Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Муравьев с edX
.pdf
2
Свойства перестановочной симметрии волновых функций систем тождественных частиц
касаются перестановки и пространственных и спиновых координат. Если при этом система
находится в состоянии с определенным суммарным спином, то перестановочная симметрия
имеет место и для пространственной и спиновой волновой функции.
Например, в системе двух частиц спиновые состояния с максимальным суммарным спи-
ном (и любой проекцией) являются симметричными по построению, с суммарным спином на
единицу меньшим максимального — антисимметричными, на двойку меньшим максимального — симметричными и т. д. Поэтому и пространственная часть волновой функции тождественных частиц будет обладать определенной симметрией, причем разной в состояниях с разным
суммарным спином. А это приводит к разному взаимодействию частиц в таких состояниях.
Ну а теперь рассмотрим задачи.
3
1. Гамильтониан системы тождественных фермионов:
99/2s
99/2s
2 1 100s
1/ 2s
24
25
26
27
/2
3 /2
5 / 2
7 / 2
А. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как это фермионы
Б. антисимметричен относительно перестановок координат частиц, так это фермионы
В. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные
Г. антисимметричен относительно перестановок координат, так как частицы тождественные
Решение. Поскольку частицы тождественные то оператор кинетической энергии всех частиц
одинаковы, одинаковы также взаимодействие частиц с внешними полями и друг с другом. Поэтому оператор Гамильтона симметричен относительно перестановок координат. Ответ В.
2. Имеется система тождественных невзаимодействующих фермионов со спином
. Ка-
кое максимальное количество частиц могут находиться в одинаковом пространственном состоянии?
А. 99 Б. 100 В. 101 Г. Любое
Решение. Согласно принципу Паули фермионы должны находиться в разных одночастичных
состояниях. С другой стороны, по условию пространственное состояние всех фермионов одина-
ково. Значит, должны быть разными спиновые состояния каждого фермиона. О поскольку для
частиц со спином
существует
разных спиновых состояний (отличающихся,
например, проекцией спина на ось z), то в одном и том же пространственном состоянии может
находиться не более 100 фермионов (ответ Б).
3. Десять тождественных невзаимодействующих фермионов со спином
находятся в по-
тенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой . Какова энергия основного
состояния системы?
А.
Б.
В.
Г.
Решение. Согласно принципу Паули фермионы должны занимать разные одночастичные состо-
яния. Поэтому на каждом уровне энергии может находиться не более двух фермионов (в разных
спиновых состояниях). Поскольку частицы не взаимодействуют, энергия системы есть сумма
энергий фермионов, причем основное состояние — это состояние с минимальной энергией. Поэтому основному состоянию отвечает такое размещение фермионов по уровням энергии — в
основном состоянии одномерного осциллятора (
возбужденном уровне (
(
) — два (итого шесть фермионов), на третьем возбужденном (
) — два (итого четыре фермиона), на втором возбужденном
) находятся два фермиона, на первом
) — два
4
(итого восемь фермионов), на четвертом возбужденном (
9 / 2
1 3 5 7 9
2 2 2 2 2 25
22222
E
0s
2
1/ 2s
) (итого десять фермионов).
Поэтому энергия основного состояния системы из десяти фермионов определяется соотношением
.
Ответ Б.
4. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином
находятся в потенциале
одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?
А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4
Решение. Разместим бозоны по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем второе
возбужденное состояние, посчитаем количество симметричных функций, которые ему отвеча-
ют. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии одночастичного осциллятора (энергия основного состояния —
имеет энергию на
бóльшую энергии основного состояния, и ему отвечает следующее раз-
). Первое возбужденное состояние
мещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном
(энергия
). Второе возбужденное имеет еще на
бóльшую энергию. Поэтому существуют
два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы
находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из частиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте
существует только симметричная пространственная, во втором — одна симметричная, вторая
антисимметричная. А поскольку у частиц нет спина, то волновая функция системы сводится
только к пространственной функции — кратность вырождения второго возбужденного уровня
энергии системы равна 2.
5. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином
циале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?
А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 5
Решение. Разместим фермионы по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем вто-
рое возбужденное состояние, подсчитаем количество антисимметричных функций, которые ему
отвечают. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии од-
находятся в потен-
5
ночастичного осциллятора (энергия основного состояния —
2
1/ 2s
0S
0S
1S
1s
2
). Первое возбужденное состоя-
ние имеет энергию, на бóльшую энергии основного состояния, и ему отвечает следующее
размещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном
(энергия
). Второе возбужденное имеет еще на
бóльшую энергию. Поэтому существуют
два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы
находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из частиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте
размещения пространственная функция фермионов симметрична (и сделать ее антисимметрич-
ной нельзя, поскольку частицы имеют одинаковые пространственные функции), поэтому спино-
вая должна быть антисимметричной. Для частиц со спином
антисимметричная спиновая функция — с суммарным спином
существует единственная
. Для второго варианта раз-
мещения пространственная функция может быть как симметричной, так и антисимметричной.
Если пространственная функция симметрична, спиновая функция должна быть антисимметрич-
ной (одно спиновое состояние с
новая должна быть симметрична. А таких состояний существует три —
). Если пространственная функция антисимметрична, спи-
и три возможно-
сти для проекции. Поэтому в случае размещения одной частицы в основном состоянии одночастичного осциллятора, второй — во втором возбужденном, существует четыре разных состояния системы. Следовательно, кратность вырождения второго возбужденного состояния рассматриваемой системы — 5 (ответ Г).
6. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином
находятся в потенциале
одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?
А. 15 Б. 16 В. 17 Г. 18
Решение. Разместим бозоны по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем второе
возбужденное состояние, посчитаем количество симметричных функций, которые ему отвеча-
ют. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии одночастичного осциллятора (энергия основного состояния —
имеет энергию на
бóльшую энергии основного состояния, и ему отвечает следующее раз-
). Первое возбужденное состояние
мещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном
(энергия
). Второе возбужденное имеет еще на
бóльшую энергию. Поэтому существуют
два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы
6
находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из ча-
1s
2S
1S
1/ 2s
0S
1S
1/ 2s
1S
стиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте
размещения пространственная функция бозонов симметрична (и сделать ее антисимметричной
нельзя, поскольку частицы имеют одинаковые пространственные функции), поэтому и спиновая
должна быть симметричной. Для частиц со спином
вых состояний с суммарным спином
(и всеми проекциями) и одно состояние с суммарным
существует пять симметричных спино-
спином, равным нулю (итого — 6 состояний).
Для второго варианта размещения пространственная функция может быть симметричной
или антисимметричной. Если пространственная функция симметрична, спиновая функция
должна быть также симметричной — шесть состояний, которые я подсчитал в предыдущем аб-
заце. Если пространственная функция антисимметрична, то существует три антисимметричных
спиновых состояния с
. Всего получается 15 состояний. Следовательно, кратность вырож-
дения второго возбужденного состояния рассматриваемой системы — 15 (ответ А).
7. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином
находятся в потен-
циале сферического гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения первого воз-
бужденного уровня энергии системы? Указание. Кратности вырождения уровней энергии трехмерного осциллятора равны: 1 — для основного состояния, 3 — для первого возбужденного.
А. 9 Б. 12 В. 15 Г. 18
Решение. Первому возбужденному состоянию системы отвечает размещение одной частицы в
основном состоянии одночастичного сферического осциллятора, второй — на первом возбуж-
денном уровне энергии (три разных состояния). Каждому такому размещению частиц отвечают
четыре спиновых состояния — в случае симметричной пространственной функции — одна ан-
тисимметричная спиновая (с
три спиновых функции (с
), в случае антисимметричной пространственной функции —
и тремя возможными проекциями). Следовательно кратность
вырождения первого возбужденного состояния системы равна 12 (ответ Б).
8. Имеется два фермиона со спином
состояния с определенным суммарным спином
. Что можно сказать о спиновой волновой функции
?
А. Эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так
как частицы — фермионы
7
Б. Эта не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых коор-
1/ 2s
1S
0S
1S
1/ 2s
1S
0S
0S
1s
2S
1S
1s
1S
1s
динат
В. Эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по
построению независимо от того, являются частицы тождественными, или нет
Г. Эта функция симметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными, или нет
Решение. Спиновое состояние системы их двух частиц со спином
чать суммарному спину
ции, описывающие состояния с
и суммарному спину
являются симметричными. И это справедливо для любых
. При этом по построению три функ-
у каждой может отве-
частиц — не обязательно тождественных (ответ Г.).
9. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином
находятся в потен-
циале одномерного гармонического осциллятора. Будет ли суммарный спин системы иметь
определенное значение в основном состоянии, и если да, то какое?
А. Да,
Б. Да,
В. Нет Г. Мало информации для ответа
Решение. Поскольку в основном состоянии системы оба фермиона находятся в основном состо-
янии одночастичного осциллятора, их пространственная функция симметрична, и, следовательно, спиновая — антисимметрична. А таким является только спиновое состояние с
(ответ
Б).
10. Система из двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спином
находится в
состоянии, в котором пространственная часть волновой функции антисимметрична относитель-
но перестановок координат. Имеет ли суммарный спин такой системы определенное значение, и
если да, то какое?
А. Да,
Б. Нет В. Да,
Г. Мало информации для ответа
Решение. Поскольку пространственная функция бозонов по условию антисимметрична, то спи-
новая функция является также антисимметричной. А для системы двух бозонов со спином
антисимметричными являются три функции с суммарным спином
(ответ В).
11. Система из двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спином
находится в
состоянии, в котором пространственная часть волновой функции симметрична относительно
8
перестановок координат. Имеет ли суммарный спин такой системы определенное значение, и
2S
1S
1s
2S
0S
2S
0S
2S
0S
если да, то какое?
А. Да,
Б. Нет В. Да,
Г. Мало информации для ответа
Решение. Поскольку пространственная функция бозонов по условию симметрична, то спиновая
функция является также симметричной. А для системы двух бозонов со спином
ричными являются пять состояний с суммарным спином
спином
иметь определенное значение
. Поэтому условие не дает информации о суммарном спине системы — он может
, определенное значение
значения в случае линейной комбинации спиновых функций с
и одно состояние с суммарным
, и не иметь определенного
и
(ответ Г).
симмет-
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
ˆ
ˆ
()
a
a
H h x
a
a
x
ˆ
()
a
hx
ˆ
()
a
hx
... 1 2 1 2
.
( , ,..., ) ( ) ( )... ( ) ,
.
... .
ik m N i k m N
i k m
симм
x x x x x x
антисимм
E
, ,...,i k m
N
i
m
i
n
...ik m
12
12
, ,... 1 2 , ,... 1 2
( , ,...) ( , ,...)
kk
k k n n
x x x x
12
, ,... 1 2
( , ,...)
kk
nn
xx
N
Семинар 4.2. Метод вторичного квантования
Гамильтониан системы тождественных невзаимодействующих частиц представляет собой сумму одинаковых гамильтонианов, зависящих от координат всех частиц системы
, (1)
здесь индекс
так и спиновую координату. Гамильтониан
описывающих каждую частицу, координата
называется одночастичным. Собственными
включает как пространственную,
функциями гамильтониана (1) являются симметриичные (для бозонов) или антисимметричными
(для фермионов) суммы произведений собственных функций одночастичного гамильтониана,
зависящих от координат всех частиц системы, а собственными значениями — суммы соответ-
ствующих собственных значений гамильтониана
:
(2)
Здесь индексы
гамильтониана (одночастичных состояний),
определяют квантовые числа собственных состояний одночастичного
— число частиц в системе. Состояние системы
частиц (2) имеет следующий физический смысл: в нем одна частица находится в одночастичном
состоянии
ном состоянии
, одна частица — в одночастичном состоянии k, …, одна частица — в одночастич-
(если какие-то из квантовых чисел повторяются, то в соответствующем одночастичном состоянии находится более чем одна частица).
Ключевой величиной в методе вторичного квантования является число заполнения одно-
частичного состояния. Эта величина определяется как число частиц
стичном состоянии i. Очевидно, указание всех одночастичных состояний, отвечающих некото-
рому многочастичному состоянию
функцию (2)):
Функции
— волновые функции с определенными значениями чисел заполне-
ния, которые образуют полную систему волновых функций системы из
, находящихся в одноча-
, однозначно определяет это состояние (волновую
.
тождественных ча-
2
стиц. И, следовательно, любая функция системы может быть разложена по системе функций с
12
12
1 2 1 2 , ,... 1 2
, ,...
( , ,...) ( , ,...) ( , ,...)
nn
nn
x x C n n x x
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., 1,...
, ,..., ,... , ,..., 1,...
ˆ
,
ˆ
1,
ii
ii
i n n n i n n n
i n n n i n n n
an
an
ˆ
i
a
i
ˆ
i
a
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
,.
ij
ij
i j ij
aa
aa
aa
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
ˆ
ˆˆ
ii
i
N a a
ˆ
ˆˆ
ij i j
ij
V V a a
()
a
a
Vx
ij
V
ˆ
()
a
Vx
()ix
*
( ) ( ) ( )
ij i k
V x V x x dx
ˆ
i
a
ˆ
i
a
определенными значениями чисел заполнения
.
Коэффициенты разложения определяют вероятности различных значений чисел заполнения и,
следовательно, образуют волновую функцию в представлении чисел заполнения.
В методе вторичного квантования вводятся операторы, действующие на волновые функ-
ции в представлении чисел заполнения. Для систем тождественных бозонов эти операторы
определяются так:
(3)
т. е. оператор
уничтожает частицу в одночастичном состоянии
, оператор
— рождает
частицу в одночастичном состоянии i. Для бозонных операторов рождения и уничтожения
справедливы следующие перестановочные соотношения
(4)
Из операторов рождения и уничтожения можно сконструировать опера торы любых физических
величин в представлении чисел заполнения:
— оператор числа заполнения состояния i, (5)
— оператор числа частиц, (6)
Здесь
— оператор аддитивной величины
— матричный элемент оператора
с одночастичными волновыми функциями
. (7)
Для систем фермионов операторы
ношениям (3), но с дополнительной фазой, которая учитывает антисимметрию фермионных
.
и
определяются соотношениями, аналогичными соот-
3
функций. Для фермионных операторов рождения и уничтожения
ˆ
i
a
ˆ
i
a
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
,,
ij
ij
i j ij
aa
aa
aa
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,A B AB BA
ˆ
A
ˆ
B
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
1
1
и
справедливы соотно-
шения, похожие на соотношения (3), но коммутаторы нужно заменить на антикоммутаторы
(8)
где
обозначает антикоммутатор операторов
и
. Для фермионных операто-
ров рождения и уничтожения справедливы те же соотношения (5)–(7), но собственными значе-
ниями оператора числа заполнения
являются только числа 0 и 1, как и должно быть в
фермионных системах благодаря принципу Паули.
Ну а теперь рассмотрим задачи на основные принципы метода вторичного квантования.
Задачи это будут такие же, как те, что мы использовали во всем нашем курсе — тестовые, с вы-
бором ответа, но которые позволяют лучше почувствовать логику и принципы квантовой меха-
ники
.
В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли
вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если
нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задачи.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика