Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

Задача 4. Дана плотность распределения p x случайной величины :

Задача 5. Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид:

Задача 6. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соот-

41

ветственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Тема 11. Совместное распределение двух случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Линейная регрессия

Краткая теоретическая справка

1. Законом распределения двумерной дискретной случайной ве-

личины называют перечень ее возможных значений, т.е. пар чисел (хi, yj) и их вероятностей рij (i=1, …, m; j=1, …, n). Обычно закон рас-

пределения задают таблицей с двумя входами:

Х

У

Все события в таблице несовместны и образуют полную группу,

поэтому:

42

n m

рij 1.

i 1 j 1

2. Для непрерывной двумерной случайной величины вводится понятие функции распределения:

F x, y P X x,Y y .

Как и в одномерном случае, эта функция используется и для дис-

кретных случайных величин.

3. Для непрерывной двумерной случайной величины вводится также понятие плотности распределения:

f x, y 2 F x, y .

Для дискретной случайной величины это понятие смысла не име-

ет.

4.Свойства двумерных функций распределения и плотностей распределения:

1)0 F x, y 1.

2)F x, y — неубывающая функция по каждому аргументу.

3)F , y 0, F , 0, F x, 0, F , 1.

43

4) При y функция распределения становится функцией рас-

пределения X : F x; F1 x , а при x функция распределе-

ния становится функцией распределения Y : F ; y F2 y .

5)f x, y 0.

6)f x, y dxdy 1.

xy

7)F x, y f x, y dxdy .

X ,Y .

9)Вероятность попадания случайной точки x, y в двумерную область D равна двойному интегралу от плотности f x, y по этой

области:

P x; y D f x, y dxdy .

D

10) Для независимых случайных величин x и y :

F x, y F1 x F2 y ; f x, y f1 x f2 y .

5. Статистическая связь между компонентами X и Y двумерной случайной величины определяется корреляционным моментом и ко-

эффициентом корреляции.

44

6. Корреляционным моментом случайной величины X ,Y назы-

вается величина

xy M X M X Y M Y .

Для вычисления корреляционного момента используют формулы:

– для дискретных величин

–для непрерывных величин

xy x M X y M Y f x, y dxdy.

Корреляционный момент обладает свойством:

xy M XY M X M Y .

7.Коэффициентом корреляции случайной величины X ,Y

называется величина

ны. Независимые величины всегда некоррелированы.

45

8. На практике встречается ситуация, когда две компоненты изу-

чаемой случайной величины связаны приблизительно линейной зави-

симостью. Так чаще всего связаны урожайность и количество вне-

сенных удобрений, рост человека и его масса и т.д. Поскольку линей-

ная зависимость самая простая, в первую очередь пытаются устано-

вить между двумя изучаемыми случайными величинами X и Y

именно такую связь, т.е. представляют Y в виде

Y g X kX b.

Функцию g X kX b называют «наилучшим приближени-

ем» Y в смысле наименьших квадратов, если коэффициенты k и b

найдены из условия минимума математического ожидания

M Y g X 2 . Такую функцию называют среднеквадратической ре-

грессией Y на X . Она имеет вид:

g X my r y X mx .

x

Здесь mx ,my , x , y — математические ожидания и среднеквад-

ратические отклонения двух компонент случайной величины X ,Y ,

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X .

Аналогично можно найти прямую среднеквадратической регрес-

сии X на Y :

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.8.

Задача 1. Для заданного закона распределения двумерной случайной величины X ,Y

найти коэффициент корреляции между величинами X ,Y .

Задача 2. Для заданного закона распределения двумерной случайной величины X ,Y

найти коэффициент корреляции между величинами X ,Y и написать уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на X .

Задача 3. Задан закон распределения двумерной случайной величины:

Найти уравнение линейной среднеквадратической регрессии X на Y .

Задача 4. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Найти законы распределения составляющих X и Y .

Задача 5. Задана дискретная двумерная случайная величина

X ,Y :

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих;

б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y1 0,4 ; в) условный закон распределения составляющей Y при условии, что составляющая X приняла значение x2 5 .

Тема 12. Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма

Краткая теоретическая справка

1. Математическая статистика — наука, занимающаяся разработ-

кой методов получения, описания и обработки опытных данных с це-

лью изучения закономерностей случайных массовых явлений. Массо-

вые явления — это многократно повторяющийся опыт с одинаковы-

ми условиями (например, массовое производство одинаковых изде-

лий).

2. Математическая статистика оперирует с наблюдаемыми дан-

ными с помощью выборочного метода. Его суть состоит в том, что из

генеральной совокупности (совокупности всех N изучаемых образцов

(объектов, изделий)) осуществляется выборка из n образцов (обычно n N ) и определяются характеристики выборки, которые прини-

маются в качестве приближенных значений соответствующих харак-

теристик генеральной совокупности. Величины N и n называются

объемами генеральной совокупности и выборки.

49

3. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n , причем значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 — n2 раз, …, xk —

k

nk раз. Тогда ni n. Каждое наблюдаемое значение xi называется

i 1

вариантой, последовательность вариант обычно располагают в воз-

растающем порядке, и тогда эта последовательность называется ва-

риационным рядом. Числа наблюдений ni называются частотами, а

их отношения к объему выборки wi nni — относительными ча-

стотами.

4. На практике по выборочным значениям строят аналог закона распределения, который называется статистическим распределени-

ем выборки или выборочным распределением. Под этим понимается

перечень вариант и соответствующих им частот или относитель-

ных частот.

5. Полигон и гистограмма — это графики выборочного статисти-

ческого распределения. Полигон частот — ломаная, отрезки которой

В случае непрерывной случайной величины целесообразно стро-

ить не полигон, а гистограмму. Для этого интервал, в котором за-

ключены все наблюдаемые значения X , разбивают на несколько ча-

стичных интервалов равной протяженности h и находят для каждого

50