Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
3
1. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
/2xa
/2xa
2
ˆ
( , ) cosV x t x t
222
2
2
n
n
E
ma
1,2,3,...n
2
2
3
2ma
2
2
4
2ma
2
2
5
2ma
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
*
ˆ
( ) ( ) ( ) 0
kn k n
V dx x V x x
k
kn
*
12 1 2
ˆ
( ) ( ) ( )V dx x V x x
0x
xa
ˆ
( , ) cos / cosV x t x a t
222
2
2
n
n
E
ma
1,2,3,...n
потенциальной ямы, расположенной между точками
периодическое возмущение
. При какой частоте возмущения
и
, действует малое
частица
сможет перейти в первое возбужденное состояние? Указание. Энергия стационарных состояний
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
А.
Б.
В.
Г. Ни при какой
Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения
, должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля
матричный элемент оператора возмущения
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
и n
,
.
В условиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения для основного и первого
возбужденного состояния частицы в яме
равен нулю, поскольку волновая функция основного состояния является четной, первого
возбужденного состояния — нечетной, оператор возмущения — четным. Поэтому ни при какой
частоте возмущения переход между основным и первым возбужденным состояниями
невозможен. Ответ Г.
2. На частицу, находящуюся в n-ом состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы (основное состояние — первое), расположенной между точками
, действует малое периодическое возмущение
частоте возмущения
частица будет совершать переходы? Ответ дать в первом порядке теории
. При какой
и
нестационарных возмущений. Указание. Энергия стационарных состояний частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
,
4
А.
2
2
(2 1)
2nma
2
2
(2 1)
2nma
2
2
(2 1)
2nma
2
2
(2 1)
2
n
ma
2
2
( 1)n
ma
2
2
( 1)n
ma
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
*
ˆ
( ) ( ) ( ) 0
kn k n
V dx x V x x
k
kn
*
( )cos ( )
nk n k
x
V dx x x
a
n
1kn
sin
n
nx
a
sin cos sin sin
0
( 1) ( 1)
sin sin sin sin
a
nk
n x kx n x kx
V dx
a a a a
2
1
2
(2 1)
2
nn
n
ma
2
1
2
(2 1)
2
nn
n
ma
0x
xa
ˆ
( , ) ( )cosV x t x x a t
Б.
и
В.
Г.
и
Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения
, должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля
матричный элемент оператора возмущения
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
и n
.
В условиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения
между состояниями
и k отличен от нуля, если
. Действительно, используя
выражение для собственной функции
и формулу
, получим
,
откуда из условия ортогональности собственных функций и следует сделанное утверждение.
Поэтому для частоты возмущения должны быть выполнены условия
или
.
Ответ Б.
3. На частицу, находящуюся в 3-ом состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы (основное состояние — первое), расположенной между точками
, действует малое периодическое возмущение
. При какой
и
минимальной частоте возмущения
порядке теории нестационарных возмущений. Указание. Энергия стационарных состояний
частица будет совершать переходы? Ответ дать в первом
5
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
222
2
2
n
n
E
ma
1,2,3,...n
2
2
8
2ma
2
2
16
2ma
2
2
5
2ma
2
2
7
ma
n
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
*
ˆ
( ) ( ) ( )
kn k n
V dx x V x x
k
kn
*
33
0
( ) ( ) ( )
a
kk
V dx x x x a x
3
()x x a
2
31
2
4
ma
0x
xa
ˆ
( , ) cosV x t x t
2
2
4ma
,
А.
Решение. Для того чтобы происходил переход между состояниями
периодического возмущения
б.
в.
г.
и k под действием
, должны быть выполнены два условия:
матричный элемент оператора возмущения
должен быть отличен от нуля, частота возмущения должна быть «настроена» на разность
энергий состояний
и n
.
В условиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения
между состояниями
и k отличен от нуля, если состояние k имеет ту же четность, что и
состояние 3 (поскольку функция
— четна относительно центра ямы). Поэтому
переходы возможны в 1-ое, 5-ое, 7-ое и т. д. состояния. А поскольку энергетические интервалы
между уровнями растут с ростом квантового числа, самая маленькая разность энергий (и,
соответственно, частота возмущения) будет между первым и третьим уровнями. Следовательно,
самая маленькая частота перехода, при которой возможен переход, равна
.
(Ответ А)
4. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы, расположенной между точками
периодическое возмущение
(где
и
, действует малое
). Может ли частица совершить
переход, и в какие состояния (основное состояние — первое)? Указание. Энергия стационарных
6
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
222
2
2
n
n
E
ma
1,2,3,...n
n
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
*
ˆ
( ) ( ) ( )
kn k n
V dx x V x x
k
kn
2
31
2
4
ma
1
3
( /2)xa
13 1 3 1 3
00
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
aa
a
V dx x x x dx x x x
5
1
ˆ
( , ) cosV x t x t
1
1
3
1
5
1
7
5
x
*5
( ) ( )
kn k n
V dx x x x
,
А. Да, во второе Б. Да, в третье В. Нет Г. Мало информации для ответа
Решение. Для того чтобы происходил переход между состояниями
периодического возмущения
, должны быть выполнены два условия:
и k под действием
матричный элемент оператора возмущения
должен быть отличен от нуля, частота возмущения должна быть «настроена» на разность
энергий состояний
и n
.
В условиях данной задачи частота возмущение равна частоте перехода между первым и третьим
состояниями
,
а вот матричный элемент оператора возмущения равен нулю, поскольку и
относительно центра ямы, а оператор, который может быть сведен к
и
— четны
— нечетен
.
Следовательно, под действием данного возмущения переход из первого состояния в третье не
происходит (ответ В).
5. На одномерный гармонический осциллятор с частотой
состоянии, действует малое возмущение
. При какой минимальной частоте
, находящийся в основном
возмущения возможен переход?
А.
Решение. Матричный элемент оператора
Б.
В.
Г.
с осцилляторными функциями
(*)
отличен от нуля если их индексы отличаются на единицу, тройку, или пятерку. Это можно
понять, используя ту же логику, которая позволила нам вычислить матричные элементы с
7
осцилляторными функциями операторов
x
2
x
()
n
xx
()
n
xx
1
()
n
x
1
()
n
x
2
()
n
xx
2
()
n
x
()
n
x
2
()
n
x
3
()
n
xx
3
()
n
x
1
()
n
x
1
()
n
x
3
()
n
x
4
()
n
xx
4
()
n
x
2
()
n
x
()
n
x
2
()
n
x
4
()
n
x
5
()
n
xx
5
1 1 2 3 3 1 4 1 5 3 6 5n n n n n n
x a a a a a a
n
1n
3n
5n
n
1n
0
( ) cosE t E t
0
E
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
*
ˆ
( ) ( ) ( ) 0
kn k n
V dx x V x x
k
kn
и
(часть 1, лекция 2.5). Действительно, применяя
несколько раз рекуррентное соотношение (2) лекции 2.5 первой части курса к произведению
, заключаем, что произведение
коэффициентами. Произведение
— к
,
и
,
,
. Поэтому для произведения
и
сводится к
— к
. Произведение
и
,
и
можно написать
— к
с известными
. Произведение
,
,
где числовые коэффициенты могут быть найдены с использованием указанного рекуррентного
соотношения. А далее из условия ортогональности осцилляторных функций и следует
сделанное выше утверждение. Таким образом, под действием данного возмущения осциллятор
из
-го стационарного состояния может совершить переходы в
состояния. Минимальной является разность энергий между
равна
( — частота осциллятора). Следовательно, минимальная частота возмущения, при
и
-ое,
-ое и
-ое
-ым состояниями, которая
которой осциллятор совершит переход под действием данного возмущения, равна
осцилляторной частоте (ответ А).
,
6. На заряженный сферический гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии,
действует малое однородное периодическое электрическое поле
, частота
которого равна удвоенной частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершать переходы?
Указание. Кратность вырождения второго возбужденного состояния осциллятора равна 6.
А. Да Б. Нет В. Мало информации для ответа Г. Это зависит от
Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения
, должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля
матричный элемент оператора возмущения
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
и n
.
8
В условиях данной задачи частота возмущения «настроена» на разность энергий между
0
ˆ
( ) cosV r erE r
**
02 2 00 00 10 00 00 00
cos cos
m
R Y r R Y dr R Y r R Y dr
*
2 00m
YY
*
00 00
YY
cos
2
ˆ
( , ) cos cosV r t t
2
n
22
/2
n
e n a
1,2,...n
2
3
8
e
a
2
8
18
e
a
2
15
32
e
a
2
24
50
e
a
ˆˆ
( , ) ( )cosV r t V r t
*
ˆ
( ) ( ) ( ) 0
kn k n
V dr r V r r
k
kn
основным и вторым возбужденным уровнем энергии осциллятора. Поэтому переход будет
происходить, если матричный элемент оператора возмущения
будет отличен от нуля хотя бы для одного состояния, отвечающего второму возбужденному
уровню энергии. Из указания к условию заключаем, что второму возбужденному уровню
отвечают 5 состояний с моментом 2 (и всеми возможными проекциями) и одно состояние с
моментом 0 (и нулевой проекцией). Поэтому возможность перехода осциллятора определяется
матричными элементами
. (*)
Но оба интеграла в (*) равны нулю, поскольку функции
и
— четные, а
(рассматриваемая как функция точки пространства) — нечетная. Это значит, что под действием
данного в условии возмущения осциллятор не сможет совершить переход (ответ Б).
7. На атом водорода, находящийся в основном состоянии, действует малое возмущение
. При какой минимальной частоте возмущения возможен переход?
Указание. Кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме равна
стационарных состояний —
А.
Б.
В.
,
Г.
, энергия
Решение. Для того чтобы происходил переход между состояниями k и n под действием
периодического возмущения
, должны быть выполнены два условия: должен
быть отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
Для данного в условиях данной задачи возмущения матричный элемент между основным и kым состояниями имеет вид
и n
.
9
*2
00 00
cos
r
n l lm
R Y R Y dr
, (*)
r
n
2
cos
2
1 00 2 20
cos CY C Y
**
1 00 00 00 2 20 00 00
rr
n l lm n l lm
C R Y Y R Y dr C R Y Y R Y dr
0l
0l
0
r
nl
R
00
R
2l
00
Y
2l
2 2 2
13
18
18 2 18
e e e
a a a
1
1/ 2w
0w
1
w
1
1
w
ˆ
V
0
ˆ
H
0
ˆˆ
HV
k
k
n
f
0k
где
, l и m — радиальное квантовое число, момент и проекция состояния k. Функцию
можно представить как линейную комбинацию
.
Подставляя эту функцию в матричный элемент (*), получаем для матричного элемента
.
Очевидно, первый интеграл равен нулю для любых квантовых чисел. Действительно, чтобы был
не равен нулю угловой интеграл, момент конечного состояния должен равняться нулю —
Но для
переход возможен только за счет второго слагаемого. А оно не равно нулю для
условие ортогональности радиальных функций
и
даст нуль. Поэтому
(это
утверждение следует из условия ортогональности сферических функций и независимости
функции
переход, является частота перехода в наинизшее состояние с
от углов). Поэтому минимальной частотой возмущения, для которой возможен
. А это второй возбужденный
.
уровень энергии
.
(Ответ Б)
8. Осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная
частота
мгновенно меняется до некоторого значения
. Вероятность перехода осциллятора в
первое возбужденное состояние равна
А.
Решение. При мгновенном включении возмущения
переход из стационарных состояний невозмущенного гамильтониана
состояния возмущенного
определяется интегралом перекрытия волновой функции начального состояния
Б.
В.
Г.
(независящего от времени) возможен
. Причем вероятность переходя из
в стационарные
-го состояния в n-ое
и волновой
функции конечного
. В данной задаче
— основное состояние осцилляторного
10
гамильтониана с частотой
1
2
*
0 1 1 0
( ) ( )w f x x dx
0
1
f
0
1
f
0
1
f
1l
0l
2
*
1 0 0 1
( ) ( )w f x x dx
1l
0l
в первое возбужденное состояние осцилляторного гамильтониана с
частотой
. (*)
При этом условия ортогональности функций
и
нет, поскольку это собственные функции
разных гамильтонианов. И тем не менее в данной задаче этот интеграл равен нулю, поскольку
функции
и
имеют разную четность:
— четная,
— нечетная. Поэтому интеграл (*)
равен нулю, и переход в первое возбужденное состояние из основного при мгновенном
изменении частоты осциллятора невозможен (ответ Б).
9. Сферический осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Внезапно на
осциллятор накладывается возмущение, зависящее только от модуля радиус-вектора. Может ли
осциллятор совершить переход в основное состояние? Указание. Кратность вырождения
первого возбужденного уровня энергии трехмерного осциллятора равна 3.
А. Да Б. Нет В. Это зависит от величины возмущения
Г. Мало информации для ответа
Решение. Так же как и в предыдущей задаче переход невозможен, поскольку интеграл
перекрытия начальной волновой функции — одной из собственных функций, отвечающих
первому возбужденному уровню энергии сферического осциллятора и основного состояния в
том центральном поле, которое получится при наложении возмущения, равен нулю.
Действительно, поскольку кратность вырождения первого возбужденного уровня равна 3, ему
отвечает момент
и три возможности для проекции. Конечная система — осциллятор +
возмущение, зависящее от модуля радиус-вектора — частица, движущаяся в центральном поле.
Поэтому основное состояние этой системы отвечает моменту
. Следовательно, угловая
часть интеграла перекрытия
это интеграл от сферических функций с
и с
, который равен нулю, благодаря
ортогональности сферических функций (ответ Б).
10. Электрон в атоме водорода находится на первом возбужденном уровне энергии в состоянии
с неопределенным моментом. Внезапно на атом накладывается возмущение, оператор которого
11
зависит только от модуля радиус-вектора. Может ли электрон совершить переход в основное
1l
0l
1l
0l
0l
1l
0l
0l
состояние? Указание. Кратность вырождения первого возбужденного уровня энергии атома
водорода равна 4.
А. Да Б. Нет В. Это зависит от величины возмущения
Г. Мало информации для ответа
Решение. Первому возбужденному уровню энергии электрона в атоме водорода отвечают
четыре состояния — три с моментом
(и всеми проекциями) и одно — с моментом
(и
нулевой проекцией). А поскольку в начальном состоянии момент определенного значения не
имеет, волновая функция начального состояния является суперпозицией состояний с
и
.
Конечное состояние — основное состояние в некотором центральном поле (кулоновское поле +
возмущение, зависящее от модуля радиус-вектора. Поэтому это состояние — состояние с
определенным моментом
начального и конечного состояний содержит произведение волновых функций с
. И, следовательно, интеграл перекрытия волновой функции
и
(интеграл от которого равен нулю, благодаря ортогональности сферических функции с разными
моментами) и волновых функций с моментом
каждая. Здесь никакого условия
ортогональности нет, поэтому этот интеграл не равен нулю, и переход возможен. Ответ А.
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
1 2 3
( , , ,...)x x x
1 2 3 2 1 3
( , , ,...) ( , , ,...)x x x x x x
1 2 3 2 1 3
( , , ,...) ( , , ,...)x x x x x x
1 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
nk n k n k
f x x x x x x
()
i
x
1
Семинар 4.1. Перестановочная симметрия волновой функции
Сегодня мы будем решать задачи, в которых рассматриваются состояния систем тождественных частиц и особенности таких систем, связанные с тождественностью частиц. Задачи это
будут такие же, как те, что мы использовали во всем нашем курсе — тестовые, с выбором отве-
та, но которые позволяют лучше почувствовать логику и принципы квантовой механики1. Но
сначала я напомню основные теоретические соотношения, которые нам понадобятся для решения задач.
Волновые функции систем тождественных частиц должны обладать определенными пе-
рестановочными свойствами. Волновая функция тождественных бозонов
(где ко-
ординаты включают и пространственные и спиновые переменные) не должна менять знак при
перестановке координат частиц
(т. е. быть симметричной относительно перестановок), волновая функция тождественных фермионов должна быть антисимметричной относительно перестановок
.
При этом бозонами являются частицы с целым спином, фермионами — с полуцелым.
Если частицы не взаимодействуют, то волновая функция, с одной стороны, должна быть
произведением функций, зависящих от координат частиц, с другой — быть симметричной или
антисимметричной. Поэтому волновые функции стационарных состояний таких систем должны
выражаться как симметричные или антисимметричные комбинации произведений волновых
функций отдельных частиц
, (*)
где
— волновые функции стационарных состояний одной частицы. Здесь n и k — кван-
товые числа состояний отдельных частиц. Из формулы (*) следует, что в системе тождествен-
ных фермионов не существуют функции, в которых фермионы занимают одинаковые одночастичные состояния (принцип Паули).
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика