Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

i -го частичного интервала величину ni — сумму частот вариант, по-

павших в этот интервал. Гистограммой частот называют ступенча-

тую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты равны отношениям

ni h (плотностям частот). Таким образом, площадь i -го частичного

интервала. Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки n .

Если отнормировать полученную гистограмму частот, т.е.

значение каждой ординаты выбрать равным whi nhni , то фигура называется гистограммой относительных частот. Площадь гисто-

граммы относительных частот, таким образом, равна единице.

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 2.1 и 2.2.

Задача 1. Построить полигон частот выборки, представленной в виде статистического ряда:

а)

б)

Задача 2. Построить гистограмму выборки, представленной в виде таблицы частот. Объем выборки n 55 .

Задача 3. Дана выборка объема n 100 в виде таблицы частот. Построить гистограмму относительных частот.

Задача 4. Дана выборка в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот.

52

Задача 5. Дана выборка в виде таблицы частот. Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности.

Тема 13. Эмпирическая функция распределения. Выборочные средняя и дисперсия

Краткая теоретическая справка

1. Эмпирической функцией распределения (выборочной функцией

распределения) называют функцию

F* x nnx .

Здесь n — объем выборки, nx — число вариант, меньших x .

В отличие от F* x рассматривают также теоретическую функ-

цию распределения F x для генеральной совокупности. Таким об-

функция F* x определяет относительную частоту этого же события

в конкретной выборке.

53

2. Выборочной оценкой математического ожидания называется

величина, равная среднему арифметическому наблюдаемых в выбор-

ке данных:

n

xi

a*x i 1n .

3. Выборочной оценкой дисперсии называется величина

Эта оценка является несколько заниженной; в математической

статистике имеется несмещенная оценка, называемая исправленной

оценкой дисперсии:

n xi a*x 2 D* i 1

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 2.2, 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3 и ознакомиться с решениями задач [4]: 8.1 и 8.2.

Задача 1. Найти эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом:

54

Задача 2. Найти эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом:

а)

Задача 3. Измерен параметр транзистора, результаты измерений приведены в таблице:

Найти выборочное среднее значение параметра, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку.

Задача 4. При шприцевании в лабораторных условиях протекторной резиновой смеси были получены следующие значения усадки:

90,0; 93,1; 95,0; 95,0; 96,0; 100,0; 101,0; 106,0. Найти выборочное

55

среднее значение усадки, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку.

Задача 5. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Тема 14. Интервальные оценки параметров распределений. Доверительный интервал для математического ожидания

Краткая теоретическая справка

1. До сих пор мы занимались точечными оценками. Точечная оценка * — это одно значение (одно число на числовой оси), кото-

рое, как мы считаем, представляет собой значение оцениваемого па-

раметра . Обычно при выборке малого объема точечная оценка мо-

жет значительно отличаться от оцениваемого параметра и гораздо правильнее указывать некоторый диапазон значений параметра, ко-

торому мы в той или иной мере (с той или иной вероятностью) можем доверять. Таким образом, на сцену выходят два новых термина: дове-

рительный интервал и доверительная вероятность.

2. Пусть для параметра найдена оценка * . Ясно, что чем меньше * , тем лучше оценка * . Если задать неравенство

* , то в силу статистической природы вопроса мы не можем утверждать, что такое неравенство выполняется категорически; мы

56

можем лишь утверждать, что оно выполняется с некоторой вероятно-

стью :

P * * .

Геометрически это неравенство следует трактовать так: если на числовой оси находится истинное значение , то оно накрывается интервалом * , * с вероятностью (см. рис.):

интервалом, а величина — доверительной вероятностью. Концы интервала * , * в силу случайности * случайные — это доверительные границы. Они меняются от выборки к выборке. Уро-

вень доверительной вероятности обычно выбирают достаточно высо-

ким и задают заранее: 0,9; 0,95; 0,99. Таким образом, — вероят-

ность того, что доверительный интервал накрывает истинное значе-

ние , т.е. находится в случайном доверительном интервале. Ин-

туитивно должно быть ясно, что чем большие значения требуются,

тем более широким получается доверительный интервал.

3. Пусть x1 , x2 ,...,xn — выборка объема n из нормальной гене-

ральной совокупности, при этом среднеквадратическое отклонение будем считать известным. В этом случае доверительный интервал для математического ожидания оказывается равным

57

a* ,a* ,

n

xi

где a* i 1n — точечная оценка, а полуширина интервала

(точность интервальной оценки) связана с доверительной вероятно-

стью соотношением:

В практических ситуациях для нахождения доверительных ин-

тервалов требуется умение работать с таблицами функции Лапласа.

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 2.3.4, 2.3.5 и ознакомиться с решением задачи [4]: 8.3.

Задача 1. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности a горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения лампы 40 ч.

58

Задача 2. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков. Найти с доверительной вероятностью 0,91 точность интервальной оценки математического ожидания диаметров валиков, зная, что их среднеквадратическое отклонение 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Задача 3. Найти минимальный объем выборки, при которой с надежностью 0,925 точность интервальной оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности= 0,2, если известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности 1,5.

Задача 4. Произведено пять независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Получены следующие результаты (в кулонах):

1,594 10 19 ; 1,597 10 19 ; 1,598 10 19 ; 1,593 10 19 ; 1,590 10 19.

Определить оценку величины заряда электрона и доверительные границы при доверительной вероятности 0,99.

Задача 5. На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равен 50 кг. Предположив распределение веса нормальным, и определив несмещенную оценку выборочной дисперсии 2 16 , найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью: а) 0,8;

б) 0,9; в) 0,95.

59

Тема 15. Выборочный коэффициент корреляции. Выборочное уравнение линейной регрессии

Краткая теоретическая справка

1. Пусть в эксперименте получена выборка объема n двух корре-

лированных случайных величин X ,Y . Выборочное уравнение ли-

нейной регрессии Y на X имеет вид:

y yx x b,

где

2. Формулы (*) получены в предположении, что наблюдаются пары чисел x1 , y1 , x2 , y2 ,..., xn , yn , для которых различные значения x и соответствующие значения y наблюдались по одному ра-

зу. Если количество наблюдаемых данных xi , yi велико (на прак-

тике для удовлетворительных оценок обычно используют объем вы-

борки n не менее 50), то, как правило, среди наблюдаемых данных имеются повторяющиеся: одно и то же значение x может встретиться nx раз, одно и то же значение y – ny раз, одна и та же пара чисел

60