Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Лекции по релятивистской квантовой теории
.pdf
91
Приложение к лекции №15. Вычисление поляризационного
оператора в однопетлевом приближении (во втором порядке
теории возмущений)
Рис.1 Диаграмма Фейнмана для поляризационного оператора во втором
порядке теории возмущений (виртуальный фотон с 4-импульсом k
распадается на пару, которая снова аннигилирует в тот же фотон с 4импульсом k).
Самое общее выражение для поляризационного оператора, который является
симметричным тензором, зависящим от двух индексов μ и ν (в нашем
распоряжении имеется симметричный метрический тензор g
μν
и
симметричная комбинация, составленная из 4-вектора kμ, – kμkν) можно записать из соображений
релятивистской инвариантности в виде:
(1) Πμν(k) = Π
(1)(k2)k2
gμν + Π
(2)(k2
)kμkν
Тензор Πμν(k) симметричен по индексам μ и ν. Требование калибровочной инвариантности Πμνkν=0 дает:
Πμνkν = (Π
(1)k2
+ Π
(2)k2
)kμ = 0, отсюда, имея в виду произвольность kμ, получим:
Π
(2)
= -Π
(1)
≡ Π0(k2).
С учетом сказанного выше тензор Πμν приобретает вид:
(2) Πμν(k) = Π0(k2)(kμkν – k2gμν)
Теперь выведем дополнительные правила Фейнмана для вычисления фермион-антифермионной петли.
Для этого рассмотрим элемент S-матрицы, соответствующий второму порядку теории возмущений:
S
(2)
fi
= ∫d4x3d4x
4
f(x4)(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))i(x3)
Рис.2 Диаграмма Фейнмана, соответствующая элементу Sматрицы S
(2)
fi
.
Чтобы получить фермион-антифермионную петлю, надо замкнуть
фермионные концы диаграммы, как показано пунктирной линией на
Рисунке 2. Аналитически это означает, что мы получим функцию
Грина (пропагатор) с вкладом антифермионных состояний, причем
при замыкании надо положить совокупность квантовых чисел f,
равными i: f=in:
n{n(x3)}m{n(x4)}k = –S
0mk(x3-x4
)
Здесь индексы m и k – матричные, они нумеруют строки и столбцы биспиноров. Подставим S0(x3-x4) в
элемент S-матрицы:
(3) S
(2)
= ∫d4x3d4x4{(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))}km{-S0(x3-x4)}mk =
= -∫d4x3d4x4Sp{(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x4)}
Таким образом, возникают дополнительные правила Фейнмана для фермион-антифермионной петли:
A. Умножение на (-1) для каждой фермион-антифермионной петли.
B. Взятие следа при вычислении петли.
Используя эти правила, для поляризационного оператора Πμν по правилам Фейнмана получим:
(4) Πμν(k) = - Sp∫(d4p/(2π)4i)(-ieγμ)[-(pˆ+m)/(p2-m2+iε)](-ieγν)
[-(kˆ-pˆ+m)/((p-k)2-m2+iε)]
92
Здесь pˆ=pμγμ, kˆ=kμγμ. Oдна из дельта-функций закона сохранения энергии-импульса в вершине диаграммы
Рисунка 1 использована для вычисления интеграла по р*, а другая должна присутствовать общим
множителем, выражающим закон сохранения энергии-импульса всего процесса в целом, поэтому ее мы
учитывать не будем.
Перемножим все множители в числителе и возьмем от них по общим правилам след, тогда (4) приобретет
вид:
(5) Πμν(k) = (4e2/i)∫(d4p/(2π)4){[-2pμpν+p2gμν+pμkν+pνkμ-(pk-m2)gμν]/
/[(p2-m2+iε)((p-k)2-m2+iε)]
Дальнейшие вычисления в (5) проведем, следуя методу фейнмановской параметризации, который основан
на очевидном тождестве: 1/ab = ∫
0
1
dz/(az+b(1-z))
2
Действительно, ∫
0
1
dz/(az+b(1-z))2 = {(a-b)
-1
(-(a-b)z+b)-1}|
0
1
= 1/ab.
Положим в интеграле (5) a(p-k)2-m2; bp2-m2 и воспользуемся формулой предыдущей строки. (Малую
добавку i пока опустим.) В результате получим:
(6) Πμν(k) = (4e2/i)∫
0
1
dz∫(d4p/(2π)4)[-2pμpν+p2gμν+pμkν+pνkμ-(pk-m2)gμν]/
/[((p-k)2-m2)z+(p2-m2)(1-z)]2
Преобразуем выражение в знаменателе, дополнив его до полного квадрата:
((p-k)2-m2)z+(p2-m2)(1-z) = (p2-2pkz+k2z-m2)+k2z2-k2z2 = (p-kz)2+k2z(1-z) –m2.
Введем новую переменную интегрирования p`=p-kz.
С помощью этой переменной выражение (6) преобразуется к виду:
(7) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫
0
1
dz∫d4p`[-2p`μp`ν+p`2gμν+m2gμν+2kμkνz(1-z)-k2gμνz(1-z)+F]/
/[p`2+k2z(1-z)-m2]2
Здесь буквой F обозначены слагаемые, линейные по p`:
F = -2p`μkνz-2p`νkμz+p`μkν+kμp`ν+p`k(2z-1)gμν
Интегралы, содержащие в числителе слагаемые, линейные по p`, обращаются в ноль, так как являются
интегралами от нечетной функции по всему 4-пространству импульсов:
(8) Iν = ∫d4p`p`ν/(p`2+R)2, где R = k2z(1-z)-m2.
Интеграл от первого слагаемого в числителе (7) можно упростить. Поскольку выражение p`μp`ν
симметрично по индексам μ и ν, то результат интегрирования должен содержать симметричный тензор,
причем единственным симметричным тензором в пространстве Минковского является метрический
тензор gμν. Поэтому Iμν = ∫d4p`p`μp`ν/(p`2+R)2 = I0gμν. Умножая обе стороны этого соотношения на gμν
(gμνgμν=4), получим: ∫d4p`p`2/(p`2+R)2 =4I0, и Iμν = (1/4)∫d4p`[p`2/(p`2+R)2]g
μν
С учетом сказанного выше, (7) приобретает вид:
(9) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫
0
1
dz∫d4p`[(p`2/2)gμν+m2gμν+2kμkνz(1-z)-k2gμνz(1-z)]/(p`2+R)2
Потребуем калибровочной инвариантности Πμν, то есть потребуем, чтобы Πμνkν=0.
(10) Πμνkν = (4e2/(2π)4i)∫
0
1
dz∫d4p`{[p`2/2+m2-k2z(1-z)]gμνkν+2k2z(1-z)kμ}/(p`2+R)2
Запишем последнее слагаемое в числителе (10) в виде 2k2z(1-z)kμ=2k2z(1-z)gμνkν. Тогда (10) примет вид:
(11) Πμνkν = (4e2/(2π)4i)∫
0
1
dz∫d4p`[p`2/2+m2+k2z(1-z)]gμνkν/(p`2+R)2 = 0
Из произвольности kν следует, что
(12) ∫d4p`[p`2/2+m2+k2z(1-z)]gμν/(p`2+R)2 = 0
Благодаря калибровочной инвариантности исчезает квадратично расходящееся слагаемое,
пропорциональное ∫d4p`p`2/(p`2+R)2! Линейная расходимость также не возникает (см. соотношение (8)) –
93
остается только логарифмическая расходимость. В КЭД вообще не существует расходимостей выше
логарифмических. Расчет петлевых диаграмм представляет громоздкую, но хорошо разработанную
процедуру. Наряду с изложенным здесь методом фейнмановской параметризации существуют и другие
способы вычисления расходящихся интегралов, например, метод размерной регуляризации, процедура
вычитания бесконечностей и пр.
С использованием (12) выражение для поляризационного оператора (9) приводится к виду:
(13) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫
0
1
dz∫d4p`[2kμkνz(1-z)–2k2gμνz(1-z)]/(p`2+R)2 =
= {(8e2/(2π)4i)∫
0
1
dzz(1-z)∫[d4p`/(p`2+R)2]}(kμkν-k2gμν)
Сравнивая (13) с общим видом поляризационного оператора (2), очевидно, что выражение (13) содержит
правильную тензорную структуру (kμkν-k2gμν), а оставшийся в (13) интеграл определяет Π0(k2):
(14) Π0(k2) = (8e2/(2π)4i)∫
0
1
dzz(1-z)∫d4p`/(p`2+R)
2
Теперь займемся вычислением логарифмически расходящегося интеграла по p`: ∫d4p`/(p`2+R)2. Здесь
p`2=p`
0
2
-p`
1
2
-p`
2
2
-p`
3
2
; d4p`=dp`0dp`1dp`2dp`3. Повернем контур интегрирования по переменной p`0 на π/2 с
действительной оси против часовой стрелки в комплексной плоскости p`0, как показано на Рисунке 3. При
этом повороте полюса подынтегральной функции (5) не пересекаются контуром интегрирования, поэтому
такой поворот математически корректен. (На Рисунке 3 крестиками отмечены полюса подынтегральной
функции (5)).
Положим p`0=ip`4, тогда d4p`=id4p, p`2=-(p`
1
2
+p`
2
2
+p`
3
2
+p`
4
2
)=-p2. Пространство для 4-вектора p стало
евклидовым. Соотношение (14) для Π0 запишется в виде:
(15) Π0(k2) = (8e2/(2π)4)∫
0
1
dzz(1-z)∫d4p/(p2-R)2
Интеграл I=∫d4p/(p2-R)2 вычисляется в сферических координатах в 4-мерном евклидовом пространстве.
Обозначим 4-объем в таком пространстве V4=C4p4, тогда dV4=4C4p3dp. Чтобы найти C4, воспользуемся
интегралом:
(*) ∫∫∫∫
-∞
∞
dp1dp2dp3dp4exp{-β(p
1
2
+p
2
2
+p
3
2
+p
4
2
)}={∫
-∞
∞
dp1exp(-βp
1
2)}4
=
=(√π/β)4=π2/β2.
С другой стороны, этот же интеграл можно вычислить в сферических координатах в 4-мерном
пространстве:
(**) ∫∫∫∫
-∞
∞
dp1dp2dp3dp4exp{-β(p
1
2
+p
2
2
+p
3
2
+p
4
2
)}=∫dV4exp(-βp2)=
=4C4∫
0
∞p3
dpexp(-βp2)=2C4/β2
Сравнивая (*) и (**), найдем С4=π2/2. Интеграл I равен:
(16) I = ∫
0
∞
(4π2/2)p3dp/(p2-R)2 = 2π2∫
0
∞p2
d(p2/2)/(p2-R)2 =
= π2∫
0
∞(p2
-R+R)d(p2)/(p2-R)2 = π2{∫
0
∞
d(p2)/(p2-R) + R∫
0
∞
d(p2)/(p2-R)2}
Второй интеграл в (16) не содержит расходимостей, а первый – расходится
логарифмически. Заменим в нем верхний бесконечный предел квадратом большого
“обрезающего” импульса L2 и ограничимся при вычислении основным,
логарифмически расходящимся слагаемым:
I π2ln{L2/(-R)} = π2ln{L2/[m2-k2z(1-z)]} = π2{ln(L2/m2) – ln[1-(k2/m2)z(1-z)]}
После чего Π0 в формуле (15) запишется в виде:
(17) Π0(k2) = (e2/2π2)∫
0
1
dzz(1-z){ln(L2/m2) – ln[1-(k2/m2)z(1-z)]}
94
Вводя постоянную тонкой структуры α= e2/4π и проведя интегрирование по переменной z в первом
слагаемом (17), окончательно получим:
(18) Π
0
(k2) = (α/3π)ln(L2/m2) – (2α/π)∫
0
1
dzz(1-z)ln[1-(k2/m2)z(1-z)]
a) В случае низких энергий |k|<<m
ln[1-(k2/m2)z(1-z)]≈(-k2/m2)z(1-z), и (18) принимает вид:
(19) Π0(k2) (α/3π)ln(L2/m2) + (α/15π)(k2/m2)
b) В случае высоких энергий |k|>>m
ln[1-(k2/m2)z(1-z)]=ln|-k2/m2|+lnz(1-z)≈ln|-k2/m2| (в конкретных приложениях –k2>0), и (18) дается
формулой:
(20) Π0(k2) (α/3π)ln(L2/m2) – (α/3π)ln|-k2/m2|
95
Лекция №16 по релятивистской квантовой теории
“Если вы все вычислите правильно и посмотрите на результаты год спустя, то все-таки
обнаружите, что они расходятся – как всегда, логарифмически.” Дж. Коллинз
Процедура перенормировки заряда
В Приложении к лекции №15 мы вычислили поляризационный оператор во втором порядке
теории возмущений, то есть в однопетлевом приближении. Выпишем еще раз основные
результаты, полученные в Приложении.
П(k) = П0(k2)(kk - k2g) (1)
П0(k2) при низких энергиях |k|<<m имеет вид:
П0(k2) (/3)ln(L2/m2) + (/15)(k2/m2) (2)
L – нефизический обрезающий параметр.
П0(k2) при высоких энергиях |k|>>m имеет вид:
П0(k2) (/3)ln(L2/m2) – (/3)ln|-k2/m2|. (3)
Рассмотрим процедуру перенормировки заряда на примере одной из амплитуд ee-рассеяния.
Добавим к амплитуде низшего порядка теории возмущений ~e2 амплитуду ~e4, радиационную
поправку, когда при однофотонном обмене один раз образуется виртуальная электронпозитронная пара (однопетлевое приближение), которая описывается поляризационным
оператором.
Рис.1.
iT =N M (2)4
(4)
(p1+p2-p1`-p2`) Здесь N – константа, содержащая числовые множители и корни
из энергии в знаменателе, не играющая никакой роли в процессе перенормировки.
Матричный элемент процесса с точностью до ~e4 записывается в виде:
M = e2(u1`u1)(g/k2)(u2`u2) + e2(u1`u1) (g
`
/k2)[k`k` - k2g
``]П0
(k2)(g
`
/k2)(u2`u2). (4)
Продольное слагаемое поляризационного оператора, пропорциональное kk, вклада не дает.
Действительно:
k = p1` - p1 = p2` - p2. Если k внести в левый множитель (u1`u1) или в правый множитель
(u2`u2), то, имея в виду алгебраические уравнения, которым подчиняются биспиноры u и u:
(p-m)u=0 и u(p-m)=0, получим: u1`(p
1
`-p
1)u1
= u1`(m-m)u1 = 0.
Продольное слагаемое поляризационного оператора обычно не дает вклада в процессы.
Упростим формулу (4):
M = e2(u2`u2)[1-П0(k2)](1/k2)(u1`u1). (5)
96
Назовем перенормированным зарядом eR заряд, который “видит” мягкий фотон с большой
длиной волны, с →0 – этот фотон “видит” как целое все сложнейшее квантово-полевое
образование с затравочным зарядом в центре. Заряд, который “видит” фотон, есть
постоянная тонкой структуры e
R
2
/4 = R 1/137.
Подставим в формулу (5) значение П0(k2) при низких энергиях:
M = e2(u2`u2)[1 – (/3)ln(L2/m2)](1/k2)(u1`u1). (6)
Изменение пропагатора в формуле (6) за счет учета поляризационного оператора физически
приводит к изменению заряда (его экранировке). Поэтому назовем перенормированным зарядом
в однопетлевом приближении заряд:
e
R
2
e2(1 – П0(0)) = e2(1-(/3)ln(L2/m2)] e2Z3. (7)
Соотношение (7) представляет перенормировку заряда в однопетлевом
приближении. Z3 называется константой перенормировки в однопетлевом
приближении.
Мы получим точную перенормировку заряда, если учтем все возможные образования пар в
фотонном пропагаторе, то есть рассмотрим точную функцию Грина фотона. Точная функция
Грина фотона получена нами из уравнения Дайсона:
D = 1/[(k2+i)(1-П(k)/k2)] (8)
Для низких энергий
D = [1/k2+i][1/(1+(/3)ln(L2/m2))] (9)
Для точной перенормировки заряда надо заменить пропагатор в однопетлевом приближении (6):
D
(1)
= [1 – (/3)ln(L2/m2)](1/k2)
точным пропагатором (9).
Тогда мы получим точную перенормировку заряда.
Точная перенормировка заряда в КЭД
R = e
R
2
/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10)
Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда
В формулу для перенормировки заряда (10) входят два нефизических параметра – это
затравочный заряд (=e2/4), не измеримый на опыте, и параметр обрезания L ультрафиолетовой
расходимости в интеграле по петле. Объединив их в единой формуле, определяющей физически
наблюдаемый заряд R=1/137, мы “избавились” от расходимости, “завуалировали” ее в формуле
(10).
Когда-то Ричард Фейнман назвал эту процедуру устранения расходимости “заметанием мусора
под ковер”. Лучше и не скажешь! Принципиальная проблема существования ультрафиолетовых
расходимостей в квантово-полевых теориях остается, но мы ее “спрятали” в физически
наблюдаемой величине.
97
Лэмбовский сдвиг
Второе слагаемое в поляризационном операторе при низких энергиях дает вклад в амплитуду (5),
пропорциональный:
~(
R
2
/15)(k2/m2)(1/k2) В координатном представлении k2→2, 1/k2→1/r Мы имеем поправку к
кулоновскому потенциалу ~ 2(1/r) = -4
(3)
(r). Эта поправка приводит к расщеплению уровней
2s и 2p в атоме водорода на 27 Мгц – это лэмбовский сдвиг. В лэмбовский сдвиг дает вклад,
кроме того, вершинная диаграмма, которая модифицирует электронный ток. На эксперименте
наблюдается расщепление 2s-2p уровня за счет лэмбовского сдвига ~ 1057 Мгц.
Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда.
Реальный фотон не индуцирует токов e+e- в вакууме. Действительно: П(k) = (kk - k2g)П0(k2).
Для реального фотона k2=0. Кроме того, для реального фотона П всегда умножается на
поляризацию фотона , но k=0. Поэтому поляризация вакуума во внешние фотонные линии
вклада не дает.
Бегущая константа связи КЭД
Обычно мы представляем себе постоянную тонкой структуры просто как некоторое число =
e2/4 =1/137. По мере изменения передаваемого при рассеянии частиц импульса или масштаба
расстояний, на которых происходит зондирование частицы, постоянная тонкой структуры
изменяется.
Когда жесткий фотон с большой энергией внедряется в облако положительно заряженных
частиц, экранирующих отрицательный затравочный заряд (причем генерирует процесс
образования этого облака эффект поляризации вакуума), он должен “видеть” все больший заряд.
Величина заряда, которую “видит” зондирующий фотон, должна зависеть от энергии зонда.
Из уравнения Дайсона физический пропагатор (функция Грина) фотона имеет вид
D = (1/k2+i)[1/(1-П(k)/k2)]
Снова полагая, что изменение фотонного пропагатора за счет эффекта поляризации вакуума
несет ответственность за изменение заряда частицы, запишем e2(k) = e2/[1-П(k)/k2] и подставим
сюда в качестве П поперечную часть поляризационного оператора при высоких энергиях:
(k2) = /[1 + (/3)ln(L2/m2) – (/3)ln|-k2/m2|] (11)
Поделим каждое слагаемое в числителе и знаменателе на (1+(/3)ln (L2/m2)). В результате мы
получим формулу, в которой присутствуют только физические перенормированные величины
зарядов и отсутствует нефизическая константа обрезания L.
Эта совершенно уникальная формула “рассказывает” нам, по какому закону с энергией меняется
константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или
эффективной) константой связи КЭД.
(k2) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|] (12)
Эта формула определяет поведение заряда КЭД с увеличением энергии по мере того, как
зондирующий фотон проникает все ближе к затравочному заряду (r→0). График поведения (k2)
в зависимости от |k2/m2| изображен на Рис. 2.
98
Рис.2.
Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии.
Поведение константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные
взаимодействия, резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение
называется асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и
электрослабого взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на
которых должно произойти Великое объединение, составляют ~1014 -1015 ГэВ, а объединение
всех четырех взаимодействий, с учетом гравитации, должно произойти при энергиях порядка
массы Планка ~1019 ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД
с ростом энергии, а пунктирной линией – константы связи КХД.
Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД.
Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения (12) обращается в нуль, т. е. имеет полюс
при (R/3)ln|-k2/m2| = 1.
Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по
которым (k2) должна обращаться в бесконечность при каком-либо k2, а, следовательно, полюс
Ландау никогда не достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные
импульсы и параметры обрезания в КЭД.
(R/3)ln|k
2
max
/m2| < 1 или
k
max
~ L mexp(3/2R) m10
280
.
Полученное число чрезвычайно велико. Если учесть, что по современным оценкам масса
Вселенной составляет приблизительно M
вселенной
m1080, то полученное значение на 200
порядков превышает массу Вселенной. Если в соотношение для перенормировки заряда
поставить в качестве обрезающего параметра даже массу Вселенной, то величина (/3)ln(L2/m2)
составит всего лишь величину, существенно меньшую единицы ~ 0,285.
Квантовые радиационные поправки приводят к зависимости зарядов, определяющих каждое из
существующих взаимодействий, к их зависимости от энергии, но эта зависимость слабая –
логарифмическая. Согласно современному сценарию на масштабах порядка массы Планка
MP = G
N
-1
10
19
ГэВ
(GN – константа гравитационного взаимодействия Ньютона), на которых становятся
существенными квантовые гравитационные эффекты, имеется колоссальное многообразие
частиц и взаимодействий между ними.
До энергий E << MP доживают лишь самые легкие из частиц и лишь перенормируемые
взаимодействия. На доступных пока для нас энергиях мы видим сложившийся, привычный мир,
99
состоящий из лептонов и кварков с присущими им электрослабыми и сильными
взаимодействиями, и находимся на пути осмысления квантовой гравитации.
Соседние файлы в папке Релятивистская квантовая механика