Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

Речь идет, таким образом, о вычислении так называемых апосте-

риорных вероятностей гипотез РА(Вi). Слово апостериорный означа-

ет "полученный на основании опыта, после опыта" (от латинского a

posteriori — из последующего).

Апостериорные вероятности вычисляются по формуле Байеса

(названа по имени английского математика):

k 1 P Bk PBk A

Она и позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как

становится известным результат испытания.

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.7, 1.1.8 и ознакомиться с решениями задачи [4]: 5.1, 5.2 и 5.3.

Задача 1. Имеется два ящика с шарами. В первом 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

Задача 2. Имеется две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую, не глядя, перекладывают два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Задача 3. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

21

Задача 4. Два стрелка независимо один от другого стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

i 1

бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

Исходные данные:

Задача 6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Тема 6. Схема независимых повторных испытаний. Формула Бернулли

Краткая теоретическая справка

1. Независимые последовательные испытания — это такие испы-

тания, в которых исход каждого последовательного опыта никак не

связан с предыдущими исходами, т.е. не зависит от них. Предполо-

22

жим, что мы многократно подбрасываем монету. Будем считать вы-

падение герба удачей, а выпадение решки — неудачей.

Нет никаких оснований считать, что в одном из конкретных бросаний удачный или неудачный исход зависит от того, что произошло при предыдущих бросаниях. Можно привести большое число примеров последовательных независимых испытаний.

2. Схемой Бернулли называется такая схема независимых после-

довательных испытаний, в которой вероятность наступления события

А в одном испытании постоянна: Р(А)=р.

3. Вероятность того, что в серии n независимых испытаний собы-

тие А наступит ровно m раз (очевидно, m n) вычисляется по формуле

Бернулли:

Pn(m)=Сnm pmqn–m.

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.9.

Задача 1. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 окажутся дождливыми?

Задача 2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми?

Задача 3. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий:

23

а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Задача 4. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

Задача 5. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы за время t ) для каждого узла равна p . Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятности того, что за время t :

а) откажет хотя бы один узел; б) откажет ровно один узел; в) откажут ровно два узла;

г) откажут не менее двух узлов.

Задача 6. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика; б) не более двух мальчиков;

в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Тема 7. Локальная теорема Муавра-Лапласа и интегральная теорема Лапласа. Пуассоновское приближение

Краткая теоретическая справка

При большом количестве испытаний n формулой Бернулли пользоваться затруднительно. В теории вероятностей имеется несколько приближенных формул, обеспечивающих неплохую точность.

24

1.Если вероятность р события А в каждом испытании постоянна

иотлична от 0 и 1, то вероятность Рn(m) того, что событие А появит-

ся в n испытаниях m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

Формула носит название локальной формулы Муавра-Лапласа.

2. На практике часто интересуются не тем, какова вероятность появления события в серии из n испытаний ровно m раз, а вероятно-

стью того, что это число заключено в некоторых границах m1 m m2 . Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность

Рn(m1,m2) того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2

раз, приблизительно равна определенному интегралу

Эта формула называется интегральной формулой Лапласа.

При практическом решении задач с использованием формулы (*)

z 2

пользуются специальными таблицами, т.к. интеграл e 2 dz через

элементарные функции не выражается. Обычно в таблице даются значения так называемой функции Лапласа:

3. При большом количестве испытаний в схеме Бернулли (n 50)

формула Муавра-Лапласа дает плохие результаты, если вероятность р мала (р 0,1), т.е. в ситуации, когда изучаются довольно "редкие" со-

бытия. В области n , p 0 существует еще одна асимптотическая формула, которая носит название формулы Пуассона. Она выводится в предположении, что при n и р 0 величина =np является константой.

Эта формула имеет вид:

Ею обычно пользуются в ситуации, когда n>>1, а р<<1. Име-

ются специальные таблицы (распределения Пуассона), которые поз-

воляют по известным n и m найти Рn(m).

При подготовке к данному практическому занятию необходимо изучить теоретический материал [3]: п. 1.1.9.1, 1.1.9.2 и 1.1.9.3, а

также ознакомиться с решениями задач [4]: 6.1 и 6.2.

Задача 1. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит:

а) ровно 75 раз; б) ровно 85 раз?

Задача 2. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных растений число проросших будет заключено между 790 и 830.

Задача 3. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно границы, в которых число m выпадений шестерки будет заключено с вероятностью 0,9973.

Задача 4. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p . Определить вероятность того, что число m наступления события удовлетворяет неравенству

k1 m k2 .

27

Задача 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Задача 6. Вероятность появления положительного результата в каждом опыте равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Задача 7. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

Тема 8. Дискретные случайные величины. Закон (ряд) распределения, функция распределения. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства

Краткая теоретическая справка

1. Дискретной случайной величиной называют величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с некоторыми опре-

деленными вероятностями. Число возможных значений такой вели-

чины может быть либо конечным, либо бесконечным. Случайные ве-

личины обозначают обычно прописными буквами Х, Y, Z, …, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами x, y, z, … .

2. Законом распределения (рядом распределения) дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Это соответствие задают либо ана-

литически, с помощью формул, либо в виде таблицы или графика.

28

Пример табличного способа:

В этой таблице предполагается, что события Х=х1, Х=х2, …,

Х=хn — несовместные события, образующие полную группу, а их ве-

роятности равны соответственно р1, р2, …, рn, причем р1+р2+…+рn=1.

3. Примеры распределений дискретных случайных величин.

а) Биномиальное распределение.

Всхеме Бернулли будем интересоваться случайной величиной

Х— числом появлений события А в этой серии испытаний. Очевид-

но, возможные значения такой величины х1=0, х2=1, …, хn+1=n, т.е. величина Х может принимать дискретные значения 0, 1, …, n. Веро-

ятности этих значений вычисляются в соответствии с формулой Бер-

нулли:

Рn(m)=Сnm pmqn–m,

где m=0, 1, …, n.

Данная формула является аналитическим выражением, опреде-

ляющим закон распределения. Этот закон носит название биномиаль-

ного закона распределения. Название связано с формулой бинома

Ньютона:

29

p q n n Cnm pm qn m . m 0

б) Распределение Пуассона.

Является асимптотическим вариантом биномиального распреде-

ления в ситуации, когда n>>1, а р<<1.

Pn m m e , m=0, 1, 2, … . m!

4. Функцией распределения называется функция

F x P X x .

5. Наиболее полной характеристикой случайной величины явля-

ется ее закон распределения. Однако он не всегда известен и в этих случаях приходится довольствоваться меньшими сведениями. К та-

ким сведениям могут относиться: диапазон изменения случайной ве-

личины, наибольшее (наименьшее) ее значение, некоторые другие характеристики, которые описывают случайную величину некоторым суммарным способом. Все эти величины называют числовыми харак-

теристиками случайной величины. Обычно это некоторые неслучай-

ные числа, так или иначе характеризующие случайную величину. Ос-

новное назначение числовых характеристик — в сжатой форме выра-

зить наиболее существенные особенности того или иного распреде-

ления.

6. Наиболее распространенными числовыми характеристиками дискретной случайной величины в теории вероятностей являются

30