Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
1
Оглавление
1. Уравнение Клейна Гордона. Плотность тока jμ. Уравнение
непрерывности. ..................................................................................................... 3
2. Операция зарядового сопряжения С. Понятие об античастицах.
Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна-Гордона. .............. 5
3. Решение уравнения Клейна-Гордона для свободных частиц.
Интерпретация решений с отрицательной энергией. Положительно-
частотные и отрицательно-частотные решения. ............................................... 7
4. Уравнение Дирака. Уравнение Дирака в ковариантной форме.
Сопряженный биспинор. Уравнение Дирака для сопряженного биспинора.
Плотность тока jμ. Уравнение непрерывности. ................................................ 9
5. Алгебра матриц Дирака. Антикоммутационное соотношение для
матриц Дирака. ................................................................................................... 13
6. Решение уравнения Дирака для свободных частиц. Биспиноры,
описывающие спиновые состояния дираковских частиц (и античастиц)
uλ(p) и vλ(p). Спиральность. Уравнения для uλ(p), uλ(p), vλ(p) и vλ(p).
Левые и правые биспиноры. Операция четности для дираковских частиц. 15
7. Электромагнитное поле. Фотоны. ........................................................... 22
8. Лагранжианы свободных частиц материи (для дираковских и клейн-
гордоновских заряженных частиц). Глобальная калибровочная
инвариантность. Теорема Нетер. ...................................................................... 25
9. Локальная калибровочная инвариантность. Ковариантная (“длинная”)
производная D. Введение электромагнитного поля в лагранжианы
свободных частиц. Электромагнитное поле как калибровочное поле. ........ 28
10. Лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД). ..... 28
11. Метод функций Грина. Функция Грина в нерелятивистской квантовой
механике (НКМ). Причинность в нерелятивистской квантовой механике.
Выражение функции Грина через билинейную форму по полному набору
решений уравнения Шредингера. ..................................................................... 32
12. Дифференциальное уравнение для функции Грина в НКМ. Функция
Грина свободных частиц. Интегральное уравнение для функции Грина в
НКМ. .................................................................................................................... 34
13. Теория возмущений. Представление функции Грина в виде ряда
теории возмущений по взаимодействию. Графическая интерпретация. ...... 36
14. S-матрица. Инвариантная амплитуда (амплитуда рассеяния). Правило
получения инвариантной амплитуды из функции Грина в n-ном порядке
теории возмущений. ........................................................................................... 38
2
15. Изменения в проблеме причинности в релятивистской квантовой
теории. Функция Грина (пропагатор) свободной дираковской частицы в
импульсном представлении. Учет причинности – фейнмановское
доопределение +iε............................................................................................... 40
16. Интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц в
электромагнитном поле. Решение в виде итераций – ряды теории
возмущений в КЭД. ............................................................................................ 46
17. Первый и второй порядки теории возмущений (упорядочение по
времени акций взаимодействия во втором порядке теории возмущений).
Как получаются правила Фейнмана для аналитической и графической
записи инвариантной амплитуды в КЭД? ........................................................ 50
18. Правила Фейнмана диаграммной техники для инвариантной
амплитуды в квантовой электродинамике. ...................................................... 55
19. Схема расчета рассеяния электронов кулоновским полем ядра.
Формула Мотта. .................................................................................................. 58
20. Фейнмановские диаграммы и амплитуда Комптон эффекта. Проверка
калибровочной инвариантности. ...................................................................... 62
21. Понятие о перенормировке. Основные расходящиеся диаграммы в
КЭД. Подсчет степени расходимости диаграмм КЭД. Необходимое условие
перенормируемости теории КЭД. ..................................................................... 66
22. Точная функция Грина фотона. Уравнение Дайсона. ........................... 70
23. Перенормировка заряда в КЭД (пользоваться конспектом для расчета
поляризационного оператора в однопетлевом приближении при низких
энергиях). ............................................................................................................. 73
24. Бегущая константа связи КЭД (k2) (пользоваться конспектом для
расчета поляризационного оператора в однопетлевом приближении при
высоких энергиях). ............................................................................................. 76
25. Пределы применимости КЭД, следующие из отсутствия полюса
(сингулярности) Ландау в формуле для бегущей константы связи КЭД
(k2). Оценка предельных допустимых импульсов kпред в КЭД и значение
выражения (R/3)ln(L2/m2) при значении LMВселеннойm1080 (здесь m
– масса электрона). ............................................................................................. 78
3
1. Уравнение Клейна Гордона. Плотность тока jμ. Уравнение
непрерывности.
Уравнение Клейна – Гордона.
Уравнение написано сразу вслед за уравнением Шредингера. Получим уравнение Клейна – Гордона
по “аналогии” с уравнением Шредингера в нерелятивистской квантовой механике (НКМ).
НКМ
Получим уравнение Шредингера следующим образом. Соотношение между энергией и импульсом
свободной нерелятивистской частицы E=p2/2m. Заменим E оператором E→i/t, а импульс p
оператором p→-i (в единицах ħ=c=1), и в обе части соотношения для энергии “припишем”
волновую функцию, получим уравнение Шредингера для свободной частицы:
(i/t)=(-2/2m);
плотность вероятности =||2, плотность тока вероятности j=(2mi)-1[*-*].
Поступим так же в области релятивистской квантовой теории (РКМ).
РКМ
Соотношение между энергией и импульсом релятивистской свободной частицы
E2=p2+m2. Припишем с обеих сторон аналогичную теперь уже полевую функцию (x)=(x,t)
(объяснения по поводу смысла полевой функции будут даны ниже), получим:
(2/t2-2+m2)(x)=0 (1)
Это и есть уравнение Клейна – Гордона. Заметьте, что уравнение (1), в отличие от уравнения
Шредингера, второго порядка по времени. Его принято записывать в ковариантной форме:
(
2+m2
)(x)=0 (2)
Уравнение (2) не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с массой
m. Поскольку полевая функция является скалярной функцией, говорят: уравнение Клейна –Гордона
описывает скалярные частицы (например, мезоны со спином S=0).
Ток уравнения Клейна – Гордона. Уравнение непрерывности.
Запишем уравнение (2) и комплексно сопряженное ему уравнение, первое умножим слева на *, а
второе – на и вычтем друг из друга:
*(
2+m2
)=0
(
2+m2
)*=0
Получим: *
2
-
2
*=0 (3)
Введем ток уравнения Клейна – Гордона:
j=i(*-*) (4)
Тогда (3) можно записать в форме уравнения непрерывности: j=0. (5)
Таким образом, уравнение непрерывности, означающее сохранение числа частиц (сохранение
вероятности), является следствием динамического уравнения Клейна – Гордона.
4
Соотношение (5) более подробно можно записать в виде:
/t+divj=0,
где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]
Нетрудно понять, что величина не является положительно определенной величиной, в то время как
в НКМ эта величина всегда положительно определена (=||2). Это обусловлено тем, что уравнение
(2) второго порядка по времени, и величины и /t меняются произвольно. Благодаря этому
обстоятельству уравнение (2) было на долгие годы отброшено физиками. Для выяснения
отрицательных значений рассмотрим операцию зарядового сопряжения С.
5
2. Операция зарядового сопряжения С. Понятие об античастицах.
Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна-Гордона.
Операция зарядового сопряжения С
В релятивистской области существует операция замены частиц на античастицы, называемая
операцией зарядового сопряжения С. Зарядовое сопряжение меняет только заряд частиц на
противоположный (электрический заряд, слабый заряд, сильный цветовой заряд), но не меняет массу
и спин частиц. Так для электрона античастицей является позитрон, для кварка – антикварк и т. д.
Если e – заряд рассматриваемых частиц, то
C
(e)
=
(-e)
Собственные функции и собственные значения оператора C подчиняются обычному уравнению на
собственные функции и собственные значения:
C
(e)
=
(e)
.
При повторном применении операции С античастица снова переходит в частицу, поэтому 2=1, а
=+1 либо =-1. Очевидно, что собственными функциями оператора С являются только нейтральные
частицы с e=0. Истинно нейтральной частицей с отрицательной зарядовой четностью (=-1) является
фотон (не содержит внутренней электромагнитной структуры) и 0-мезон с положительной зарядовой
четностью =1.
Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна – Гордона
Введем в уравнение Клейна – Гордона электромагнитное поле, так как именно оно различает заряд, т.
е. различает частицы и античастицы.
Электромагнитное поле в НКМ вводится по правилу p→p-eA(x), где p=-i – оператор импульса, А –
векторный потенциал электромагнитного поля. В РКМ запишем обобщение нерелятивистской
структуры: i→i-eA(x); здесь A(U, A) – 4-потенциал электромагнитного поля (U – скалярный
потенциал, A – векторный потенциал). Запишем уравнение Клейна – Гордона (
2+m2
)(x)=0 в виде:
[-(i)2+m2](x)=0 и введем в него электромагнитное поле.
Для частиц с зарядом e уравнение примет вид: [-(i-eA)2+m2]
(e)
=0 (1)
Для античастиц с зарядом (-e): [-(i+eA)2+m2]
(-e)
=0 (2)
Уравнение (1) переходит в (2) при операции комплексного сопряжения (K=*). Действительно:
[-(-i-eA)2+m2]
(e)
*=0 (1`)
(e)
* и
(-e)
подчиняются одному и тому же уравнению и, следовательно, с точностью до
нормировочного множителя совпадают друг с другом. Таким образом, операцией зарядового
сопряжения С для уравнения Клейна – Гордона является комплексное сопряжение.
Для нейтральных частиц с e=0
(e=0)
*=
(e=0)
, т.е. для нейтральных частиц полевая функция
оказывается вещественной.
При A→0 уравнения (1) и (2) совпадают, поэтому одно и то же уравнение Клейна – Гордона
(
2+m2
)(x)=0 описывает как частицы, так и античастицы. Важно понимать, что все квантовые
динамические уравнения (в дальнейшем мы рассмотрим уравнение Дирака и уравнение Прока) в
6
релятивистской области по своей природе не являются одночастичными, каковым является
уравнение Шредингера, их решения нельзя трактовать как волновые функции, все уравнения в
релятивистской области описывают соответствующие поля.
7
3. Решение уравнения Клейна-Гордона для свободных частиц.
Интерпретация решений с отрицательной энергией. Положительночастотные и отрицательно-частотные решения.
Решение уравнения Клейна – Гордона для свободных частиц
Для свободных частиц с массой m (при отсутствии сил) сохраняется импульс p=const. Введем 4-
импульс p(p0,p). Обозначим пока нулевую компоненту 4-импульса p0. Решения для свободных
частиц представляются в виде плоских волн:
p(x)=Nexp{-i(px)}=Nexp{-i(p0t-px)}. (1)
Здесь и в дальнейшем (px)=px=p0t-px; N – нормировочный множитель.
Подставим (1) в уравнение Клейна-Гордона (
2+m2
)(x)=0 (*) :
(
2+m2
)p=(-p
0
2+p2+m2
)p=0. Отсюда p
0
2=p2+m2=E2
; p0=E.
Итак, в релятивистской области существуют решения как с положительной, так и с
отрицательной (!) энергией.
Рассмотрим решения с положительной энергией p0=+E:
p
(+)
=Nexp{-iEt+ipx}. (2)
Если энергию и импульс устремить к нерелятивистским значениям, то (2) будет соответствовать
обычной плоской волне для нерелятивистской частицы. Поэтому естественно назвать это решение
решением для частиц. Но уравнение Клейна-Гордона (*) содержит также решения для античастиц,
которые получаются из решений для частиц с помощью операции зарядового сопряжения – для
уравнения Клейна – Гордона это операция комплексного сопряжения. Определим решения для
античастиц:
p
(-)
=Nexp{iEt-ipx}=Nexp{-i(-E)t+i(-p)x} (3)
Из (3) следует, что решения для античастиц (впервые эта интерпретация дана Ричардом
Фейнманом и Штюкельбекером) можно представить как решения для частиц, но (чисто
формально!) с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную
сторону по отношению к движению частиц.
Формально позитрон с массой m, энергией E и импульсом p можно трактовать как электрон с
энергией –E и импульсом –p. В данной интерпретации Фейнмана (формально!) античастица
эквивалентна частице с отрицательной энергией, которая движется “вспять по времени”.
позитрон с E, p эквивалентен электрону c –E, -p
(время течет вверх)
Откуда же берутся отрицательные плотности вероятности? Для этого вычислим p:
p
()
=i[
p
()
*(/t)
p
()
-
p
()
(/t)
p
()
*]=2|N|2E (4)
Итак, очевидно, что отрицательные плотности вероятности соответствуют античастицам.
Решения (2) для частиц называются положительно-частотными решениями, а решения (3) для
античастиц – отрицательно-частотными решениями.
8
Квантовые релятивистские уравнения, в отличие от уравнения Шредингера, имеют вдвое больше
фундаментальных решений для свободных частиц – они соответствуют частицам и античастицам.
В заключение получим нормировочный множитель N. Условимся решения нормировать так, чтобы в
единичном объеме V=1 находилась ровно одна частица.
dV|p|=1 (интеграл берется по единичному объему). Подставляя сюда p из (4) (эта величина не
зависит от объема), найдем для N значение: N=(1/2E)
1/2
.
Итак, окончательно: уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам (5)
p
(-)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам (6)
Положительно-частотные решения, так же, как и отрицательно-частотные решения, образуют
ортонормированную систему:
p
(+)
*
0
p`
(+)
(x)d3x = (2)3
(3)
(p-p`) (7)
Оператор
0
действует следующим образом:
A(t)
0
B(t) = A(t)(B(t)/t) – (A(t)/t)B(t).
В связи с уравнением Клейна – Гордона были обнаружены следующие трудности:
(a) имелись решения с отрицательной энергией;
(b) ток j не был связан с положительно определенной плотностью вероятности , как это было в
случае уравнения Шредингера.
По этим причинам мы вынуждены отказаться от интерпретации уравнения Клейна – Гордона как
одночастичного уравнения. Однако скалярные частицы, частицы со спином 0, существуют (мезоны, K-мезоны, -мезоны, бозон Хиггса и т. д.), так что, несомненно, должна быть возможна
разумная интерпретация этого уравнения.
9
4. Уравнение Дирака. Уравнение Дирака в ковариантной форме.
Сопряженный биспинор. Уравнение Дирака для сопряженного
биспинора. Плотность тока jμ. Уравнение непрерывности.
Уравнение Дирака
Уравнение Дирака содержит “внутри себя” спин и описывает частицы со спином S=1/2, т. е. все
фундаментальные частицы материи – лептоны и кварки.
Первоначальная задача Дирака состояла в создании уравнения первого порядка по времени и по
координатам (поскольку в релятивизме время и координаты должны входить в соотношения
равноправно) – в “линеаризации” уравнения Клейна – Гордона. В уравнении первого порядка по
времени плотность вероятности перестает зависеть от производных по времени и становится
положительно определенной величиной. Таким образом Дирак предполагал избавиться от
отрицательных плотностей вероятности, возникающих в уравнении Клейна – Гордона.
Запишем общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:
(/t+1/x+2/y+3/z+im)(x)=0 или более кратко: (/t++im)(x)=0 (1)
Здесь (1,2,3) и пока неизвестные числовые величины.
Найдем гамильтониан уравнения Дирака, для этого запишем (1) в форме уравнения Шредингера
i(/t)=H.
i(/t)=[(-i)+m] (1`)
Следовательно, дираковский гамильтониан имеет вид: HD=(-i)+m (2)
Решения уравнения Дирака должны удовлетворять уравнению Клейна – Гордона, так как последнее
получено из правильного соотношения между энергией и импульсом релятивистской частицы
E2=p2+m2. Из этих соображений найдем числовые величины и . Для этого домножим (1) на
“сопряженный” оператор [/t –(+im)]:
[/t-(+im)][/t+(+im)] = [2/t2 – (+im)2]=0 (3)
(+im)2 = 1/2(ii+im)(kk+im)+1/2(kk+im)(ii+im) =
= 1/2(ik+ki)ik+im(i+i)i-2m2 (4)
Чтобы оператор уравнения (3) с учетом (4) соответствовал оператору в правой части уравнения
Клейна – Гордона [2/t2-2+m2], необходимо положить:
2=1 (4`)
ik+ki=2ik (4``), отсюда
i
2
=1
i+i=0 (4```)
Соотношения (4``), (4```) удовлетворяются, только если числовые формы i и являются матрицами.
Поскольку дираковский гамильтониан HD должен быть эрмитов (как и любой гамильтониан в
квантовой теории), то входящие в него матрицы i и тоже должны быть эрмитовыми:
10
i
+
=i, +=, а их квадраты равны единице.
Далее соотношение (4```) домножим слева на -1:
-1i=-i. Возьмем след (сумму диагональных элементов матрицы) от обеих частей этого выражения
(след цикличен!):
Sp(-1i)=- Spi или Spi=-Spi. Следовательно, Spi=0.
Домножив (4```) на
i
-1
, получим, что Sp=0. Все четыре матрицы i (i=1,2,3) и бесследовые и
эрмитовы. Любая эрмитова матрица может быть приведена к диагональной форме. Но так как
квадрат каждой матрицы равен единице, то на диагонали приведенной к диагональному виду
матрицы могут стоять только единицы или минус единицы, а в силу бесследовости матриц число
единиц совпадает с числом минус единиц. Следовательно, ранг рассматриваемых матриц четный.
Попробуем взять матрицы минимального четного ранга N=2. В пространстве комплексных матриц
2x2 существуют три фундаментальные матрицы Паули и единичная матрица (это система линейно
независимых матриц):
1=01, 2=0-i, 3=10 , I=10 .
10 i 0 0-1 01
ik=ik+i
ikll
(A)
Матрицы Паули подчиняются такому же антикоммутационному соотношению, как (4``):
ik+ki=2ik.
Но единичная матрица коммутирует со всеми матрицами Паули, и соотношение (4```) не
выполняется.
Поэтому попробуем рассматривать матрицы следующего четного ранга N=4. Выбрать
четырехрядные матрицы, удовлетворяющие условиям (4``), (4```) можно несколькими способами. Мы
будем работать в представлении, называемом стандартным:
i =0 i , =I 0, 1=I 0
i 0 0-I 0 I
Нетрудно проверить, что так выбранные матрицы i и удовлетворяют соотношениям (4``) и (4```).
Здесь 1 – единичная четырехрядная матрица, I – единичная двурядная матрица.
Уравнение Дирака – дифференциальное и одновременно матричное уравнение, оно содержит
спиновые матрицы 4х4, которые выражаются через матрицы Паули. Решением уравнения Дирака
является четырехкомпонентный спинор или биспинор.
Поэтому частицы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными. Все фундаментальные
частицы материи – спинорные частицы.
Уравнение Дирака в ковариантной форме
Получим уравнение Дирака в ковариантной форме, которой будем пользоваться в дальнейшем. В
ковариантной форме координаты и время должны входить в уравнение совершенно симметрично.
Для этого введем новые четырехрядные матрицы: 0 и =. Образуем 4-матричный вектор (0,).
Уравнение Дирака в этих обозначениях примет ковариантный вид (которым в дальнейшем всегда
будем пользоваться):
[i-m](x)=0 (5)
Соседние файлы в папке Экзамен