Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
51
Тогда интеграл (4) был бы пропорционален фактору: d4x exp[i(p2-p1∓k] = (2)4
(4)
(p2-p1∓k), т.е.
должен выполняться закон сохранения энергии-импульса процесса. Но из кинематики процесса
следует, что p2p1k. Это очевидно и из классической теории поля – свободная заряженная частица
не излучает – не может испустить или поглотить фотон.
Таким образом, первый порядок теории возмущений может описывать только рассеяние частиц
(или античастиц) внешним электромагнитным полем.
В случае стационарного (не зависящего от времени) электромагнитного поля A(x) можно
проинтегрировать соотношение (4) по времени:
A(p2-p1) = d3xA(x)exp(-i(p2-p1)x)
-
dt exp(i(E2-E1)t) = A(p2-p1)(2)(E2-E1). (6)
В стационарном случае имеет место закон сохранения энергии.
Окончательно, амплитуда рассеяния частиц внешним электромагнитным полем в первом порядке
теории возмущений имеет вид:
iT
fi
(1)
= [u2(p2)/2E2] [(-ie)A(p2-p1)] [u1(p1)/2E1] (частицы)
(7)
Если рассматривать рассеяние античастиц внешним электромагнитным полем, то начальные и
конечные состояния античастиц следует поменять местами по отношению к амплитуде для частиц,
как указано в предыдущей лекции, и, кроме того, надо заменить биспиноры u(p) на биспиноры v(p):
iT
fi
(1)
=[v1(p1)/2E1] [(-ie`)A(p1-p2)][v2(p2)/2E2] (античастицы)
(8)
Здесь e`=-e – заряд античастиц.
Графическая диаграмма процесса для частиц изображена на Рис.1, для античастиц – на Рис.2.
Условимся, что время “течет” слева направо. Каждой спинорной частице сопоставляется сплошная
прямая линия со стрелкой по направлению времени, античастице – то же со стрелкой против
направления времени. Взаимодействие с внешним полем будем графически изображать волнистой
линией с крестиком на конце (волнистая линия без крестика будет означать взаимодействие с
фотоном). В одной точке – точке взаимодействия, называемой вершиной, в КЭД сходятся две
сплошные и одна волнистая линия, что соответствует лагранжиану взаимодействия КЭД:
L
int
= e(x)(x)A(x).
Рис.1 Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) частицы,
взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.
52
Рис.2. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) античастицы,
взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.
2 Рассмотрим второй порядок теории возмущений (вторую итерацию) для функции Грина S(x2, x1):
S(x2, x1) = T{d4x3d4x4 S0(x2-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x4)(-ieÂ(x4))S0(x4-x1)}.
По общим правилам запишем инвариантную амплитуду во втором порядке теории возмущений
(рассмотрим, для определенности, процесс для частиц):
iT
fi
(2)
= T{d4x3d4x4f(x3) (-ie)A(x3)S0(x3-x4)(-ie)A(x4)i(x4)} (9)
T{...} означает хронологическое произведение операторов.
Будем рассматривать взаимодействие с фотонами (формула (5``)):
A(x3) = (
⩮
2
(2)
/22)exp(ik2x3)
A(x4) = (
⩮
1
(1)
/21)exp(ik1x4).
i и
f
описываются формулами (2).
S0(x3-x4) запишем в виде разложения Фурье:
S0(x3-x4) = (d4p/(2)4i) [-(p+m)/(p2-m2+i)] exp[-ip(x3-x4)]
Подставим приведенные выше выражения в формулу (9) и проинтегрируем экспоненциальные
множители по переменным x3 и x4 при t3>t4:
d4x3 exp[i(p2-pk2)x3] = (2)4
(4)
(p∓k2-p2),
d4x4 exp[i(p-p1k1)x4] = (2)4
(4)
(p1∓k1-p).
Формула (9) при t3>t4 приобретет вид:
iT
fi
(2)
= (d4p/(2)4i)[u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4
(4)
(p∓k2-p2)][
⩮
2
(2)
/22]
[-(p+m)/(p2-m2+i)][(-ie)(2)4
(4)
(p1∓k1-p)]
⩮
1
(1)
/21][u1(p1)/2E1]. (10)
При t3<t4 взаимодействия в точках x3 и x4 меняются местами.
iT
fi
(2)
= (d4p`/(24)i) [u2(p2)/2E2][(-ie)(2)4
(4)
(p`∓k1-p2)][
⩮
1
(1)
/21]
[-(p`+m)/(p`2-m2+i)][(-ie)(2)4
(4)
(p1∓k2-p`)][
⩮
2
(2)
/22][u1(p1)/2E1] (11)
Для античастиц надо поменять u1(p1)/2E1 на v2(p2)/2E2, и u2(p2)/2E2 на v1(p1)/2E1.
53
Теперь дадим графическую интерпретацию инвариантной амплитуды процессов (10) и (11)
Рис.3. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (10).
Рис.4. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (11).
В каждой вершине взаимодействия с фотоном стоит -функция, знаменующая закон сохранения
энергии-импульса в каждой вершине. Верхний знак минус в -функции формул (10-11) соответствует
излучаемому фотону и поляризации *, нижний знак – поглощаемому фотону и поляризации .
Свободная функция Грина спинорной частицы (отныне мы будем называть ее пропагатором)
переносит частицу без взаимодействия из одной пространственно-временной точки в другую. В
графической интерпретации пропагатору соответствует внутренняя линия диаграммы – это
виртуальная частица, которая рождается в некоторой точке и уничтожается в другой точке. Ее время
жизни ограничено (в КЭД характерное время жизни составляет ~10
-16
-10
-18
сек). Из принципа
неопределенности Гейзенберга следует, что такая частица не может обладать строго заданной
энергией или импульсом. Поэтому в формулах (10-11) происходит интегрирование по всей области
энергий-импульсов. Но поскольку пропагатор имеет полюсной характер, то наибольший вклад в
процесс всегда дают конфигурации частиц вблизи полюсов.
Сопоставляя графическую запись амплитуды с ее аналитической записью (7-8;10-11), мы приходим к
наиважнейшим понятиям - правилам Фейнмана. Правила Фейнмана для элементов S-матрицы
сопоставляют каждому графическому элементу диаграммы аналитический элемент.
Полный перечень правил Фейнмана для инвариантной амплитуды (элементов S-матрицы) в КЭД
приведен ниже в Приложении к лекции 11.
Свободная функция Грина фотона – пропагатор фотона в импульсном представлении
Мы пока не получили свободной функции Грина фотона (пропагатора фотона) в импульсном
представлении. Получим пропагатор фотона по аналогии с фермионным пропагатором, не
рассматривая интегрального уравнения для фотонов.
Внутренняя фотонная линия (обозначается волнистой линией) связывает две вершины с индексами
и .
Пропагатор спинорной частицы в импульсном представлении:
S0(p) = -(p+m)/(p2-m2+i) = -[ u(p)u(p)]/(p2-m2+i)
Построим по тому же принципу фотонный пропагатор в импульсном представлении.
Во-первых, фотон безмассовый m=0. Во-вторых, сумма по поляризациям
()
()
=-g. Заменим в
S0(p) сумму по спиральностям суммой по поляризациям фотона и положим m=0.
Пропагатор фотона (его обозначают D(k)) в импульсном представлении имеет вид:
54
D(k) = g/(k2+i) (12)
Далее, исходя из полученных результатов (7), (8), (10), (11), получим соответствие между
графическими и аналитическими элементами для инвариантной амплитуды (S-матрицы). Это и есть
правила Фейнмана для вычисления инвариантной амплитуды процессов квантовой электродинамики
(КЭД). Порядку n теории возмущений соответствует диаграмма с n вершинами. Условимся, что
время “течет” слева направо. Из формул (7,8,10,11) с очевидностью следуют правила Фейнмана.
Например, каждой входящей спинорной частице (т.е. частице в начальном состоянии) с 4-импульсом
p сопоставляется графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной вперед по времени,
причем эта сплошная линия снабжается значением 4-импульса р. Из формул (7-10) ясно, что
аналитически ей соответствует величина в S-матрице [u(p)/2E]. Аналогично, выходящей частице
(частице в конечном состоянии) соответствует фактор [u(p)/2E].
Входящей спинорной античастице (в начальном состоянии) с 4-импульсом p сопоставляется
графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной против направления времени, и она
снабжается индексом 4-импульса (-p); аналитически ей соответствует величина [v(p)/2E],
выходящей спинорной античастице (в конечном состоянии) соответствует величина [v(p)/2E].
Свободному излучаемому фотону сопоставляется волнистая линия c индексом k и аналитический
фактор [*
()
2], поглощаемому фотону – фактор [
()
2].
Вершине взаимодействия с фотоном из формул (7, 8, 10, 11) соответствует фактор:
(-ie)(2)4
(4)
(pi). pi означает закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине.
Вершине взаимодействия с внешним электромагнитным полем соответствует фактор:
(-ie)A(q), где A(q) = d4x A(x)exp(iqx) – Фурье-образ 4-потенциала электромагнитного поля.
Аналитический фактор, соответствующий пропагатору спинорных частиц:
(d4p/(2)4i) .... [-(p+m)(p2-m2+i)]
Аналитический фактор, соответствующий пропагатору фотона:
(d4k/(2)4i) ... [g/(k2+i)]
и так далее.
Очень важна очередность аналитических факторов при записи инвариантной амплитуды, поскольку
все аналитические величины, связанные с фермионами, спинорными частицами, представляют
матрицы, которые не коммутируют друг с другом.
Еще надо отчетливо понимать, что фермионные (антифермионные) линии на диаграммах Фейнмана
никогда не прерываются в силу закона сохранения заряда, поскольку каждый фермион несет заряд,
который нельзя передать фотону, который является истинно нейтральной частицей.
Подробно правила Фейнмана изложены в Приложении к лекции №11.
55
18. Правила Фейнмана диаграммной техники для инвариантной
амплитуды в квантовой электродинамике.
Правила Фейнмана для вычисления элементов S-матрицы в КЭД
1. Внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор: ū(p)/2E. На диаграмме Фейнмана
внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется сплошная линия, выходящая из вершины.
Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь p – 4-импульс фермиона, – спиральность, ū(p) –
дираковски сопряженный биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона (точка на диаграмме всюду
отвечает вершине взаимодействия).
•⎯→⎯ ū(p)/2E
p
2. Внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор u(p)/2E. На диаграмме Фейнмана
внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной
линии приписывается 4-импульс p. Здесь u(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона.
⎯→⎯• u(p)/2E
p
3. Внешнему антифермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор v(p)/2E. На диаграмме Фейнмана
ему сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4-импульс (-p).
Здесь v(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние антифермиона.
•⎯⎯ v(p)/2E
-p
4. Внешнему антифермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор v(p)/2E. На диаграмме
Фейнмана ему сопоставляется выходящая из вершины сплошная линия, которой приписывается 4-импульс (-p).
⎯⎯• v(p)/2E
-p
5. Поглощаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор
()
/2.
На диаграмме Фейнмана поглощаемому фотону сопоставляется волнистая линия, входящая в вершину, с
указанием 4-импульса фотона k,
()
- 4-вектор его поляризации; 4-векторный индекс совпадает с
соответствующим индексом матрицы Дирака в вершине поглощения, индекс () отмечает тип поляризации
поглощаемого фотона.
• ()
()
/2
k
6. Излучаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор
()
*/2.
На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется волнистая линия, выходящая из вершины. 4-векторный индекс
совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака в вершине излучения.
() •~
()
*/2
k
7. Каждой вершине излучения (поглощения) фотона заряженным фермионом (антифермионом) сопоставляется
фактор (-ie) (здесь e – заряд электрона). Кроме того, в каждой вершине 4-импульсы пересекающихся
(входящих и выходящих) линий удовлетворяют закону сохранения 4-импульса, т.е. p1k=p2, где p1, p2 – 4импульсы входящей и выходящей из вершины фермионной линии (для антифермионной линии p1→-p1, p2→p2), k – 4-импульс поглощаемого или излучаемого в вершине фотона. Каждой вершине соответствует фактор
(2)4
(4)
(p1k-p2).
56
8. Внешнему электромагнитному полю сопоставляется фактор (-ie)A(q), где Фурье-компонента внешнего
поля A(q)=d4xe
i(qx)
A(x), где q=(p2-p1). Если поле A(x) не зависит явно от времени, то вершине взаимодействия
с ним сопоставляется фактор (-ie)2(E1-E2)A(q), где A(q)=d3xe
-iqx
A(x), где q=p2-p1 -функция отражает
закон сохранения энергии фермиона (антифермиона), взаимодействующего со стационарным внешним полем.
На диаграмме Фейнмана внешнему полю сопоставляется волнистая линия с крестиком на свободном конце и
фактор (-ie)A(q) – для нестационарного внешнего поля; или фактор (-ie)A(q)2(E1-E2) – для
стационарного внешнего поля.
9. Внутреннему (виртуальному) фермиону (антифермиону) сопоставляется пропагатор S0(p)=-(p+m)/(p2-m2+i).
На диаграмме Фейнмана виртуальному фермиону (антифермиону) сопоставляется сплошная линия,
соединяющая две вершины. Здесь p – 4-импульс, переносимый фермионом. По 4-импульсам всех внутренних
фермионных (антифермионных) линий проводится интегрирование d4p/(2)4i (используя
(4)
-функции законов
сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).
•⎯→⎯⎯• d4p/(2)4i … [-(p+m)/(p2-m2+i)]
p
10. Внутреннему (виртуальному) фотону сопоставляется фотонный пропагатор D=g/(k2+i), где k – 4импульс, переносимый виртуальным фотоном. На диаграмме Фейнмана виртуальному фотону соответствует
волнистая линия между вершинами испускания и поглощения фотона. По 4- импульсам всех внутренних
фотонных линий проводится интегрирование d4k/(2)4i (с учетом
(4)
-функций, отражающих законы
сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).
() •~~~~~~~• () d4k/(2)4i … [g/(k2+i)]
k
11. Непрерывная последовательность фермионных линий на диаграмме Фейнмана снабжается стрелками,
причем каждой внешней фермионной линии и каждому отрезку внутренней фермионной линии между
вершинами взаимодействия приписывается 4-импульс p, а антифермионным – (-p). Антифермионной
непрерывной последовательности линий приписывается стрелками обратное направление по сравнению с
причинной последовательностью событий, то есть антифермионная линия направлена из будущего в прошлое.
Каждая пара антифермионных внешних концов (если эти концы представляют начало и конец одной
последовательности антифермионных линий) вносят в амплитуду процесса фактор (-1).
⎯⎯/ /⎯⎯
(-p) (-p`)
12. Диаграммы процессов, содержащих тождественные фермионы (антифермионы) в начальных (конечных)
состояниях следует антисимметризовать по любой паре начальных (конечных) тождественных частиц и
сложить все диаграммы со всевозможными неэквивалентными перестановками внешних входящих
(выходящих) концов с такими относительными знаками, которые обеспечивают указанную антисимметрию. В
случае тождественных бозонов (фотонов), находящихся в начальных или конечных состояниях, диаграммы
следует симметризовать, сложив все неэквивалентные диаграммы с переставленными входящими
(выходящими) концами.
57
Примечания
а) В правилах Фейнмана везде фигурирует заряд электрона (заряд позитрона не фигурирует!), измеряемый в
системе единиц Хевисайда. Этот заряд e связан с зарядом e0, измеренным в гауссовской системе единиц,
соотношением e=4e0. e2/4=1/137.
б) В диаграммной технике КЭД в одной вершине сходятся две фермионные (антифермионные) линии и одна
фотонная, что обусловлено структурой лагранжиана взаимодействия КЭД:
L
int
= e(x)(x)A(x).
в) При аналитической записи элементов S-матрицы необходимо с помощью правил Фейнмана последовательно
полностью описывать каждую фермионную (антифермионную) линию, начиная с конца выходящей стрелки и
до ее начала, “двигаясь” вдоль линии в направлении, обратном направлению стрелки. Это приведет к
правильной последовательности чередования матриц, так как все факторы, относящиеся к фермионным
(антифермионным) линиям, являются матрицами.
58
19. Схема расчета рассеяния электронов кулоновским полем ядра.
Формула Мотта.
Рассеяние электрона кулоновским полем ядра – формула Мотта
Для любого процесса прежде всего определяем и рисуем все возможные диаграммы Фейнмана в том
порядке теории возмущений, в котором рассматривается процесс.
Рассеяние электронов внешним кулоновским полем (-Ze)/r происходит уже в первом порядке теории
возмущений и определяется одной диаграммой Фейнмана (Рис.15).
Рис.15.
Теперь по правилам Фейнмана запишем инвариантную амплитуду процесса:
iT = [u2(p2)/2E2][-ie][A(p2-p1)][u1(p1)/2E1].
4-потенциал для кулоновского поля имеет только нулевую компоненту A(x) = (A0(x), 0, 0, 0),
где A0(x) = -Ze/4r. Кулоновское поле – статическое (не зависит от времени).
A0(q) = (1/4) d3x (-Ze/r)exp(-iqr) = (-Ze)/q2 (берем Фурье-образ от Кулона, т.к. поле статическое –
трехмерный); A0(q)=A0(q)2(E2-E1)
Здесь элемент объема в сферических координатах: d3xdV=r2drd(cos)d. Интеграл Фурье от
кулоновского поля вычисляется по правилу: dV(1/r)exp(-iqr) = lim
→0
dV(1/r)exp(-iqr)exp(-r).
(Проделайте вычисления самостоятельно!)
В результате инвариантная амплитуда приобретает вид:
iT = (2E12E2)
-1/2
[iZe2/q2][u2(p2)0u1(p1)]2(E2-E1). (1)
Отступление. Расчетная техника.
От каждой фермионной (антифермионной) линии диаграммы в амплитуде возникает выражение
u
2
2
Ru
1
1
(или u2Rv1, или v2Ru1, или v2Rv1), где R – набор произведений матриц Дирака и 4-
импульсов частиц, участвующих в процессе. Заметим, что все перечисленные выражения являются
числами, а не матицами. Их матричная структура такова: сначала берется произведение столбца (u
или v) на 44-матрицу R, в результате получается столбец, затем этот столбец умножается на строку
59
(u или v), в результате получается число. Вообще инвариантная амплитуда всегда является числом,
а не матрицей.
Если начальное и конечное состояния не поляризованы, то необходимо усреднить квадрат
амплитуды |T|2, входящий в сечение, по поляризациям начальных частиц (т.е. взять сумму по
поляризациям начальных частиц, деленную не два, так как существуют два спиральных состояния с
=1: (1/2)
=1
|T|2) и просуммировать по поляризациям конечных частиц (т.е. взять сумму по
поляризациям конечных частиц от |T|2).
|T|2~[u2Ru1][u2Ru1]+ = [u2Ru1][u
2
+
0Ru1]+ = [u2Ru1][u
1
+R+
0
+
u2] = [u2Ru1][u
1
+
0
2R+
0u2] =
= [u2Ru1][u10R+0u2]. (2)
При выводе формулы (2) были использованы соотношения
0
2
=1,
0
+
=0.
Проведем в (2) суммирование и усреднение по поляризациям (спиральностям) частиц:
(1/2)
1=12=1
[u2(p2)Ru1(p1)][u1(p1)0R+0 u2(p2)]=(1/2)2{u2(p2)[R(p
1
+m)0R+0]u2(p2)}=
= (1/2)
2
[u2(p2)]i [R(p
1
+m)0R+0]ik [u2(p2)]k = (1/2)2[u2(p2)]k [u2(p2)]
i
[R(p
1
+m)0R+0]ik =
= (1/2){(p
2
+m)ki [R(p
1
+m)0R+0]ik = (1/2)Sp[(p
2
+m) R (p
1
+m) 0R+0 ]. (3)
При вычислении формулы (3) было использовано соотношение для проекционного оператора
P+= u(p)u(p)=(p+m);
(i и k – это матричные индексы i,k= 1,2,3,4); а также свойства перемножения матриц.
Таким образом, от каждой фермионной (антифермионной) линии при усреднении и суммировании по
поляризациям (спиральностям) возникает след.
____________________________________________________________________________________
Вычисление следов от произведений матриц Дирака и 5
Sp=0 Sp5=0.
Докажем, что след от нечетного числа -матриц равен нулю. Воспользуемся цикличностью следа,
антикоммутационным соотношением 5+5=0 и
5
2
=1, а также тем, что след есть число. Обозначим
это число буквой A.
A=Sp(12...
(2n-1)
) = Sp(
5
2
1...
(2n-1)
) = -Sp(51...
(2n-1)5
) = -Sp(1...
(2n-1)
) = -A = 0.
Теперь вычислим следы от 2-х и 4-х матриц Дирака. При вычислении используем
антикоммутационные соотношения для -матриц +=2gI
Sp() = 1/2Sp() +1/2Sp() = 1/2Sp(+) =1/2Sp(2gI) = gSpI = 4g. (Здесь I – единичная
44-матрица SpI=4).
Sp()=4g
(*)
Проверьте:
Sp(5)=0 (`)
Для получения формулы для следа четырех матриц Дирака будем последовательно “продвигать”
матрицу с первой позиции на последнюю (слева направо):
Sp() = Sp[(-+2gI)] = Sp[-] + 2g4g = Sp[-(-+2gI)] + 8gg =
= Sp[] – 8gg + 8gg = Sp[(-+2gI)] – 8gg + 8gg =
60
= -Sp() + 8gg -8gg + 8gg
Sp()=Sp() в силу цикличности следа. Окончательно получим:
Sp() = 4[gg – gg + gg] (**)
Для справок:
Sp(5) = 4i
(``)
________________________________________________________________________________
Вернемся к вычислению процесса рассеяния электрона кулоновским полем ядра.
Эрмитовски сопряжем амплитуду (1):
-iT+ = (2E12E2)
-1/2
[-iZe2/q2][u1(p1)0 u2(p2)]2(E2-E1) (3)
Квадрат амплитуды |T|2, используя формулу (2), усредним по начальным поляризационным
состояниям и просуммируем по конечным поляризационным состояниям:
|T |2 = (2E12E2)-1[Z2e4/q4](1/2)Sp{(p
2
+m)0(p
1
+m)0}[2(E2-E1)]
2
(4)
След вычисляется на основании формул (*) и (**).
(1/2)Sp{(p
2
+m)0(p
1
+m)0} = (1/2)Sp{p
20
p
10
+m200+mp
200
+m0p
10
} (5)
Так как след от нечетного числа -матриц равен нулю, слагаемые, пропорциональные массе, вклада
не дают. Подробно вычислим след от первого слагаемого, используя (**) и g00=1:
Sp{p
20
p
10
} = p2p1Sp[00] = 4p2p1[g0g0 - gg00 + g0g0] =
=4[2p10p20 –(p1p2)] = 4[2E1E2 – E1E2 + (p1p2)] = 4[E
0
2
+p
0
2
cos]
Наличие дельта-функции в амплитуде означает, что E1=E2E0=(p
0
2+m2)1/2
, т. е. происходит процесс
упругого рассеяния электрона. |p1|=|p2|p0. Угол между векторами импульсов начального p1 и
конечного p2 состояний обозначим . Передаваемый при рассеянии импульс
q=p2-p1; |q|=2p0sin/2.
Sp00=SpI=4
Заменим в (5) m2=E
0
2
-p
0
2
. Тогда выражение (5) приобретет вид:
(1/2)4[E
0
2
+p
0
2
cos +E
0
2
-p
0
2
] = 4[E
0
2
– p
0
2
sin2/2] = 4E
0
2
[1-v
0
2
sin2/2] (5`)
Здесь v0=p0/E0 – абсолютная величина скорости электрона до и после взаимодействия с кулоновским
полем ядра.
Теперь разберемся с квадратом дельта-функции.
[2(E2-E1)]2 = 2(E2-E1)2(0)
Разложение дельта-функции в интеграл Фурье:
(E)=(1/2)
-
exp(iEt)dt = (1/2){lim
→[-/2
/2
exp(iEt)dt]}. Отсюда (0)=lim
→{-/2
/2
dt/2}=/2.
[2(E2-E1)]2=2(E2-E1) (6)
где - нефизический параметр, определяющий время “наблюдения” процесса. Этот параметр
исчезнет из дифференциального сечения рассеяния.
Соседние файлы в папке Экзамен