.
65
15 и 22 ноября 2021
Лекция №12 по релятивистской квантовой теории
“Что нам действительно нужно – это воображение. Но воображение в надежной
смирительной рубашке.” Ричард Фейнман.
Диаграммы некоторых процессов КЭД в низшем порядке теории возмущений
(В рисунках диаграмм Фейнмана всюду время направлено в горизонтальном направлении
вперед, из прошлого в будущее.)
I Процессы первого порядка теории возмущений.
Рассеяние фермионов и антифермионов внешним электромагнитным полем.
Одна диаграмма Фейнмана (a) соответствует рассеянию фермионов внешним
электромагнитным полем, вторая (b) – рассеянию антифермионов внешним электромагнитным
полем.
Рис.1(a). Рис. 1(b)
II Процессы второго порядка теории возмущений, идущие через фермионный
(антифермионный) обмен – через фермионную (антифермионную) внутреннюю линию
(пропагатор).
1 Комптон-эффект: рассеяние фотона свободным электроном: e- + → e- + (две диаграммы
Фейнмана).
Первая диаграмма называется рассеивательной, вторая – обменной. В первой диаграмме 2(a)
пропагатор переносит квадрат 4-импульса s=(p1+k1)2 – это так называемая s-переменная
Мандельстама. Соответственно диаграмму еще называют s-канальной. Пропагатор второй
диаграммы 2(b) переносит квадрат 4-импульса t=(p1-k2)2 и является t-канальной диаграммой.
Рис.2(a) Рис.2(b)
66
2 Тормозное излучение фотона электроном в кулоновском поле ядра: e- + (Z) → e- + + (Z) (две
диаграммы Фейнмана).
Рис.3.
3 Рождение пары e+e- двумя фотонами: + → e+ + e- (две диаграммы Фейнмана).
Следует симметризовать амплитуду по начальным состояниям фотонов.
Рис.4.
4 Аннигиляция пары e+e- в два фотона: e+ + e- → + (две диаграммы Фейнмана).
Следует симметризовать амплитуду по конечным состояниям фотонов.
Рис.5
5 Рождение пары e+e- фотоном в кулоновском поле ядра: Z: + (Z) → e+ + e- + (Z) (две диаграммы
Фейнмана).
67
Рис.6.
II Процессы второго порядка теории возмущений, идущие через фотонный обмен – через
фотонную внутреннюю линию (пропагатор).
1 Упругое рассеяние электрона на мюоне: e- + - → e- + - (одна диаграмма Фейнмана – t-
канальная диаграмма).
Рис.7.
2 Рождение мюонной пары в электрон-позитронных столкновениях: e- + e+ → - + + (одна
диаграмма Фейнмана – s-канальная диаграмма).
Рис.8.
3 Мёллеровское рассеяние – упругое рассеяние электрона на электроне: e- + e- → e- + e- (две
диаграммы Фейнмана: первая диаграмма t-канальная, вторая диаграмма u-канальная).
Амплитуду следует антисимметризовать по конечным электронным состояниям (взять разность
амплитуд обеих фейнмановских диаграмм).
Рис.9.
4 Упругое рассеяние позитрона на электроне: e+ +e- → e+ + e- (две диаграммы Фейнмана: первая
диаграмма t-канальная, вторая диаграмма – s-канальная). Первая диаграмма называется
рассеивательной, вторая диаграмма называется аннигиляционной.
68
Рис.10.
III Процессы третьего порядка теории возмущений.
1 Рождение электрон-позитронной пары электроном в кулоновском поле ядра:
e- + (Z) → e- + e+ + e- + (Z) (восемь диаграмм Фейнмана).
Рис.11.
2 Тормозное излучение фотона в электрон-мюонном рассеянии: e- + - → e- + - + (четыре
диаграммы Фейнмана).
Рис.12.
IV Процесс четвертого порядка теории возмущений.
Рассеяние фотона на фотоне: + → + .
Диаграмма “квадратик”, изображенная на рисунке, плюс все неэквивалентные перестановки
фотонов в начальном и конечном состояниях.
69
Рис.13.
Все приведенные выше диаграммы соответствуют процессам, которые динамически
определяются одночастичным обменом (любые две вершины соединяются одной внутренней
линией – пропагатором). Такие диаграммы называются древесными (они похожи на
разветвляющиеся веточки дерева) или полюсными, поскольку каждой внутренней линии
диаграммы соответствует функция Грина в импульсном представлении, т. е. пропагатор,
имеющий полюсной характер. Полюса пропагаторов соответствуют квадратам масс
свободных частиц. Из всех аналитических факторов, связанных с графической интерпретацией
(правилами Фейнмана) физических процессов, наиболее резко меняющимися факторами
являются пропагаторы – функции Грина. Именно пропагаторы, соответствующие
одночастичным обменам, главным образом определяют физику процесса. Это очень важно
понимать!
Перекрестная симметрия – кроссинг
Рассмотрим процесс A+B→C+D (например, e-e-→e-e-). Соответствующая этому процессу
диаграмма общего вида изображена на Рис.15 слева. Это s-канальная диаграмма
s=(pA+pB)2=(pC+pD)2, время “течет” слева направо. Чтобы перейти к процессу A+C → D +B
(например, e-e+→e-e+), изображенному на Рис.15 справа (t-канальная диаграмма), надо, очевидно,
заменить B→C, C→B, pC→-p
C, pB
→-pB, время “течет” сверху вниз. Это свойство диаграмм
Фейнмана называется перекрестной симметрией или кроссингом (кросс-симметрией).
Если бы мы оставили неизменным направление времени (горизонтальное направление), то
фактически соответствие между двумя диаграммами означало бы поворот левой диаграммы на
угол /2 против часовой стрелки. Топологически одна и та же фейнмановская диаграмма может
соответствовать нескольким процессам в зависимости от того, как мы направим время – слева
направо, справа налево, сверху вниз или снизу вверх. Это и есть суть кросс-симметрии.
Рис. 14.
Вычисление некоторых процессов КЭД в низшем порядке теории возмущений
70
Рассеяние электрона кулоновским полем ядра – формула Мотта
Для любого процесса прежде всего определяем и рисуем все возможные диаграммы Фейнмана
в том порядке теории возмущений, в котором рассматривается процесс.
Рассеяние электронов внешним кулоновским полем (-Ze)/r происходит уже в первом порядке
теории возмущений и определяется одной диаграммой Фейнмана (Рис.15).
Рис.15.
Теперь по правилам Фейнмана запишем инвариантную амплитуду процесса:
iT = [u2(p2)/2E2][-ie][A(p2-p1)][u1(p1)/2E1].
4-потенциал для кулоновского поля имеет только нулевую компоненту A(x) = (A0(x), 0, 0, 0),
где A0(x) = -Ze/4r. Кулоновское поле – статическое (не зависит от времени).
A0(q) = (1/4) d3x (-Ze/r)exp(-iqr) = (-Ze)/q2 (берем Фурье-образ от Кулона, т.к. поле статическое
– трехмерный); A0(q)=A0(q)2(E2-E1)
Здесь элемент объема в сферических координатах: d3xdV=r2drd(cos)d. Интеграл Фурье от
кулоновского поля вычисляется по правилу: dV(1/r)exp(-iqr) = lim
→0
dV(1/r)exp(-iqr)exp(-r).
(Проделайте вычисления самостоятельно!)
В результате инвариантная амплитуда приобретает вид:
iT = (2E12E2)
-1/2
[iZe2/q2][u2(p2)0u1(p1)]2(E2-E1). (1)
Отступление. Расчетная техника.
От каждой фермионной (антифермионной) линии диаграммы в амплитуде возникает выражение
u
2
2
Ru
1
1
(или u2Rv1, или v2Ru1, или v2Rv1), где R – набор произведений матриц Дирака и 4-
импульсов частиц, участвующих в процессе. Заметим, что все перечисленные выражения
являются числами, а не матицами. Их матричная структура такова: сначала берется произведение
столбца (u или v) на 44-матрицу R, в результате получается столбец, затем этот столбец
умножается на строку (u или v), в результате получается число. Вообще инвариантная
амплитуда всегда является числом, а не матрицей.
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика