Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Билеты по РКМ
.pdf
71
Рис.8.
Тогда можно записать точную функцию Грина фотона в виде интегрального уравнения.
Символически уравнение примет вид
D = D0 + D0ПD (2)
Полученное уравнение (2) представляет интегральное уравнение – уравнение Дайсона для точной
функции Грина фотона. Его можно получить с помощью итерационной процедуры, суммируя
последовательность фейнмановских диаграмм:
D = D0 + D0ПD0 + D0ПD0ПD0 + ... = D0{1 + (ПD0) + (ПD0)(ПD0) + ... } = D0/(1 - ПD0) (3)
Сумма в фигурных скобках представляет формально бесконечную геометрическую прогрессию.
Умножим уравнение Дайсона (2) слева на D
0
-1
и справа на D-1, получим:
D
0
-1
= D-1 + П или
D-1 = D
0
-1
- П (4)
Функция Грина (пропагатор) невзаимодействующего фотона равен D0 =1/(k2+i), D
0
-1=k2
+i
Из соотношения (4) находим точную функцию Грина фотона:
D(k) = 1/[k2+i - П(k)] = [1/(k2+i)][1/(1 – П(k)/k2] (5)
Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не
обращали внимание на то, что в теории встречаются бесконечности. При фактическом вычислении D
по теории возмущений встречаются расходящиеся выражения, которым без привлечения
дополнительных соображений нельзя приписать какого-либо определенного значения. В появлении
таких ультрафиолетовых расходимостей проявляется логическое несовершенство КЭД.
Однако в теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначно
“обходить” такие расходимости и в результате получать конечные выражения для всех величин,
имеющих физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования:
(a) масса фотона должна равняться нулю; (b) заряд и масса электрона должны быть равны их
наблюдаемым значениям.
Тогда на точный фотонный пропагатор D(k) следует наложить условие – пропагатор должен иметь
полюс при k2=0, совпадающий с квадратом массы реального фотона. Из (5) следует, что П(0)=0.
Способ устранения бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед
заданных значений, установленных физическими требованиями. Об этой процедуре говорят как о
перенормировке соответствующих величин.
Далее мы подробно рассмотрим перенормировку заряда. Квантово-полевой процесс,
“ответственный” за перенормировку заряда – это рождение виртуальными фотонами
короткоживущих состояний, пар заряженных частиц e+e-. То есть перенормировку заряда генерирует
поляризационный оператор П(k).
72
Действительно, рассмотрим какую-либо частицу с зарядом e0, являющимся источником
электромагнитного поля. Назовем заряд e0 “затравочным” или “голым” зарядом. Фотоны,
представляющие кванты электромагнитного поля “голой” частицы могут распадаться виртуально на
пары. Если начальный затравочный заряд, например, отрицательный, то он будет притягивать к себе
компоненты пар с положительными зарядами, а отрицательные заряды отталкивать на физическую
бесконечность. Вокруг затравочного заряда образуется облако зарядов противоположного знака,
которые экранируют затравочный заряд. Каждая заряженная частица в квантово-полевом смысле –
это сложнейшее “распухшее образование”, состоящее из начального затравочного заряда, окутанного
облаком зарядов противоположного знака, а также фотонами, квантами поля исходного заряда, со
всеми допустимыми в КЭД взаимодействиями между заряженными компонентами виртуальных пар,
между фотонами и заряженными частицами пар и т. д.
Что же “увидит” фотон, испущенный, например, пучком пролетающих электронов, если он будет
зондировать это сложнейшее по структуре квантово-полевое “образование”?
Мягкий фотон с большой длиной волны, много большей размеров этого “образования”, увидит все
распухшее образование как целое. Он увидит постоянную тонкой структуры =1/137 (что и видели
Кулон и Герц, Максвелл и Томсон). Жесткий высокоэнергичный фотон сможет проникнуть внутрь
этого образования в облако экранировки и “видеть” все больший заряд. Однако до точки
расположения затравочного заряда он проникнуть не сможет (собственная энергия затравочного
заряда e2/r→, когда r→0). В этом смысле затравочный, голый заряд оказывается неизмеримым.
Таким образом, перенормировка заряда обязана квантово-полевому процессу образования пар
виртуальными фотонами, следовательно, для проведения процедуры перенормировки нам
необходимо вычислить поляризационный оператор П(k).
73
23. Перенормировка заряда в КЭД (пользоваться конспектом для
расчета поляризационного оператора в однопетлевом приближении при
низких энергиях).
Процедура перенормировки заряда
В Приложении к лекции №15 мы вычислили поляризационный оператор во втором порядке теории
возмущений, то есть в однопетлевом приближении. Выпишем еще раз основные результаты,
полученные в Приложении.
П(k) = П0(k2)(kk - k2g) (1)
П0(k2) при низких энергиях |k|<<m имеет вид:
П0(k2) (/3)ln(L2/m2) + (/15)(k2/m2) (2)
L – нефизический обрезающий параметр.
П0(k2) при высоких энергиях |k|>>m имеет вид:
П0(k2) (/3)ln(L2/m2) – (/3)ln|-k2/m2|. (3)
Рассмотрим процедуру перенормировки заряда на примере одной из амплитуд ee-рассеяния. Добавим
к амплитуде низшего порядка теории возмущений ~e2 амплитуду ~e4, радиационную поправку, когда
при однофотонном обмене один раз образуется виртуальная электрон-позитронная пара
(однопетлевое приближение), которая описывается поляризационным оператором.
Рис.1.
iT =N M (2)4
(4)
(p1+p2-p1`-p2`) Здесь N – константа, содержащая числовые множители и корни из
энергии в знаменателе, не играющая никакой роли в процессе перенормировки.
Матричный элемент процесса с точностью до ~e4 записывается в виде:
M = e2(u1`u1)(g/k2)(u2`u2) + e2(u1`u1) (g
`
/k2)[k`k` - k2g
``]П0
(k2)(g
`
/k2)(u2`u2). (4)
Продольное слагаемое поляризационного оператора, пропорциональное kk, вклада не дает.
Действительно:
k = p1` - p1 = p2` - p2. Если k внести в левый множитель (u1`u1) или в правый множитель
(u2`u2), то, имея в виду алгебраические уравнения, которым подчиняются биспиноры u и u:
(p-m)u=0 и u(p-m)=0, получим: u1`(p
1
`-p
1)u1
= u1`(m-m)u1 = 0.
Продольное слагаемое поляризационного оператора обычно не дает вклада в процессы.
Упростим формулу (4):
M = e2(u2`u2)[1-П0(k2)](1/k2)(u1`u1). (5)
74
Назовем перенормированным зарядом eR заряд, который “видит” мягкий фотон с большой длиной
волны, с →0 – этот фотон “видит” как целое все сложнейшее квантово-полевое образование с
затравочным зарядом в центре. Заряд, который “видит” фотон, есть постоянная тонкой
структуры e
R
2
/4 = R 1/137.
Подставим в формулу (5) значение П0(k2) при низких энергиях:
M = e2(u2`u2)[1 – (/3)ln(L2/m2)](1/k2)(u1`u1). (6)
Изменение пропагатора в формуле (6) за счет учета поляризационного оператора физически
приводит к изменению заряда (его экранировке). Поэтому назовем перенормированным зарядом в
однопетлевом приближении заряд:
e
R
2
e2(1 – П0(0)) = e2(1-(/3)ln(L2/m2)] e2Z3. (7)
Соотношение (7) представляет перенормировку заряда в однопетлевом приближении.
Z3 называется константой перенормировки в однопетлевом приближении.
Мы получим точную перенормировку заряда, если учтем все возможные образования пар в
фотонном пропагаторе, то есть рассмотрим точную функцию Грина фотона. Точная функция Грина
фотона получена нами из уравнения Дайсона:
D = 1/[(k2+i)(1-П(k)/k2)] (8)
Для низких энергий
D = [1/k2+i][1/(1+(/3)ln(L2/m2))] (9)
Для точной перенормировки заряда надо заменить пропагатор в однопетлевом приближении (6):
D
(1)
= [1 – (/3)ln(L2/m2)](1/k2)
точным пропагатором (9).
Тогда мы получим точную перенормировку заряда.
Точная перенормировка заряда в КЭД
R = e
R
2
/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10)
Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда
В формулу для перенормировки заряда (10) входят два нефизических параметра – это затравочный
заряд (=e2/4), не измеримый на опыте, и параметр обрезания L ультрафиолетовой расходимости в
интеграле по петле. Объединив их в единой формуле, определяющей физически наблюдаемый заряд
R=1/137, мы “избавились” от расходимости, “завуалировали” ее в формуле (10).
Когда-то Ричард Фейнман назвал эту процедуру устранения расходимости “заметанием мусора под
ковер”. Лучше и не скажешь! Принципиальная проблема существования ультрафиолетовых
расходимостей в квантово-полевых теориях остается, но мы ее “спрятали” в физически наблюдаемой
величине.
Лэмбовский сдвиг
Второе слагаемое в поляризационном операторе при низких энергиях дает вклад в амплитуду (5),
пропорциональный:
75
~(
R
2
/15)(k2/m2)(1/k2) В координатном представлении k2→2, 1/k2→1/r Мы имеем поправку к
кулоновскому потенциалу ~ 2(1/r) = -4
(3)
(r). Эта поправка приводит к расщеплению уровней 2s и
2p в атоме водорода на 27 Мгц – это лэмбовский сдвиг. В лэмбовский сдвиг дает вклад, кроме того,
вершинная диаграмма, которая модифицирует электронный ток. На эксперименте наблюдается
расщепление 2s-2p уровня за счет лэмбовского сдвига ~ 1057 Мгц.
Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда.
Реальный фотон не индуцирует токов e+e- в вакууме. Действительно: П(k) = (kk - k2g)П0(k2). Для
реального фотона k2=0. Кроме того, для реального фотона П всегда умножается на поляризацию
фотона , но k=0. Поэтому поляризация вакуума во внешние фотонные линии вклада не дает.
76
24. Бегущая константа связи КЭД (k2) (пользоваться конспектом для
расчета поляризационного оператора в однопетлевом приближении при
высоких энергиях).
Бегущая константа связи КЭД
Обычно мы представляем себе постоянную тонкой структуры просто как некоторое число = e2/4
=1/137. По мере изменения передаваемого при рассеянии частиц импульса или масштаба расстояний,
на которых происходит зондирование частицы, постоянная тонкой структуры изменяется.
Когда жесткий фотон с большой энергией внедряется в облако положительно заряженных частиц,
экранирующих отрицательный затравочный заряд (причем генерирует процесс образования этого
облака эффект поляризации вакуума), он должен “видеть” все больший заряд. Величина заряда,
которую “видит” зондирующий фотон, должна зависеть от энергии зонда.
Из уравнения Дайсона физический пропагатор (функция Грина) фотона имеет вид
D = (1/k2+i)[1/(1-П(k)/k2)]
Снова полагая, что изменение фотонного пропагатора за счет эффекта поляризации вакуума несет
ответственность за изменение заряда частицы, запишем e2(k) = e2/[1-П(k)/k2] и подставим сюда в
качестве П поперечную часть поляризационного оператора при высоких энергиях:
(k2) = /[1 + (/3)ln(L2/m2) – (/3)ln|-k2/m2|] (11)
Поделим каждое слагаемое в числителе и знаменателе на (1+(/3)ln (L2/m2)). В результате мы
получим формулу, в которой присутствуют только физические перенормированные величины
зарядов и отсутствует нефизическая константа обрезания L.
Эта совершенно уникальная формула “рассказывает” нам, по какому закону с энергией меняется
константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или
эффективной) константой связи КЭД.
(k2) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|] (12)
Эта формула определяет поведение заряда КЭД с увеличением энергии по мере того, как
зондирующий фотон проникает все ближе к затравочному заряду (r→0). График поведения (k2) в
зависимости от |k2/m2| изображен на Рис. 2.
Рис.2.
Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение
константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия,
резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется
асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого
взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно
77
произойти Великое объединение, составляют ~1014 -1015 ГэВ, а объединение всех четырех
взаимодействий, с учетом гравитации, должно произойти при энергиях порядка массы Планка ~1019
ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД с ростом энергии, а
пунктирной линией – константы связи КХД.
78
25. Пределы применимости КЭД, следующие из отсутствия полюса
(сингулярности) Ландау в формуле для бегущей константы связи КЭД
(k2). Оценка предельных допустимых импульсов kпред в КЭД и
значение выражения (R/3)ln(L2/m2) при значении
LMВселеннойm1080 (здесь m – масса электрона).
Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение
константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия,
резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется
асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого
взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно
произойти Великое объединение, составляют ~1014 -1015 ГэВ, а объединение всех четырех
взаимодействий, с учетом гравитации, должно произойти при энергиях порядка массы Планка ~1019
ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД с ростом энергии, а
пунктирной линией – константы связи КХД.
Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД.
Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения (k
2
) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|] (12)
обращается в нуль, т. е. имеет полюс при (R/3)ln|-k2/m2| = 1.
Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым
(k2) должна обращаться в бесконечность при каком-либо k2, а, следовательно, полюс Ландау
никогда не достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные импульсы и
параметры обрезания в КЭД.
(R/3)ln|k
2
max
/m2| < 1 или
k
max
~ L mexp(3/2R) m10
280
.
Полученное число чрезвычайно велико. Если учесть, что по современным оценкам масса Вселенной
составляет приблизительно M
вселенной
m1080, то полученное значение на 200 порядков превышает
массу Вселенной. Если в соотношение для перенормировки заряда поставить в качестве обрезающего
параметра даже массу Вселенной, то величина (/3)ln(L2/m2) составит всего лишь величину,
существенно меньшую единицы ~ 0,285.
Квантовые радиационные поправки приводят к зависимости зарядов, определяющих каждое из
существующих взаимодействий, к их зависимости от энергии, но эта зависимость слабая –
логарифмическая. Согласно современному сценарию на масштабах порядка массы Планка
MP = G
N
-1
10
19
ГэВ
(GN – константа гравитационного взаимодействия Ньютона), на которых становятся существенными
квантовые гравитационные эффекты, имеется колоссальное многообразие частиц и взаимодействий
между ними.
До энергий E << MP доживают лишь самые легкие из частиц и лишь перенормируемые
взаимодействия. На доступных пока для нас энергиях мы видим сложившийся, привычный мир,
состоящий из лептонов и кварков с присущими им электрослабыми и сильными взаимодействиями, и
находимся на пути осмысления квантовой гравитации.
Соседние файлы в папке Экзамен