Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
Модуль 5: Спин
ˆ
( , )
ij i j
a e Ae
,
ij
ee
Семинар 5-1. Матрицы операторов
Сегодня мы будем решать задачи, посвященные матрицам операторов. Напомню, что каждому
линейному оператору можно поставить в соответствие некоторую матрицу из чисел, размерность
которой совпадает с размерностью линейного пространства, в котором действует оператор, и с
помощью которой можно найти, как действует этот оператор с помощью умножения его матрицы на
столбик координат того элемента, на который оператор действует.
Матричными элементами матрицы оператора являются числа
(1)
где
— базисные элементы в рассматриваемом линейном пространстве. Это формула позволяет
находить матрицы операторов и исследовать их свойства.
При переходе от одного ортономированного базиса к другому матрица оператора меняется, но
шпур (сумма диагональных элементов) и детерминант (определитель матрицы) не изменяются.
Из формулы (1) следует, что если в качестве базисных взять собственные функции некторого
оператора, то его матрица будет диагональной, а на диагонали будут стоять собственные значения.
Ну а теперь — задачи.
1. Оператору, действующему в двумерном линейном пространстве, при некотором выборе базиса
12
34
1 2 1 5
3 4 2 11
ˆ
A
ˆ
B
12
ˆ
34
A
56
ˆ
78
B
ˆ
A
ˆ
B
21 28
33 54
19 21
44 56
20 29
42 51
19 22
43 50
1 2 5 6 19 22
3 4 7 8 43 50
12
ˆ
34
A
34
ˆ
56
B
26
ˆ
ˆ
62
AB
ˆ
ˆ
0AB
26
ˆ
ˆ
26
AB
26
ˆ
ˆ
62
AB
ˆ
A
ˆ
B
1 2 3 4 3 4 1 2 13 16 15 22 2 6
3 4 5 6 5 6 3 4 29 36 23 34 6 2
12i
i
11
12i
12i
i
12
34
отвечает матрица
. Какая функция получится при действии этого оператора на функцию,
имеющую в выбранном базисе координаты 1 и 2
А. нулевая Б. с координатами 5 и 13 В. с координатами 5 и 11 Г. с координатами 6 и 11
Решение. Матрица оператора строится так, что с ее помощью можно по координатам того элемента,
на который действует оператор, найти координаты элемента, который получится в результате
действия. Для этого нужно матрицу оператора умножить по правилам матричного умножения
(«строка на столбец») на столбик координат того элемента, на который действует оператор.
Результатом будет столбик координат элемента, получающегося в результате действия оператора.
Умножая матрицу на столбец
Ответ В.
2. Операторам
,
и
, действующим в двумерном пространстве отвечают следующие матрицы:
. Какая матрица отвечает оператору, равному произведению операторов
и
?
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Матрицей произведения операторов является матрица, равная произведению матриц
операторов сомножителей. Перемножая матрицы операторов, получим
Ответ Г.
3. Чему равен коммутатор двух операторов, заданных матрицами
А.
Решение. Матрица коммутатора операторов
Б.
В.
и
есть коммутатор матриц их операторов.
Г.
и
?
Перемножая матрицы в разном порядке и вычитая одно произведение из другого, получим
Ответ А.
4. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового оператора?
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Матрицей, эрмитово сопряженной к матрице некоторого оператора, является матрица,
транспонированная и комплексно сопряженная по отношению к матрице этого оператора. Поэтому
матрицей эрмитового оператора будет такая матрица, что транспонированная и комплексно
ˆ
( , )
ij i j
a e Ae
ˆ
A
ˆ
j j j
Ae e
j
ij j ij
a
1 2 3
234
3 4 5
сопряженная к ней матрица совпадает с ней самой. Таковой среди данных матриц является только
матрица В. Ответ В.
5. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать нормированные собственные функции
некоторого эрмитового оператора, то его матрица
А. равна единичной Б. кратна единичной В. диагональная Г. антисимметричная
Решение. Матричные элементы матрицы оператора определяются через результат действия на
базисные элементы (лекция 5-1)
(*)
Если в качестве базисных использовать собственные функции оператора
(
—
собственные значения), из (*) получим, пользуясь ортонормированностью собственных функций
Т. е. матрица оператора кратна единичной. А на диагонали стоят собственные значения оператора.
Ответ Б.
6. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит
А. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями
Б. выбрать другой базис, в котором матрица оператора кратна единичной
В. выбрать другой базис, в котором матрица оператора равна единичной
Г. выбрать другой базис, в котором матрица оператора диагональна
Решение. При переходе к другому базису матрица оператора (которая зависит от базиса) изменяется.
Привести матрицу оператора к диагональному виду означает выбрать такой базис, в котором
матрица оператора будет диагональной. Ответ Г.
7. Оператор задан матрицей
оператора?
А. 1 Б. 3 В. 5 Г. 9
Решение. При преобразовании базиса преобразуются и матрицы операторов. Но, как указывалось в
конце лекции 5-1, у такого преобразования есть два инварианта — след или шпур матрицы (сумма
диагональных элементов) и ее определитель. Поскольку данная матрицы эрмитова, ее собственные
функции образуют базис в пространстве, в котором действует оператор. В этом базисе матрица будет
диагональной, причем на диагонали находятся собственные значения. Отсюда заключаем, что сумма
собственных значений равна шпуру данной матрицы, т. е. 9.
Ответ Г.
. Чему равна сумма всех собственных значений этого
8. Оператор задан матрицей
12
23
. Чему равно произведение всех собственных значений этого
оператора?
А. 1 Б. 2 В. –1 Г. –2
Решение. Данная матрица отвечает эрмитовому оператору, поэтому ее можно диагонализовать.
Поскольку детерминант инвариантен относительно преобразования базиса, а в диагонализованном
виде он равен произведению собственных значений, заключаем, что произведение собственных
значений равно –1. Ответ В.
Модуль 5: Спин
z
s
21s
1
2
()
...
...
z
C
C
s
ij
a
ˆ
( ) ( )
zz
A s s
()
z
s
1 11 1 12 2 11 12 1 1
2 21 1 22 2 21 22 2 2
... ...
ˆ
... ...
... ... ... ... ... ... ...
a a a a
A a a a a
2
1 0 0 1 0 1 0
1 1 1 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , ,
0 1 1 0 0 0 1
2 2 2 4
z x y
i
s s s s
i
Семинар 5-2. Спиновые волновые функции и спиновые операторы
Для описания спина вводится спиновая волновая функция, аргументом которой является
дискретная «спиновая координата»
, которая принимает значения, равные различным возможным
значениям проекции спина на ось z, а само значение функции при некотором значении спиновой
координаты определяет вероятность того, что спиновая координата — проекция спина на ось z —
может быть обнаружена при измерениях. Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо
введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее принято записывать в
виде столбца, содержащего
компонент (s — значение спина)
(1)
Каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица
из чисел
оператора
, с помощью которой можно найти, как действует этот оператор: результат действия
можно записать как произведение его матрицы на спинор
(согласно
правилам матричного умножения)
Для частиц со спином 1/2 матрицы спина таковы
Ну а теперь — задачи.
(2)
(3)
1. Какие значения может принимать проекция спина электрона на ось y и с какими вероятностями?
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
1/ 2s
1/ 2
z
s
1/ 2
z
s
99/2s
, 1, 2,...s s s s
21s
1/ 2
0
()
3 / 2
0
z
s
i
z
21s
3/2s
, 1, 2,...s s s s
z
z
1s
3/2
z
s
1/ 2
z
s
3 / 2
1/2
1
0
1
1
1
2
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Как показывает опыт, спин электрона равен
два значения
2. Спин частицы равен
и
и
, вероятности зависят от состояния
с равными вероятностями
. Поэтому проекция может принимать
и
. А вот вероятности зависят от состояния. Ответ В.
. Какова размерность линейного пространства спиновых функций
частицы?
А. 99 Б. 100 В. 101 Г. 102
Решение. Размерность линейного пространства спиновых функций равна числу возможных
значений его проекции на ось:
, т. е.
. В данном случае 100. Ответ Б.
3. Состояние частицы описывается следующей спиновой волновой функцией
.
Будут ли спин частицы и его проекция на ось
иметь определенные значения в этом состоянии?
А. спин — нет, проекция — да Б. спин — да, проекция — нет
В. и спин, и его проекция Г. ни спин, ни его проекция
Решение. Спин частицы в любом состоянии имеет определенное значение, поскольку эта величина
является характеристика частицы. Величина спина связана с размерностью спиновой функции,
которая равна
Проекция может принимать значения
. Поэтому в данном состоянии спин имеет определенное значение
, а вероятности этих значений определяются
квадратом спиновой функции. Причем согласно договоренности квадрат верхнего числа в столбике
есть вероятность того, что при измерении проекции спина на ось
будет получено максимально
возможное значение — s, квадрат второй компоненты — вероятность того, что при измерении
проекции спина на ось
проекция может принимать 2 значения
будет получено значение —
с вероятностью 1/4 и
и т. д. Поэтому в данном состоянии
с вероятностью 3/4.
.
Ответ Б.
4. Ниже приведены спиновые волновые функции трех состояний частицы. В каком из них частица
имеет определенный спин?
(1)
А. только в состоянии (1) Б. только в состоянии (2)
, (2)
, (3)
В. только в состоянии (3) Г. во всех перечисленных
2
ˆ
s
1
0
0
1
1
1
1
1
1
i
1
i
2
ˆ
s
3 / 11
()
2/11
z
i
s
z
1/ 2s
1/ 2
z
s
1/ 2
z
s
2
1/ 4
z
s
2
ˆ
s
10
3
01
4
10
3
01
4
10
1
01
4
10
1
01
4
2
ˆ
s
( 1)ss
ˆ
z
s
z
s
10
1
01
2
10
1
01
2
01
1
10
2
0
1
0
2
i
i
ˆ
z
s
z
s
2
ˆ
y
s
1
0
0
1
1
1
1
1
1
i
1
i
Решение. Спин частицы в любом состоянии имеет определенное значение, поскольку эта величина
является характеристика частицы. Поэтому во всех состояниях спин имеет определенное значение.
Ответ Г.
5. Какие из ниже перечисленных функций являются собственными функциями оператора
А. только
В. только
и
и
Б. только
и
Г. все двухкомпонентные столбцы
?
Решение. Поскольку во всех состояниях спин частицы имеет определенное значение, то любая
спиновая функция с определенным количеством компонент является собственной функцией
оператора
6. Частица находится в состоянии с волновой функцией
проекции спина на ось
. Ответ Г.
. Будет ли квадрат
иметь определенное значение в этом состоянии?
А. да Б. нет
В. зависит от способа измерений Г. недостаточно информации
Решение. Поскольку спин данной частицы равен
, проекция спина может принимать два
значения
единственное значение —
7. Спин частицы равен 1/2. Матрица оператора
А.
Б.
Решение. Матрица оператора
8. Спин частицы равен 1/2. Матрица оператора
А.
Б.
Решение. Матрица оператора
и
, то квадрат проекции в любом измерении может принимать
. Ответ А.
— это
В.
кратна единичной с множителем
В.
в
-представлении диагональна с собственными значениями по
Г.
в
-представлении — это
Г.
. Поэтому Ответ А.
главной диагонали. Поэтому Ответ Б (множитель 1/2 вынесен из матрицы и стал общим).
9. Спин частицы равен ½. Какие из перечисленных функций являются собственными функциями
оператора
?
А.
и
Б.
и
В.
и
Г. любые двухстрочные столбцы
Решение. Поскольку для частицы со спином
1/ 2s
y
1/ 2
y
s
1/ 2
y
s
2
1/ 4
y
s
2
ˆ
y
s
0
()
1
z
s
1/ 4
x
s
1/ 4
x
s
1/3
x
s
0
x
s
z
s
0
x
s
2
z
s
0
( ) 1/ 2
3 / 2
z
s
1s
1
z
s
0
z
s
2 2 2
3 1 3
( 1) (0)
4 4 4
z
s
11
11
11
11
10
10
, проекция спина на любую ось (в том числе и на
) может принимать два значения
принимать единственное значение —
собственным для оператора
. Ответ Г. Отмечу, что именно поэтому матрица квадрата любой из
и
. Поэтому квадрат проекции может
. Поэтому любой двухкомпонентный столбей является
матриц проекций спина кратна единичной с множителем 1/4.
10. Чему равно среднее значение проекции спина на ось x в состоянии
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Как и для любого момента в состоянии с определенным значением одной проекции,
другие проекции не определены и принимают значения, симметрично распределенные относительно
нуля. Поэтому в данном состоянии, которое является состоянием с определенным значением
. Ответ Г.
11. Найти
в состоянии с волновой функцией
,
А. 3/4 Б. 1/4 В. 3/8 Г. 1/8
Решение. Согласно определению спин частицы
вероятностью 3/4 и значение
с вероятностью 1/4. Поэтому
, проекция принимает значение
Ответ А.
12. Найти собственные значения оператора, заданного матрицей
А. 1 и –1 Б. 2 и 1 В. 2 и 0 Г. 2 и –2
Решение. Уравнение на собственные значения дает
с
где
— искомое собственное значение, и — компоненты искомой собственной функции.
Умножая матрицу на столбец, получим по компоенентам
Система однородных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель
11
0
11
1
2
2
0
равен нулю
Отсюда
,
. Ответ В.
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
2
( ) ( ) ( ) 0f x k x f x
2
( ) 0kx
12
( ) exp ( ) exp ( )
xx
aa
f x C i k t dt C i k t dt
2
( ) 0kx
12
( ) exp | ( ) | exp | ( ) |
xx
aa
f x C k t dt C k t dt
2
()
1
()
kx
kx
2
| / |kk
( ) constUx
2
| ( )/ ( ) |k x k x
длина
1
длина
2
1
длина
безразмерный
Семинар 1.1. Квазиклассическое приближение. Функции, точность, правила квантования
Сегодня мы с вами будем решать задачи на квазиклассическое приближение. Причем задачи это будут тестовые, допускающие быстрый ответ в уме и позволяющие лучше почувствовать возможности метода. Какое-то количество задач я дам вам для самостоятельного решения.
Но сначала небольшое напоминание. Квазиклассическими решениями одномерного уравнения
Шредингера
являются следующие функции:
при
при
Точность этих решений определяется неравенством
,
а малый параметр
называется параметром квазиклассичности. А теперь — задачи.
1. Квазиклассическое приближение работает, если
А. потенциальная энергия является резкой функцией координаты
Б. потенциальная энергия является плавной функцией координаты
В. потенциальная энергия является маленькой
Г. все перечисленное неверно
,
.
Решение. Основная идея квазиклассического приближения заключается в том, что решение
уравнения Шредингера в потенциале, который является плавной функцией координаты, должно
быть похоже на известное решение в постоянном потенциале и допускать переход в эти реше-
ния при
. Поэтому квазиклассическое приближение работает, если потенциальная
энергия является плавной функцией координаты (ответ Б).
2. Какова размерность параметра квазиклассичности
А.
Б.
В.
Г.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика