Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
21
P(x,t)=(-x,t)`; P-1`=(x,t); PP-1=P-1P=1.
Найдем оператор P. Запишем уравнение Дирака: (i0/t - i(-) - m)(x,t)=0 (14)
Запишем уравнение Дирака для функции `(x,t)=(-x,t) с заменой x→-x.
(i0/t - i - m)(-x,t)=0 (15)
Умножим (14) слева на P и вставим перед соотношение P-1P=1, получим:
P(i0/t - i(-) - m)P-1P(x,t)=(iP0P-1/t - iPP-1(-) - m)(-x,t)=0 (14`)
Чтобы (14`) совпадало с (15), необходимо положить P0P-1=0; PP-1=-.
Из алгебры матриц Дирака следует, что P=0, P-1=
0
Из
0
+
=0 имеем P+P=1, т. е. P – унитарное преобразование.
Так как P=0=`, то +P+=+0=`+; умножим последнее выражение на 0 справа: `=P=0.
Билинейные комбинации, входящие в лагранжианы стандартной модели*
В лагранжианы различных моделей квантовой теории поля входят следующие билинейные
комбинации: , где принимает значения: 1, 5, , 5, =(1/2)(-).
Однако в современных квантовых теориях, составляющих стандартную модель, наиболее
употребительны комбинации: векторная V= (КЭД) и аксиально-векторная A=5
Взаимодействие (V-A) входит в теорию электрослабых взаимодействий.
Покажем, что при пространственной инверсии P пространственные компоненты V меняют знак, т. е.
V ведет себя при пространственных отражениях как вектор. Действительно:
→``=00, меняет знак для пространственных индексов =1,2,3.
Напротив, комбинация A при пространственных отражениях не меняет знака для пространственных
индексов и поэтому ведет себя как аксиальный вектор.
22
7. Электромагнитное поле. Фотоны.
Фундаментальными полями природы являются спинорные поля (лептоны и кварки) и калибровочные
поля (электромагнитное, слабое и глюонное – сильное цветовое поле). Электромагнитное поле,
создаваемое зарядами или внутренней электромагнитной структурой частиц (дипольными,
квадрупольными, магнитными моментами и т. д.), необходимо, чтобы ввести взаимодействие между
ними.
Будем пользоваться хэвисайдовской системой единиц. В этой системе постоянная тонкой структуры
= e2/4 1/137. (1).
Фотон, квант электромагнитного поля, обладает спином S=1 и масса его строго равна нулю.
Фотон, как и любое электромагнитное поле, описывается системой уравнений Максвелла, которые в
хэвисайдовской системе имеют вид:
(а) divH = 0; (б) rotE = -H/t; (2)
(в) divE = ; (г) rotH = j + E/t.
Уравнение (а) свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов.
Уравнение (б) выражает закон Фарадея – изменение магнитного поля ведет к возникновению
электрического поля.
Уравнение (в) выражает теорему Гаусса – Остроградского – полный заряд, заключенный внутри
замкнутой поверхности, можно получить интегрированием нормальной составляющей вектора E по
этой поверхности (поток вектора E).
Уравнение (г) выражает закон Ампера rotH = j, в который Максвеллом введен дополнительный член
E/t, учитывающий, что изменение электрических полей приводит к возникновению магнитных
полей.
Введем 4-потенциал электромагнитного поля A = (U, A), где U – скалярный потенциал, а A –
векторный потенциал электромагнитного поля. Напряженности магнитного и электрического поля
выражаются через потенциалы:
H = rotA; E = -gradU - A/t. (2`)
Уравнения (а) и (б) будут удовлетворяться автоматически, так как div(rotB) 0, rot(gradB) 0, где
В – произвольный вектор, зависящий от координат.
Введем также тензор электромагнитного поля: F=A-A (,=0,1,2,3) (3).
Здесь F
0i
= -Ei, F
ij
= -
ijkHk
. (i,j,k=1,2,3), где
ijk
– абсолютно антисимметричный тензор Леви – Чивиты.
Неоднородные уравнения Максвелла (в) и (г) в ковариантной форме запишутся в виде:
F
= j ,
(4) где j = (, j).
Как хорошо известно, электродинамика калибровочно инвариантна: замена 4-потенциала
A→A
- (x) (5)
не меняет уравнений Максвелла и всех наблюдаемых величин, т. е. напряженностей полей E и H, а
также тензора электромагнитного поля F (здесь (x) – произвольная скалярная функция координат
и времени). Таким образом, потенциалы определены неоднозначно и на них можно наложить
23
дополнительное условие. Обычно на потенциалы накладывается ковариантное условие – условие
калибровки Лоренца: A=0. (6)
Говорят, мы работаем в лоренцевой калибровке.
При таком выборе калибровки (6) уравнение (4) принимает вид:
A
2
A (2/t2 - 2)A = j
(7)
Иногда удобнее пользоваться кулоновской калибровкой: divA=0.
Фотоны являются решениями уравнений Максвелла в вакууме =0, j=0. Обозначим 4-импульс
фотона k = (k0=, k). С учетом условия Лоренца (6) уравнение (4) для полевой функции фотонов, т.
е. 4-потенциала A(x), приобретает вид:
2
A(x)=0 (7`)
Решениями уравнения (7`) являются полевые функции фотона:
A(x) =
()
exp(-ikx)/(2)
1/2
. (8)
Полевая функции фотона (частицы со спином S=1) A представляет 4-вектор. Поэтому частицы со
спином S=1 – фотоны, глюоны, калибровочные бозоны слабого взаимодействия – называют
векторными частицами.
Фотон – это истинно нейтральная частица, т. е. он не имеет внутренней электромагнитной структуры
и является собственным состоянием оператора зарядового сопряжения C. Поэтому действие на его
полевую функцию оператора зарядового сопряжения снова дает полевую функцию фотона. Но
оператор зарядового сопряжения всегда меняет положительно-частотное решение на отрицательночастотное: оператор C обязательно содержит операцию комплексного сопряжения. Поэтому полевая
функция A*(x) тоже описывает фотон:
A*(x) =
()
*exp(ikx)/(2)
1/2
(8`)
Здесь
()
- единичный 4-вектор поляризации, описывающий поляризационные состояния фотона
( описывает тип поляризации).
Поскольку электромагнитное поле в вакууме поперечно, то для реального (наблюдаемого) фотона с
k
2
=0 существуют два состояния поляризации, ортогональные по отношению к направлению
импульса фотона k. Если ось z направить по импульсу фотона k, то плоскостью поляризации будет
плоскость (xy), в которой можно ввести два взаимно ортогональных орта, вектора поляризации,
направленные по осям х (=1) и y (=2). У реального фотона, таким образом, существуют два типа
поляризации =1,2 – это так называемые физические (наблюдаемые) поляризации.
Для реального фотона k
(=1,2)
= 0.
У виртуального фотона (ненаблюдаемого на опыте k
2
0), который испускается одной частицей и
поглощается другой, т. е. его время жизни ограничено (обычно в электродинамике оно составляет
~10
-16
-10
-19
сек), в 4-пространстве Минковского можно ввести 4 независимых взаимно ортогональных
вектора:
(1)
= (0,1,0,0) – физическая поперечная поляризация по оси x; (9)
(2)
= (0,0,1,0) – физическая поперечная поляризация по оси y;
(0)
= (1,0,0,0) – нефизическая скалярная поляризация;
(3)
= (0,0,0,1) – нефизическая продольная поляризация по оси z.
24
В случае реального фотона состояния с продольной и скалярной поляризацией отсутствуют. Кстати,
их всегда можно исключить, используя калибровочную инвариантность 4-потенциала
электромагнитного поля.
В дальнейшем при выводе правил Фейнмана и расчете сечений физических процессов нам
понадобится формула суммирования по поляризациям фотона:
()
()
=
(1)
(1)
+
(2)
(2)
+
(3)
(3)
-
(0)
(0)
= -g. (10)
Уравнение для массивных калибровочных векторных бозонов – уравнение Прокá*
Массивные поля со спином 1 – это калибровочные бозоны W и Z0, кванты слабого взаимодействия,
описываются уравнением Прокá.
Обозначим векторное поле массивных калибровочных бозонов B. Уравнение Прока (без вывода):
(
2
+ m2)B = 0 (11)
Выполняется условие Лоренца B=0.
25
8. Лагранжианы свободных частиц материи (для дираковских и клейнгордоновских заряженных частиц). Глобальная калибровочная
инвариантность. Теорема Нетер.
Уравнение Эйлера – Лагранжа в квантовой теории поля, полученное тоже из принципа наименьшего
действия, например, для скалярного поля, имеет вид:
d/dx(L
полев
)/()) - L
полев
/ = 0 (или с заменой →*). (2)
Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного скалярного поля
Лагранжиан зависит от независимых переменных – полевых функций и *, а также от их
производных:
L
0(скал)
= * - m2* (4)
Производя в (4) дифференцирование по * и по *, получим уравнение Клейна – Гордона для
частиц, а при дифференцировании по и - для античастиц.
Для частиц:
(
2
+m2) = 0
Для античастиц:
(
2
+ m2)* = 0
Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного спинорного (дираковского)
поля
Лагранжиан спинорных частиц зависит от биспиноров и , а также от их производных.
Поскольку функция Лагранжа не наблюдаема и допускает произвол в выборе, лишь бы этот выбор не
менял динамических уравнений Эйлера – Лагранжа, то можно выбрать полевой лагранжиан
свободных спинорных (со спином 1/2) частиц наиболее простым образом, но так, чтобы он приводил
к правильному динамическому уравнению – уравнению Дирака:
L
0(спинор)
= i - m (5)
Покажем, что уравнение Эйлера – Лагранжа является уравнением Дирака.
L/() = 0, L/() = (i - m) = 0 – мы получили уравнение Дирака.
Глобальная калибровочная инвариантность
Мы знаем, что из инвариантности относительно временных сдвигов следует закон сохранения
энергии, пространственных сдвигов – закон сохранения импульса, поворотов – закон сохранения
углового момента. Это составляет суть теоремы Нетер в классической механике. Мы не будем
исследовать эти свойства инвариантности в квантово-полевом аспекте, поскольку в этом разделе нас
интересуют не они, а преобразования внутренней симметрии, не затрагивающие пространственновременных координат.
Заряженные частицы со спином 0 или ½ описываются комплексными полями. Их лагранжианы (4),
(5) инвариантны относительно калибровочного преобразования – хорошо известной нам
неоднозначности волновой функции в НКМ →ei |ei|=1, связанной с ненаблюдаемостью фазы
волновой функции:
(x) → exp(ie)(x) или (x) → exp(ie)(x); (8)
(x) → exp(-ie)(x) или *(x) → exp(-ie)*(x).
26
Здесь - произвольная действительная константа, переопределим константу , заменив ее на e, где
e – заряд рассматриваемых частиц. Производные , , , * меняются при калибровочном
преобразовании по тому же закону (e=const).
По сути, это преобразование калибрует фазу полевой функции. Данное преобразование называется
калибровочным преобразованием первого рода.
Можно придать калибровочному преобразованию (8) геометрическую форму. Представим, например,
комплексное скалярное поле в форме:
= (1 + i2)/2; * = (1 - i2)/2, (9)
Из соотношения (4) получим:
L
0(скал)
= 11 + 22 – m2(
1
2
+
2
2
). (9`)
Теперь запишем поле в виде вектора:
= i1 + j2, (10)
т.е. в виде вектора в двумерном пространстве с ортонормированными базисными векторами i и j.
Лагранжиан принимает вид:
L
0(cкал)
= ()() – m2. (10`)
Калибровочные преобразования запишутся в виде:
1` + i2` = exp(ie)(1 + i2) (11)
1` - i2` = exp(-ie)(1 - i2)
или в эквивалентном виде
`1 = 1cos(e) - 2sin(e) (11`)
`2 = 1sin(e) + 2cos(e)
(11`) определяет вращение двумерного вектора в плоскости (1,2) на угол (e).
Преобразование (8) U=exp(ie) – унитарное: UU+=1, U представляется в виде одномерной матрицы.
Совокупность элементов образует группу, если в данной совокупности задана операция группового
умножения, которая не выводит элементы за пределы этой совокупности, кроме того, в
совокупности существует единичный элемент e, представляющий тождественное преобразование,
а также обратный элемент U-1, такой, что UU-1=U-1U=e.
Совокупность преобразований U образует группу. Действительно, произведение элементов
U1=exp(ie1) и U2=exp(ie2) снова представляет элемент совокупности U=U1U2=exp(ie(1+2)).
Единичный элемент e соответствует =0 (U=1). Обратным элементом по отношению к U=exp(ie)
является U-1=exp(-ie). Эта группа называется группой U(1). “U” означает, что группа унитарная, а
значок “(1)” – то , что элементы группы являются числами, т.е. матрицами 11. Поскольку число не
зависит от координат и времени, то такую симметрию называют глобальной. Это означает, что если
мы повернули в какой-нибудь пространственно-временной области полевые векторы состояния, то
они одновременно повернутся на тот же угол во всей Вселенной. Поскольку при умножении
элементы группы перестановочны, коммутативны, такие группы называются абелевыми.
Таким образом, группа внутренней глобальной калибровочной симметрии лагранжианов
заряженных скалярных и спинорных частиц (4) и (5) – это абелева унитарная группа U(1).
Теорема Нетер
27
Теорема Нетер утверждает, что если интеграл действия не меняется при каком-либо преобразовании
симметрии, то это приводит к существованию сохраняющихся (или сохраняющейся) величин.
Теорема Нетер играет чрезвычайно важную роль в теории поля и в физике частиц. Из нее вытекают
не только законы сохранения энергии, импульса, момента, но и законы сохранения других
“квантовых” чисел: электрического заряда, изотопического спина, цветового заряда кварков и т. п.
(Правда, в квантовой теории поля существуют сохраняющиеся величины другого типа, которые
являются топологическими по своей природе, такие, как монополь Дирака или инстантоны, их
сохранение не связано с теоремой Нетер.)
Рассмотрим инфинитезимальное калибровочное преобразование (8) (<<1) для дираковского поля:
exp(ie)→(1+ie), отсюда =ie, =-ie, ()=ie, ()=-ie(). (8`)
Запишем вариацию лагранжиана и во второй строке заменим L/ из уравнения Эйлера – Лагранжа
на d/dx[L/()] и то же для :
L = (L/) + (L/())() + ()(L/) + ()(L/(()) =
=d/dx[L/()]+[L/()][d/dx()]+()d/dx[L/()]+[d/dx()][L/()]=
=ied/dx{[L/()] – [L/()]} = 0. (12)
Запишем сохраняющуюся величину – электромагнитный ток:
J = -ie{[L/()] -[L/()]}. (13)
Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы ток J соответствовал плотности тока
электронов, полученной из уравнения Дирака, J=e. Действительно, из лагранжиана спинорных
частиц (5) следует, что ток, определяемый соотношением (13),
J = e. (14)
Здесь и всюду в дальнейшем изложении заряд электрона будет обозначаться e, он включает в себя
отрицательный знак.
Для комплексного скалярного поля получим из (13) с заменой на и на * электромагнитный
ток скалярных частиц:
J = ie(* - *). (15)
Итак, глобальная калибровочная инвариантность приводит к сохраняющемуся 4-мерному току, а,
следовательно, к сохранению заряда.
Теорема Нетер определяет фундаментальное условие: сохранение заряда означает, что он не просто
исчезает, скажем, на Земле и появляется на Луне. Теорема Нетер говорит о значительно большем:
такое изменение невозможно без существования тока, благодаря которому и возможно
возникновение заряда в другой точке.
С физической точки зрения возникновение некой симметрии связано с неизмеримостью
какой-либо величины, и потому, с определенным произволом в ее выборе. Например,
инвариантность относительно сдвигов в пространстве означает, что мы не можем определить
абсолютное положение в пространстве. Глобальная калибровочная инвариантность означает,
что фаза полевых (и волновых) функций неизмерима и не существует ее абсолютного
значения – она может быть выбрана произвольно. Фиксировав фазу , мы задаем ее во всем
пространстве-времени – это и есть глобальная калибровочная инвариантность.
28
9. Локальная калибровочная инвариантность. Ковариантная (“длинная”)
производная D. Введение электромагнитного поля в лагранжианы
свободных частиц. Электромагнитное поле как калибровочное поле.
10. Лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД).
Локальная калибровочная инвариантность и лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)
Мы рассматривали существование сохраняющейся величины, заряда, как следствие глобальной
калибровочной инвариантности ((x) → exp(ie)(x) или (x) → exp(ie)(x)). Но поскольку -
постоянная величина, это калибровочное преобразование должно быть одним и тем же во всех точках
пространства-времени. Когда мы совершаем вращение поля во внутреннем пространстве, в какойлибо одной точке на угол e, мы должны одновременно совершить то же самое вращение во всех
других точках. Это не противоречит нерелятивистскому рассмотрению квантовой теории, поскольку
скорость распространения физической информации в НКМ бесконечна. Однако если рассматривать
такой сценарий всерьез в релятивистской области, то очевидно, что он противоречит духу и букве
теории относительности, поскольку должно существовать минимальное временное запаздывание,
равное времени прохождения светового сигнала. Чтобы обойти эту трудность, будем считать
произвольной функцией пространственно-временных координат → (x) (x). Впервые эта идея
была высказана Янгом и Миллсом в их знаменитой работе, опубликованной в 1954 году в журнале
Phys. Rev., 96, 191 (1954). Кстати, тогда мало кто из физиков обратил на эту работу серьезное
внимание, но именно идея Янга и Миллса лежит в основе всех квантово-полевых теорий, ныне
составляющих Стандартную модель.
Снова запишем лагранжианы свободных заряженных спинорных и скалярных частиц:
L
0(спинор)
= i - m (*)
L
0(скал)
= * - m2* (**)
Преобразование:
→ exp(ie(x)), → exp(-ie(x)) (1)
называется локальным калибровочным преобразованием.
Но лагранжианы заряженных частиц теперь перестают быть инвариантными относительно
преобразования (1), так как при дифференцировании по x содержат производную (x):
(x) → [exp(ie(x))(x)] = exp(ie(x))( + ie)(x),
т. е. величина преобразуется нековариантно – не так, как само поле . Следовательно, и интеграл
действия перестает быть инвариантным. Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними интеграл
действия инвариантными относительно локального калибровочного преобразования, надо их
“поправить” – для этого введем 4-вектор A(x) (поскольку добавка представляет 4-вектор),
который при локальном калибровочном преобразовании полей (1) одновременно преобразуется
по закону:
A(x) → A(x) - (x) (2)
Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”) производную D:
D = ( + ieA(x)) (3)
29
и заменим всюду в лагранжианах → D (обратите внимание, что или преобразуются в
формы: D или D, а или * преобразуются как D* или D**). Покажем, что D
меняется при локальном калибровочном преобразовании так же, как само поле (формула (1)):
D = ( + ieA(x))(x) → ( + ieA(x) -ie(x))exp(ie(x))(x) = exp(ie(x))(+ie-ie
+ieA) = exp(ie(x))( + ieA(x))(x) exp(ie(x))D.
Таким образом, чтобы скомпенсировать добавку , приводящую к неинвариантности
лагранжианов, мы вынуждены ввести векторное поле A(x), называемое калибровочным, которое
при локальном калибровочном преобразовании ведет себя по закону (2). Нетрудно видеть, что (2)
представляет калибровочную инвариантность электромагнитного поля, так что A(x) – это 4потенциал электромагнитного поля.
Запишем лагранжианы заряженных спинорных и скалярных частиц материи, “поправив” их так,
чтобы они стали инвариантными относительно локального калибровочного преобразования (1), т. е.
заменив в них производную → D.
Для дираковского, спинорного поля лагранжиан приобретает вид:
L
спин
= iD - m = i - m + (-e)A (4)
Последнее слагаемое в лагранжиане (4) описывает взаимодействие дираковских заряженных частиц с
электромагнитным полем (переименуем заряд -e → e – заряд электрона):
L
int
= e(x)(x)A(x) ej(x)A(x) (5)
Мы получили лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД).
Лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем можно изобразить
графически. Если обозначить полевую функцию дираковских частиц сплошной линией, а
электромагнитное поле (или поле фотонов) – волнистой линией, то (5) означает, что в одной
пространственно-временной точке x сходятся две сплошные и одна волнистая линия (L
int
в
просторечии называют “треххвосткой”).
Рис.1 Графическое изображение лагранжиана взаимодействия L
int
квантовой электродинамики (КЭД)
30
Лагранжиан электромагнитного поля L
э.-м.
=-(1/4)FF тоже инвариантен относительно локального
калибровочного преобразования (2), поскольку относительно этого преобразования инвариантен
тензор электромагнитного поля F.
Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых: лагранжиана
свободных заряженных спинорных частиц L
0спин
+ лагранжиан электромагнитного поля L
э-м
+
лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем L
int
:
L = [i(x)(x) - m(x)(x)] + [-1/4FF] + [e(x)(x)A(x)] (6)
Для скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона, лагранжиан с
учетом взаимодействия имеет вид:
L = D**D - m2*,
где лагранжиан взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем
L
int
= ei[(*(x))(x) - *(x)((x))]A(x)+ e2*(x)(x)A(x)A(x) (7)
Рис.2. Графическое изображение лагранжиана взаимодействия скалярных частиц с
электромагнитным полем.
Итак, требование инвариантности лагранжианов относительно локальной калибровочной
инвариантности привело нас к введению взаимодействия частиц материи с
электромагнитным полем.
Выводы:
1 Накладывая на лагранжианы свободных заряженных полей материи требование локальной
калибровочной инвариантности, мы приходим к теории взаимодействующих полей КЭД.
2 Заряд e представляет с одной стороны константу связи электромагнитного взаимодействия, а с
другой стороны – сохраняющуюся величину при локальном калибровочном преобразовании.
3 Мы приходим к новой интерпретации электромагнитного поля: это калибровочное,
компенсирующее поле, которое необходимо ввести, чтобы гарантировать инвариантность
относительно локальных калибровочных преобразований. Можно даже сказать: электромагнитное
поле есть порождение локальной унитарной группы U(1).
4 Добавление массового слагаемого m2AA к лагранжиану электромагнитного поля запрещено
требованием локальной калибровочной инвариантности. Это слагаемое не инвариантно
относительно преобразования (2). Поэтому фотон, квант электромагнитного поля, должен быть
безмассовым!
Соседние файлы в папке Экзамен