Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
11
Из (4``) и (4```) следует, что -матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:
+=2g1. (6)
Сопряженный биспинор
Решением уравнения Дирака
(i-m)(x)=0 (1)
является четырехкомпонентный спинор 1(x)
2(x)
(x)= 3(x)
4(x)
Введем сопряженный биспинор =+0=(1*,2*,-3*, -4*).
Биспинор - это четырехкомпонентный столбик, а - это четырехкомпонентная строка. Получим
уравнение для сопряженного биспинора. Для этого эрмитовски сопряжем (1): (-i+
+
-m+)=0,
умножим справа на 0 и вставим
0
2
=1 между + и
+
. Используя 0
+
0=:
i()+m=0 (2)
Ток уравнения Дирака и уравнение непрерывности
Для получения уравнения непрерывности из уравнения Дирака умножим уравнение (1) слева на , а
уравнение (2) - справа на , получатся соотношения:
[i() - m]=0 (1`)
[ i() + m]=0 (2`)
Сложим (1`) и (2`), получим уравнение непрерывности:
() + ()=0 или в компактной форме
j
=0 (3)
Здесь j
-ток уравнения Дирака: j
= (4),
а соотношение (3) представляет уравнение непрерывности (закон сохранения вероятности – числа
частиц) как следствие динамического уравнения Дирака.
Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока: j0 =0=+=||20.
Таким образом, Дирак получил неотрицательные значения плотности вероятности, преодолев
трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна – Гордона.
Заметим, что структура =inv – является скаляром в 4-пространстве Минковского, и поэтому
инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Итак, мы познакомились с первым (и единственным) динамическим квантовым уравнением, которое
описывает спин. И поскольку матрицы Дирака содержат матрицы Паули, т. е. спиновые операторы
для частиц со спином 1/2, то уравнению Дирака подчиняются частицы со спином ½, фермионы. Это
можно показать более строго: гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует с оператором
момента количества движения L, но коммутирует с суммарным оператором момента J=L+S, где S –
оператор спина ½. Фермионы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными
12
частицами, имея в виду, что дираковская полевая функция является четырехкомпонентным
спинором.
13
5. Алгебра матриц Дирака. Антикоммутационное соотношение для матриц
Дирака.
Алгебра матриц Дирака
Мы ввели четыре матрицы Дирака (=0,1,2,3), подчиняющиеся антикоммутационным
соотношениям:
+=2g1
0=I 0; i=0 i;
0
2
=1;
0
+
=0;
i
2
=-1;
i
+
=-i (i=1,2,3); Sp=0.
0 -I -
i
0
Введем еще пятую матрицу 5=-i0123=0 -I;
5
2
=1;
5
+
=5; Sp5=0.
-I 0
Матрица 5 антикоммутирует с матрицами :
5+5=0 (7)
Полезные соотношения:
1) Покажем, что
2
=4. Действительно:
2
=
0
2
-
1
2
-
2
2
-
3
2
=1-(-1)-(-1)-(-1)=4
2) Введем обозначение p=p. Покажем, что p
2=p2
. Действительно:
p
2
=(1/2)(pp+pp)=(1/2)pp2g=p2. (Компоненты 4-вектора p перестановочны с
матрицами.)
3) Покажем, что 0
+
0=. Для =0 0
0
+
0=(
0
2
)0=0. Для =1 (то же для =2,3) 0
1
+
0=-
010=1(
0
2
)=1
4) Покажем, что â=-2â (a - произвольный 4-вектор (не матрица!), его компонентами
являются числа).
â= =a=(-+2g)a=-â
2
+2a=-4â+2â=-2â.
(Перестановка матриц и осуществляется с помощью соотношения (6).)
5) Покажем, что âb=4ab (a, b - произвольные 4-векторы).
âb=ab=(-+2g)(-+2g)ab=(
2
-2g-2g+4gg)ab=(4-
2-2+4g)ab=4ab4ab.
Антикоммутационное соотношение для матриц Дирака.
Запишем общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:
(/t+1/x+2/y+3/z+im)(x)=0 или более кратко:
(/t++im)(x)=0 (1)
Здесь (1,2,3) и пока неизвестные числовые величины.
2=1 (4`)
ik+ki=2ik (4``), отсюда
i
2
=1
14
i+i=0 (4```)
Получим уравнение Дирака в ковариантной форме, которой будем пользоваться в дальнейшем. В
ковариантной форме координаты и время должны входить в уравнение совершенно симметрично.
Для этого введем новые четырехрядные матрицы: 0 и =. Образуем 4-матричный вектор (0,).
Уравнение Дирака в этих обозначениях примет ковариантный вид (которым в дальнейшем всегда
будем пользоваться):
[i-m](x)=0 (5)
Из (4``) и (4```) следует, что -матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:
+=2g1. (6)
15
6. Решение уравнения Дирака для свободных частиц. Биспиноры,
описывающие спиновые состояния дираковских частиц (и античастиц)
uλ(p) и vλ(p). Спиральность. Уравнения для uλ(p), uλ(p), vλ(p) и vλ(p).
Левые и правые биспиноры. Операция четности для дираковских
частиц.
Решения уравнения Дирака для свободных частиц
В свободном пространстве сохраняется импульс p=const, для частицы с массой m введем 4-импульс
p(p0, p). Свободные решения уравнения Дирака представляются плоскими волнами:
p(x)=[u(p)/(2E)
1/2
]exp(-i(px)) (5)
Нормировочный множитель 1/(2E)
1/2
получается из требования, чтобы в объеме V=1 находилась одна
частица: dV|p|= dV
p
+
p=(u+u)/2E=1 (6).
(px)px=p0t-px. Здесь u(p) – спиновая часть полевой функции частицы – четырехкомпонентный
спинор, но уже не зависящий от x. Из (6) следует, что u+u=2E. (7)
Получим уравнение для спиновой части полевой функции уравнения Дирака u(p). Подставим
решение (5) в уравнение Дирака [i - m]p(x)=[i(-ip) - m]p=(p - m)u(p)=0. Уравнение
(p - m)u(p)=0 (8)
является матричным алгебраическим уравнением для компонент биспинора u(p).
Введем сопряженный биспинор u(p)=u+(p)0. Получим уравнение для u. Для этого эрмитовски
сопряжем уравнение (8): u+(p
+
- m)=0; вставим между u+ и p
+
0
2
=1 и домножим полученное уравнение
на 0 справа. На основании алгебры матриц Дирака (0
+
0=) получим:
u(p)(p-m)=0 (9)
Найдем явный вид биспинора u(p). Будем искать u(p) в виде: u(p)=N w(p) (10)
w`(p)
где w и w` в свою очередь обычные двухкомпонентные спиноры, которые подчиняются условиям
w+w=w`+w`=1; N – нормировочный множитель.
Запишем уравнение (8) в двухкомпонентной форме:
(p - m)u(p)=(p00 - p - m)u(p)=I 0p0 - 0 p – 1 0m u(p)=0 или:
0-I - 0 0 1
(p0-m); -p Nw =0
p; -(p0+m) w`
В двухкомпонентной форме получим систему двух линейных однородных алгебраических уравнений
относительно w и w`:
(p0-m)w - pw`=0 (11)
pw –(p0+m)w`=0
16
Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель
равен нулю.
= (p0-m); -p = 0 Отсюда p
0
2=p2+m2
и p0=E. (Из свойства матриц Паули (А): (p)(p)=p2 ).
p;-(p0+m)
Таким образом, как и уравнение Клейна – Гордона, уравнение Дирака содержит два типа энергий –
положительные и отрицательные. Мы уже знаем, что отрицательные энергии формально следует
приписать античастицам.
Решения уравнения Дирака, так же, как и уравнения Клейна – Гордона, содержат решения для
частиц и для античастиц.
1. Рассмотрим решения для частиц с p0=+E.
p
(+)
=(1/2E)
1/2
u(p)exp{-i(Et-px)}=(1/2E)
1/2
u(p)exp(-i(px)) (12) – положительно-частотное решение,
описывающее частицы. Здесь (px)px.
Подставляем в (11) p0=+E:
(E-m)w - pw`=0 (13)
pw –(E+m)w`=0 (14)
Выразим w` из (14): w`=(1/(E+m))pw=(1/(E+m))n|p|w=[(E2-m2)
1/2
/(E+m)]nw=[(E-m)/(E+m)]
1/2
nw,
где n – единичный вектор, направленный вдоль импульса частицы n=p/|p|. Тогда:
u(p)=N w ; u(p)+=N*(w+, [(E-m)/(E+m)]
1/2 w++
n).
[(E-m)/(E+m)]
1/2
nw
Учитывая, что + = , найдем:
u+u = |N|2{w+w + [(E-m)/(E+m)]w+(n)(n)w}=|N|2(1+(E-m)/(E+m))=|N|22E/(E+m)=2E; отсюда
N=(E+m)
1/2
.
При вычислении полученной выше формулы использовалось свойство матриц Паули: ik=ik+i
ikll
,
(A)
Отсюда (n)(n)=n2=1.
Окончательно для четырехкомпонентного спинора u(p) получим формулу (где пока не определены
компоненты двухкомпонентного спинора w):
u(p) = (E+m)
1/2
w (15)
(E-m)
1/2
(n)w
Нетрудно проверить, что соотношение u(p)u(p)=2m является скаляром, инвариантом относительно
преобразований Лоренца.
Алгебраические уравнения для u(p) и u(p) получены выше:
(p - m)u(p)=0 (8) и u(p)(p - m)=0 (9)
Из вида биспинора (15) ясно, что в нерелятивистском приближении E→m две нижние компоненты
биспинора исчезают, и биспинор в нерелятивистском пределе превращается в обычный
двухкомпонентный спинор, описывающий частицы. Напротив, в ультрарелятивистском приближении
E>>m две верхние и две нижние компоненты становятся одного порядка.
17
2. Рассмотрим решения для частиц с p0=-E.
Но, как следовало при рассмотрении операции зарядового сопряжения для уравнения Клейна -
Гордона, эти решения соответствуют античастицам, при этом надо изменить еще и импульс на
противоположный (формально!) p→-p.
Биспинор u(-p) принято именовать v(p); u(-p)v(p) – спиновая часть полевой функции античастиц.
Полевая функция античастиц имеет вид:
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2
v(p)exp{i(Et-px)}= (1/2E)
1/2
v(p)exp(i(px)) (16)
– отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.
Вычисления, полностью аналогичные проделанным в пункте 1, с заменой E→-E и p→-p, приводят к
следующему виду биспинора v(p):
v(p) = (E-m)
1/2
(n)w` (17)
(E+m)
1/2
w`
v(p)v(p)=-2m
Алгебраические уравнения для v(p) и v(p) имеют вид:
(p + m)v(p)=0 (18)
v(p)(p + m)=0 (19)
Из вида биспинора (17) очевидно, что в нерелятивистском приближении E→m две верхние
компоненты биспинора исчезают. Компоненты двухкомпонентного спинора w` пока не определены.
Итак, уравнение Дирака для свободных частиц имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x) = (1/2E)
1/2
u(p)e
-i(px)
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2
v(p)e
i(px)
,
Это решения, описывающие частицы и античастицы ((px)=px=Et-px). Дираку удалось избежать
отрицательных значений плотности вероятности, но уравнение по-прежнему содержит
положительные и отрицательные значения энергии. Последние, как мы уже поняли, формально
соответствуют античастицам.
Поляризационные состояния свободных дираковских частиц. Спиральность.
Гамильтониан дираковских частиц HD=(-i)+mp+m, в отличие от шредингеровского
гамильтониана, не содержащего операторов спина, не коммутирует с оператором z-компоненты
спина z из-за зависимости HD от спиновых операторов – матриц и . Поэтому в случае уравнения
Дирака нельзя квантовать проекцию спина на произвольное направление. Мы знаем из общих
положений квантовой механики, что две физические величины могут иметь одновременно
определенные значения, если их операторы коммутативны. Следовательно, нам надо найти такую
комбинацию спиновых операторов, которая коммутирует с гамильтонианом HD.
Введем четырехрядное обобщение оператора : = 0 = -50.
0
18
Определим оператор спиральности – удвоенную проекцию спина на импульс: p/|p|=n, где n –
единичный вектор вдоль направления импульса. Легко проверить, что этот оператор коммутирует с
дираковским гамильтонианом.
Запишем уравнение на собственные функции и собственные значения для оператора спиральности
n:
nu(p)=u(p) (1) –для спиновой части полевой функции частиц.
-nv(p)=v(p) (2) – для спиновой части полевой функции античастиц (знак минус обусловлен тем,
что для античастиц необходимо сделать замену p→-p или n→-n).
Подставим в (1) найденную в предыдущей лекции формулу для u(p):
n 0 (E+m)
1/2w
= (E+m)
1/2
nw
= (E+m)
1/2w
(3)
0 n(E-m)
1/2
nw (E-m)
1/2
(n)(n)w (E-m)
1/2
nw
(n)(n)=n2=1
Повторно применив к (1) или (2) оператор спиральности ((n)2=1 → 2=1), получим для собственных
значений спиральности: =+1 – это правая или положительная спиральность; и =-1 – это левая или
отрицательная спиральность.
В двухкомпонентной форме из (3) получим соотношение, аналогичное НКМ:
nw = w (4)
Для античастиц из (2):
nw` = -w` (4`)
Если ось z выбрать вдоль вектора импульса, то (4) приобретет вид:
zw=w (5)
Решения уравнения (5) хорошо известны в НКМ:
w
=1
=1 w
=-1
=0 это решения для частиц p0>0:
p
(+)
=(1/2E)
1/2u
(p)exp(-ipx) (6).
0 1
Те же преобразования для (2) дают:
w
`=-1
=1 w`
=1
=0 это решения для античастиц p0<0:
p
(-)
=(1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx) (7).
0 1
Нетрудно проверить, что
uu`=2m
`
; vv`=-2m
`
; (uu - vv)=2m1 .
Для покоящихся частиц p→0, E→m биспиноры u и v имеют совсем простой вид:
u
=1
= (2m)
1/2
1 u
=-1
= (2m)
1/2
0 v
=-1
= (2m)
1/2
0 v
=1
= (2m)
1/2
0 (8)
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
19
Итак, фундаментальные решения уравнения Дирака для свободных частиц, образующие
полную систему полевых функций, имеют вид:
p
(+)
(x) = (1/2E)
1/2 u
(p)exp(-ipx) – положительно-частотное решение, описывающее частицы.
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx) – отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.
Проекционные операторы*
Введем оператор P+=
=1
(u(p)u(p)) – этот оператор обладает тем свойством, что
(a) его квадрат равен самому себе с точностью до константы;
(б) он равен (p+m);
(в) его действие на состояния античастиц (p0<0) равно нулю, а состояния частиц он оставляет
неизменными.
Такой оператор называют проекционным, т. е. проецирующим на состояния с положительной
энергией, а именно, состояния частиц. Получим свойства (а), (б) и (в).
(а) P
+
2
=`uuu`u`=2m`u
`
u`=2muu=2mP
+
Докажем соотношение (б):
(б) P+= u(p)u(p) = p + m (9).
Поскольку оператор P+ не зависит от лоренцевых индексов, он является лоренцевым скаляром, и,
следовательно, его можно вычислить в любой системе отсчета. Самой простой для частицы является
система покоя. Используя простейшие биспиноры (8) для покоящейся частицы (p=p00=m0) и
суммируя по двум значениям спиральности, легко получить результат в правой стороне равенства (9).
Формула (9) постоянно используется при расчете процессов с неполяризованными фермионами.
(в) Подействуем оператором P+ на состояние античастицы v(p). Так как v(p) подчиняется уравнению
(p + m)v(p)=0, то P+v(p)=0.
Подействуем P+ на состояние частицы u(p). Так как u(p) подчиняется уравнению (p - m)u(p)=0 или
pu=mu, то P+u=(p+m)u=2mu.
Аналогично вводится оператор
P-= v(p)v(p) = p - m (10)
Этот оператор обладает теми же свойствами, что и P+, но проецирует на состояния с отрицательной
энергией, т. е. на состояния античастиц. Формула (10) постоянно используется при расчете процессов
с неполяризованными антифермионами.
Левые и правые биспиноры. Описание нейтрино.
Введем левые uL и правые u
R
биспиноры:
uL = (1/2)(1+5)u – левый биспинор, описывающий частицы.
uR = (1/2)(1-5)u – правый биспинор, описывающий частицы.
vL = (1/2)(1-5)v - левый биспинор, описывающий античастицы.
vR = (1/2)(1+5)v - правый биспинор, описывающий античастицы.
Рассмотрим подробнее левый биспинор для частиц:
20
uL=(1/2)(1+5)u=(1/2) 1 -1 (E+m)
1/2w
= (1/2)(E+m)
1/2w
- (E-m)
1/2
nw
(11)
-1 1 (E-m)
1/2
nw -(E+m)
1/2w
+ (E-m)
1/2
nw
Если обозначить (E+m)
1/2w
-(E-m)
1/2
nw, где - двухкомпонентный спинор, то
uL=
-
Очевидно, что uL определяется не четырехкомпонентным, а двухкомпонентным спинором, и,
следовательно, “как бы имеет вдвое меньше степеней свободы”. То же справедливо и в отношении
правого биспинора.
Наиболее интересно поведение левых и правых биспиноров в ультрарелятивистском приближении
E>>m.
Имея в виду (4), формула (11) для левого биспинора приобретает вид:
uL E
1/2
/2w-w
(12)
-w+w
В ультрарелятивистском приближении “выживает” только левая спиральность =-1. Состояния с
правой спиральностью обращают (12) в нуль. В правом биспиноре в ультрарелятивистском случае,
напротив, “выживает” только правая спиральность.
Таким образом, в ультрарелятивистском случае левый биспинор uL является “чистым состоянием”,
собственным состоянием, отвечающим левой спиральности =-1, а правый биспинор uR является
собственным состоянием, отвечающим правой спиральности =+1.
Рассмотрим биспинор vL для античастиц:
vL = (1/2)(1-5)v = (1/2)1 1(E-m)
1/2
nw` = (1/2)(E-m)
1/2w`
+ (E+m)
1/2
nw` ` (11`)
1 1(E+m)
1/2w`
(E-m)
1/2
w` + (E+m)
1/2
nw` `
В ультрарелятивистском приближении имеем:
vL E
1/2
/2w`-w`
w`-w`
“Выживает” только левая спиральность =-1.
Эти биспиноры использовались Вейлем для описания нейтрино, поскольку нейтрино, можно
рассматривать как частицу в ультрарелятивистском приближении, если оно и обладает массой, то эта
масса чрезвычайно мала. Спиноры Вейля двухкомпонентные. Все нейтрино обладают левой
спиральностью, антинейтрино – правой.
Киральность*
Введем также понятие киральности. Киральные состояния – это собственные состояния оператора
5. (
5
2
=1)
5uL =(1/2) 5(1+5)u = uL; 5uR =(1/2)5(1-5)u = -u
R
(13)
Поэтому левые и правые биспиноры являются собственными состояниями оператора киральности с
собственными значениями +1 и -1.
Пространственная инверсия
Определим операцию пространственной инверсии P (замена x на –x).
Соседние файлы в папке Экзамен