Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
31
Теорема Нетер с учетом требования локальной калибровочной инвариантности приводит снова к
сохраняющемуся электромагнитному току:
J=-ie{(L/(D))-(L/(D}→e.
32
11. Метод функций Грина. Функция Грина в нерелятивистской
квантовой механике (НКМ). Причинность в нерелятивистской квантовой
механике. Выражение функции Грина через билинейную форму по
полному набору решений уравнения Шредингера.
Функции Грина в нерелятивистской квантовой механике (НКМ)
Рассмотрим уравнение Шредингера: i(x)/t = Ĥ(x) (1)
Здесь xx(t, x), т. е. (x) зависит от координат и времени.
Будем рассматривать (x1) как известную функцию и искать ее изменение (x2) за некий
промежуток времени t2 - t1 (t2>t1). Чрезвычайно важно условие t2>t1, поскольку именно в нем заложена
причинная связь: любое конечное состояние в НКМ развивается из начального (а не наоборот!).
Следовательно, при t2<t1 состояние (x2) не может существовать.
Обе волновые функции являются решениями уравнения (1), но в разных пространственно-временных
точках. Запишем интегральное уравнение с учетом причинности:
(x2) = d3x1 K(x2, x1) (x1) при t2>t
1
(2)
0 при t2<t
1
Здесь K(x2,x1) – это функция Грина уравнения Шредингера, являющаяся функцией двух
пространственно-временных точек x1 и x2. С физической точки зрения эта функция описывает
амплитуду вероятности перехода частицы из точки x1 в точку x2. Это корреляционная функция или
ее еще называют функцией распространения - пропагатором (от английского слова ‘propagation’ –
‘распространение’).
Пусть гамильтониан Ĥ системы не зависит от времени, тогда полная волновая функция
n(x) = n(x)exp(-iEnt) подчиняется временному уравнению Шредингера (1), а n(x) описывается
стационарным уравнением Шредингера: Hn(x) = Enn(x). (3)
Собственные функции n(x) ортонормированы: d3xn*m=mn (4)
и подчиняются условиям полноты: nn(x)n*(x`) =
(3)
(x-x`) (4`)
Разложим начальное состояние (x1) по собственным функциям n гамильтониана Ĥ:
(x1) = n cnn(x1)exp(-iEnt1) (5), где коэффициенты cn = {d3x1n*(x1)(x1)}exp(iEnt1) (6)
Разложим теперь конечное состояние по тем же собственным функциям n, взятым в точке x2.
Коэффициенты разложения останутся теми же, так как обе волновые функции описываются одним
уравнением Шредингера (1).
(x2) = n cnn(x2)(x2)exp(-iEnt2) (7)
Подставим в (7) значение коэффициентов cn из (6), получим:
(x2) = n [d3x1n*(x1)(x1)]exp(iEnt1)[n(x2)(x2)]exp(-iEnt2) =
= d3x1{n n(x2)n*(x1)exp(-iEn(t2-t1))}(x1). (8)
Сравнивая формулы (8) и (2), найдем значение K(x2, x1):
K(x2, x1) = n n(x2)n*(x1)exp(-iEn(t2-t1) = n n(x2)n*(x1) (9)
33
Сумма берется по полной системе собственных функций гамильтониана Ĥ.
При t2=t1 из соотношения (4`) следует, что K(x2, x1) =
(3)
(x2-x1) (9`)
Чтобы явно учитывалась проблема причинности (состояние (x2) развивается из состояния (x1)
только при t2>t1), удобно доопределить функцию Грина K(x2, x1), образовав причинную функцию
Грина G:
G(x2, x1) = K(x2, x1)(t2-t1), (10)
где ступенчатая тета-функция (t) определяется соотношением:
(t) = 1 при t>0. По определению d(t)/dt=(t)
0 при t<0
Фурье-разложение (t): (t) =
-
(d/2) exp(-it)
Причинная функция Грина на основании формулы (9) имеет вид:
G(x2,x1) = nn(x2)n*(x1)(t2-t1) (11)
Еще раз подчеркнем, что в формуле (11) сумма берется по полной системе собственных функций
гамильтониана Ĥ.
Соотношение (2) с помощью причинной функции Грина запишется в виде:
(x2) = d3x1 G(x2, x1)(x1) (2`)
34
12. Дифференциальное уравнение для функции Грина в НКМ.
Функция Грина свободных частиц. Интегральное уравнение для
функции Грина в НКМ.
Дифференциальное уравнение для причинной функции Грина G(x2, x1)
Получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Грина G(x2, x1).
Для этого подействуем оператором уравнения Шредингера (i/t – Ĥ(x)) на обе части соотношения
G(x2,x1) = nn(x2)n*(x1)(t2-t1) (11), дифференцируя по пространственно-временной точке x
2
(имеем в виду, что n(x) является решением уравнения Шредингера i(x)/t = Ĥ(x), и учитываем
соотношение G(x
2
, x1) = K(x2, x1)(t2-t1) (10)):
(i/t2 – Ĥ(x2))G(x2, x1) = n {(i/t2 -Ĥ(x2))n(x2)}n*(x1)(t2-t1) + in n(x2)n*(x1)(t2-t1) =
= i(t2-t1) n n(x2)n*(x1) = i(t2-t1)
(3)
(x2-x1) = i
(4)
(x2-x1).
Итак, дифференциальное уравнение для причинной функции Грина в НКМ удовлетворяет обычным
требованиям для функции Грина – в данном случае это неоднородное уравнение Шредингера с
правой частью, представляющей четырехмерную дельта-функцию:
(i/t2 – Ĥ(x2))G(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1) (12)
Гамильтониан Ĥ=Ĥ0(x)+V(x) – есть сумма гамильтониана свободной частицы Ĥ0 плюс
взаимодействие V(x).
Функция Грина свободной частицы
Функция Грина свободной частицы в силу трансляционной инвариантности пространства при
отсутствии взаимодействия должна зависеть только от такой комбинации пространственновременных точек x1 и x2, которая не содержит вектор трансляции, т. е. от разности обеих точек.
Обозначим функцию Грина свободной частицы G0(x2-x1).
Дифференциальное уравнение для функции Грина свободной частицы получается, естественно, из
уравнения (12), если заменить полный гамильтониан Ĥ на гамильтониан Ĥ0=(-i)2/2m свободных
частиц:
(i/t2 – Ĥ0(x2))G0(x2-x1) = i
(4)
(x2-x1) (13)
G0(x2-x1) можно представить как сумму (11) по свободным решениям уравнения Шредингера,
плоским волнам p(x)=Nexp[-i(Et-px)]. Здесь E=p2/2m, N – нормировочный множитель.
G0(x2-x1) = |N|2 p exp{-i[E(t2-t1) – p(x2-x1)]}(t2-t1) (14)
Нетрудно видеть, что при замене x2 на x1: G0(x2-x1) = G0*(x1-x2).
Если обозначить x=x2-x1, то G0(x) = G0*(-x). (15)
Интегральное уравнение для причинной функции Грина в НКМ
В дальнейшем при выводе правил Фейнмана нам понадобится именно интегральное, а не
дифференциальное уравнение для функции Грина.
Пусть функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению (12):
(i/t2 – Ĥ0(x2) – V(x2))G(x2, x1) = i
(4)
(x2—x1). (12)
Покажем, что интегральное уравнение для функции Грина записывается в виде:
35
G(x2, x1) = G0(x2-x1) + d4x3 G0(x2-x3)(-iV(x3))G(x3, x1). (16)
(Это уравнение Фредгольма, т.к. содержит свободный член)
на обе части соотношения (16) оператором (i/t2 – Ĥ0(x2)) и, учитывая соотношение (13), в
результате получим дифференциальное уравнение (12):
(i/t2 – Ĥ0(x2))G(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1) + d4x3 i
(4)
(x2-x3)(-iV(x3))G(x3, x1),
(i/t2 – Ĥ0(x2))G(x2, x1) =i
(4)
(x2-x1) + V(x2)G(x2, x1)
В последнем соотношении перенесем последнее слагаемое справа в левую часть и получим
уравнение (12). Следовательно, интегральное уравнение (16) справедливо. С математической точки
зрения это интегральное уравнение Фредгольма.
36
13. Теория возмущений. Представление функции Грина в виде ряда
теории возмущений по взаимодействию. Графическая интерпретация.
Теория возмущений
Преимущество интегрального уравнения G(x2, x1) = G0(x2-x1) + d4x3 G0(x2-x3)(-iV(x3))G(x3, x
1
) (16)
состоит в том, что его можно решать итерациями в случае, когда потенциал взаимодействия V(x)
можно считать малым. Характерная величина потенциала должна быть мала по сравнению с
характерной кинетической энергией системы в эффективной области взаимодействия. Представим
его решение в виде ряда теории возмущений по потенциалу:
G(x2, x1) =
k=0
G(k)
(x2, x1). (17)
Нулевое приближение (~V0):
G
(0)
= G0(x2-x1) (18)
– описывает свободное перемещение системы из пространственно-временной точки x1 в точку x2.
Рисунок, изображающий перемещение частицы без взаимодействия – соответствует свободной
функции Грина G0(x2-x1).
Первое приближение (~V):
G
(1)
= d4x3 G0(x2-x3)(-iV(x3))G0(x3-x1) (19)
– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с однократным взаимодействием в
произвольной точке 3 (по координатам x3 и времени t3 происходит интегрирование). Первая поправка
к свободному движению получается, если в интегральном уравнении (16) заменить G под знаком
интеграла нулевым приближением G
(0)
.
Рисунок диаграммы первого порядка теории возмущений.
Символически G
(1)
можно записать в виде: G
(1)
= G
(0)VG(0)
.
Второе приближение (~V2):
G
(2)
= T{d4x3d4x4 G0(x2-x3)(-iV(x3))G0(x3-x4)(-iV(x4))G0(x4-x1)} (20)
37
– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с двукратным взаимодействием в
произвольных точках 3 и 4. Поскольку интегрирование происходит как по времени t3, так и по
времени t4, то взаимодействие в точке 3 может произойти или раньше взаимодействия в точке 4, или
позже. Таким образом, допустимы оба случая t3>t4 и t3<t4. Чтобы учесть одновременно обе
возможности, вводят операцию хронологического произведения или упорядочения операторов по
времени – оператор, зависящий от более позднего времени, стоит слева от оператора, зависящего от
более раннего времени. Операция обозначается знаком “T”. Операция хронологического произведения
определяется следующим образом:
T{V(x)V(x`)} = V(x)V(x`), если t>t` (21)
V(x`)V(x), если t`>t
Рисунок двух диаграмм, соответствующих второму порядку теории возмущений.
Символически поправку второго порядку к функции Грина можно записать в виде:
G
(2)
= T{G
(0)VG(0)VG(0)
}
Интегральное уравнение для функции Грина (16) можно записать графически (Рис.1.):
Рис. 1.
Если “мысленно” разрезать каждую диаграмму, начиная со второй (показано пунктирной линией),
так, чтобы слева осталась сплошная линия G0 и одна акция взаимодействия V, то вся бесконечная
совокупность диаграмм справа даст функцию Грина G, и мы получим интегральное уравнение (16) в
графической форме. Символически: G = G0 + G0VG.
38
14. S-матрица. Инвариантная амплитуда (амплитуда рассеяния).
Правило получения инвариантной амплитуды из функции Грина в n-ном
порядке теории возмущений.
S-матрица. Инвариантная амплитуда.
S-матрица преобразует начальное состояние квантово-механической или квантово-полевой системы в
отдаленном прошлом (t→-)
нач
в конечное состояние в отдаленном будущем (t→)
кон
.
Определим оператор S следующим образом:
S
кон
=
нач
. (22)
Пусть начальное состояние характеризуется совокупностью квантовых чисел i,
нач=i
, и возможен
переход в совокупность конечных состояний {n}.
Разложим начальное состояние i по полному набору конечных состояний n:
i(x) = n cnn(x) n Snin(x)
Sni = d3xn*(x)i(x) (23)
Sni – матричные элементы S-матрицы для перехода из состояния i в состояние n; они образуют
элементы S-матрицы. Поскольку совокупность начальных и конечных состояний представляют
полную систему собственных функций, то S-матрица унитарна
S+S=SS+ =1. (24)
Из совокупности конечных состояний n выберем конкретное состояние с n=f и запишем (23),
используя формулу (2`). Мы получим общее определение элемента S-матрицы в форме:
S
fi
= d3x2 f*(x2)i(x2) = (lim
t1→-
)(lim
t2→
)d3x2d3x1 f*(x2)G(x2, x1)i(x1) (25)
Представим в (25) функцию Грина G в виде ряда теории возмущений G(x2, x1) =
k=0
G(k)
(x2, x1).
В нулевом порядке получим:
S
fi
(0)
= d3x2d3x1 f*(x2)G0(x2, x1)i(x1) (26)
Используя формулу (2`), интеграл d3x1G0(x2, x1)i(x1) = i(x2). Функция Грина G0 переносит
волновую (полевую) функцию i(x1) из точки x1 в точку x2 без взаимодействия, т. е. не меняет
квантовых числе i.
S
fi
(0)
= d3x2 f*(x2)i(x2) = if, (26`)
Действительно, соотношение ортогональности (26`) выполняется, так как i и f в бесконечном
прошлом и бесконечном будущем, т. е. бесконечно далеко от источника взаимодействия, являются
обычными плоскими волнами, отвечающими движению свободных частиц, все эти волновые
функции ортонормированы.
Определим инвариантную амплитуду (или амплитуду рассеяния) T
fi
следующим образом:
S
fi
= fi + iTfi (27)
Очевидно, что инвариантная амплитуда определяет динамику взаимодействия. При отсутствии
взаимодействия Tfi=0.
Из (25) в первом порядке теории возмущений, c учетом формулы (19), получим:
39
iT
fi
(1)
= d3x2d3x1 f*(x2) {d4x3G0(x2-x3)(-iV(x3))G0(x3-x1)}i(x1) (*)
Интегрирование по x1 на основании формулы (2`) c заменой G на G0 дает:
d3x1 G0(x3-x1)i(x1) = i(x3) (**)
Интегрирование по x2 на основании формулы (2`) и свойства (15) для свободной функции Грина
G
(0)
(x)=G
(0)
*(-x) приводит к выражению:
d3x2f*(x2)G0(x2-x3) = d3x2G0*(x3-x2)f*(x2) = f*(x3) (***)
Подставляя оба выражения (**) и (***) в формулу для инвариантной амплитуды, получим:
iT
fi
(1)
= d4x3 f*(x3)(-iV(x3))i(x3) Индекс “3” теперь можно убрать:
iT
fi
(1)
= d4x f*(x)(-iV(x))i(x) (28)
Формула (28) соответствует в квантовой механике первому борновскому приближению (первому
порядку теории возмущений) для амплитуды рассеяния.
Сравним формулу (28) с формулой (19) для функции Грина в первом порядке теории возмущений,
имеющей вид:
G
(1)
= d4x3 G0(x2-x3)(-iV(x3)G0(x3-x1) (19)
Легко понять, что для получения инвариантной амплитуды в первом порядке теории возмущений
надо заменить функции Грина свободных частиц на волновые (полевые) функции частиц
соответственно в конечном состоянии (слева от взаимодействия V(x)) и в начальном состоянии
(справа от V(x)).
Аналогичное правило мы получим для инвариантной амплитуды во втором порядке теории
возмущений из соотношений (2`) и (20):
iT
fi
(2)
= T{d4x3d4x4 f*(x3)(-iV(x3))G0(x3-x4)(-iV(x4))i(x4)} (29)
Снова надо заменить функции Грина свободных частиц слева и справа на волновые (полевые)
функции в конечном и начальном состояниях.
Не забудьте, что стоящий перед интегралом оператор T – это оператор хронологического
произведения.
Эту процедуру получения инвариантной амплитуды по функции Грина можно продолжить.
Итак, сформулируем общее правило получения инвариантной амплитуды по функции Грина.
Правило получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений
Для получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений необходимо
найти из интегрального уравнения для функции Грина (16) функцию Грина в n-ном порядке
теории возмущений, заменив в полученном выражении функции Грина свободных частиц,
стоящие в начале и конце выражения для G
(n)
, соответственно волновыми (полевыми)
функциями начального
нач
и конечного *
кон
состояний.
40
15. Изменения в проблеме причинности в релятивистской квантовой
теории. Функция Грина (пропагатор) свободной дираковской частицы в
импульсном представлении. Учет причинности – фейнмановское
доопределение +iε.
Метод функций Грина в релятивистской квантовой теории
В релятивистской квантовой теории наряду с состояниями частиц присутствуют состоянии
античастиц, которые трактуются как состояния с отрицательной энергией и импульсом,
направленным в противоположную сторону.
Схема допустимых “траекторий” в НКМ
Рис.1 Рассеяние частиц
Схема допустимых “траекторий” в РКМ
Рис.2. (а) Рассеяние частиц. (б) Рассеяние античастиц. (в) Аннигиляция и рождение пар.
Элементарные процессы в РКМ
Соседние файлы в папке Экзамен