Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
5
7. Частицы рассеиваются на потенциале
()Ur
()fa
()fa
()fa
()
ikr
ikz
fe
e
r
ra
()fa
()Ur
a
0
U
2
0
2
U
ma
0
EU
22
0
2
ma U
E
()fa
()f
a
1ka
2
0
2
U
ma
, радиус действия которого равен a. Какое усло-
вие для амплитуды рассеяния частиц на этом потенциале будет справедливым, если выполнены
условия применимости борновского приближения?
А.
В.
Б.
Г. Амплитуда рассеяния и условия применимости борновско-
го приближения не связаны
Решение. Условием применимости борновского приближения является малость потока рассе-
янных частиц по сравнению с потоком частиц, налетающих на рассеивающий центр. Используя
граничное условие задачи рассеяния
, (*)
заключаем, что поток рассеянных частиц (второе слагаемое в (*)) мал по сравнению с потоком
падающих частиц (первое слагаемое в (*)), если на границе той области, где решение (*) начи-
нает работать (
, a — радиус действия потенциала), амплитуда второго потока мала по
сравнению с амплитудой потока падающих частиц
.
(Ответ В)
8. Частицы массой m рассеиваются на потенциале
величина —
. Для параметров потенциала выполнено условие
, радиус действия которого равен
частиц работает борновкое приближение?
А. Ни для каких Б. Для любых В.
Г.
Решение. Условием применимости борновского приближения
рассеяния,
— радиус действия потенциала) для медленных частиц (
ство
,
. Для каких энергий
(
— амплитуда
) является неравен-
,
6
которое для данного потенциала не выполнено. Оценим возможность выполнимости этого
()Ur
2
( ) ( )
2
iqr
m
f e U r dr
q
2 sin
2
qk
1ka
1qa
ra
iqr
e
3
0
2
1
()
mU a
f
ka
2 2 2
00
22
()
mU a ma U
f a a E
k
()Ur
a
1ka
2
( ) ( )
2
iqr
m
f e U r dr
q
условия для быстрых частиц. Амплитуда рассеяния частиц потенциалом
в борновском
приближении определяется соотношением
, (*)
где вектор
направлен под углом к направлению движения падающих частиц, а его модуль
равен
.
Для быстрых частиц
, поэтому в области действия потенциала (
(если только мы не рассматриваем рассеяние на малые углы)
) экспонента
сильно осциллирует, и
интеграл набирается на одной осцилляции экспоненты. Поэтому интеграл (*) можно оценить
так
(здесь опущены все числовые множители). Поэтому условие применимости борновского при-
ближения дает
.
(Ответ Г)
9. Частицы рассеиваются на некотором потенциале
Частицы медленные
, и выполнены условия применимости борновского приближения.
, радиус действия которого равен
Как амплитуда рассеяния зависит от угла рассеяния?
А. Возрастает с ростом угла рассеяния Б. Убывает с ростом угла рассеяния
В. Не зависит от угла рассеяния Г. Это зависит от потенциала
Решение. Амплитуда рассеяния в борновском приближении определяется соотношением
, (*)
где вектор
(переданный импульс) направлен под углом к направлению движения падаю-
,.
щих частиц, а его модуль равен
7
2 sin
2
qk
.
iqr
e
()Ur
a
1ka
1/ ka
1/ ka
2
1/( )ka
22
0
2
ma U
E
2
( ) ( )
2
iqr
m
f e U r dr
q
2 sin
2
qk
1/ ka
1qa
1
iqr
e
3
0
2
()
mU a
f
1
1qa
Энергия и угол рассеяния частиц входят в формулу (*) только через вектор q. Но для медлен-
ных частиц экспоненту
можно заменить на единицу, и, следовательно, амплитуда рассея-
ния не зависит от угла рассеяния (ответ В). Поэтому если для медленных частиц выполнено
условие применимости борновского приближения, рассеяние является изотропным.
10. Частицы рассеиваются на некотором потенциале
Частицы быстрые
. На какие углы в основном происходит рассеяние?
А. Вперед, в узкий конус с углом раствора
Б. Назад, в узкий конус с углом раствора
В. Вперед, в узкий конус с углом раствора
, радиус действия которого равен
,.
Г. Рассеяние является изотропным
Решение. Для достаточно быстрых частиц
условие применимости борновского приближения всегда выполнено (см. задачу 8). Пусть у нас
энергии именно такие. Тогда амплитуда рассеяния определяется соотношением
, (*)
где вектор
(переданный импульс) направлен под углом к направлению движения падаю-
щих частиц, а его модуль равен
.
Для малых углов рассеяния (
)
и в области действия потенциала
. По-
этому амплитуда рассеяния может быть оценена как
,
т. е. амплитуда (и сечение рассеяния) не зависит от угла рассеяния. Если угол рассеяния
, и в области действия потенциала экспонента сильно осциллирует, что приводит к по-
давлению борновского интеграла (*). Это значит, что амплитуда (и сечение) рассеяния на такие
,
углы существенно меньше амплитуды рассеяния на малые углы. Следовательно, рассеяние
8
быстрых частиц в условиях применимости борновского приближения происходит на малые уг-
1/ ka
лы в узкий конус с углом раствора
(ответ А).
1
Модуль 5. Задача рассеяния
1
0
( ) (2 1) 1 (cos )
2
ll
l
i
f l S P
k
2
2
0
1
(2 1) 1 (cos )
4
ll
l
d
l S P
dk
(cos )
l
P
2
l
i
l
Se
S
1
Семинар 5.2. Фазовая теория рассеяния
Сегодня мы с вами будем решать задачи на фазовую теорию рассеяния. И задачи эти будут обычные для нашего курса — тестовые
, когда в задаче даются несколько вариантов ответа
и требуется выбрать правильный. Но гадать, конечно, мы не будем, а будем выстраивать пра-
вильную логику, основанную на основных принципах квантовой механики. И вначале по тради-
ции я напомню основные соотношения фазовой теории рассеяния.
Основная идея фазовой теории рассеяния заключается в разложении волновой функции
задачи рассеяния по состояниям с определенным моментом (по сферическим функциям). В ре-
зультате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные
амплитуды (амплитуды рассеяния частиц с определенным моментом), знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к суммированию бесконечного ряда.
Итак, в рамках фазовой теории рассеяния амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение рассеяния выражаются в виде бесконечных сумм
где
-матрицей.
— полиномы Лежандра, а величина
, (1)
, (2)
называется матрицей рассеяния или
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задач
2
1. Частицы рассеиваются на некотором потенциале
()Ur
0
1
0l
r
0
1
sin kr
r
0
1
sin
2
kr
r
1
1
sin kr
r
1
1
sin
2
kr
r
0
( , ) ( ) (cos )
ll
l
r R r P
( ) ( ) /
ll
R r r r
2
22
2 ( 1)
( ) ( ) 0
2
ll
m l l
r E r
mr
. Фазовую теорию рассеяния можно
использовать, если потенциальная энергия:
А. мала
Б. велика
В. резкая функция координаты
Г. независимо от потенциальной энергии
Решение. Разложение волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенными
моментами (фазовая теория рассеяния) может быть проведено независимо ни от величины по-
тенциала, ни от сечения, ни от потока падающих частиц. Поэтому правильный ответ — ответ Г.
2. Как фаза рассеяния зависит от угла рассеяния?
А. Растет Б. Убывает В. Не зависит Г. Это зависит от потенциала
Решение. По определению фаза рассеяния — это число, которое определяет асимптотику реше-
ния радиального уравнения Шредингера с определенным моментом для частиц в рассеивающем
потенциале. И поэтому от угла рассеяния не зависит.
3. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. Фазы рассеяния
формулой определяется асимптотика радиальной волновой функции с моментом
и
известны. Какой
при
?
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Фазы рассеяния определяют асимптотику решения радиального уравнения Шредин-
гера с определенным моментом
.
На больших расстояниях от рассеивающего центра, где взаимодействия частиц с центром нет,
радиальные функции
являются решениями свободного уравнения Шредингера
и, следовательно, могут быть записаны в виде
3
12
sin cos sin
2 2 2
()
l
l
r
l l l
kr kr kr
R r C C
r r r
,
1
C
2
C
0r
s
0l
0
0
sin
()
kr
Rr
r
,
()
0,
rR
Ur
rR
0l
0
kR
2
0
()kR
0
kR
2
0
()kR
s
0l
00
( ) ( )/R r r r
00
2
2
( ) ( ) ( ) 0
m
r E U r r
rR
00
2
2
( ) ( ) 0
mE
rr
rR
rR
( ) 0rR
00
( ) cos sin sin , .r A kr B kr kr r R
( ) 0rR
00
sin 0kR kR
где
при
и
— постоянные, которые определяются условием конечности радиальной функции
. Поэтому фаза
-рассеяния (для частиц с определенным моментом, равным нулю
) определяет асимптотику решения согласно соотношению
(Ответ А)
4. Частицы рассеиваются на потенциале
равна:
А.
Решение. Фаза
гера с
Б.
-рассеяния определяет асимптотику решения радиального уравнения Шредин-
В.
, которое удовлетворяет следующему уравнению
.
. Фаза рассеяния с моментом
Г.
(m — масса рассеивающихся частиц). Для данного потенциала это уравнение при
являет-
ся уравнением для свободного движения
, (*)
а в области
волновая функция должна быть равна нулю, поскольку в этой области части-
цы обладали бы бесконечно большой потенциальной энергией. Поэтому решение уравнения (*)
и при
должно быть равно нулю
. Общее решение уравнения (*) дает
Поэтому из граничного условия
находим
.
(Ответ В)
4
5. Частицы рассеиваются на потенциале
,
()
0,
rR
Ur
rR
0E
2
d
R
d
2
/2
d
R
d
2
d
R
d
2
/2
d
R
d
1kR
s
2
0
2
sin
d
dk
0
0
kR
2
2
2
sin ( )d kR
R
dk
,
()
0,
rR
Ur
rR
1kR
2
2 R
22
2 R
22
2
d
R
d
2
4 R
2
44
dd
dR
dd
0
cos
1/ cos
cosAB
. Найти дифференциальное сечение
рассеяния медленных частиц (
А.
Б.
Решение. Для медленных частиц (
).
В.
Г.
) существенным является только
-рассеяние, поэтому
дифференциальное сечение рассеяния медленных частиц определяется соотношением
,
где
— фаза s-рассеяния. Согласно результату предыдущей задачи
, поэтому диффе-
ренциальное сечение медленных частиц данным потенциалом равно
.
(Ответ А)
6. Частицы рассеиваются на потенциале
медленных частиц (
).
. Найти полное сечение рассеяния
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Полное сечение рассеяния определяется как интеграл по полному телесному углу от
дифференциального сечения рассеяния. Как показано в предыдущей задаче, дифференциальное
сечение рассеяния медленных частиц на данном потенциале не зависит от угла рассеяния. По-
этому
.
(Ответ Г)
7. Частицы рассеиваются на некотором потенциале. Известно, что фаза рассеяния
нулю, все остальные фазы рассеяния равны нулю. Как зависит от угла рассеяния
не равна
дифферен-
циальное сечение рассеяния?
А. Не зависит Б. Как
В. Как
Г. Как
(Здесь A и B — постоянные.)
5
Решение. Дифференциальное сечение рассеяния частиц с определенной энергией
E
2
2
2
0
1
(2 1) 1 cos
4
l
i
l
l
d
l e P
dk
2
2/k mE
l
l
(cos )
l
P
0l
s
0
( ) 1Px
0
1
cos
1/ cos
cosAB
E
2
0
( ) (2 1) 1 (cos )
2
l
i
l
l
i
f l e P
k
2
2/k mE
l
l
(cos )
l
P
0l
1l
0l
1l
0
( ) 1Px
1
()P x x
cosAB
потенциалом определяется соотношением
.
некоторым
Здесь
тотикой решения радиального уравнения Шредингера с моментом
— угол рассеяния,
,
— фазы рассеяния, которые определяются асимп-
в данном потенциале,
— полиномы Лежандра. Если отлична от нуля только фаза рассеяния с моментом
(фаза
-рассеяния), то сечение не зависит от угла рассеяния, поскольку
.
8. Частицы рассеиваются на некотором потенциале. Известно, что фазы рассеяния
и
равна нулю, все остальные фазы рассеяния равны нулю. Как зависит от угла рассеяния
плитуда рассеяния?
А. Не зависит Б. Как
В. Как
Г. Как
(Здесь A и B — постоянные.)
Решение. Амплитуда рассеяния частиц с определенной энергией
некоторым потенциалом
определяется соотношением
не
ам-
.
Здесь
— угол рассеяния,
,
— фазы рассеяния, которые определяются асимп-
тотикой решения радиального уравнения Шредингера с моментом
— полиномы Лежандра. Если отличны от нуля только фазы рассеяния с моментом
(фаза s-рассеяния) и с моментом
только два слагаемых — с
и
ния зависит от угла рассеяния как
(фаза p-рассеяния), то в сумме отличны от нуля
. А поскольку
,
(ответ Г).
в данном потенциале,
, то амплитуда рассея-
Соседние файлы в предмете Квантовая механика