Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
21
Из вида биспинора (17) очевидно, что в нерелятивистском приближении E→m две верхние
компоненты биспинора исчезают. Компоненты двухкомпонентного спинора w` пока не
определены.
Итак, уравнение Дирака для свободных частиц имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x) = (1/2E)
1/2
u(p)e
-i(px)
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2
v(p)e
i(px)
,
Это решения, описывающие частицы и античастицы ((px)=px=Et-px). Дираку удалось избежать
отрицательных значений плотности вероятности, но уравнение по-прежнему содержит
положительные и отрицательные значения энергии. Последние, как мы уже поняли, формально
соответствуют античастицам.
22
Лекция №5 по релятивистской квантовой теории
“Если вы собираетесь описать истину, можете оставить элегантность стиля портному.”
Альберт Эйнштейн
Поляризационные состояния свободных дираковских частиц. Спиральность.
Гамильтониан дираковских частиц HD=(-i)+mp+m, в отличие от шредингеровского
гамильтониана, не содержащего операторов спина, не коммутирует с оператором z-компоненты
спина z из-за зависимости HD от спиновых операторов – матриц и . Поэтому в случае
уравнения Дирака нельзя квантовать проекцию спина на произвольное направление. Мы знаем
из общих положений квантовой механики, что две физические величины могут иметь
одновременно определенные значения, если их операторы коммутативны. Следовательно, нам
надо найти такую комбинацию спиновых операторов, которая коммутирует с гамильтонианом
HD.
Введем четырехрядное обобщение оператора : = 0 = -50.
0
Определим оператор спиральности – удвоенную проекцию спина на импульс: p/|p|=n, где n –
единичный вектор вдоль направления импульса. Легко проверить, что этот оператор
коммутирует с дираковским гамильтонианом.
Запишем уравнение на собственные функции и собственные значения для оператора
спиральности n:
nu(p)=u(p) (1) –для спиновой части полевой функции частиц.
-nv(p)=v(p) (2) – для спиновой части полевой функции античастиц (знак минус обусловлен
тем, что для античастиц необходимо сделать замену p→-p или n→-n).
Подставим в (1) найденную в предыдущей лекции формулу для u(p):
n 0 (E+m)
1/2w
= (E+m)
1/2
nw
= (E+m)
1/2w
(3)
0 n(E-m)
1/2
nw (E-m)
1/2
(n)(n)w (E-m)
1/2
nw
(n)(n)=n2=1
Повторно применив к (1) или (2) оператор спиральности ((n)2=1 → 2=1), получим для
собственных значений спиральности: =+1 – это правая или положительная спиральность; и =-
1 – это левая или отрицательная спиральность.
В двухкомпонентной форме из (3) получим соотношение, аналогичное НКМ:
nw = w (4)
Для античастиц из (2):
nw` = -w` (4`)
Если ось z выбрать вдоль вектора импульса, то (4) приобретет вид:
zw=w (5)
Решения уравнения (5) хорошо известны в НКМ:
23
w
=1
=1 w
=-1
=0 это решения для частиц p0>0:
p
(+)
=(1/2E)
1/2u
(p)exp(-ipx) (6).
0 1
Те же преобразования для (2) дают:
w
`=-1
=1 w`
=1
=0 это решения для античастиц p0<0:
p
(-)
=(1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx) (7).
0 1
Нетрудно проверить, что
uu`=2m
`
; vv`=-2m
`
; (uu - vv)=2m1 .
Для покоящихся частиц p→0, E→m биспиноры u и v имеют совсем простой вид:
u
=1
= (2m)
1/2
1 u
=-1
= (2m)
1/2
0 v
=-1
= (2m)
1/2
0 v
=1
= (2m)
1/2
0 (8)
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Итак, фундаментальные решения уравнения Дирака для свободных частиц, образующие
полную систему полевых функций, имеют вид:
p
(+)
(x) = (1/2E)
1/2
u(p)exp(-ipx) – положительно-частотное решение, описывающее
частицы.
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx) – отрицательно-частотное решение, описывающее
античастицы.
Проекционные операторы
Введем оператор P+=
=1
(u(p)u(p)) – этот оператор обладает тем свойством, что (a) его
квадрат равен самому себе с точностью до константы; (б) он равен (p+m); (в) его действие на
состояния античастиц (p0<0) равно нулю, а состояния частиц он оставляет неизменными. Такой
оператор называют проекционным, т. е. проецирующим на состояния с положительной энергией,
а именно, состояния частиц. Получим свойства (а), (б) и (в).
(а) P
+
2
=`uuu`u`=2m`u
`
u`=2muu=2mP
+
Докажем соотношение (б):
(б) P+= u(p)u(p) = p + m (9).
Поскольку оператор P+ не зависит от лоренцевых индексов, он является лоренцевым скаляром,
и, следовательно, его можно вычислить в любой системе отсчета. Самой простой для частицы
является система покоя. Используя простейшие биспиноры (8) для покоящейся частицы
(p=p00=m0) и суммируя по двум значениям спиральности, легко получить результат в правой
стороне равенства (9). Формула (9) постоянно используется при расчете процессов с
неполяризованными фермионами.
(в) Подействуем оператором P+ на состояние античастицы v(p). Так как v(p) подчиняется
уравнению
(p + m)v(p)=0, то P+v(p)=0.
24
Подействуем P+ на состояние частицы u(p). Так как u(p) подчиняется уравнению (p - m)u(p)=0
или pu=mu, то P+u=(p+m)u=2mu.
Аналогично вводится оператор
P-= v(p)v(p) = p - m (10)
Этот оператор обладает теми же свойствами, что и P+, но проецирует на состояния с
отрицательной энергией, т. е. на состояния античастиц. Формула (10) постоянно используется
при расчете процессов с неполяризованными антифермионами.
Левые и правые биспиноры. Описание нейтрино.
Введем левые uL и правые u
R
биспиноры:
uL = (1/2)(1+5)u – левый биспинор, описывающий частицы.
uR = (1/2)(1-5)u – правый биспинор, описывающий частицы.
vL = (1/2)(1-5)v - левый биспинор, описывающий античастицы.
vR = (1/2)(1+5)v - правый биспинор, описывающий античастицы.
Рассмотрим подробнее левый биспинор для частиц:
uL=(1/2)(1+5)u=(1/2) 1 -1 (E+m)
1/2w
= (1/2)(E+m)
1/2w
- (E-m)
1/2
nw
(11)
-1 1 (E-m)
1/2
nw -(E+m)
1/2w
+ (E-m)
1/2
nw
Если обозначить (E+m)
1/2w
-(E-m)
1/2
nw, где - двухкомпонентный спинор, то
uL=
-
Очевидно, что uL определяется не четырехкомпонентным, а двухкомпонентным спинором, и,
следовательно, “как бы имеет вдвое меньше степеней свободы”. То же справедливо и в
отношении правого биспинора.
Наиболее интересно поведение левых и правых биспиноров в ультрарелятивистском
приближении E>>m.
Имея в виду (4), формула (11) для левого биспинора приобретает вид:
uL E
1/2
/2w-w
(12)
-w+w
В ультрарелятивистском приближении “выживает” только левая спиральность =-1. Состояния
с правой спиральностью обращают (12) в нуль. В правом биспиноре в ультрарелятивистском
случае, напротив, “выживает” только правая спиральность.
Таким образом, в ультрарелятивистском случае левый биспинор uL является “чистым
состоянием”, собственным состоянием, отвечающим левой спиральности =-1, а правый
биспинор uR является собственным состоянием, отвечающим правой спиральности =+1.
Рассмотрим биспинор vL для античастиц:
vL = (1/2)(1-5)v = (1/2)1 1(E-m)
1/2
nw` = (1/2)(E-m)
1/2w`
+ (E+m)
1/2
nw` ` (11`)
25
1 1(E+m)
1/2w`
(E-m)
1/2
w` + (E+m)
1/2
nw` `
В ультрарелятивистском приближении имеем:
vL E
1/2
/2w`-w`
w`-w`
“Выживает” только левая спиральность =-1.
Эти биспиноры использовались Вейлем для описания нейтрино, поскольку нейтрино, можно
рассматривать как частицу в ультрарелятивистском приближении, если оно и обладает массой,
то эта масса чрезвычайно мала. Спиноры Вейля двухкомпонентные. Все нейтрино обладают
левой спиральностью, антинейтрино – правой.
Киральность
Введем также понятие киральности. Киральные состояния – это собственные состояния
оператора 5. (
5
2
=1)
5uL =(1/2) 5(1+5)u = uL; 5uR =(1/2)5(1-5)u = -u
R
(13)
Поэтому левые и правые биспиноры являются собственными состояниями оператора
киральности с собственными значениями +1 и -1.
Пространственная инверсия
Определим операцию пространственной инверсии P (замена x на –x).
P(x,t)=(-x,t)`; P-1`=(x,t); PP-1=P-1P=1.
Найдем оператор P.
Запишем уравнение Дирака:
(i0/t - i(-) - m)(x,t)=0 (14)
Запишем уравнение Дирака для функции `(x,t)=(-x,t) с заменой x→-x.
(i0/t - i - m)(-x,t)=0 (15)
Умножим (14) слева на P и вставим перед соотношение P-1P=1, получим:
P(i0/t - i(-) - m)P-1P(x,t)=(iP0P-1/t - iPP-1(-) - m)(-x,t)=0 (14`)
Чтобы (14`) совпадало с (15), необходимо положить P0P-1=0; PP-1=-.
Из алгебры матриц Дирака следует, что
P=0, P-1=0
Из
0
+
=0 имеем P+P=1, т. е. P – унитарное преобразование.
Так как P=0=`, то +P+=+0=`+; умножим последнее выражение на 0 справа:
`=P=0.
Билинейные комбинации, входящие в лагранжианы стандартной модели
26
В лагранжианы различных моделей квантовой теории поля входят следующие билинейные
комбинации: , где принимает значения: 1, 5, , 5, =(1/2)(-).
Однако в современных квантовых теориях, составляющих стандартную модель, наиболее
употребительны комбинации: векторная V= (КЭД) и аксиально-векторная A=5
Взаимодействие (V-A) входит в теорию электрослабых взаимодействий.
Покажем, что при пространственной инверсии P пространственные компоненты V меняют знак,
т. е. V ведет себя при пространственных отражениях как вектор. Действительно:
→``=00, меняет знак для пространственных индексов =1,2,3.
Напротив, комбинация A при пространственных отражениях не меняет знака для
пространственных индексов и поэтому ведет себя как аксиальный вектор.
Операция зарядового сопряжения для дираковских частиц
(Не входит в экзаменационные вопросы.)
Для спинорных частиц действие оператора зарядового сопряжения должно менять в
положительно-частотных решениях не только exp(-ipx) на exp(ipx), но и биспинор u(p) на
биспинор v(p). Поэтому, кроме комплексного сопряжения, как это имело место для скалярных
частиц, операция зарядового сопряжения должна содержать матричные операторы,
действующие на биспиноры.
В уравнение Дирака для свободных частиц введем взаимодействие с электромагнитным полем,
заменив производную i на производную i - eA(x). Уравнение Дирака для частиц с зарядом e
приобретет вид:
(i - eÂ(x) - m)
(e)
(x) = 0 или
(i -eA - m)
(e)
=0 (16)
Для античастиц с зарядом (-e) уравнение Дирака:
(i + eA - m)
(-e)
= 0 (16`)
Найдем связь между полевыми уравнениями для частицы (16) и античастицы (16`). Для этого
комплексно сопряжем уравнение (16):
(-i* - e*A - m)
(e)
* = 0
Домножим слева это уравнение на 2 и переставим местами 2 c *. Матрицы при ֺ2
действительны, а 2*=-2, перестановка 2=-2, кроме =2. В результате получим:
(i + eA - m)(2
(e)
*) = 0 (16``)
Полученное уравнение совпадает с уравнением (16`) для античастиц. Поэтому (2
(e)
*) с
точностью до фазового множителя совпадает с
(-e)
.
(-e)
= 2
(e)
*. (17)
Вспомним, что =+0*T0. Выразим отсюда *: *=(0)T =
0
T
()T=0()T. Подставим
это соотношение в (17):
27
(-e)
= 20(
(e))T
=С(
(e))T
, (17`)
где обозначено С=20.
Чтобы найти коэффициент , в качестве полевых функций частиц и античастиц возьмем решения
для свободных частиц:
(e)
p
(+)
=(1/2E)
1/2u
(p)exp(-ipx);
(-e)
p
(-)
=(1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx).
Подействуем в соответствии с (17) на (
(+))*
матрицей 2 и сравним полученный результат с
(-)
, отсюда получим значение .
2
p
(+)
* = (1/2E)
1/2
exp(ipx)0 2 (E+m)
1/2 w
* =(1/2E)
1/2
exp(ipx)(E-m)
1/2
(2)nw*
-2 0(E-m)
1/2
nw* (E+m)
1/2
(-2)w*
Выберем конкретную спиральность =1 и направим ось z вдоль импульса p: nw
(=1)=w(=1)
=1
0
2w
(=1)
=0 -i1=i0.
i 00 1 Отсюда
2
p=1
(+)
* = (1/2E)
1/2
exp(ipx) (-i)-(E-m)
1/2w(=-1)
(18)
(E+m)
1/2w(=-1)
p(=1)
(-)
= (1/2E)
1/2
exp(ipx) -(E-m)
1/2w`(=1)
(18`)
(E+m)
1/2w`(=1)
Но из формул (6) и (7) следует, что w
(=-1)
= w
`(=1).
Сравнивая (18) и (18`), получим =i.
Таким образом операция зарядового сопряжения C для дираковских частиц имеет вид
C = i20 и дейcтвует на ()T C(
(e))T
=
(-e)
.
Выводы.
В релятивистской квантовой теории необходимо отойти от трактовки уравнений Клейна –
Гордона, Дирака и др. как одночастичных уравнений. Последовательный подход состоит в том,
чтобы рассматривать решения этих уравнений как соответствующие поля.
Отступление. О процессе измерения в релятивистской квантовой теории
Глубокие изменения претерпевает в РКМ процесс измерения координаты. В РКМ она
определяется с точностью, не превышающей некоторого минимального предела. Понятие о
локализации, например, электрона существенно меняется. В математическом формализме
теории это проявляется в существовании античастиц, решений с p0<0. В разложение волнового
пакета, отвечающего электрону, войдут полевые функции как с p0>0, так и с p0<0, являющиеся
полной системой фундаментальных решений. Появление решений с p0<0 отражает неизбежность
образования электрон-позитронных пар в процессе измерения, не контролируемое самим
процессом измерения, и тем самым лишает смысла сам процесс измерения.
Релятивизм сопоставляет частице массы m импульс ~mc. По соотношению неопределенности
px~ħ и x~ħ/mc (ħ/mc=к – комптоновская длина волны, для электрона k~3,810
-11
см). На
масштабах длины, меньших комптоновской длины волны частицы, понятие точечной частицы
приводит к затруднениям.
28
Так как эффективный импульс p~mc, то эффективная энергия при измерении E~mc2, поэтому для
фиксации положения частицы потребуется энергия того же порядка, что ее масса покоя – это
есть порог рождения электрон-позитронных пар.
Релятивизм дает ограничение и на предельную точность измерения импульса. Пусть p –
неопределенность в изменении импульса электрона за время измерения t; v-v`- разность
скоростей электрона до и после измерения. Тогда x~(v-v`)t~ct; px~ħ; отсюда p~ħ/(ct) –
это соотношение определяет наилучшую принципиальную возможность точности измерения
импульса в РКМ при продолжительности измерения t.
Итак, в РКМ координаты частицы не могут быть динамическими переменными. Что касается
импульса, то точное его измерение требует достаточно длительного времени, так что следить за
ходом его изменения в процессе оказывается невозможным. Весь аппарат НКМ становится
неадекватным. Понимаемые в своем прежнем смысле волновые функции (x), как носители
информации, не могут фигурировать в РКМ.
Импульс может быть введен только по отношению к свободным частицам (живущим
бесконечно долго t~t→). Временной ход процессов взаимодействия описать невозможно,
поскольку не существует точно определенных характеристик даже в пределах обычной
квантовомеханической точности НКМ. Описание процессов во времени так же иллюзорно, как,
например, введение классических траекторий в квантовой механике.
Характерная постановка задачи в релятивистской квантовой теории такова: определить
амплитуды вероятности переходов, связывающих начальные и конечные состояния.
29
4 октября 2021
Лекция №6 по релятивистской квантовой теории
“Ученый, по сути, единственный человек, которому есть, что сказать, но именно он –
единственный человек, который не знает, как это донести до простого слушателя.” Сэр Дж.
Барри
Электромагнитное поле. Фотоны
Мы переходим к описанию полей, создаваемых заряженными частицами материи.
Считается, что фундаментальными полями природы являются спинорные поля (лептоны и
кварки) и калибровочные поля (электромагнитное, слабое и глюонное – сильное цветовое поле).
Наиболее изученным является, очевидно, электромагнитное поле, создаваемое частицами,
обладающими электрическим зарядом или магнитным моментом. Электромагнитное поле,
создаваемое зарядами или внутренней электромагнитной структурой частиц (дипольными,
квадрупольными, магнитными моментами и т. д.), необходимо, чтобы ввести взаимодействие
между ними.
Будем пользоваться хэвисайдовской системой единиц. В этой системе постоянная тонкой
структуры
= e2/4 1/137. (1).
Фотон, квант электромагнитного поля, обладает спином S=1 и масса его строго равна нулю.
Фотон, как и любое электромагнитное поле, описывается системой уравнений Максвелла,
которые в хэвисайдовской системе имеют вид:
(а) divH = 0; (б) rotE = -H/t; (2)
(в) divE = ; (г) rotH = j + E/t.
Уравнение (а) свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов. Уравнение (б) выражает закон
Фарадея – изменение магнитного поля ведет к возникновению электрического поля. Уравнение
(в) выражает теорему Гаусса – Остроградского – полный заряд, заключенный внутри замкнутой
поверхности, можно получить интегрированием нормальной составляющей вектора E по этой
поверхности (поток вектора E). Уравнение (г) выражает закон Ампера rotH = j, в который
Максвеллом введен дополнительный член E/t, учитывающий, что изменение электрических
полей приводит к возникновению магнитных полей.
Введем 4-потенциал электромагнитного поля A = (U, A), где U – скалярный потенциал, а A –
векторный потенциал электромагнитного поля. Напряженности магнитного и электрического
поля выражаются через потенциалы:
H = rotA; E = -gradU - A/t. (2`)
Уравнения (а) и (б) будут удовлетворяться автоматически, так как div(rotB) 0, rot(gradB) 0,
где В – произвольный вектор, зависящий от координат.
Введем также тензор электромагнитного поля:
F=A-A (,=0,1,2,3) (3).
30
Здесь F
0i
= -Ei, F
ij
= -
ijkHk
. (i,j,k=1,2,3).
Где
ijk
– абсолютно антисимметричный тензор Леви – Чивиты.
Неоднородные уравнения Максвелла (в) и (г) в ковариантной форме запишутся в виде:
F
= j ,
(4)
где j = (, j).
Как хорошо известно, электродинамика калибровочно инвариантна: замена 4-потенциала
A→A
- (x) (5)
не меняет уравнений Максвелла и всех наблюдаемых величин, т. е. напряженностей полей E и
H, а также тензора электромагнитного поля F (здесь (x) – произвольная скалярная функция
координат и времени). Таким образом, потенциалы определены неоднозначно и на них можно
наложить дополнительное условие. Обычно на потенциалы накладывается ковариантное
условие – условие калибровки Лоренца:
A=0. (6)
Говорят, мы работаем в лоренцевой калибровке.
При таком выборе калибровки (6) уравнение (4) принимает вид:
A
2
A (2/t2 - 2)A = j
(7)
Иногда удобнее пользоваться кулоновской калибровкой: divA=0.
Фотоны являются решениями уравнений Максвелла в вакууме =0, j=0. Обозначим 4-импульс
фотона k = (k0=, k). С учетом условия Лоренца (6) уравнение (4) для полевой функции фотонов,
т. е. 4-потенциала A(x), приобретает вид:
2
A(x)=0 (7`)
Решениями уравнения (7`) являются полевые функции фотона:
A(x) =
()
exp(-ikx)/(2)
1/2
. (8)
Полевая функции фотона (частицы со спином S=1) A представляет 4-вектор. Поэтому частицы
со спином S=1 – фотоны, глюоны, калибровочные бозоны слабого взаимодействия – называют
векторными частицами.
Мы уже говорили о том, что фотон – это истинно нейтральная частица, т. е. он не имеет
внутренней электромагнитной структуры и является собственным состоянием оператора
зарядового сопряжения C. Поэтому действие на его полевую функцию оператора зарядового
сопряжения снова дает полевую функцию фотона. Но оператор зарядового сопряжения всегда
меняет положительно-частотное решение на отрицательно-частотное: оператор C обязательно
содержит операцию комплексного сопряжения. Поэтому полевая функция A*(x) тоже
описывает фотон:
A*(x) =
()
*exp(ikx)/(2)
1/2
(8`)
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика