Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
4
1. Система тождественных невзаимодействующих бозонов со спином
0s
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i k k i i n n i
f r f r f r f r f r f r f r f r
()fr
,,i k n
/ 2 / 2
i k n
E
/ 2 / 2
k i n
E
/ 2 / 2
n k i
E
( ) /3
i k n
E
j
, 1 2
( , )
ik
xx
, 1 2
( , )
in
xx
, 1 2
( , )
ik
xx
ik
, 1 2
( , )
in
xx
ik
11
/ 2 / 2
22
i k i n i k n
E
1 1 1 1
12
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22
i k i n
i k i n
f x f x f x f x
CC
f x f x f x f x
()fx
,,i k n
1
x
2
x
1
C
2
C
i
( 1) 1/ 2
i
wn
2
2
( 0)
i
w n C
( 2) 0
i
wn
2
1
( 1)
i
w n C
1
i
n
( 1) 1
i
wn
имеет волновую
функцию:
собственные функции одночастичного гамильтониана,
, где
— нормированные
-одночастичные квантовые числа.
Чему равна средняя энергия системы в этом состоянии?
А.
В.
(здесь
— энергии одночастичных состояний).
Б.
Г.
Решение. Очевидно, данное состояние определяет состояние, которое представляет линейную
комбинацию двух состояний с определенными значениями чисел заполнения
с одинаковыми весами. Состояние
состояние
— состояние с определенной энергией
и
есть состояние с определенной энергией
. А поскольку веса этих со-
стояний одинаковы (по ½), то средняя энергия в данном состоянии есть
.
,
(Ответ А)
2. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:
,
где
товые числа,
— собственные функции одночастичного гамильтониана,
и
включают в себя как пространственные, так и спиновые переменные,
-одночастичные кван-
и
числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значе-
ний чисел заполнения одночастичного состояния
А.
Б.
В.
является верным?
Г.
Решение. Согласно принципу Паули в системах тождественных фермионов числа заполнения
одночастичных состояний не могут принимать никакие другие значения, кроме нуля и единицы.
Поэтому ответ В — что число заполнения одночастичного состояния i равно 2 — заведомо яв-
ляется верным. Других верных ответов здесь нет, поскольку данное состояние является состоя-
нием с определенным значением числа заполнения
. Поэтому
.
5
3. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:
11
11
12
22
22
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
ij
ik
ij
ik
f x f x
f x f x
CC
f x f x
f x f x
()
m
fx
,,i k j
1
x
2
x
1
C
2
C
1
j
n
0
j
n
2
1j
nC
2
2j
nC
2
1
C
2
2
C
1
i
n
1
k
n
1
i
n
1
j
n
22
12
( 1) 1; ( 1) ; ( 1)
i k j
w n w n C w n C
j
2
2
1
()
2
j
j j j
n
n n w n C
ˆ ˆ ˆ ˆ
i k k i ik
a a a a
ˆ ˆ ˆ ˆ
i k k i ik
a a a a
ˆ ˆ ˆ ˆ
i k k i ik
a a a a
ˆ ˆ ˆ ˆ
i k k i ik
a a a a
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
ˆ ˆ ˆ
1
i i i
n a a
ˆ ˆ ˆ
1
i i i
n a a
i
n
i
n
ˆˆ
ii
aa
12
, ,..., ,... 1 2
( , ,...)
i
xx
,
где
товые числа,
— собственные функции одночастичного гамильтониана,
и
включают в себя как пространственные, так и спиновые переменные,
-одночастичные кван-
и
числа. Среднее значение числа заполнения одночастичного состояния j равно
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Волновая функция данного состояния двух тождественных фермионов представляет
собой суперпозицию двух функций с определенными значениями чисел заполнения, взятых с
весами
ний равны нулю. Вторая:
и
. Первая:
,
,
; числа заполнения остальных одночастичных состоя-
; числа заполнения остальных одночастичных состояний
равны нулю. Поэтому числа заполнения наблюдаются в данном состоянии со следующими ве-
роятностями:
.
Вероятности всех остальных значений чисел заполнения этих и других одночастичных состоя-
ний равны нулю. И, следовательно, среднее значения числа заполнения состояния
равно
.
4. Каковы перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения для бозонов?
А.
В.
Б.
Г.
Решение. Для бозонных операторов рождения и уничтожения правильным является перестано-
вочное соотношение Б. Остальные неправильны (см. лекцию 4.6).
5. Оператор числа заполнения
одночастичного состояния i в представлении чисел заполне-
ния равен
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Оператором числа заполнения одночастичного состояния i является такой оператор,
для которого функции с определенными значениями чисел заполнения
ются собственными, отвечающими собственному значению
. Подействуем оператором
(и только они) явля-
на функцию с определенными значениями чисел заполнения
. Получим
6
1 2 1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., 1,... , ,..., ,...
ˆ ˆ ˆ
i i i
i i n n n i i n n n i n n n
a a a n n
.
i
n
i
n
ˆˆ
ii
aa
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
i
0s
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i k k i i j j i
f r f r f r f r f r f r f r f r
()fr
,,i k j
ˆ
k
n
1
k
n
2
k
n
3
k
n
1
i
n
1
k
n
1
i
n
1
j
n
k
ˆˆ
0
km
aa
0
k
km
ˆˆ
ii
aa
ik
im
,i k m
ik
im
,i k m
i
k
m
Если же подействовать этим оператором на функцию, которая представляет собой суперпози-
цию состояний с разными
тель, и, следовательно, любая функция с неопределенным числом заполнения
ственной для оператора
числа заполнения одночастичного состояния
, то каждое слагаемое этой суперпозиции получит разный множи-
не будет соб-
. Отсюда и следует, что оператор
является оператором
.
6. Система тождественных невзаимодействующих бозонов со спином
функцию:
ции одночастичного гамильтониана,
-одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функ-
, где
ция собственной функцией оператора числа заполнения одночастичного состояния
имеет волновую
— собственные функ-
, и если
да, то какому собственному значению она будет отвечать?
А. Да,
Б. Да,
В. Да,
Г. Нет
Решение. Данная в условии функция является суперпозицией двух состояний с определенными
значениями чисел заполнения (с равными весами). Первое — с
всех остальных одночастичных состояний равны нулю); вторая — с
,
(числа заполнения
,
(числа запол-
нения всех остальных одночастичных состояний равны нулю. Поэтому в данном состоянии чис-
ло заполнения
одночастичного состояния определенного значения не имеет (ответ Г).
7. Рассмотрим состояние
ствующих бозонов,
гамильтониана (
и m — квантовые числа двух собственных состояний одночастичного
). Является ли это состояние собственным для операторов
, где
— вакуум системы тождественных невзаимодей-
, и если да,
то каким собственным значениям оно отвечает?
А. Да, для
Б. Да, для
В. Да, для всех
или
или
собственные значения — 0, для
собственные значения — 1, для
собственные значения — 1
собственные значения — 1
собственные значения — 0
Г. Нет
Решение. Вакуумом называется состояние, в котором частиц нет вообще (для систем с пере-
менным числом частиц такие состояния не хуже и не лучше любых состояний, в которых части-
цы есть). Поэтому данная функция отвечает состоянию с двумя частицами — одна находится в
одночастичном состоянии
, другая — в одночастичном состоянии
. Поэтому это состояние
7
является состоянием с определенными значениями чисел заполнения всех одночастичных со-
1
k
n
1
m
n
ˆˆ
ii
aa
i
ik
im
2
ˆ
ˆˆ
i i i
i
H a a
ˆ
ˆˆ
iii
i
H a a
ˆ
ˆˆ
i i i
i
H a a
2
ˆ
ˆˆ
i i i
i
H a a
i
A
ˆ
()
i
Ax
ˆ
()
i
Ax
mk
A
k
n
k m km
km
A n n A
k m km
km
A n n A
k kk
k
A n A
2
k kk
k
A n A
A
ˆ
ˆˆ
ij i j
ij
A A a a
A
12
, ,..., ,...
i
n n n
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,...
ˆˆ
,
ii
n n n ij i j n n n
ij
A A a a
ˆˆ
aa
стояний с
ний. Поэтому данная функция — собственная для оператора
вечающая таким собственным значениям — 1, если
,
и нулями для чисел заполнения всех остальных одночастичных состоя-
или
(для любого состояния
, и — 0, для всех остальных
), от-
одночастичных состояний (ответ Б).
8. Какой из нижеследующих формул определяется оператор Гамильтона системы тождествен-
ных невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения?
А.
(здесь индекс
Б.
В.
Г.
нумерует собственные состояния одночастичного гамильтониана).
Решение. Согласно формуле (17) лекции 4.6 гамильтониан системы тождественных невзаимо-
действующих частиц в представлении чисел заполнения определяется соотношением В.
9. Оператор физической величины
, относящейся к системе тождественных невзаимодей-
ствующих частиц, представляет собой сумму слагаемых
, каждое из которых действует на
координаты одной частицы. Пусть матричные элементы оператора
циями одночастичного гамильтониана
состоянии с определенными значениями чисел заполнения
А.
Б.
известны. Найти среднее значение величины A в
.
В.
Г.
Решение. В представлении чисел заполнения оператор величины
ющим соотношением
.
Для нахождения среднего значения величины
сел заполнения
используем квантовомеханическую формулу для средних
в состоянии с определенными значениями чи-
.
с собственными функ-
будет определяться следу-
Вынося сумму и числа за скалярное произведение и перенося оператор рождения на другую
функцию (и превращая его в оператор уничтожения
), получим
8
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,...
ˆˆ
,
ii
ij i n n n j n n n
ij
A A a a
. (*)
ij
i
n
ii i
i
A A n
k
n
12
, ,..., ,...
i
i n n n
f
12
, ,..., ,...
ˆ
,
i
if f n n n
VV
ˆˆ
()
a
a
V V x
a
ˆ
ˆˆ
kj k j
kj
V V a a
Поскольку функции с определенными (и разными) значениями чисел заполнения ортогональны,
скалярное произведение в (*) не равно нулю только в случае, когда
равно
. Поэтому
. А в этом случае оно
.
(Ответ В)
10. Система тождественных невзаимодействующих частиц находится в состоянии с определен-
ными значениями чисел заполнения
. На систему действует зависящее от времени внешнее
поле. В какие из нижеперечисленных состояний возможны переход системы (ответ дать в пер-
вом порядке теории нестационарных возмущений)?
А. Только в состояния с теми же самыми числами заполнения
Б. Только в состояния с такими числами заполнения, одно из которых увеличилось на единицу,
а второе на единицу уменьшилось
В. Только в состояния с такими числами заполнения, одно из которых увеличилось на два, а
второе на два уменьшилось
Г. Только в состояния с такими числами заполнения, два из которых увеличились на единицу, а
два на единицу уменьшились
Решение. Пусть
— начальное состояние системы. Под действием возмущения,
зависящего от времени, система совершает переходы в состояния с такими волновыми функци-
ями
, для которых отличны от нуля матричные элементы оператора возмущения
. (*)
Поскольку возмущение — внешнее поле, оператор возмущения в координатном представлении
есть сумма операторов, действующих на координаты одной частицы
(здесь индекс
нумерует частицы). Поэтому в представлении чисел заполнения оператор воз-
мущения имеет вид
.
9
В результате для матричного элемента (*) получаем
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
,,
ii
if f kj k j n n n kj f k j n n n
kj kj
V V a a V a a
12
, ,..., ,...
ˆˆ
,
i
f k j n n n
aa
f
12
, ,..., ,...
i
n n n
j
. (**)
Скалярное произведение
отлично от нуля, если в разложении функции
по состояниям с определенными значениями чисел заполнения содержатся слагаемые, отлича-
ющиеся от
нения состояния
тем, что число заполнения состояния k на единицу больше, а число запол-
на единицу меньше (ответ Б).
1
Модуль 5. Задача рассеяния
2
( ) ( ) ( )
2
U r r E r
m
U
( , )
ikr
ikz
r
fe
e
r
( , )f
( , ) ( )ff
2
()
| ( )|
d
f
d
22
2
0 0 0 0
( ) ( )
sin ( ) sin
dd
d d d d f d
dd
1
Семинар 5.1. Волновая функция задачи рассеяния. Борновское приближение
Сегодня мы с вами будем решать задачи на рассеяние: квантовомеханическая постановка
задач рассеяния, основные принципы решения, борновское приближение. И задачи это будут
такие же как и в остальных разделах нашего курса — тестовые, допускающие и быстрое реше-
ние, и быструю проверку. И которые помогают лучше почувствовать основные принципы и ло-
гику квантовой механики. Но сначала (как и перед каждым практическим занятием) я напомню
основные формулы задачи рассеяния.
Волновая функция с определенной положительной энергией описывает поток частиц и,
следовательно, должна содержать информацию о рассеянии. Такая функция — решение стационарного уравнения Шредингера
, (*)
где
— потенциал, на котором рассеиваются частицы. Такое уравнение имеет много решений.
Нам нужно какое? (1) Со свободной асимптотикой — иначе задачу рассеяния невозможно поставить. (2) На больших расстояниях должно содержать два потока — падающий и рассеянный.
, (**)
где функция
яния (для центральных потенциалов
определяет амплитуду рассеянных частиц и называется амплитудой рассе-
).
. (3*)
Для нахождения дифференциального сечения необходимо решить уравнение Шрединге-
ра (*) с граничным условием (**), из этого решения найти амплитуду рассеяния, по формуле
(3*) — сечение рассеяния. Интегрирование сечения по телесному углу позволяет определить
полное сечение рассеяния
. (4*)
Ну а теперь давайте решать задачи1.
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
2
1. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какая из нижеследующих функций является
E
2
2/k mE
12
ik x ik y
e
12
k k k
12
ik x ik z
e
22
2
12
k k k
12
ik y ik ze
22
2
12
k k k
E
22
2
12
k k k
12
ik x ik y
e
22
2
12
k k k
2
2/k mE
x
12
ik jk
22
12
ik jk
**
2
J
mi
x
y
x
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2
. . ,
2
. . ,
2
ik x ik y ik x ik y
x
ik x ik y ik x ik y
y
k
J e e кс
mi x m
k
J e e кс
mi y m
12
ik jk
E
2
2/k mE
ikr
e
ikr
e
ikr
e
r
0r
2
ikr
e
r
0r
решением стационарного уравнения Шредингера при энергии
(
, m — масса
частицы)
А.
В.
,
,
Б.
,
Г. Никакая из перечисленных
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением свободного уравнения Шре-
дингера при энергии
является функция Б, при условии, что
.
2. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Каков физический смысл решения
стационарного уравнения Шредингера при энергии E (
А. Описывает два потока частиц, распространяющихся вдоль осей
и y
Б. Описывает поток частиц, распространяющихся в направлении вектора
В. Описывает поток частиц, распространяющихся в направлении вектора
)?
Г. Не является решением свободного стационарного уравнения Шредингера
Решение. Вычислим поток частиц
,
,
определяемый данной функцией. Поскольку данная функция зависит от
сти потока имеет
и y компоненты, причем эти компоненты равны
и
, вектор плотно-
т. е. поток частиц, описываемый данной функцией, распространяется в направлении вектора
(ответ Б).
3. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из перечисленных функций будут реше-
ниями стационарного уравнения Шредингера при энергии
(
, m — масса части-
цы)?
А.
Б.
В.
,
Г.
,
Решение. Проверим, что функция В будет точным решением уравнения Шредингера. Проще
всего это сделать, используя явное выражение для оператора Лапласа в сферических координа-
3
тах, причем нам понадобится только радиальная его часть, поскольку данная функция не зави-
22
22
11
ikr ikr
ikr ikr
d d e d e
r ikre e k
r dr dr r r dr r
2
2
ikr ikr
ee
E
m r r
22
2
k
E
m
/
ikr
er
E
2
2/k mE
**
2
J
mi
11
sin
r
e e e
r r r
r
e, e
e
r
2
1
r
k
J
rm
2
1/r
сит от углов. Имеем
.
А это означает, что
, где
.
(Ответ В)
4. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Каков физический смысл решения
онарного уравнения Шредингера при энергии
(
)?
стаци-
А. Описывает изотропный сходящийся поток частиц с определенной энергией, распространяю-
щихся из бесконечности в направлении начала координат
Б. Описывает изотропный расходящийся поток частиц с определенной энергией, распространя-
ющихся из начала координат в бесконечность
В. Описывает суперпозицию двух потоков частиц с определенной энергией, распространяю-
щихся из бесконечности в направлении начала координат и из начала координат в бесконеч-
ность
Г. Эта функция не является решением свободного стационарного уравнения Шредингера
Решение. Вычислим вектор плотности потока частиц
определяемый данной функцией. Вычисляя градиент в сферических координатах
(где
и
— единичные векторы, направленные в каждой точке по радиус-вектору r и
перпендикулярно к нему), заключаем, что вектор (*) направлен вдоль радиус-вектора, а его про-
екция на направление вектора
Поскольку плотность потока (**) является положительной, убывает по закону
от углов, то такой поток является расходящимся из центра и изотропным (ответ Б). Естествен-
, (*)
равна
. (**)
и не зависит
4
но, для «экспериментальной» реализации такого потока в начале координат должен находиться
( ) /
ikr
f e r
1/r
2
1/r
2
r
**
2
J
mi
rz
3
1/r
2
1/r
Im (0)f
Re (0)f
2
| (0)|f
Im (0)/ Re (0)ff
Im ( 0)
4
k
f
точечный источник частиц, излучающий частицы по всем направлениям с одинаковой интен-
сивностью.
5. Как плотность потока частиц в рассеянной сферической волне
зависит от r на
больших расстояниях от рассеивающего центра?
А. Как
Б. Как r В. Как
Г. Как
Решение. По сравнению с предыдущей задачей вектор плотности потока
, (*)
имеет компоненту, направленную в каждой точке перпендикулярно радиус-вектору в плоскости
, однако из-за лишней степени r во втором слагаемом градиента он убывает по закону
и на больших расстояниях исчезает. Поэтому на больших расстояниях от начала координат
поток направлен по радиус-вектору, убывает по закону
(как и любой, расходящийся из
центра поток без дополнительных источников и стоков частиц), но его интенсивность зависит
от угла . Это значит, что поток частиц, определяемый данной функцией, не является изотроп-
ным (ответ В).
6. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. «Убыль» частиц в налетающем потоке опре-
деляется
А.
Б.
В.
Г. Отношением
Решение. Как было показано в лекции 5.6, для полного сечения рассеяния выполнено следую-
щее условие
, (*)
которое называется оптической теоремой для упругого рассеяния. Оптическая теорема является
следствием сохранения числа частиц при рассеянии, поскольку полное сечение рассеяния про-
порционально числу рассеянных частиц, которое равно убыли частиц в падающем потоке, кото-
рое, следовательно, пропорционально мнимой части амплитуды рассеяния на нулевой угол (от-
вет А).
Соседние файлы в предмете Квантовая механика