Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

математическое ожидание M X и дисперсия D X . Первая из

них характеризует некое среднее значение, вокруг которого группи-

руются все возможные значения случайной величины. Дисперсия ха-

рактеризует степень рассеяния (разброса) значений случайной вели-

чины относительно математического ожидания. Если закон распреде-

ления известен, M X и D X вычисляются по формулам:

Для вычисления дисперсии есть более удобная формула:

D(X)=M(X2)–[M(X)]2.

Величина X D X называется средним квадратическим

(среднеквадратическим) отклонением (с.к.о.). Она имеет размерность изучаемой случайной величины и также характеризует ее рассеяние.

7. Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоян-

ной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математиче-

ского ожидания

М(СХ)=С М(Х).

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожида-

ний:

31

М(XY)=M(X) M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

В частности, для трех независимых случайных величин

М(XYZ)=M(X) M(Y) M(Z).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин

(независимых или зависимых) равно сумме математических ожида-

ний слагаемых:

М(Х+Y)=M(X)+M(Y).

Это свойство обобщается на случай произвольного количества слагаемых.

7.Свойства дисперсии.

1)Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C)=0.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии,

возведя его в квадрат:

D(CX)=C2D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y)=D(X)+D(Y).

32

Для зависимых случайных величин это свойство не выполняется.

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случай-

ной равна дисперсии случайной величины:

D X C D X .

Величины Х и Х+С отличаются лишь началом отсчета, т.е. мате-

матическим ожиданием, а рассеяние вокруг математического ожида-

ния одинаковое.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X–Y)=D(X)+D(Y).

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.2.1, 1.3, 1.4.

Задача 1. Индикатор I A события А определяется равенством:

Построить закон распределения и функцию распределения F x индикатора события А, вероятность которого равна p . Начертить график функции F x .

Задача 2. Дан ряд распределения случайной величины :

33

Требуется: а) построить функцию распределения F x и начертить ее график; б) найти вероятность того, что величина примет значение, не превосходящее по абсолютной величине 1.

Задача 3. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина — число вынутых белых шаров. Построить закон распределения и функцию распределения F x величины .

Задача 4. Бросают три монеты. Построить закон распределения и функцию распределения F x величины — числа выпавших «решеток».

Задача 5. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить закон распределения случайного числа бракованных изделий, содержащихся в выборке.

Задача 6. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения

Задача 7. Число -частиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной , распределенной по следующему закону:

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика; б) вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, не меньше четырех.

Тема 9. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Краткая теоретическая справка

1.Непрерывной случайной величиной называется случайная вели-

чина X , значения которой сплошь занимают некоторый интервал значений (интервал может быть бесконечным).

2.Для такой величины вводятся два понятия: функция распреде-

ления и плотность вероятности.

3.Пусть х — некоторое действительное число. Функцией распре-

деления называют функцию F(x), равную вероятности того, что слу-

чайная величина Х в результате испытаний примет значение, мень-

шее, чем х:

F(x)=P(X<x).

4. Плотность распределения непрерывной случайной величины определяется как производная от функции F(x):

f(x)=F'(x).

С помощью плотности распределения легко вычисляется вероят-

ность того, что случайная величина попадает в некоторый интервал:

35

b

P(a<X<b)= f x dx .

a

4. Если задана плотность распределения, то функция распределения вычисляется так:

x

F x f x dx.

5. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются следующим образом:

отклонением (с.к.о.).

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.6.1, 1.6.2 и 1.6.3.

Задача 1. Случайная величина задана функцией распределения:

0, если x 2,

F x x 2 2 , если 2 x 3,

1, если x 3.

Найти: а) плотность вероятности f x ; б) вероятность попадания величины в интервал 1;2,5 ; в) то же, в интервал 2,5;3,5 .

Задача 2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины равна:

36

0, при x 1,

f x x 12 , при 1 x 2,0, при x 2.

Построить функцию распределения F x и начертить ее график.

Задача 3. Случайная величина имеет плотность распределения:

0, при x 0,

f x 1 sin x, при 0 x ,

2

0, при x .

а) Построить функцию распределения F x ; б) найти вероятность

Задача 5. Случайная величина имеет плотность вероятности:

37

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Задача 6. Случайная величина X задана функцией распределе-

ния

0 при x 2,

F x 0,5x 1 при 2 x 4,1 при x 4.

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

Тема 10. Равномерное, нормальное и показательное распределения и их характеристики

Краткая теоретическая справка

1. Для равномерного закона распределения плотность вероятно-

сти постоянна в некотором интервале (a;b) и определяется следую-

щим выражением:

0, x a

f x 1 , a x b

b a

0, x b.

2. Математическое ожидание и дисперсия равномерного распре-

деления соответственно равны:

38

2. Нормальным называется распределение непрерывной случай-

ной величины, которое описывается плотностью:

Это распределение определяется двумя параметрами: математи-

ческим ожиданием a и дисперсией 2 .

3. Вероятность заданного отклонения нормальной случайной ве-

личины относительно своего математического ожидания вычисляется по формуле:

где x — функция Лапласа.

4. Показательное (экспоненциальное) распределение характеризуется единственным параметром 0; его плотность распределения имеет вид:

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.6.4 и ознакомиться с решениями задач [4]: 7.1 и 7.2.

Задача 1. Плотность вероятности случайной величины равна

а) Построить функцию распределения F x и начертить ее график;

б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины .

Задача 2. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a 0, 1. Что больше:

а) Построить функцию распределения F t и начертить ее график;

б) найти M и D ;

в) найти вероятность того, что случайная величина примет