Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 3. Квантовые переходы
ˆ
()Vt
2
1
2
2
1
()
kn
t
it
n k kn
t
w V t e dt
kn
kn
n
()
kn
Vt
*
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
kn k n
V t dx x V t x
()
n
x
n
0
ˆ
H
0
ˆ
( ) ( )
n n n
H x x
1
Семинар 3.1. Квантовые переходы
На сегодняшнем практическом занятии мы с вами будем решать задачи на квантовые переходы. Причем задачи это будут той же, как и ранее, структуры — тестовые, допускающие
быстрый ответ в уме. Основная идея этих задач — понимание основных принципов квантовой
механики. И чтобы математика не «заслоняла» основные идеи и принципы нашей дисциплины.
Мне кажется, что с помощью таких задач гораздо проще почувствовать язык и логику квантовой
механики. Но прежде, чем мы будем решать задачи, я напомню основные формулы теории не-
стационарных возмущений. Итак, под действием возмущений, зависящих от времени, кванто-
вые системы могут совершать переходы из одних стационарных состояний в другие. Вероят-
ность перехода из n-го стационарного состояния в k-ое под действием возмущения
деляется соотношением
, (1)
где
(2)
частота перехода между состояниями
и k,
— матричный элемент оператора возмуще-
ния
, (3)
и
— собственные функции и собственные значения невозмущенного гамильтониана
системы
. (4)
опре-
Формулы (1)–(3) сводят вычисление вероятности перехода между двумя квантовыми состояни-
ями к квадратурам. Ну а теперь давайте решать задачи1.
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
2
1. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой прямоугольной потен-
0x
xa
0
3
ˆ
( , ) cos ( )
x
V x t V f t
a
()ft
n
n
k
k
0
3
ˆ
( , ) cos ( )
x
V x t V f t
a
1
0
3
sin cos sin
a
n
x x kx
V dx
a a a
sin cos sin sin
1
00
42
sin sin sin sin
aa
n
x kx x kx
V dx dx
a a a a
4k
2k
0x
xa
0
ˆ
( , ) ( ) ( )V x t V x x a f t
()ft
циальной ямы, расположенной между точками
, где
— некоторая функция времени. В какие стационарные состоя-
и
, накладывают возмущение
ния (основное состояние — первое) возможны переходы из основного состояния?
А. В 3-е стационарное состояние Б. Во 2-е и 4-е стационарные состояния
В. Во 2-е стационарное состояние Г. В 3-е и 4-е стационарные состояния
Решение. Чтобы квантовая система под действием возмущения, зависящего от времени, могла
совершить переход из состояния
элемент оператора возмущения между невозмущенными состояниями
в состояние k должен быть отличен от нуля матричный
и
. Это и позволяет
нам понять, между какими состояниями возможен переход, а между какими состояниями он не-
возможен (или, как говорят, запрещен). Установление возможных переходов квантовой системы
позволяет установить «правила отбора» для переходов. Сделаем это на рассматриваемом при-
мере.
Переход из основного состояния в состояние
под действием возмущения
возможен, если отличен от нуля интеграл
. (*)
Используя известную тригонометрическую формулу
, сведем
интеграл (*) к сумме двух интегралов
.
Оба этих интеграла представляют собой интегралы от двух собственных функций невозмущен-
ного гамильтониана, и, следовательно, равны нулю, если
(первый интеграл) или
(второй интеграл). Следовательно, под действием данного возмущения система может перейти
из основного состояния только во второе или четвертое стационарные состояния (ответ Б).
2. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой потенциальной ямы,
расположенной между точками
, где
и
, накладывают малое возмущение
— некоторая функция времени. Для каких состояний вероят-
3
ность перехода, вычисленная в первом порядке теории нестационарных возмущений, отлична от
11
0
( ) ( ) ( )
a
nn
V f x x x a f x dx
()
n
fx
ˆ
( , ) ( )V x t xf t
()ft
( 1)n
( 1 )n
( 1)n
( 1)n
n
0
( ) ( )
a
nk n k
V f x x f x dx
n
1n
1n
ˆ
( , ) ( )V x t xf t
()ft
нуля (основное состояние — первое)?
А. Для всех четных Б. Для всех нечетных
В. Для всех Г. Только для первого возбужденного
Решение. Частица, находящаяся в основном состоянии ямы, под действием возмущения, зави-
сящего от времени, совершает переходы в такие стационарные состояния n, для которых отли-
чен от нуля матричный элемент
, (*)
где индексом 1 отмечена функция основного состояния. Функция 1 и оператор возмущения —
четные относительно центра ямы, поэтому интеграл (*) равен нулю, если функция
— не-
четна относительно центра ямы. А таковыми являются состояния с четными квантовыми числа-
ми. Таким образом, под действием данного возмущения частица будет совершать переходы во
все нечетные состояния.
3. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в n стационарном состоянии, дей-
ствует малое, зависящее от времени возмущение
, где
— некоторая функ-
ция времени. В какие состояния возможны переходы осциллятора?
А. Во все Б. Только в
В. Только в
Решение. Осциллятор, находящийся
Г. Только в
стационарном состоянии, под действием возмущения,
и
зависящего от времени, совершает переходы в такие стационарные состояния k, для которых
отличен от нуля матричный элемент
Согласно результатам лекции 2.5 первой части курса интеграл (*) отличен от нуля, только если
индексы
и k отличаются на единицу. Поэтому переходы возможны в состояния
4. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в первом возбужденном состоянии,
действует зависящее от времени малое возмущение
функция времени. Чему равно отношение вероятностей перехода осциллятора в основное и вто-
(*)
, где
и
— некоторая
.
4
рое возбужденное состояния? Указание: Матричные элементы оператора координаты с осцил-
, 1 , 1
( 1)
22
nk k n k n
nn
x
mm
10
12
2
w
w
10
12
1
2
w
w
10
12
1
w
w
10
12
2
3
w
w
ˆ
( , ) ( )V x t xf t
n
ˆ
()Vt
2
1
2
2
1
()
kn
t
it
n k kn
t
w V t e dt
( ) /
kn k n
()
kn
Vt
*
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
kn k n
V t dx x V t x
10
12
10
12
()ft
10
12
2
01
10
2
12
21
V
w
w
V
10
12
1
2
w
w
()Et
ляторными функциями равны:
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Согласно предыдущей задаче под действием возмущения
.
осциллятор
из первого стационарного состояния совершает переходы в нулевое (основное) и второе состояния. Сравним вероятности этих переходов.
Вероятность перехода из
-го стационарного состояния в k-ое под действием возмущения
определяется соотношением
, (*)
где
— частота перехода между состояниями n и k,
— матричный эле-
мент оператора возмущения
. (**)
Очевидно, квадраты модулей интегралов по времени для переходов
вы. Действительно, частоты для переходов
и
отличаются только знаком, а функция
и
— одинако-
— действительна.
Поэтому отношение вероятностей переходов
и
равно отношению квадратов мат-
ричных элементов
.
Используя указание к задаче, получим
.
(Ответ Б)
5. На заряженную частицу, находящуюся в основном состоянии в некотором центральном поле,
накладывают малое, зависящее от времени однородное электрическое поле
, направленное
5
вдоль оси y. Какие значения проекции момента импульса частицы на ось
z
1m
0, 2m
0, 1m
*
00 00
ˆ
( ) ( , ) ( , ) ( )
r
n l lm
R r Y V r t R r Y dr
00 00
()R r Y
*
( ) ( , )
r
n l lm
R r Y
ˆ
( , ) ( )V r t erE t
y
ˆ
( , ) ( )sin sin sin sin
ii
V r t erE t r e r e
sinie
sin
i
e
11
( , )Y
11
( , )Y
,,
r
n l m
**
11 00 00 1 1 00 00
rr
n l lm n l lm
R Y rY R Y dr R Y rY R Y dr
00
Y
*
11
( , ) ( , )
lm
YY
*
11
( , ) ( , )
lm
YY
1m
1m
0, 1m
1m
в конечном состоянии?
можно обнаружить
А. Только
В. Только
Б. Только
Г. Любые целые
Решение. Проекция момента импульса частицы, находящейся в основном состоянии в цен-
тральном поле, равна нулю. Под действием возмущения, зависящего от времени, частица может
совершать переходы в стационарные состояния с другими проекциями, которые и могут быть
обнаружены при измерениях. Следовательно, при измерении проекции момента импульса ча-
стицы в конечном состоянии могут быть обнаружены проекции момента тех состояний, в кото-
рые частица может совершить переходы. А это определяется матричными элементами операто-
ра возмущения
,
где
конечного состояния,
оси
, то оператор возмущения записывается в виде
— волновая функция основного состояния,
— оператор возмущения. Поскольку поле направлено по
— волновая функция
.
Но функции
циями
состояния в состояние с квантовыми числами
и
и
с точностью до множителей совпадают со сферическими функ-
соответственно. Поэтому матричный элемент перехода из основного
определяется соотношением
. (*)
Поскольку функция
двух сферических функций:
не зависит от углов, угловые интегралы в (*) содержат произведение
— первый и
— второй. Поэтому
из условия ортогональности сферических функций следует, что первый интеграл отличен от ну-
ля при
са частицы в конечном состоянии могут быть получены три значения:
ния
, второй — при
. Таким образом, при измерении проекции момента импуль-
за счет переходов (т. е. в меру возмущения).
, причем значе-
6
6. На частицу, находящуюся в основном состоянии в некотором центрально-симметричном поле
2
ˆ
( , ) cos ( )V r t f t
()ft
()ft
0, 0lm
1, 0, 1lm
*2
00 00
( ) ( , )cos ( )
r
n l lm
R r Y R r Y dr
2
cos
0l
Y
0l
Y
cos
00
Y
20
Y
2
00 20
cos YY
**
00 00 00 20 00 00
rr
n l lm n l lm
R Y Y R Y dr R Y Y R Y dr
00
Y
0l
1l
0, 0lm
0, 0
()
r
nl
Rr
1, 0
()
r
nl
Rr
без случайного вырождения, действует малое возмущение
(где
— неко-
торая функция времени). Возможен ли переход частицы на первый возбужденный уровень энер-
гии?
А. Да Б. Нет В. Это зависит от
Г. Мало информации для ответа
Решение. Переход частицы, находящейся в основном состоянии в некотором центральном поле,
на первый возбужденный уровень энергии возможен, если отличен от нуля матричный элемент
оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния и одним из состоя-
ний, отвечающих первому возбужденному уровню энергии. Согласно лекции 4.4 первой части
курса первому возбужденному уровню энергии отвечает либо одно состояние с моментом и
проекцией
, либо три состояния с моментом и проекциям
, либо вы-
рождение этих состояний (это зависит от конкретного вида поля). Поэтому переход возможен,
если отличен от нуля матричный элемент
(*)
для перечисленных значений момента и проекции. Чтобы понять, какие из интегралов равны, а
какие не равны нулю, разложим возмущение
щение не зависит от , в разложение войдут только сферические функции
цией. А так как сферические функции
сти от
, в разложение войдут только функции
представляют собой многочлены определенной четно-
по сферическим функциям. Так как возму-
с нулевой проек-
и
( и — числа). Поэтому матричный элемент (*) сводится к двум интегралам
.
Поскольку функция
не зависит от углов, второй интеграл для
или
равен нулю из-
за ортогональности сферических функций. В первом интеграле угловой интеграл отличен от ну-
ля для
, но тогда будет равен нулю радиальный интеграл от функций
и
(из-за ортогональности радиальных функций, отвечающих одному моменту, но раз-
ному радиальному квантовому числу). А это значит, что переход из основного состояния на
7
первый возбужденный уровень энергии под действием рассматриваемого возмущения не проис-
()Et
10
ˆ
( , ) ( ) cos ( )V r t erE t er E rY
*
10 00 00
( ) ( , ) ( ) ( )
r
n l lm
R r Y rY R r Y dr
00
Y
*
10
( , ) ( )
lm
Y Y d
l
ходит. Ответ Б.
7. На заряженный трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии,
накладывают малое, зависящее от времени однородное электрическое поле
. Возможен ли
переход осциллятора на второй возбужденный уровень энергии? Указание. Кратность вырожде-
ния второго возбужденного уровня энергии трехмерного осциллятора равна 6.
А. Да Б. Нет
В. Это зависит от ориентации электрического поля
Г. Мало информации для ответа
Решение. Переход сферического осциллятора из основного состояния на второй возбужденный
уровень энергии возможен, если отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения с
невозмущенными функциями основного состояния и одним из состояний, отвечающих второму
возбужденному уровню энергии. Поскольку (согласно указанию к условию) кратность вырож-
дения второго возбужденного уровня энергии осциллятора равна 6, ему отвечают пять состоя-
ний с моментом 2 (и всеми возможными проекциями) и одно состояние с моментом нуль (и ну-
левой проекцией). Это значит, что матричный элемент оператора возмущения
(ось z системы координат я направил по полю) определя-
ется соотношением
(*)
для перечисленных значений момента и проекции. Поскольку функция
не зависит от углов,
угловой интеграл в (*) содержит две сферические функции
,
где
равняется либо нулю, либо двум. Поэтому из условия ортогональности сферических
функций следует, что матричный элемент оператора возмущения равен нулю, и, следовательно,
переход не возможен. Ответ Б.
8
8. На атом водорода, находящийся в основном состоянии, действует зависящее от времени ма-
2
0
ˆ
( , ) cos ( )V r t V f t
()ft
2
0
ˆ
cosVV
*2
00 00
( ) ( , )cos ( )
r
n l lm
R r Y R r Y dr
0,1l
0, 1m
2
cos
0l
Y
0l
Y
cos
00
Y
20
Y
2
00 20
cos YY
**
00 00 00 20 00 00
rr
n l lm n l lm
R Y Y R Y dr R Y Y R Y dr
00
Y
0l
1l
0, 0lm
0, 0
()
r
nl
Rr
1, 0
()
r
nl
Rr
лое возмущение
(где
— некоторая функция времени). Возможен ли
переход электрона на первый возбужденный уровень энергии?
А. Да Б. Нет
В. Это зависит от величины возмущения
Г. Мало информации для ответа
Решение. Первый возбужденный уровень энергии атома водорода является четырехкратно вы-
рожденным. Ему отвечают три состояния с моментом 1 (и всеми возможными проекциями) и
одно состояние с моментом нуль (и нулевой проекцией). А переход электрона из основного со-
стояния возможен, если отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения с невозму-
щенными функциями основного состояния и одного из состояний, отвечающих первому воз-
бужденному уровню энергии. Матричный элемент оператора возмущения
опреде-
ляется соотношением
(*)
для перечисленных значений момента и проекции (
по сферическим функциям. Так как возмущение не зависит от
только сферические функции
с нулевой проекцией. А так как сферические функции
представляют собой многочлены определенной четности от
функции
и
,
). Разложим возмущение
, в разложение войдут
, в разложение войдут только
( и — числа). Поэтому матричный элемент (*) сводится к двум интегралам
.
Поскольку функция
не зависит от углов, второй интеграл для
или
равен нулю из-
за ортогональности сферических функций. В первом интеграле угловой интеграл отличен от ну-
ля для
, но равен нулю радиальный интеграл от функций
и
(из-
за ортогональности радиальных функций, отвечающих одному моменту, но разному радиально-
му квантовому числу). А это значит, что переход из основного состояния на первый возбужден-
ный уровень энергии под действием рассматриваемого возмущения не происходит. Ответ Б.
1
Модуль 3. Квантовые переходы
1
k
T
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
2
12
4
kn
kn k n
w
V
T
*
ˆ
( ) ( ) ( , ) ( )
kn k n
V t dx x V x t x
,
kn
k
n
k
kn
0
ˆ
H
()kx
ˆ
V
0
ˆˆ
HV
1
Семинар 3.2. Переходы под действием периодических и мгновенно включающихся
возмущений
Сегодня мы будем решать задачи на квантовые переходы, совершаемые под действием
периодических и мгновенно включающихся возмущений. Задачи это будут такие же, как те, что
мы использовали во всем нашем курсе — тестовые, с выбором ответа, но которые позволяют
лучше почувствовать логику и принципы квантовой механики
. Но сначала я напомню
основные теоретические соотношения, которые нам понадобятся для решения задач.
Если на квантовую систему, находящуюся в
длительного времени
действует периодическое возмущение
-ом стационарном состоянии, в течение
, вероятность
переходя в другие состояния пропорциональна времени T, и вероятность перехода
определяется соотношением
, (1)
где
(2)
матричный элемент оператора возмущения,
и
,
— собственные значения и
собственные функции невозмущенного гамильтониана. Из формул (1)–(2) следует, что переход
между двумя стационарными состояниями
и n происходит, если отличен от нуля матричный
элемент оператора возмущения между этими состояниями, и частота возмущения равна частоте
перехода между этими состояниями
Если на квантовую систему, которая описывается не зависящим от времени
гамильтонианом
времени начинает действовать возмущение
совершить переход в стационарные состояния гамильтониана
определяется интегралом перекрытия собственных функций
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
.
и находилась в k-ом стационарном состоянии
, которое не зависит от времени, то система может
, в некоторый момент
. И вероятность перехода
2
2
*
( ) ( )
k n n k
w f x x dx
(3)
()kx
0
ˆ
H
n
f
0
ˆˆ
HV
ˆ
V
гамильтониана
возмущения
, а требует только малого времени его «включения».
и
гамильтониана
Ну а теперь рассмотрим задачи.
. Причем формула (3) не требует малости
Соседние файлы в предмете Квантовая механика