Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

6. Противоположными называются два единственно возможных события, составляющих полную группу. Приняты обозначения: А и

А , А – событие, противоположное А. При этом

Р(А)+Р( А )=1, Р(А)=1–Р( А ), Р( А )=1–Р(А).

Примеры.

а) Из урны с белыми и черными шарами вынимают наудачу шар.

А— появился черный шар;

А— появился белый шар.

б) Попадание и промах при выстреле по цели — противополож-

ные события.

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.1-1.1.3 и ознакомиться с решениями задачи [4]: 1.1.

Задача 1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность символов X1 , X 2 , X3 , обозначающих выпадение герба (Г) или решетки (Р).

а) Построить пространство элементарных событий;

б) описать событие A, состоящее в том, что выпало не менее двух «гербов» и вычислить соответствующую вероятность.

Задача 2. На стенде имеется две мишени, стрелок производит один выстрел. Пусть события A и B состоят в том, что стрелок попадает соответственно в первую и вторую мишень. Какой смысл имеют

события: A, B, A B, A B, AB, AB?

11

Задача 3. Пусть A, B, C — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из A, B, C :

а) произошло только A;

б) произошли A и B , но C не произошло; в) все три события произошли;

г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий; д) произошло, по крайней мере, два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошло два, и только два события; з) ни одно событие не произошло.

Задача 4. Из слова «НАУГАД» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность, что это буква «Я»? Какова вероятность того, что это гласная?

Задача 5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадания на двух костях в сумме не менее 9 очков? Какова вероятность выпадания единицы, по крайней мере, на одной кости?

Задача 6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»?

Задача 7. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАМА»?

Задача 8. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма очков не превосходит 5; б) произведение очков превосходит 8; в) произведение числа очков делится на 6.

12

Тема 2. Геометрическая вероятность

Краткая теоретическая справка

Понятие геометрической вероятности можно продемонстриро-

вать следующим примером. Пусть отрезок l составляет часть отрезка

L (см. рис.)

и на отрезке L наудачу выбрана некоторая точка A . Слово "наудачу"

будем трактовать так: точка А может оказаться в любой точке отрезка

L, а вероятность ее попадания на отрезок l не зависит от расположе-

ния этого отрезка относительно границ отрезка L и пропорциональна длине l, т.е.

Р длинадлина Ll .

Аналогичные рассуждения можно привести для двумерных обла-

стей и G (см. рис.).

13

Если на область наудачу брошена точка, то эта точка может оказаться в любой точке области , вероятность ее попадания в об-

ласть G не зависит от положения области G относительно границ об-

ласти и пропорциональна площади G. Тогда из геометрических со-

ображений вероятность попадания случайно выброшенной точки в

область G равна:

P площадьплощадь G .

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.4 и ознакомиться с решениями задач [4]: 2.1 и 2.2.

Задача 1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Задача 2. Два лица А и Б условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

Задача 3. Стержень длины l сломали на 3 части, выбрав наудачу точки разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

Задача 4. В квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) науда-

чу брошена точка М. Пусть ; — ее координаты. Найти вероятность того, что уравнение x2 x 0 имеет действительные корни.

14

Задача 5. Моменты начала двух событий наудачу распределены в часовом промежутке времени. Одно событие длится 10 мин, другое 20 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются по времени»; б) «не перекрываются».

Задача 6. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость наудачу брошена монета радиуса r a . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Тема 3. Применение комбинаторики для вычисления вероятности

Краткая теоретическая справка

1. Перестановками из n элементов называются комбинации, со-

стоящие из одних и тех же n различных элементов, отличающиеся порядком расположения элементов. Для вычисления числа переста-

новок используется формула

Pn n! 1 2 ... n.

2. Размещения — комбинации из n элементов по m элементов,

которые различаются как составом элементов, так и их порядком.

При этом для удобства считается, что 0! 1. В частности, если m n Ann Pn n!.

15

3. Сочетания — комбинации, составленные из n различных эле-

ментов по m элементов, в которых важен только состав элементов,

но не их порядок. Другими словами, сочетание из n элементов по m

элементов — это набор комбинаций из m элементов, отличающихся

При подготовке к данному практическому занятию необходимо

изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.3.2 и ознакомиться с ре-

шением задачи [4]: 3.1.

Задача 1. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

Задача 2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятности следующих событий:

А — первый студент взял хороший билет; В — второй студент взял хороший билет; С — оба студента взяли хорошие билеты.

Задача 3. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбираются 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

16

3. Вероятность произведения двух событий вычисляется по фор-

муле:

P AB P A PA B P B PB A .

Если события A и B независимы, то

P AB P A P B .

4. Вероятность суммы двух событий вычисляется так:

P A B P A P B P AB .

Если события A и B несовместны, то P AB 0 и

P A B P A P B .

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.6 и ознакомиться с решением задачи [4]: 4.1.

Задача 1. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Задача 2. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 12 . Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?

Задача 3. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

18

Задача 4. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

Задача 5. В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные:

k1 k2

34 85

Задача 6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком p1 , вторым — p2 . Первый сделал n1 выстрелов, второй — n2 . Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные:

Тема 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Краткая теоретическая справка

1. Пусть событие А может наступить только при условии появле-

ния одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, которые образуют

19

полную группу. Пусть вероятности Р(В1), Р(В2), …, Р(Вn) наступле-

ния событий В1, В2, …, Вn известны. Также известны условные веро-

ятности наступления события А:

РВ1 A , РВ2 A , …, РВn A .

Тогда полная вероятность наступления события P A вычисля-

ется по так называемой формуле полной вероятности

2. Пусть снова несовместные события В1, В2, …, Вn образуют полную группу событий для некоторого опыта (испытания). Событие

А может наступить при условии появления одного из этих событий.

Поскольку заранее неизвестно, какое из событий Вi произойдет, бу-

дем называть их гипотезами. Вероятности гипотез Р(Вi) (i=1, …, n)

нам известны. Эти вероятности заданы до испытания, и носят назва-

ние априорных (от латинского a priori — из предшествующего), т.е.

независимых от опыта. Условные вероятности РВi A наступления события А для каждой гипотезы Bi также будем считать известными.

Теперь допустим, что испытание проведено и событие А появи-

лось. Результат опыта, вообще говоря, должен изменить наше отно-

шение к априорным вероятностям гипотез Р(Вi). Вполне закономерен вопрос: как изменились вероятности гипотез, если событие А уже наступило?

20