Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
2
Решение. Конечно, этот вопрос — шуточный. Малый параметр любого приближения не должен
27
10
1
E
2
E
1
E
2
E
()E U x
2
E
E
2
()
()
kx
kx
x
()Ux
1
E
2
E
E
x
()Ux
E
x
()Ux
зависеть от единиц измерений, и поэтому он должен быть безразмерным (ответ Г). А ответ, что
квазиклассическое приближение работает, поскольку постоянная Планка мала (
эрг
с)
является неверным. Правильные слова такого рода должны быть такими — квазиклассическое
приближение работает в таком случае, когда постоянная Планка много меньше классического
действия для частицы.
3. График потенциальной энергии частицы имеет вид, показан-
ный на рисунке. Уравнение Шредингера решается при двух энер-
гиях —
и
(показаны на рисунке) При какой энергии лучше
работает квазиклассическое приближение?
А. лучше при энергии
Б. лучше при энергии
В. безразлично
Г. от энергии точность квазиклассического приближения не зависит
Решение. Возможность использования квазиклассического приближения зависит от производ-
ной потенциала по координате и разности энергии, при которой решается уравнение Шрединге-
ра, и потенциальной энергии частицы. Причем чем больше разность
, тем лучше рабо-
тает квазиклассическое приближение. Поэтому квазиклассическое приближение лучше работает
при энергии
(ответ Б).
4. Уравнение Шредингера решается при энер-
гии
в потенциалах, изображенных на рисун-
ках (энергия отложена черточкой на оси орди-
нат). Для какого случая можно ожидать луч-
шей работы квазиклассического приближения?
А. для левого Б. для правого
В. одинаково Г. мало информации для ответа
Решение. «Плавность» или «неплавность» потенциала в квазиклассическом смысле определяется безразмерным параметром квазиклассичности
Производная по координате от потенциала, показанного на левом рисунке в условии, конечно, в
среднем меньше производной по координате от правого потенциала. Но энергия, при которой
3
решается уравнение Шредингера в левом потенциале, практически совпадает с потенциалом.
2
()kx
'aa
sin ( ) cos ( )
xx
aa
C k t dt D k t dt
sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )
x x x x
b b a a
C k t dt D k t dt C k t dt c D k t dt c
()
a
b
c k t dt
()
x
a
k t dt
()U x x
E
Ex
3/2
exp ( )C ib E x
5/2
exp ( )C ib E x
7/2
exp ( )C ib E x
9/2
exp ( )C ib E x
Поэтому величина
для левого потенциала мала, и можно ожидать, что для правого потен-
циала при показанной на этом рисунке энергии квазиклассическое приближение будет работать.
5. К чему приведет изменение нижнего предела интегрирования
ском решении уравнения Шредингера
в общем квазиклассиче-
?
А. к тому, что эта функция перестанет быть решением
Б. к изменению произвольных постоянных C и D
В. к выходу в область неквазиклассичности
Г. к изменению начала отсчета времени
Решение. Очень часто студенты плохо понимают, на что влияет выбор нижнего предела в инте-
гралах в аргументах квазиклассических функций. Ни на что! Действительно, изменение нижне-
го предела интегрирования в аргументах квазиклассических функций эквивалентно добавлению
к их фазам некоторых постоянных
, (*)
где
постоянная. Раскрывая синус и косинус в (*) по формулам сложения, мы сведем их снова к синусу и косинусу от
,
но с другими коэффициентами. Поэтому изменение нижнего предела интегрирования в инте-
гралах в квазиклассических решениях эквивалентно изменению произвольных постоянных в
решениях (ответ Б).
6. Частица массой m движется в потенциале
зиклассическое решение уравнение Шредингера при энергии
А.
Б.
. Какой формулой определяется ква-
(в области, где
)?
В.
Г.
4
(здесь
C
8 /(3 )bm
2
2
()
xx
aa
m E t
k t dt dt
a
3/2
22
() н.п.
3
x
a
m
k t dt E x
н.п.
C
Ex
1/ ( )kx
3/2
exp ( )C ib E x
8 /(3 )bm
()Ux
xa
xb
()Ux
a x b
()
b
a
k x dx n
( ) ( 1/4)
b
a
k x dx n
( ) ( 1/2)
b
a
k x dx n
( ) ( 3/ 4)
b
a
k x dx n
xa
xb
a x b
( ) sin ( ) cos ( )
xx
aa
f x C k t dt D k t dt
C
xa
xb
()E U x
a
b
x
()Ux
— произвольная постоянная,
)
Решение. Для построения квазиклассического решения в данном потенциале вычислим инте-
грал, входящий в фазу комплексных экспонент.
,
где
— точка с произвольной координатой. Вычисляя, получим
,
где
в произвольную постоянную
при
где
— значение первообразной на нижнем пределе интегрирования. Включая это значение
найдем, что квазиклассическое решение в заданном потенциале
(без предэкспоненциального множителя
. Поэтому правильный ответ в задаче — ответ А.
7. Каким будет правило квантования в потенциале:
и при
координаты при
,
— некоторая известная плавная функция
(бесконечно глубокая потенциальная яма
с «неплоским» дном; см. рисунок)?
А.
Б.
В.
Решение. Поскольку стенки ямы бесконечны, в области
ственно равна нулю. Внутри ямы (
) используем квазиклассическое приближение
) имеет вид
,
при
Г.
и
волновая функция тожде-
(в качестве нижнего предела интегрирования взята левая граница ямы). Постоянные
следует подобрать так, чтобы функция (**) переходила в тождественный нуль слева от точки
и справа от точки
разность
не уменьшается, то для достаточно больших энергий можно пользоваться
квазиклассическим приближением вплоть до самых границ. Поэтому граничные условия для
функции (**) имеют вид
(**)
и D
. Поскольку при приближении к границам ямы при любой энергии
5
sin ( ) cos ( ) 0
x a x a
aa
C k t dt D k t dt
,
sin ( ) cos ( ) 0
x b x b
aa
C k t dt D k t dt
0D
0C
( ) , 1,2,3,...
b
a
k t dt n n
.
Первое условие дает
нулю функции (
. Чтобы второе условие было выполнено для тождественно не равной
), нужно, чтобы
,
которое и является, таким образом, правилом квантования для данного потенциала (ответ А).
1
Модуль 2. Теория возмущений
m
E
m
f
2
||
,
.
mn
m m mm
nm
mn
nm
m m n
nm
mn
V
EV
V
f
m
m
0
ˆ
H
0
ˆ
=
n n n
H
nm
V
ˆ
V
*
ˆˆ
,
mn m n m n
V V dq V
1
nm
mn
V
1
Семинар 2.1. Теория возмущений при отсутствии вырождения
Сегодня мы будем решать задачи по теории возмущений. Причем задачи это будут тестовые, требующие выбора правильного ответа и допускающие быстрый ответ в уме.
В первой части нашего курса такие задачи мы с вами уже использовали, и я думаю, что
большинство слушателей с такого рода задачами познакомились.
Я всегда использую такие задачи в учебном процессе, постоянно проводя миниконтрольные работы. С одной стороны, это (1) держит студентов в тонусе, (2) помогает хорошим студен-
там почувствовать язык квантовой механики, а потом дойти и до более сложных задач. Но вот
плохие … стараются просто запомнить задачи как картинки. Ничего хорошего от этого не бу-
дет! Ну а теперь давайте порешаем задачи на теорию возмущений без вырождения1.
Напомню основные идеи и формулы этой теории. Энергии возмущенных уровней
двух порядках теории возмущений) и волновые функций
(в первом порядке) стационарных
(в
состояний имеют вид
(1)
Здесь
и
— собственные функции и собственные энергии невозмущенного гамильтониана
:
,
— матричные элементы оператора возмущения
:
. (2)
Чтобы теория возмущений работала, матричный элемент оператора возмущения с невозмущен-
ными собственными функциями должен быть много меньше разности невозмущенных энергий
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
. (3)
2
На а теперь — задачи.
ˆ
V
(1)
0 00
EV
00
V
2
(2)
0
0
0
0
||
n
n
n
V
E
0n
V
n
n
( / 2)xa
a
2
ma
2
m
a
2
ma
2
m
a
2
2
E
ma
1. На некоторую квантовую систему накладывают малое возмущение
, причем известно, что
диагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями ос-
новного состояния равен нулю, недиагональные матричные элементы, содержащие волновую
функцию основного состояния не равны нулю. Увеличится или уменьшится при этом энергия
основного состояния системы?
А. увеличится Б. уменьшится
В. не изменится Г. мало информации для ответа
Решение. В данных условиях поправка первого порядка теории возмущений к энергии основного состояния
(
— матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного
состояния) равна нулю, поправка второго порядка
отлична от нуля. Здесь
функциями основного состояния и состояния
— матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными
,
— невозмущенные энергии. Поскольку
энергия основного состояния меньше энергий других стационарных состояний, а в числителе
второй формулы — неотрицательные величины, поправка второго порядка к энергии основного
состояния меньше нуля. Энергия основного состояния понизится.
2. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме, нало-
жили возмущение
, где
— размер ямы. Каким должен быть параметр
, чтобы
для расчета энергий можно было пользоваться теорией возмущений
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Теория возмущений работает, если матричный элемент оператора возмущения много
меньше разности невозмущенных энергий. Энергии стационарных состояний частицы в яме
.
3
Матричные элементы заданного в условии оператора возмущения равны нулю для четных со-
2
0
( ) ( / 2) ( ) ( / 2)
a
nn n n n
V f x x a f x dx f x a
a
2
2
a ma
2
ma
a
0
( ) ( )V x V x a x
0
0V
(1)
n nn
EV
0
0
( ) ( ) ( )
a
nn n n
V V f x x x a f x dx
2
( [0 ]) 0
n
f x a
( ) 0x a x
0
V
n
0
( ) sin 2 /V x V x a
a
0
0V
стояний и не равны нулю для нечетных
(числовые множители в этих формулах опущены). Поэтому теория возмущений работает, если
.
Или
.
(ответ А.).
3. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной
малое возмущение
(
). Как изменятся энергии стационарных состояний в
, наложили
первом порядке теории возмущений по сравнению с невозмущенной задачей?
А. увеличатся Б. уменьшатся В. не изменятся Г. мало информации для ответа
Решение. Поправка первого порядка к энергии n-ого уровня определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения
,
где
. (*)
Очевидно, подынтегральная функция отрицательна во всех внутренних точках ямы. Действи-
тельно,
элемент (*) отрицателен, и, следовательно, поправка первого порядка к энергии
,
. Поэтому при положительной константе
матричный
-го стацио-
нарного состояния отрицательна. Ответ Б.
4. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме наложи-
ли возмущение
ционарных состояний в первом порядке теории возмущений?
А. увеличатся Б. уменьшатся В. не изменятся Г. зависит от размера ямы.
Решение. Поправка первого порядка теории возмущений к энергии стационарных состояний
определяется диагональным матричным элементом оператора возмущенияй с невозмущенными
волновыми функциями стационарных состояний
, где
— размер ямы,
. Как изменятся энергии ста-
4
(1) * *
0
00
ˆ
( ) ( ) ( )sin 2 / ( )
aa
n nn n n n n
E V f x Vf x dx V f x x a f x dx
. (*)
2
()
n
fx
sin 2 /xa
0
( ) cos /V x V x a
a
22
(2)
0
22
6
V ma
E
22
(2)
0
22
12
V ma
E
22
(2)
0
22
3
V ma
E
22
(2)
0
22
8
V ma
E
2
(2)
0
0
0
0
||
n
n
n
V
E
0n
V
0 0 0
0
( )cos ( )
a
nn
x
V V f x f x dx
a
( ) 2 / sin( / )
n
f x a nx a
2sin( / )cos( / ) sin(2 / )x a x a x a
00
0
1 2 2
sin sin
2
a
n
x n x
V V dx
a a a
2n
0
02
2
V
V
222
2
2
n
n
E
ma
22
(2)
0
22
6
V ma
E
Функция
является четной относительно центра ямы, функция
— нечетной,
поэтому интеграл (*) равен нулю, и, следовательно, энергии стационарных стсотяний при вклю-
чении данного возмущения не изменятся.
5. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме наложи-
ли возмущение
, где
— размер ямы. Чему равна поправка второго поряд-
ка к энергии основного состояния?
А.
В.
Б.
Г.
Решение. Используем формулу для поправки второго порядка теории возмущений
. (*)
Матричный элемент
определяется соотношением
,
где
пользуя известную тригонометрическую формулу
— волновые функции стационарных состояний частицы в яме. Ис-
, получим
,
из условия ортонормированности волновых функций стационарных состояний заключаем, что
матричные элементы будут отличны от нуля только для
и равны
.
Используя формулу для энергий стационарных состояний частицы в яме
, получим
из (*)
.
5
(Ответ А)
ˆ
( ) ( )V x x
1
n
1
n
2
1
n
2
(1) *
0
0
ˆ
( ) ( ) ( 0)
a
n nn n n n
E V f x Vf x dx V f x
0x
1
( 0)
n
fx
L
L
( 1/ 2)
n
En
22
2
n
m L n
EL
m
(1)
00
1
n
V V m
E
L
nn
E
2
(1)
2
E
Eme
2
(1)
2
E
E
me
(1)
0E
2
(1)
2
2E
E
me
E
ˆ
V erE
z
ˆ
cosV erE
6. На одномерный гармонический осциллятор наложили возмущение
. Как поправ-
ка первого порядка теории возмущений к энергии четных стационарных состояний зависит от
квантового числа состояния для больших значений квантового числа?
А. как
Б. как
В. как
Г. не зависит от n
Решение. Поправка первого порядка для энергий стационарных состояний определяется диаго-
нальным матричным элементом оператора возмущения
.
Волновые функции нечетных стационарных состояний — нечетные, поэтому поправка первого
порядка равна нулю. Оценим значение волновой функции при
для четных состояний. По-
скольку нормировочный интеграл набирается в основном внутри ямы, имеем
,
где
— характерный размер области внутри ямы для частицы с энергией
. Эта
область определяется соотношением
.
Отсюда
.
(Ответ А)
7. На атом водорода накладывают однородное электрическое поле с напряженностью
. Чему
равен сдвиг энергии основного состояния электрона в первом порядке теории возмущений
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Энергия взаимодействия заряженной частицы с электрическим полем напряженности
определяется соотношением
В системе координат, ось
.
которой направлена по полю возмущение имеет вид
.
6
Поправка первого порядка теории возмущений к энергии основного состояния определяется
(1) * *
0 0 0 0 0
00
ˆ
( ) ( ) ( ) cos ( )
aa
E f r Vf r dr eE f r r f r dr
0
()fr
cos
10
Y
0
cos sin d
cosx
1
01
cos sin 0d xdx
ˆ
( ) sin( / )V x a x b
11P
ˆ
( , , )V x y z z
z
0, 1; 0
z
ll
0; 0, 1
z
ll
0, 0
z
ll
0, 1; 0, 1, 1
z
ll
диагональным матричным элементом оператора возмущения
, (*)
где
состояния электрона в атоме водорода не зависит от углов, а
множителя совпадает со сферической функцией
— волновая функция основного состояния. Поскольку волновая функция основного
с точностью до числового
, интеграл по углам в (*) дает
.
Делая замену
, получим
.
Таким образом, сдвиг энергии основного состояния электрона в атоме водорода при наложении
на него электрического поля в первом порядке теории возмущений равен нулю (ответ В.).
8. На одномерный гармонический осциллятор, накладывают возмущение
. Как
изменится средняя четность 100-го стационарного состояния (основное состояние — нулевое)?
А. уменьшится Б. увеличится В. не изменится Г. мало информации для ответа
Решение. Волновая функция сотого состояния невозмущенного гармонического осциллятора
является четной. И, следовательно, средняя четность этого состояния равна 1. Возмущение яв-
ляется нечетным. Поэтому все собственные состояния возмущенного гамильтониана будут
функциями неопределенной четности. Т. е. средняя четность этих состояний будет удовлетворять строгим неравенствам.
Значит средняя четность сотого собственного состояния возмущенного гамильтониана умень-
шится. Ответ А.
9. На частицу, движущуюся в центральном поле, наложили малое возмущение
Какие значения момента импульса частицы и его проекции на ось
можно обнаружить в воз-
мущенном основном состоянии частицы? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для
волновой функции.
А.
Б.
В.
Г.
.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика