Билеты по РКМ

41

Рис. 2`. (a) Движение частицы; (б) движение античастицы; (в) аннигиляция пары; (г) рождение пары; (д) замкнутая петля – флуктуация вакуума.

В релятивистской квантовой теории нам надо иметь не только амплитуду рождения, распространения и уничтожения электрона, но и те же характеристики для позитрона. Схемы на рисунках соответствуют распространению вперед по времени частиц и назад по времени – античастиц.

В релятивистской квантовой теории нам надо изменить два правила для функций Грина по сравнению с НКМ.

1 При вычислении матричных элементов перехода для античастиц полевые функции начального и конечного состояний надо поменять местами:

Для частиц: d4x

конFнач

,

Для античастиц: d4x

начFкон

.

2 Очевидно, что причинность в релятивистской квантовой теории тоже изменяется. Если в НКМ возможно было развитие физического процесса только из прошлого в будущее, то в релятивистской области формально античастицы описываются как частицы, движущиеся в противоположном направлении по времени. Поэтому причинная функция Грина должна содержать решения для частиц при t2>t1 и решения для античастиц при t2<t1. Функцию Грина для спинорных частиц принято обозначать S(x2, x1).

S(x2, x1) = n 

n

(+)

(x2)

n

(+)

(x1) при t2>t1,

S(x2, x1) = -n 

n

(-)

(x2)

n

(-)

(x1) при t2<t1.

Знак (-) от вклада античастиц будет получен позже.

Дифференциальное уравнение для функции Грина спинорных (дираковских) частиц*

Запишем уравнение Дирака для свободных частиц: (i - m)(x) = 0

Введем в уравнение Дирака взаимодействие с электромагнитным полем, для чего в соответствии с требованием локальной калибровочной инвариантности заменим  на ковариантную производную

D= + ieA(x), получим: (i -eA - m)(x) = 0 или (i - eÂ(x) – m)(x) =0 Составим по аналогии с НКМ дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

(i2 - eÂ(x2) – m) S(x2, x1) = i

(4)

(x2-x1) (1)

Для функции Грина свободных частиц S0(x2-x1) дифференциальное уравнение будет иметь вид:

42

(i2 - m) S0(x2-x1) = i

(4)

(x2-x1) (2)

Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц*

По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

S(x2, x1) = S0(x2, x1) + d4x3 S0(x2, x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1) (3)

Докажем справедливость интегрального уравнения (3). Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i2 - m) и, с учетом

уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:

(i2 - m)S(x2, x1) = i

(4)

(x2-x1) + d4x3 i

(4)

(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1). Или

(i2 - m)S(x2, x1) = i

(4)

(x2-x1) + eÂ(x2)S(x2, x1), что совпадает с дифференциальным уравнением (1)

для функции Грина. Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории

возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия является постоянная тонкой структуры =e2/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений прекрасно “работает” в КЭД.

Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.

Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном представлении

Запишем уравнение Дирака (i - m)S0(x2-x1) = i

(4)

(x2-x1)

Для перехода к импульсному представлению проведем Фурье-преобразование – представим функцию Грина S0 и дельта-функцию в виде интеграла Фурье.

Произвольную функцию четырех переменных f(x)=f(t,x) можно представить в форме интеграла Фурье:

f(x) = [d4p/(2)4] f(p)exp[-i(px)]. Здесь (px)px=p0t-px. Фурье-образ f(p) – обратное преобразование Фурье: f(p) = d4x f(x)exp[i(px)].

Представим S0 в виде разложения в интеграл Фурье, обозначим x2-x1=x (традиционно из Фурьеобраза S0 выносится мнимая единица -i):

S0(x2-x1)  S0(x) = [d4p/(2)4i] S0(p)exp[-i(px)]; (4) Разложение дельта-функции: 

(4)

(x) = (d4p(2)4)exp[-i(px)] (4`) Подставим (4) и (4`) в уравнение Дирака: (i2 - m)(d4p/(2)4i) S0(p)exp[-i(px)] = i(d4p/(2)4)exp[-i(px)]

Внесем оператор уравнения Дирака под знак интеграла (оператор дифференцирует только экспоненту):

(d4p/(2)4i) (p - m)S0(p)exp[-i(px)]. Отсюда: S0(p) = (-1)/(p-m). Но такая форма записи S0(p) бессмысленна по двум причинам: (a) легко устранимая причина – операции деления на матрицы не существует; (б) в S0(p) содержатся

полюса, которые следует должным образом обходить (смотрите дальнейшие рассуждения).

43

Устраним первую некорректность в записи S0(p), домножив числитель и знаменатель S0(p) на ‘сопряженное’ выражение (p+m) (вспомните, что p



2=p2

): S0(p) = (-1)(p+m)/(p-m)(p+m) = -(p+m)/(p2-m2) (5) В формуле (5) содержатся два полюса: p2 - m2  (p



2

- m2) = (p

0

2

– p2 - m2) = 0  p

0

(пол)

= (p2 + m2)^(1/2) = E, где E – энергия свободной частицы. Полюс p0=+E соответствует частицам, полюс p0=-E – античастицам. При интегрировании по переменной p0 (d4p=dp0d3p) в формуле (4) для S0(x) полюса лежат на действительной оси p0 и их следует правильным образом обходить. Критерием правильности для нас является причинность: при t2>t1 вклад в S0(x2-x1) должны давать частицы, а при t2<t1 – античастицы. Для этого надо доопределить знаменатель формулы (5). Это сделал Ричард Фейнман: он ввел в знаменатель формулы (5) дополнительное бесконечно малое слагаемое “+i”. Это ‘доопределение’ так и называется – ‘фейнмановское доопределение’.

С учетом доопределения Фейнмана S0(p) принимает окончательный вид:

S0(p) = -(p+m)/(p2-m2+i) (6)

Теперь нам следует доказать, что фейнмановское доопределение действительно приводит к правильной концепции причинности.

Прежде всего поймем, что “происходит” с полюсами при фейнмановском доопределении. Рассмотрим знаменатель формулы (6):

p2-m2+i = p

0

2-E2

+i = 0  p

0

(пол)

= (E2-i)

1/2

= E(1-i/E2)

1/2

 E(1-i`/E), где `=/2E – бесконечно малая величина, которую без потери общности можно снова обозначить буквой . Таким образом, S0(p) содержит два полюса:

p

0

(1)

= +E - i

p

0

(2)

= -E + i

Очевидно, что благодаря фейнмановскому доопределению оба полюса переместились с действительной оси p0 в комплексную плоскость p0 (смотрите рисунок 3), причем полюс с p0=+E (полюс, соответствующий частицам) переместился в нижнюю часть комплексной плоскости p0, а полюс p0=-E (полюс, соответствующий античастицам) переместился в верхнюю часть комплексной плоскости p0. Следовательно, убрав полюса с действительной оси p0, мы сделали формулу для S0(p) осмысленной в математическом смысле.

Рис. 3. Далее покажем, что фейнмановское доопределение приводит к правильной концепции причинности.*

1. Рассмотрим случай t2>t1. Подставим выражение (6) для S0(p) в формулу (4):

S0(x)  S0(x2-x1) = (d4p/(2)4i) [-(p+m)/(p2-m2+i)] exp[-i(p(x2-x1))] =

44

= (d3p/(2)3)exp[ip(x2-x1)] 

-



(dp0/2i){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] (7)

Вычислим интеграл по p0 с помощью теории функций комплексного переменного – используя вычет в нижней полуплоскости (“cрабатывает” вычет в точке p0=E-i). Замкнем контур полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости (Рис. 4). Интеграл по замкнутому контуру пропорционален вычету в точке p0=E-i:



-



(dp0/(2i)){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]} exp[-ip0(t2-t1)] + + CR (dp0/2i){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]} exp[-ip0(t2-t1)] = = (-2i)ResF(E-i)|

→0

Здесь F обозначена подынтегральная функция. Знак минус в множителе (-2i) возникает потому, что обход контура происходит по часовой стрелке. Интеграл по полуокружности CR обращается в нуль по лемме Жордана, так как содержит затухающую экспоненту:

exp[-i(Rep0+iImp0)(t2-t1)]~exp[(Imp0)(t2-t1)]→0 на CR (Imp0<0, t2-t1>0).

Рис.4. Напоминаем, что вычет первого порядка в точке b вычисляется по формуле

ResF(b) = lim

z→b

{F(z)(z-b)}. Используя эту формулу, получим:



-



(dp0/(2i)) {-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] = = (-2i)/(2i){-(E0-p+m)/2E}exp[-iE(t2-t1)] = {(p+m)/2E}exp[-iE(t2-t1)] (8) Имея в виду, что (p+m) = u(p)u(p) (-спиральность), подставим (8) в соотношение (7): S0(x2-x1) = d3p/(2)3 {[u(p)/2E]exp[-i(Et2-px2)}{[u(p)/2E]exp[i(Et1-px1)]} = = 

p,



(+)

p(x2

)

(+)

p(x1

). (9)

Таким образом, мы показали, что при t2>t1 свободная функция Грина фермионов, спинорных частиц, S0(x2-x1) содержит сумму по положительно-частотным решениям, которые описывают частицы, что

и требуется причинностью. 2 Рассмотрим случай t2<t1.

Вычисления аналогичны случаю t2>t1 с некоторыми изменениями. Во-первых, замкнем контур интегрирования в комплексной плоскости переменной p0 полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Теперь “срабатывает” полюс p0=-E+i (Рис.5). Интеграл по полуокружности С`R обращается в нуль по лемме Жордана, так как опять содержит затухающую экспоненту (t2-t1<0, Imp0>0). Обход контура интегрирования происходит против часовой стрелки. Получим формулу, аналогичную (8), для интеграла по переменной p0.



-



(dp0/(2i)){-(p00-p+m)/[p0-(E-i)][p0-(-E+i)]}exp[-ip0(t2-t1)] = = {-(-E0-p+m)/(-2E)}exp[iE(t2-t1)] (10)

45

Подставим (10) в формулу (7), где сделаем замену импульса p на -p. S0(x2-x1) = (d3p/(2)3)exp[-ip(x2-x1)]{(-E0+p+m)/2E}exp[iE(t2-t1)] (11)

Величина (-E0+p+m) = -(p-m) = - v(p)v(p) (11`) Подставляя (11`) в формулу (11), окончательно получим:

S0(x2-x1) = -p 

(-)

-p-(x2

)

(-)

-p-(x1

)

Мы показали, что свободная функция Грина S0(x2-x1) спинорных частиц при t2<t1 содержит сумму по отрицательно-частотным решениям, которые описывают античастицы, но со знаком минус.

46

16. Интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц в электромагнитном поле. Решение в виде итераций – ряды теории возмущений в КЭД.

Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц

По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

S(x2, x1) = S0(x2, x1) + d4x3 S0(x2, x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1) (3)

Докажем справедливость интегрального уравнения (3). Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i2 - m) и, с учетом

уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:

(i2 - m)S(x2, x1) = i

(4)

(x2-x1) + d4x3 i

(4)

(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1). Или

(i2 - m)S(x2, x1) = i

(4)

(x2-x1) + eÂ(x2)S(x2, x1), что совпадает с дифференциальным уравнением (1)

для функции Грина. Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории

возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия является постоянная тонкой структуры =e2/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений прекрасно “работает” в КЭД.

Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.

Теория возмущений и диаграммный язык Фейнмана для КЭД

Рассмотрим ряд теории возмущений, который получается из интегрального уравнения для функции Грина дираковских частиц.

Снова запишем интегральное уравнение для функции Грина спинорных, дираковских частиц:

S(x2, x1) = S0(x2-x1) + d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1). 1 Рассмотрим первый порядок теории возмущений (первую итерацию) S

(1)

(x2, x1):

S

(1)

(x2, x1) = d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x1).

Пусть, для определенности, частица c 4-импульсом p1 и спиральностью 1, описываемая в начальном состоянии полевой функцией i(x), переходит в результате взаимодействия в конечное состояние f(x) с 4-импульсом p2 и спиральностью 2. Запишем инвариантную амплитуду процесса, исходя из общего правила получения амплитуды по функции Грина (лекция №9). В первом порядке теории возмущений получим:

iT

fi

(1)

= d4xf(x)(-ieÂ(x))i(x) (1) Здесь i(x) = (u1(p1)/2E1)exp(-i(p1x)); f(x) = (u2(p2)/2E2)exp(i(p2x)). (2) A(x) – 4-потенциал взаимодействия с внешним электромагнитным полем или фотоном. Покажем,

что в первом порядке теории возмущений допустимо взаимодействие только с внешним электромагнитным полем. Подставим (2) в формулу (1):

47

iT

fi

(1)

= [u2(p2)/2E2][-ie][u1(p1)/2E1] d4x A(x)exp[i((p2-p1)x)] (3) Интеграл в (3) представляет Фурье-образ 4-потенциала A(x): A(q)  A(p2-p1) = d4x A(x)exp(i(qx)), (4) q=(p2-p1)– передаваемый 4-импульс при рассеянии, (qx)qx=q0x0-qx. Если в качестве электромагнитного поля в процессе рассеяния участвовал бы фотон, то A(x) = (



()

/2)exp(-i(kx)) (полевая функция фотона) (5)

Поскольку фотон является собственным состоянием оператора зарядовой четности, т. е. является истинно нейтральной частицей, то зарядовое сопряжение, меняющее положительно-частотное решение на отрицательно-частотное снова дает полевую функцию фотона:

A(x)= (*



()

/2)exp(ikx) (тоже полевая функция фотона) (5`) (5) и (5`) можно объединить в единую формулу: A(x) = (

⩮



()

/2)exp(ikx) (5``)

Здесь значок ⩮ означает, что экспоненте со знаком плюс соответствует комплексно-сопряженная поляризация *, а экспоненте со знаком минус –  без комплексного сопряжения.

Тогда интеграл (4) был бы пропорционален фактору: d4x exp[i(p2-p1∓k] = (2)4

(4)

(p2-p1∓k), т.е.

должен выполняться закон сохранения энергии-импульса процесса. Но из кинематики процесса следует, что p2p1k. Это очевидно и из классической теории поля – свободная заряженная частица

не излучает – не может испустить или поглотить фотон.

Таким образом, первый порядок теории возмущений может описывать только рассеяние частиц (или античастиц) внешним электромагнитным полем.

В случае стационарного (не зависящего от времени) электромагнитного поля A(x) можно проинтегрировать соотношение (4) по времени:

A(p2-p1) = d3xA(x)exp(-i(p2-p1)x)

-



dt exp(i(E2-E1)t) = A(p2-p1)(2)(E2-E1). (6)

В стационарном случае имеет место закон сохранения энергии. Окончательно, амплитуда рассеяния частиц внешним электромагнитным полем в первом порядке

теории возмущений имеет вид:

iT

fi

(1)

= [u2(p2)/2E2] [(-ie)A(p2-p1)] [u1(p1)/2E1] (частицы)

(7)

Если рассматривать рассеяние античастиц внешним электромагнитным полем, то начальные и конечные состояния античастиц следует поменять местами по отношению к амплитуде для частиц, как указано в предыдущей лекции, и, кроме того, надо заменить биспиноры u(p) на биспиноры v(p):

iT

fi

(1)

=[v1(p1)/2E1] [(-ie`)A(p1-p2)][v2(p2)/2E2] (античастицы)

(8)

Здесь e`=-e – заряд античастиц. Графическая диаграмма процесса для частиц изображена на Рис.1, для античастиц – на Рис.2.

Условимся, что время “течет” слева направо. Каждой спинорной частице сопоставляется сплошная прямая линия со стрелкой по направлению времени, античастице – то же со стрелкой против направления времени. Взаимодействие с внешним полем будем графически изображать волнистой линией с крестиком на конце (волнистая линия без крестика будет означать взаимодействие с

48

фотоном). В одной точке – точке взаимодействия, называемой вершиной, в КЭД сходятся две сплошные и одна волнистая линия, что соответствует лагранжиану взаимодействия КЭД:

L

int

= e(x)(x)A(x).

Рис.1 Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

Рис.2. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) античастицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

2 Рассмотрим второй порядок теории возмущений (вторую итерацию) для функции Грина S(x2, x1): S(x2, x1) = T{d4x3d4x4 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x4)(-ieÂ(x4))S0(x4-x1)}. По общим правилам запишем инвариантную амплитуду во втором порядке теории возмущений

(рассмотрим, для определенности, процесс для частиц): iT

fi

(2)

= T{d4x3d4x4f(x3) (-ie)A(x3)S0(x3-x4)(-ie)A(x4)i(x4)} (9) T{...} означает хронологическое произведение операторов. Будем рассматривать взаимодействие с фотонами (формула (5``)): A(x3) = (

⩮

2

(2)

/22)exp(ik2x3)

A(x4) = (

⩮

1

(1)

/21)exp(ik1x4).

i и 

f

описываются формулами (2). S0(x3-x4) запишем в виде разложения Фурье: S0(x3-x4) = (d4p/(2)4i) [-(p+m)/(p2-m2+i)] exp[-ip(x3-x4)]

Подставим приведенные выше выражения в формулу (9) и проинтегрируем экспоненциальные множители по переменным x3 и x4 при t3>t4:

d4x3 exp[i(p2-pk2)x3] = (2)4

(4)

(p∓k2-p2),

d4x4 exp[i(p-p1k1)x4] = (2)4

(4)

(p1∓k1-p).

Формула (9) при t3>t4 приобретет вид:

49

iT

fi

(2)

= (d4p/(2)4i)[u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4

(4)

(p∓k2-p2)][

⩮

2



(2)

/22]

[-(p+m)/(p2-m2+i)][(-ie)(2)4

(4)

(p1∓k1-p)]

⩮

1



(1)

/21][u1(p1)/2E1]. (10)

При t3<t4 взаимодействия в точках x3 и x4 меняются местами.

iT

fi

(2)

= (d4p`/(24)i) [u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4

(4)

(p`∓k1-p2)][

⩮

1



(1)

/21]

[-(p`+m)/(p`2-m2+i)][(-ie)(2)4

(4)

(p1∓k2-p`)][

⩮

2



(2)

/22][u1(p1)/2E1] (11)

Для античастиц надо поменять u1(p1)/2E1 на v2(p2)/2E2, и u2(p2)/2E2 на v1(p1)/2E1. Теперь дадим графическую интерпретацию инвариантной амплитуды процессов (10) и (11)

Рис.3. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (10).

Рис.4. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (11). В каждой вершине взаимодействия с фотоном стоит -функция, знаменующая закон сохранения

энергии-импульса в каждой вершине. Верхний знак минус в -функции формул (10-11) соответствует излучаемому фотону и поляризации *, нижний знак – поглощаемому фотону и поляризации .

Свободная функция Грина спинорной частицы (отныне мы будем называть ее пропагатором) переносит частицу без взаимодействия из одной пространственно-временной точки в другую. В графической интерпретации пропагатору соответствует внутренняя линия диаграммы – это виртуальная частица, которая рождается в некоторой точке и уничтожается в другой точке. Ее время жизни ограничено (в КЭД характерное время жизни составляет ~10

-16

-10

-18

сек). Из принципа

неопределенности Гейзенберга следует, что такая частица не может обладать строго заданной энергией или импульсом. Поэтому в формулах (10-11) происходит интегрирование по всей области энергий-импульсов. Но поскольку пропагатор имеет полюсной характер, то наибольший вклад в процесс всегда дают конфигурации частиц вблизи полюсов.

Сопоставляя графическую запись амплитуды с ее аналитической записью (7-8;10-11), мы приходим к

наиважнейшим понятиям - правилам Фейнмана. Правила Фейнмана для элементов S-матрицы сопоставляют каждому графическому элементу диаграммы аналитический элемент.

Полный перечень правил Фейнмана для инвариантной амплитуды (элементов S-матрицы) в КЭД приведен ниже в Приложении к лекции 11.

50

17. Первый и второй порядки теории возмущений (упорядочение по времени акций взаимодействия во втором порядке теории возмущений).

Как получаются правила Фейнмана для аналитической и графической

записи инвариантной амплитуды в КЭД?

Теория возмущений и диаграммный язык Фейнмана для КЭД

Рассмотрим ряд теории возмущений, который получается из интегрального уравнения для функции Грина дираковских частиц.

Снова запишем интегральное уравнение для функции Грина спинорных, дираковских частиц:

S(x2, x1) = S0(x2-x1) + d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1). 1 Рассмотрим первый порядок теории возмущений (первую итерацию) S

(1)

(x2, x1):

S

(1)

(x2, x1) = d4x3 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x1).

Пусть, для определенности, частица c 4-импульсом p1 и спиральностью 1, описываемая в начальном состоянии полевой функцией i(x), переходит в результате взаимодействия в конечное состояние f(x) с 4-импульсом p2 и спиральностью 2. Запишем инвариантную амплитуду процесса, исходя из общего правила получения амплитуды по функции Грина (лекция №9). В первом порядке теории возмущений получим:

iT

fi

(1)

= d4xf(x)(-ieÂ(x))i(x) (1) Здесь i(x) = (u1(p1)/2E1)exp(-i(p1x)); f(x) = (u2(p2)/2E2)exp(i(p2x)). (2) A(x) – 4-потенциал взаимодействия с внешним электромагнитным полем или фотоном. Покажем,

что в первом порядке теории возмущений допустимо взаимодействие только с внешним электромагнитным полем. Подставим (2) в формулу (1):

iT

fi

(1)

= [u2(p2)/2E2][-ie][u1(p1)/2E1] d4x A(x)exp[i((p2-p1)x)] (3) Интеграл в (3) представляет Фурье-образ 4-потенциала A(x): A(q)  A(p2-p1) = d4x A(x)exp(i(qx)), (4) q=(p2-p1)– передаваемый 4-импульс при рассеянии, (qx)qx=q0x0-qx. Если в качестве электромагнитного поля в процессе рассеяния участвовал бы фотон, то A(x) = (



()

/2)exp(-i(kx)) (полевая функция фотона) (5)

Поскольку фотон является собственным состоянием оператора зарядовой четности, т. е. является истинно нейтральной частицей, то зарядовое сопряжение, меняющее положительно-частотное решение на отрицательно-частотное снова дает полевую функцию фотона:

A(x)= (*



()

/2)exp(ikx) (тоже полевая функция фотона) (5`) (5) и (5`) можно объединить в единую формулу: A(x) = (

⩮



()

/2)exp(ikx) (5``)

Здесь значок ⩮ означает, что экспоненте со знаком плюс соответствует комплексно-сопряженная поляризация *, а экспоненте со знаком минус –  без комплексного сопряжения.

Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ