Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
7
Решение. Исходим из формулы теории возмущений для возмущенных волновых функций ста-
0
00
0
0
n
n
n
n
V
f
i
i
0n
V
m
r
n
l
( ) ( , )
r
m n l lm
R r Y
*
0 10 00 00
( ) ( , ) ( , ) ( )
r
n n l lm
V R r Y rY R r Y dr
00
Y
*
0 10
0
( , ) ( , )sin
n lm
V Y Y d d
1l
0m
0
z
l
0l
1l
0
2
ˆ
cosVa
z
0
z
l
0, 1
z
l
0, 2
z
l
0, 1, 2
z
l
ционарных состояний. Для возмущенной волновой функции основного состояния эта формула
дает
, (*)
где
ратора возмущения для состояния
невозмущенные функции,
— невозмущенные энергии,
— матричный элемент опе-
и основного состояния, которое отмечено индексом 0.
Связанные стационарные состояния частицы в центральном поле отмечаются тремя индекса-
ми — радиальным квантовым числом
, моментом
и проекцией m (которые для основного
состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде
. Поэтому значения момента и проекции, которые можно обнаружить в воз-
мущенном основном состоянии, это моменты и проекции тех сферических функций, которые
входят в сумму (*). А это зависит от того, какие матричные в (*) не равны нулю (если бы были
отличны от нуля все матричные элементы оператора возмущения, то все возможные моменты и
проекции можно было обнаружить при измерениях в возмущенном основном состоянии).
Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом
.
Поскольку функция
от углов и не зависит, интеграл по углам и дает
откуда из условия ортогональности сферических функций заключаем, что матричные элементы
отличны от нуля только для
возмущенном основном состоянии можно получить только значение
принимать значения
функции
в (*), второе — за счет поправки, т. е. в меру возмущения.
10. На атом водорода накладывают малое возмущение
орбитального момента импульса электрона на ось
ном состоянии атома? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.
А.
Б.
и
и
(ответ А), причем первое значение — за счет невозмущенной
В.
,
. Следовательно, при измерении проекции момента в
, момент же может
. Какие значения проекции
можно обнаружить в возмущенном основ-
Г.
8
Решение. Согласно теории возмущений возмущенная волновая функции основного состояния
0
00
0
0
n
n
n
n
V
f
i
i
0n
V
m
r
n
l
( ) ( , )
r
m n l lm
R r Y
*2
0 00 00
( ) ( , )cos ( )
r
n n l lm
V R r Y R r Y dr
00
Y
2
2
0
0
cos
im
n
V e d
2
cos
2
22
0
0
2
im i i
n
V e e e d
ˆ
z
L
2m
0m
2m
2,0, 2
z
l
определяется соотношением
, (*)
где
ратора возмущения для состояния
невозмущенные функции,
— невозмущенные энергии,
— матричный элемент опе-
и основного состояния, которое отмечено индексом 0.
Связанные стационарные состояния электрона в атоме водорода отмечаются тремя индекса-
ми — радиальным квантовым числом
, моментом
и проекцией m (которые для основного
состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде
(от спинового состояния электрона ответ в задаче не зависит, поэтому мы
его и не рассмативаем). Значения проекции момента импульса электрона, которые можно обнаружить в возмущенном основном состоянии атома, это проекции тех сферических функций, ко-
торые входят в сумму (*). А это зависит от того, какие матричные элементы в (*) не равны нулю
(если бы были отличны от нуля все матричные элементы оператора возмущения, то все возмож-
ные моменты и проекции можно было обнаружить при измерениях в возмущенном основном
состоянии).
Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом
.
Поскольку функция
от углов и не зависит, интеграл по переменной дает
.
Раскладывая
на экспоненты, получим
,
откуда из условия ортогональности собственных функций оператора
ные элементы отличны от нуля только для
,
и
заключаем, что матрич-
. Следовательно, при измере-
нии проекции момента в возмущенном основном состоянии можно получить только значения
(ответ В).
9
11. На частицу, движущуюся в центральном поле, накладывают малое возмущение
2
ˆ
( )cosV f r
0l
0, 1l
0, 1, 2l
0, 2l
0
00
0
0
n
n
n
n
V
f
i
i
0n
V
m
r
n
l
( ) ( , )
r
m n l lm
R r Y
*2
0 00 00
( ) ( , ) ( )cos ( )
r
n n l lm
V R r Y f r R r Y dr
00
Y
*2
0
( , )cos sin
n lm
V Y d d
2
cos
2
00 20
cos AY BY
0l
Y
l
cos
0l
2l
. Какие значения момента импульса частицы можно обнаружить в возмущенном
основном состоянии? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Согласно теории возмущений возмущенная волновая функции основного состояния
определяется соотношением
, (*)
где
ратора возмущения для состояния
невозмущенные функции,
— невозмущенные энергии,
— матричный элемент опе-
и основного состояния, которое отмечено индексом 0.
Связанные стационарные состояния частицы в центральном поле отмечаются тремя индекса-
ми — радиальным квантовым числом
, моментом
и проекцией m (которые для основного
состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде
(от спинового состояния электрона ответ в задаче не зависит, поэтому мы
его и не рассматриваем). Значения момента импульса частицы, которые можно обнаружить в
возмущенном основном состоянии, это моменты тех сферических функций, которые входят в
сумму (*). А это зависит от того, какие матричные элементы в (*) не равны нулю.
Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом
.
Поскольку функция
от углов и не зависит, интеграл по углам дает
.
Но
можно следующим образом разложить по сферическим функциям
(такое разложение объясняется тем, что из-за отсутствия зависимости от в разложение могут
входить только сферические функции с нулевым вторым индексом
гочленами степени
определенной четности от
). Отсюда из условия ортогональности
сферических функций заключаем, что матричные элементы отличны от нуля только для
, которые являются мно-
и
. Следовательно, при измерении момента в возмущенном основном состоянии можно по-
10
лучить только значения
0l
2l
0
и
(ответ А), причем первое значение — за счет невозмущен-
ной функции
в (*), второе — за счет поправки, т. е. в меру возмущения.
1
Модуль 2. Теория возмущений
1
2
s
1
2
s
s
i
Семинар 2.2. Теория возмущений при наличии вырождения
Сегодня мы будем решать задачи на теорию возмущений с вырождением. Но сначала я
напомню основные идеи и принципы этой теории на уровне «алгоритма действий» — выводу и
объяснения содержатся в лекции 2.4. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением нужно сделать следующее.
(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций
невозмущенных функций
,
, ...,
, относящихся к рассматриваемому уровню.
(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических уравне-
ний для коэффициентов этих комбинаций. Для этого уравнение нужно последовательно умно-
жать на невозмущенные функции (сначала
, потом на
, ..., потом на
) и интегрировать.
(3) Из условия равенства нулю определителя системы получить алгебраическое уравне-
ние степени
относительно неизвестного собственного значения
. s корней этого уравнения
дают возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений.
(4) Подставить последовательно найденные возмущенные энергии в систему и найти ко-
эффициенты правильных функций нулевого приближения.
После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожден-
ного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высо-
кого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений
не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект
возмущения — снятие вырождения — находится уже в первом порядке, а все остальное представляет собой поправки к этому эффекту.
2
1. Правильные функции нулевого приближения являются:
1
()x
2
()x
ˆ
V
1
()fx
2
()fx
1
()x
2
()x
*
12
ˆ
( ) ( )x V f x dx
*
12
ˆ
( ) ( )f x V f x dx
*
12
ˆ
( ) ( )x V x dx
*
11
ˆ
( ) ( )f x V f x dx
11
VV
22
VU
UV
12 21
0VV
1
E
2
E
12
E E V U
1
EV
2
EU
1
EV
2
EU
1
EV
2
EU
(1)
1 11
E V V
(1)
1 11
E V U
А. точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана
Б. точными собственными функциями возмущенного гамильтониана
В. точными решениями возмущенного временного уравнения Шредингера
Г. приближенными собственными функциями невозмущенного гамильтониана
Решение. Поскольку правильные функции являются линейными комбинациями собственных
функций невозмущенного гамильтонианоа, относящихся к вырожденному уровню, они являют-
ся точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана.
2. Квантовая система имеет двукратно вырожденный уровень, которому отвечают невозмущен-
ные волновые функции
и
. На систему накладывают возмущение
. Правильные
функции нулевого приближения
и
(не совпадающие с
и
) известны. Ка-
кой из нижеследующих интегралов обязательно равен нулю?
А.
Б.
В.
Г.
Решение. По определению правильные функции нулевого приближения — это такие линейные
комбинации собственных функций невозмущенного гамильтониана, относящихся к вырожден-
ному уровню, которые наименьшим образом изменяются при наложении возмущения. Для этого
недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения должны равняться нулю (ответ Б).
3. Уровень энергии некоторой квантовой системы двукратно вырожден. На систему наклады-
вается малое возмущение, матричные элементы которого с невозмущенными собственными
функциями известны:
ных состояний
и
А.
В.
,
в первом порядке теории возмущений?
Б.
,
Г.
(
),
,
,
. Какими будут энергии возмущен-
Решение. Поскольку недиагональные матричные элементы с невозмущенными собственными
функциями равны нулю, то именно они и являются правильными функциями нулевого прибли-
жения, на которых можно строить теорию возмущений. Поэтому поправки первого порядка
определяются диагональными матричными элементами оператора возмущения с этми функция-
ми. Т. е. сдвиг энергий состояний будет составлять величины
(ответ Г.)
4. Уровень энергии некоторой квантовой системы двукратно вырожден. На систему наклады-
вается малое возмущение, матричные элементы которого с невозмущенными собственными
,
3
функциями
1
2
11 22
0VV
12 21
V V V
11
f
22
f
1 1 2
f
2 1 2
f
1 1 2
V
f
2 1 2
V
f
1
2
0
ˆˆ
( ) =
i i i
H V f E f
1 1 2 2
=
i
f СС
*
1
*
2
1
C
2
C
12
12
0,
0.
i
i
E C VC
VC E C
0
i
i
EV
VE
i
E
2
2
0
i
EV
1
E
2
E
1
EV
2
EV
1
C
2
C
1i
EE
12
12
0,
0.
VC VC
VC VC
1 2 1 1 2
C C f
2
f
2
EV
1 2 2 1 2
C C f
0l
2l
и
известны:
нулевого приближения?
,
. Какими будут правильные функции
А.
В.
,
, Б.
,
Г. любые линейные комбинации
,
и
Решение. Ищем правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом
порядке теории возмущений из возмущенного уравнения Шредингера
, (*)
но решение его ищем в виде разложения по функциям, относящимся к вырожденному уровню
.
Умножая уравнение (*) сначала на функцию
руя, получим систему уравнений относительно коэффициентов
и интегрируя, потом на функцию
и
и интегри-
(**)
Ненулевые решения у этой системы существуют, если ее определитель равен нулю
.
Раскрывая определитель, получаем уравнение для возмущенных энергий
Отсюда находим две возмущенных собственных энергии
Найдем теперь
и
. Для этого подставим сначала в систему (**)
и
:
:
,
Отсюда
стояния с энергией
:
. Аналогично находим правильную функцию
. Ответ Б.
для со-
5. Заряженная частица находится в центральном поле со случайным вырождением. Имеется
уровень энергии с вырождением состояний с
и
. На частицу накладывают однородное
электрическое поле. Произойдет ли расщепление этого вырожденного уровня энергии в первом
.
.
порядке теории возмущений, и если да, то на сколько подуровней он расщепится?
4
А. Да, на 6 Б. Нет В. Да, на 3 Г. Да, на 2
000
ˆ
cosV erE ezE erE
()
r
n lm
r
*
0
( ) cos ( ) 0
rr
mm n lm n lm
V eE dr r r r
()
r
n lm
r
( , )
lm
Y
10
Y
10
cos Y
*
, 10
( , ) ( , ) ( , )
lm l m lm l m
V d Y Y Y
d
( 1)
l
*
( , ) ( , )
lm l m
YY
l
m
10
( , ) cosY
rr
ˆ
cos cos cosP
000
ˆ
cosV erE ezE erE
l
lm
Y
lm
Y
ˆ
y
L
lm
Y
ˆ
x
L
lm
Y
Решение. При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавля-
ется возмущение
возмущения с функциями
(и диагональные, и недиагональные) равны нулю
. Очевидно, все матричные элементы оператора
. (*)
Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции
ется сферической функцией
скольку
). Поэтому угловая часть матричного элемента (*) такова
, оператора возмущения — сферической функцией
, (**)
где
— телесный угол. Поскольку все сферические функции обладают определенной четно-
стью, которая определяется моментом и не зависит от проекции (она равна
является четной независимо от l и
ных состояний отличаются на двойку. Функция
преобразования
:
и m и
(так как моменты вырожден-
является нечетной относительно
от углов определя-
(по-
), то функция
.
Поэтому интеграл (**) равен нулю. Следовательно, расщепления уровня энергии заряженной
частицы в центрально-симметричном поле без случайного вырождения под действием возму-
щения
не происходит (ответ Б.).
6. На бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле (без случайного вы-
рождения), накладывают магнитное поле, направленное вдоль оси y. Какими будут правильные
функции нулевого приближения, отвечающие расщепленному уровню с моментом
А. Каждая содержит одну сферическую функцию
Б. Каждая содержит комбинацию функций
В. Каждая содержит комбинацию функций
Г. Произвольные комбинации функций
, собственную для
, собственную для
?
Решение. Правильные функции нулевого приближения — это такие комбинации состояний, от-
вечающих вырожденному уровню, для которых равны нулю недиагональные матричные эле-
5
менты оператора возмущения. Поэтому правильными функциями нулевого приближения будут
lm
Y
ˆ
y
L
( , )
lm
g
**
,
ˆ
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
m m lm y lm lm lm
V d g L g m d g g
( , )
lm
g
2
ˆ
cosVA
l
21l
1l
( ) ( , )
lm
R r Y
21l
( ) ( , )
lm
R r Y
( , , )Gr
( , , )Gr
( , , )Gr
( ) ( , )
lm
R r Y
mm
l
mm
1l
2
ˆ
Vx
такие линейные комбинации сферических функций
ратора
(
). Действительно, в этом случае недиагональные матричные элементы
, которые будут собственными для опе-
равны нулю из-за ортогональности функций
, отвечающих разным собственным значе-
ниям. Ответ Б.
7. На частицу, находящуюся в центрально-симметричном поле, в котором отсутствует случай-
ное вырождение, накладывается возмущение
уровень с моментом
А. На
Б. Расщепления не будет В. На
?
Решение. Матричные элементы данного возмущения с функциями
. На сколько подуровней расщепится
Г. На l
(которые име-
ют одинаковую радиальную часть и отвечают одному моменту — по условию в данном поле отсутствует случайное вырождение) будут отличны от нуля — и диагональные, и недиагональные.
Поэтому правильными функциями нулевого приближения будут
функций
ет на переменную
ция
— тоже. А это такие линейные комбинации функций
сделаны замены
с разными проекциями момента —
, поэтому если какая-то функция
является правильной, то функ-
. А поскольку для них диагональные матричные элементы одинаковы,
линейных комбинаций
. Но возмущение не действу-
, в которых
то они отвечают одной и той же возмущенной энергии. Следовательно, правильные функции
можно разделить на такие пары функций (их будет
одна правильная функция будет инвариантна относительно преобразования
штук), которые отвечают одной энергии. И
. Эта функ-
ция будет отвечать энергии, не испытавшей сдвига при наложении возмущения. Поэтому уро-
вень расщепится на
подуровень (ответ В).
8. На сферический гармонический осциллятор накладывают возмущение
. На сколько
подуровней расщепится первый возбужденный уровень энергии?
6
Указание. Кратность вырождения первого возбужденного уровня равна 3, декартовы квантовые
1, 0, 0
x y z
n n n
0, 1, 0
x y z
n n n
0, 0, 1
x y z
n n n
,,
x y z
n n n
,,
,,
( , , ) ( ) ( ) ( ),
3
,
2
, , 0,1,2,...,
x y z x y z
x y z x y z
n n n n n n
n n n n n n x y z
x y z
f x y z f x f y f z
E E E E n n n
n n n
()
q
n
fq
(5/ 2)
1 1 0 0
( , , ) ( ) ( ) ( )f x y z f x f y f z
2 0 1 0
( , , ) ( ) ( ) ( )f x y z f x f y f z
3 0 0 1
( , , ) ( ) ( ) ( )f x y z f x f y f z
y
z
22
V
33
V
11
V
1
( , , )f x y z
2
( , , )f x y z
3
( , , )f x y z
числа вырожденных состояний равны:
;
.
А. Не расщепится Б. На два В. На три Г. На четыре
Решение. Уравнение Шредингера для сферического гармонического осциллятора допускает
разделение переменных. Поэтому собственные функции сферического осциллятора — это произведения функций одномерного осциллятора, а собственные энергии — сумма соответствую-
щих собственных энергий. Поэтому каждое состояние характеризуется «декартовыми» кванто-
выми числами —
, каждое из которых принимает целые неотрицательные значения.
Структура собственных функций осциллятора такова
где
— собственные функции гамильтониана одномерного осциллятора. Первый возбуж-
,
денный уровень (с энергией
) является трехкратно вырожденным, ему отвечают три
функции (которые я далее отмечу одним индексом)
,
,
.
Очевидно, все недиагональные матричные элементы возмущения с невозмущенными функция-
ми равны нулю (этот матричный элемент будет содержать скалярное произведение нулевой и
первой функций от
или от
). А это значит, что приведенные выше собственные функции
первого возбужденного уровня сферического осциллятора являются правильными функциями
нулевого приближения, а поправки к энергиям — диагональными матричными элементами. При
этом, очевидно, что матричные элементы
мента
правильная функция
комбинации функций
. Поэтому возмущение снимет вырождение частично — одному уровню будет отвечать
, двум другим вырожденным состояниям — две произвольные
и
и
одинаковы и отличаются от матричного эле-
. Ответ Б.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика