Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
61
Замечание. Обычно в процессах, содержащих взаимодействие фермионов с фотонами, в квадрате
амплитуды стоит квадрат 4х-мерной дельта-функции, которая согласно соотношению (6)
представляет (2)4
(4)
(p
конечн
– p
начальн
)V. Здесь V – объем конфигурационного пространства, тоже
нефизический параметр. Но мы нормировали все полевые функции на единичный объем V=1,
поэтому положим и в данной формуле V=1 (без потери общности).
Дифференциальное сечение рассеяния из общей формулы равно:
d = (1/)[|T |2/j
нач
] d3p2/(2)
3
j
нач=v0
, d3p2=|p2|2d|p2|d2=E2|p2|dE2d2.
Здесь d2 – элемент телесного угла: d2=2d(cos). Из соотношения E2=p2+m2 следует, что
EdE=|p|d|p|. Интегрирование по E2 осуществляется тривиально с помощью дельта-функции f(E2)(E2E1)dE2 = f(E1) f(E0).
Основная зависимость от угла рассеяния содержится в q=2p0sin(/2).
Подставляя в дифференциальное сечение все полученные выше соотношения и интегрируя по E2 c
помощью дельта-функции, получим дифференциальное сечение процесса, которое впервые получено
Моттом и носит его имя. Заменим e2/4=1/137 – постоянная тонкой структуры.
d/d2 = [Z22/4p
0
2
v
0
2
] (1-v
0
2
sin2/2)/sin4/2 Формула Мотта (7)
В нерелятивистском приближении v0<<1 формула Мотта переходит в сечение Резерфорда. Медленно
меняющийся с углом рассеяния множитель в числителе (1-v
0
2
sin2/2) возникает из-за существования
спина у электрона, что не учитывается в нерелятивистской квантовой механике.
Расчет процесса рассеяния позитронов кулоновским полем ядра приводит к следу, аналогичному (5):
(1/2)Sp{(p
2
-m)0(p
1
-m)0},
который совпадает с (5), так как слагаемые, пропорциональные массе, вклада не дают. Сечение для
позитронов (или вообще для антифермионов) совпадает полностью с формулой Мотта, полученной
для фермионов.
62
20. Фейнмановские диаграммы и амплитуда Комптон эффекта.
Проверка калибровочной инвариантности.
Некоторые вопросы, связанные с Комптон-эффектом.
Эффект Комптона – рассеяние фотона свободным электроном + e- → + e- – является самым
распространенным и наблюдаемым эффектом КЭД. Если пропускать пучок фотонов
(электромагнитное излучение) через вещество, то основные потери (отклонение пучка от
первоначального направления) обусловлены рассеянием фотонов на электронах внешних оболочек
атомов, такие электроны слабо связаны с атомом и являются почти свободными. В низшем, втором
порядке теории возмущений, Комптон-эффекту соответствуют две диаграммы Фейнмана (Рис.1),
первая из которых называется рассеивательной диаграммой (s-канальная диаграмма), а вторая –
обменной (t-канальная диаграмма).
Рис.1.
Запишем по правилам Фейнмана инвариантную амплитуду процесса. Сначала запишем амплитуду
для первой диаграммы (для простоты опустим в полевых функциях электрона и фотонов
поляризационные индексы).
iT1 = (d4p/(2)4i) [u(p2)/2E2][(-ie)(2)4
(4)
(p2+k2-p)][2*/22][-(p+m)/(p2-m2+i)]
[(-ie)(2)4(p1+k1-p)][1/21][u(p1)/2E1].
Проинтегрируем это выражение по d4p, например, с помощью дельта-функции, соответствующей
левой вершине, и соберем все константы:
iT1 = (-i)[e2/(16E1E212)
1/2
]{u(p2)2*[(p
1
+k
1
+m)/((p1+k1)2- m2+i)]1u(p1)}(2)4
(4)
(p1+k1-p2-k2) (1)
Обратите внимание, что во всех полюсных (древесных) диаграммах, вершины всегда соединяются
одной внутренней линией (пропагатором), число интегрирований по d4p на единицу меньше числа
дельта-функций, стоящих в вершинах диаграммы. Поэтому интегрирование осуществляется
тривиально с помощью какой-либо из дельта-функций, соответствующих закону сохранения энергииимпульса в вершине, и всегда остается еще одна дельта-функция, определяющая закон сохранения
всего процесса в целом.
Наиболее важными, резко меняющимися факторами, для любого рассматриваемого процесса
являются пропагаторы, содержащие полюса при значениях квадратов 4-импульсов, равных
квадратам масс свободных частиц. Это значит, что физически процесс определяется одночастичным
обменом.
63
Амплитуда (1) содержит в знаменателе переменную s=(p1+k1)2 (поэтому она и называется s-канальной
диаграммой), равную в системе центра процесса квадрату суммы энергий начальных частиц, и не
зависит от угла рассеяния. Углом рассеяния в Комптон-эффекте называют угол между конечным k2 и
начальным k1 импульсами фотонов. Знаменатель равен:
(p1+k1)2-m2=p
1
2
+k
1
2
+2p1k1-m2=2p1k1 (2),
так как p
1
2=m2
, k
1
2
=0.
Фейнмановское доопределение в знаменателе “+i” в древесных диаграммах можно упустить,
поскольку никаких интегрирований в инвариантной амплитуде больше не содержится.
Амплитуда второй диаграммы после интегрирования по d4p` приобретает вид (в ней фотоны
меняются местами, т. е. 2*1):
iT2 = (-i)[e2/(16E1E212)
1/2
]{u(p2)1[(p
2
-k
1
+m)/((p2-k1)2-m2+i)]2*u(p1)}(2)4
(4)
(p1+k1-p2-k2) (3)
Знаменатель равен:
(p2-k1)2-m2=p
2
2
+k
1
2
-2p2k1-m2=-2p2k1. (4)
В качестве примера рассмотрим вопрос: куда летит рассеянный фотон по отношению к направлению
движения начального фотона в системе центра инерции процесса?
Для этого рассмотрим знаменатель второй диаграммы. В системе центра процесса сумма импульсов
k1+p1=k2+p2=0, откуда p2=-k2.
2p2k1=2(E21-p2k1)=2(E21+k2k1)=2(E21+21cos) (5)
|k1|=1, |k2|=2, поскольку фотон безмассовый. Амплитуда имеет наибольшую величину там, где
знаменатель мал, следовательно, такие конфигурации импульсов, которые приводят к минимальному
значению знаменателя, определяют наибольшие значения сечения и, тем самым, дают наибольшие
значения вероятности. Наименьшие значения (5):
E2+2cos0, когда cos-1.
Дифференциальное сечение Комптон-эффекта в системе центра должно быть максимально при
конфигурации, когда рассеянный фотон летит назад. Действительно, экспериментально в
дифференциальном сечении Комптон-эффекта в ц-системе наблюдается резкий пик назад. Этот пик
наиболее ярко выражен в ультрарелятивистском случае 1>>m, при этом E22, и знаменатель (5)
минимален.
Этот пример поучителен тем, что в ряде случаев можно предсказать конфигурации рассеянных
частиц, рассматривая пропагаторы (функции Грина) системы, и не вычисляя сечения процесса, что
сопряжено с техническими сложностями. Это не выглядит странным, так как физику древесных
(полюсных) диаграмм определяет механизм одночастичного обмена.
К сожалению, в курсе не хватает времени для подробного вычисления сечения Комптон-эффекта. Все
вычисления (весьма громоздкие) выполняются по аналогии с расчетом рассеяния электрона
кулоновским полем ядра. Приведем конечный результат для дифференциального сечения Комптонэффекта в л-системе, где начальный электрон покоится, а фотон налетает на него с энергией 1.
Сечение усреднено и просуммировано по поляризациям начального и конечного электрона и
усреднено по поляризациям фотонов. Формула впервые получена Клейном и Нишиной и носит их
имя.
d/d = (2/2m2)(2/1)2(2/1 + 1/2 – sin2)
Порядок величины сечения определяется размерным параметром – классическим радиусом электрона
r
0
2=2/m2
= (2,810
-13
cм)2.
64
Полное сечение Комптон-эффекта равно:
при низких энергиях
(8/3)r
0
2
– томсоновское сечение. (6)
при высоких энергиях
r
0
2
(m/1)[ln(21/m) + ½] ~1/1. (7)
Cечение “вымирает” при энергии фотона 1500 МэВ. Фотоны с более высокой энергией проходят
через вещество, не рассеиваясь, а в потерях энергии существенную роль начинает играть механизм
образования электрон-позитронных пар в кулоновском поле ядра + Z → e+ + e- + Z.
Поведение полного сечения Комптон-эффекта в зависимости от энергии налетающего фотона
изображено на Рис. 2.
Рис.2.
Проверка калибровочной инвариантности диаграмм Комптон-эффекта
При локальном калибровочном преобразовании полевые функции спинорных частиц меняются по
закону:
(x) → exp[ie(x)](x); (x) → exp[-ie(x)],
Это не меняет лагранжиана взаимодействия КЭД, так как Lint = e(x)(x)A(x) содержит и, а
также не влияет на инвариантную амплитуду процессов КЭД.
Однако калибровочная инвариантность электродинамики определяется условиями, наложенными на
4-потенциалы электромагнитного поля: A`→A - (x). Если 4-потенциал описывает полевую
функцию фотона ~ , то в импульсном представлении условие калибровочной инвариантности
приводит к соотношению:
` → + (k2)k (8)
Добавление второго слагаемого (k2)k не должно сказываться на физических результатах и потому
должно приводить к нулевому вкладу.
Если обозначить какую-либо амплитуду процесса, содержащего свободный фотон с поляризацией ,
буквой T, то T=J. При замене (8) амплитуда изменится: T → T`=J + (k2)Jk. Второе слагаемое
не должно давать вклада, поэтому Jk=0. Это означает, что замена в амплитуде поляризации
фотона на его 4-импульс k (→k) должна давать нулевой результат.
Проверим калибровочную инвариантность Комптон-эффекта, например, по налетающему фотону.
(Тот же нулевой результат получится и при проверке калибровочной инвариантности по рассеянному
65
фотону.) Для этого запишем полную амплитуду Комптон-эффекта, равную сумме соотношений (1) и
(3), и заменим в амплитуде 1 на k1:
Jk ~ [1/(2p1k1)]{u22*[p
1
+k
1
+m]k
1u1
} + [1/(-2p2k1)]{u2k
1
[p
2
-k
1
+m]2*u1}. (9)
В первом слагаемом поменяем местами сомножители p1 и k
1
(p
1
k
1
=-k
1
p
1
+2p1k1) воспользуемся
уравнением Дирака p
1u1
=mu1 и равенством нулю массы фотона k
1
2
=0. Во втором слагаемом меняем
местами сомножители k1 и p2 и пользуемся уравнением Дирака u2p
2
=mu2, а также нулевой массой
фотона. Получим:
u22*[(-mk
1
+mk
1
+2p1k1)/(2p1k1)]u1 + u2[(-mk
1
+mk
1
+2p2k1)/(-2p2k1)]2*u1 = 0. (10)
Калибровочная инвариантность диаграмм Фейнмана выполняется в каждом порядке теории
возмущений для любого процесса КЭД.
66
21. Понятие о перенормировке. Основные расходящиеся диаграммы в
КЭД. Подсчет степени расходимости диаграмм КЭД. Необходимое
условие перенормируемости теории КЭД.
Перенормировки
Учет низших порядков теории возмущений вполне достаточен для предсказаний экспериментов в
КЭД с точностью не хуже 10%. То, что мы обращаемся к обсуждению высших порядков теории
возмущений, вызвано не потребностью повысить точность расчетов, а желанием разобраться в
некоторых трудностях, которые возникают в связи с использованием теории возмущений. Ряд теории
возмущений устроен таким образом, что члены более высоких порядков содержат все большее число
внутренних интегралов, и, следовательно, существует возможность возрастания степени
расходимости. Очевидно, чтобы теория поля вообще имела смысл, проблемы, связанные с
расходимостями, должны быть разумным образом разрешены.
Основная идея теории перенормировок состоит в том, что расходимости при высоких энергиях (их
называют ультрафиолетовыми расходимостями) теории поля должны компенсироваться
перенормировками параметров теории.
Таким образом возникают две проблемы, не зависящие на первый взгляд друг от друга.
Первая проблема заключается в необходимости выяснить смысл параметров массы m и заряде e,
которые фигурируют в лагранжианах. В низших порядках теории возмущений мы приняли, что они
играют роль массы и заряда электрона. Однако теперь надо внести уточнения в эти понятия.
Действительно, по своей сущности исходные уравнения Максвелла и Дирака содержат константы m
и e, которые представляют заряд и массу свободного электрона, т. е. электрона, полностью
изолированного от взаимодействия с электромагнитным полем. В таком случае масса и заряд
являются характеристиками некого гипотетического “голого” электрона, не взаимодействующего ни
с каким полем.
Взаимодействие между полями должно приводить к отличию энергетического спектра от спектра
свободных полей. Поэтому масса “голого” электрона должна отличаться от массы реального
электрона, от минимальной энергии однозарядового состояния взаимодействующих полей. То же
справедливо и по отношению к заряду. Поэтому возникает фундаментальная задача о выяснении
связи между массой и зарядом “голого” электрона и массой и зарядом реального физического
электрона mR и eR (буква R означает Renormalization – перенормировка). Если в принципе это
возможно проделать, то мы найдем соотношение вида: e=e(eR) и m=m(eR, mR) И с их помощью
исключим параметры e и m, выразив их через наблюдаемые mR и eR.
Такое исключение нефизических параметров с помощью введения наблюдаемых величин называется
перенормировкой и является составной частью любой квантово-полевой теории.
Вторая проблема возникает в связи с появлением расходящихся интегралов в высших порядках
теории возмущений.
Однако совершенно удивительным образом оказывается, что если сначала перенормировать заряд и
массу, то во всех наблюдаемых выражениях расходимости не появляются. Мы продемонстрируем это
ниже на примере вычисления радиационных поправок (высших порядков теории возмущений). Тем
не менее мы будем совершать насилие над обычной математической процедурой – мы будем
складывать, вычитать, делить расходящиеся интегралы, как если бы они были конечными. Нашим
оправданием является тот факт, что после выполнения этих манипуляций результаты оказываются
конечными и с замечательной точностью согласуются с экспериментом. Это говорит о том, что за
нашим неуклюжим методом извлечения конечного ответа из выражений, которые выглядят
бесконечными, кроется какая-то истина!
67
Возможно, мы имеем дело с плохо определенными произведениями нескольких операторов,
относящихся к одной пространственно-временной точке, или бесконечности возникают как результат
разложения в ряд по параметру заряда e, при этом матричные элементы могут оказаться
неаналитическими функциями e в окрестности e=0, а, может быть, бесконечности являются
фундаментальным изъяном в основном благополучной теории? Ответов на эти вопросы пока нет. Но
мы твердо знаем, что все расходимости связаны с пространственно-временной структурой на малых
расстояниях, расстояниях порядка длины Планка ~10
-33
cм (или несколько большими?)
Однако ясно, что даже при отсутствии бесконечностей в теории, ее необходимо перенормировать.
Происхождение перенормировки связано с тем, что состояния системы описываются с помощью
невозмущенных “голых” волновых (полевых) функций, хотя в реальном физическом мире мы
никогда не можем выключить взаимодействие между полями. Единственное требование, налагаемое
на физически разумную теорию, заключается в том, чтобы S-матрица после перенормировки была
конечной.
Рассмотрим примеры диаграмм высших порядков теории возмущений в КЭД, например,
радиационные поправки к ee-рассеянию.
Рис1.
В отличие от диаграмм низших порядков теории возмущений, диаграммы высшего порядка
содержат петли. 4-импульс, циркулирующий по петле, не определен. Соответствующий интеграл по
петле расходится при больших значениях 4-импульсов (так называемые ультрафиолетовые
расходимости).
Основные расходящиеся диаграммы КЭД
1 Поляризация вакуума П
Рис.2.
П ~ d4p [(p+m)/(p2-m2+i)][(p-k+m)/((p-k)2-m2+i)] ~ p3dp/p2 квадратично расходится.
2 Собственная энергия фермиона
Рис.3.
~ d4p`[1/((p-p`)2+i)][(p`+m)/(p`2-m2+i] ~ p`3dp`/p`3 линейно расходится.
68
3 Вершинная функция
Рис.4.
~ d4k`[1/(k`2+i)][(p-k`+m)/((p-k`)2-m2+i)][(p`-k`-k+m)/((p`-k`-k)2-m2+i)] ~
~ k`3dk`/k`4 логарифмически расходится.
Подсчет расходимостей диаграмм КЭД
Определим размерность D интеграла как разность полного числа 4-импульсов в числителе и
знаменателе. Условие сходимости тогда будет соответствовать D<0
Пусть в какой-либо диаграмме n-ного порядка теории возмущений содержатся:
Fe – число внешних фермионных линий,
Be – число внешних бозонных (фотонных) линий,
Fi – число внутренних фермионных линий,
Bi – число внутренних бозонных линий.
В диаграмме n вершин.
Вычислим размерность D интеграла, определяющего инвариантную амплитуду, соответствующую
данной диаграмме.
Вершина не содержит 4-импульсов. Внешние линии диаграммы также не содержат 4-импульсов и
не влияют на расходимость. На расходимость влияют следующие факторы:
1 Каждая внутренняя фермионная и бозонная (фотонная) линия дает фактор в числителе d4p. F
i
внутренних фермионных и Bi внутренних фотонных линий дают вклад:
4(Fi+Bi)
2 В каждой вершине стоит четырехмерная дельта-функция
(4)
(pj), которая при интегрировании
сокращает число импульсов на 4. Но одна дельта-функция выражает закон сохранения энергииимпульса всего процесса в целом и не приводит к уменьшению размерности подынтегрального
выражения. Таким образом, вершины дают вклад
-4(n-1)
3 Каждая внутренняя фермионная линия содержит пропагатор ~1/p. Fi линий дают
-Fi
4 Каждая внутренняя фотонная линия содержит пропагатор ~ 1/k2. Bi линий дают
-2Bi.
Подсчитаем D:
D = 4(Fi+Bi) – 4(n-1) - Fi - 2Bi = 2Bi +3Fi – 4(n-1)
69
Выразим величину D через число внешних линий диаграммы.
В каждой вершине в диаграммах КЭД сходятся 2 фермионные и одна фотонная линия.
Число концов фермионных линий, следовательно, равно удвоенному числу вершин n, причем каждая
внутренняя фермионная линия дает 2 вершины (соединяет две вершины), а каждая внешняя
фермионная линия дает одну вершину. Отсюда:
2n = Fe + 2Fi.
Число концов фотонных линий равно числу вершин:
n = Be + 2Bi.
Из этих двух соотношений выразим Bi и Fi через Be и Fe и подставим в D:
D=3(n - Fe/2) + (n – Be) - 4n + 4
D = 4 – 3Fe/2 - Be. (1)
Следовательно, степень расходимости диаграмм Фейнмана КЭД не зависит от числа вершин, т.
е. от порядка теории возмущений, а определяется только числом внешних линий диаграммы. Это
позволяет предположить, что степень расходимости не увеличивается с ростом порядка теории
возмущений. Именно это обстоятельство является необходимым условием перенормируемости
квантово-полевой теории.
В действительности, в КЭД содержатся только логарифмические расходимости.
70
22. Точная функция Грина фотона. Уравнение Дайсона.
Рассмотрим распространение фотона из пространственно-временной точки x1 в точку x2 с учетом
всех процессов взаимодействия с собственным электрон-позитронным полем. Мы получим точную
функцию Грина фотона – функцию Грина с учетом всех допустимых взаимодействий.
Обозначим точную функцию Грина фотона D жирной волнистой линией. Функцию Грина
(пропагатор) свободного фотона D0 будем обозначать тонкой волнистой линией. Изобразим
графически все процессы, дающие вклад в точную функцию Грина фотона (Рис.5).
Рис.5.
D(k) можно представить в виде суммы вкладов диаграмм, содержащих все более высокие степени
s
– электромагнитной константы связи – постоянной тонкой структуры =e2/4.
D(k) =
s=0
D
(s)
Во втором порядке теории возмущений ~ e2~ получим диаграмму (Рис.6)
Рис.6.
Компактными называются диаграммы, которые нельзя разрезать на части, соединенные только одной
линией (фотонной, фермионной). Компактные диаграммы описывают связные флуктуации,
происходящие за короткое время.
Введем для фотона понятие поляризационного оператора П(k) как сумму всех компактных
диаграмм без внешних фотонных линий (Рис.7).
Рис.7.
Разрежем (мысленно) каждую диаграмму, начиная со второй, входящую в точную функцию Грина
фотона, по фотонной линии, стоящей за первым поляризационным оператором (Рис.8). Справа от
разреза будет стоять бесконечная последовательность диаграмм, которая снова определяет точную
функцию Грина фотона D.
Соседние файлы в папке Экзамен